0915 三角函數的應用解答

三角函數的應用 0915 班級 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

（ ）1.在△ABC 中，已知A、B、C 之對應邊長分別為 a、b、c，若B  120，a  6，則下列選項何者正確？ (A)0  b  c  3 (B)3  b  c  6 (C)6  b  c  9 (D)9  b  c  12 【096 年歷屆試題.】 解答 B 解析 由餘弦定理知 b2 c2 a2 2cacosB  c2 62 2  c  6  cos120 (c  3)2 27  b2_ (c  3)2 27  (b  c  3)(b  c  3)  27 但 b  c  3  0，故得 b  c  3  0 即 b  c  3 又 b  c  a  b  c  6 ∴ 3  b  c  6

（ ）2.求



sin 75 cos75 



2 (A)3 2 (B) 1 2 (C) 5 3 (D) 4 3【隨堂講義補充題.】 解答 A

解析



sin 75 cos 75



2 sin 752  cos 752  2sin 75 cos 75 

 1 sin150  1 sin 180



  30



1 sin 30 1 1 3

2 2

     

（ ）3.設三角形的三邊為 a、b、c，其對角依次為 A、B、C，若(a  2b  c)2  (3a  b  2c)2  0，則 (A)a:b:c  5:3:7 (B)sinA:sinB:sinC  3:5:7 (C)cos 3 14 A (D)sin 3 14 A 【龍騰自命題.】 解答 B （ ）4. △ABC 中， A 120，a10 3，b10 2，則 B (A) 30 (B) 45 (C) 60 (D) 75 【隨堂講義補充題.】 解答 B 解析 由正弦定理： 10 3 10 2

sin sin sin120 sin

a b A B   B （ 3 sin120 2   ） 2 sin 2 B   得知  B 45 或135（不合，內角和需180）

（ ）5.在△ABC 中，已知AB 3 1 ，BC 2，A  30，則 (A)AC 2 (B)AC1 (C)B  45 (D)C  15

【龍騰自命題.】 解答 D

（ ）6.在△ABC 中，A  30，B  45，其對邊分別為 a、b，而a 2，則 b  (A)3 (B) 3 (C)2 (D) 2

【龍騰自命題.】 解答 C 解析 2 2 sin 30 sin 45 b b     

（ ）7.設 3 4



   ，則(1  tan)(1  tan)  (A)1 (B)2 (C)  1 (D)  2

【龍騰自命題.】 解答 B

解析 tan( ) tan tan tan(3 ) 1 1 tan tan 4              

 tan tan 1  tan tan

故(1  tan)(1  tan)  1  (tan tan)  tan tan

 1  (  1  tan tan)  tan tan 2 （ ）8. △ABC 中，a、 b 、c為三邊長且 2





2





2 3     a b c bc ，則 A (A) 90 (B)120 (C)135 (D)150 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 已知 2





2





2 3 a  bc   bc





2 2 2 2 2 3 a b bc c bc       2 2 2 ₃ b c a bc      （均為邊長利用餘弦定理） 故由餘弦定理： 2 2 2 3 3 cos 2 2 2 b c a bc A bc bc        ∴  A 150

（ ）9.求 tan25tan20  tan20  tan25  (A)0 (B)2 (C)1 (D) 3

【龍騰自命題.】 解答 C

（ ）10. △ABC 中，已知AC2 3，AB6， C 120，則 △ABC 面積為 (A) 3

2 (B) 3 (C) 2 3 (D) 3 3 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 設BCx，由餘弦定理： 2 2 2 2 cos AB AC BC  AC BC  C

 

2 2 2 6 2 3 x 2 2 3 x cos120         2 _{2 3 24 0} x x     2 3 x   或4 3（不合） 則△ABC面積 1 sin 2 BC AC C     1

  

2 3 2 3 sin120 3 3 2     

（ ）11.在△ABC 中，a、b、c 分別表示三邊長，若(b  c)：(c  a)：(a  b)  5：6：7，則 sinA：sinB：sinC  (A)5：6：7 (B)3：2：1 (C)6：5：4 (D)4：3：2

【龍騰自命題.】 解答 D

令 5 6 2 7 b c k c a k a b k               a  b  c  9k sinA:sinB:sinC  a:b:c  (9k  5k):(9k  6k):(9k  7k)  4:3:2 （ ）12.化簡 sin100sin(  160)  cos200cos(  280)得 (A) 3

2 (B) 3 2  (C)1 2 (D) 1 2  【龍騰自命題.】 解答 D

解析 sin100sin(  160)  cos200cos(  280)  sin100sin200 cos200cos80  sin80(  sin20)  (  cos20)cos80 (sin80sin20 cos20cos80)

1 cos(80 20 ) cos 60 2           （ ）13.已知三角形三邊長AB7，BC8，AC9，則 BC 邊上的高長度為何？ (A) 3 5 (B) 4 5 (C)8 5 3 (D) 7 5 3 【隨堂講義補充題.】 解答 A 解析









1 2 s s a s b s c        底 高 由題意知： 7 8 9 12 2 s    則  12 12 7 12 8 12 9















12 5 1 2 BC   高 1 12 5 8 2    高 得高3 5

（ ）14.△ABC 中，AB6，AC9，A  120，A 之角平分線交 BC 於 D，則 AD (A)12 5 (B) 18 5 (C) 10 3 (D) 14 3 【龍騰自命題.】 解答 B

解析 利用面積△ABD  △ACD  △ABC

1 1 1

6 sin 60 9 sin 60 6 9 sin120

2 AD 2 AD 2              18 15 54 5 AD AD     （ ）15. △ABC 中， B 105，  C 60 ，a 3 1 ，下列何者為真？ (A)c 3 (B)c2 2 (C)b 2 1 (D)b 3 1 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析 ∵ 已知二角與一邊利用正弦定理 180 105 60 15 A          3 1

sin15 sin105 sin 60

b c  _{ }   （ 6 2 sin15 4    ，sin105 6 2 4    ） ∴ 6 2 3 1 3 1 4 6 2 4 b      

3 4



3 1



6 2 6 2 c     

（ ）16.△ABC 中，a  6，c  7，B  60，則 cosA  (A) 43 43 (B) 4 43 43 (C) 7 43 43 (D) 10 43 43 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 2 _{2 2} 6 7 2 6 7 cos 60 36 49 42 43 AC            ∴ AC 43 2 _{2 2} 7 6 43 49 36 4 4 43 cos 43 2 7 2 43 7 43 AC A AC             （ ）17.若cos 1 3   且 0 2  

  ，則 3sin cos cos

4 4 2    的值為 (A)1 2 (B) 2 2 (C) 3 2 (D)1 【龍騰自命題.】 解答 B

解析 原式 3sin cos 3sin 3 1 ( )1 2 2

2 2 2 4 4 3 2   _      （ ）18.、 均為銳角，cos 4 5   ，tan 5 12   ，試求 sin (  )之值為 (A)56 65 (B) 65 56 (C) 63 65 (D) 65 63 【隨堂測驗.】 解答 A

解析 sin



 



sin cos cos sin  3 12 4 5 5 13 5 13     36 20 65 65   56 65  （ ）19.如圖三直線 L1、L2、L3之斜角分別是1、2、3，斜率分別是 m1、m2、m3，則下列何者為真？ (A)1 < 2 < 3 (B)m1 < m2 < m3 (C)m3 < m2 < m1 (D)m3 < m1 < m2 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 ∵ 2 1 3 2      ∴ m3 < m2 < m1

（ ）20.在△ ABC 中，若 sin :sin :sinA B C7 :8:13，則 C  (A)30 (B)60 (C)120 (D)150

【隨堂測驗.】 解答 C

解析 ∵ sinA: sinB: sinC7 :8:13a b c: : ∴

2 2 2 2 2 2

7 8 13 1

cosCa b c       

故 C 120

（ ）21.在△ABC中，已知a10、  B 95 、  C 40 ，求△ABC之外接圓面積為 (A)10 2 (B) 50 (C) 5 2 (D) 25 【隨堂測驗.】 解答 B 解析  A 180      95 40 45 10 10 2 sinAsin 45 R  R5 2 ∴ 面積 2

 

2 5 2 50 R       （ ）22.小明站在距離行政大樓前100 公尺處，測得站立處對樓頂仰角為 45，則行政大樓樓高為 (A)50公尺 (B) 50 2 公尺 (C)100 公 尺 (D)100 3 公尺 【隨堂測驗.】 解答 C 解析 tan 45 100 h   100 tan 45 100 1 100 h      （ ）23.直線 L1：x  3 與L₂：x 3y 1 0之交角  (A)30 (B)45 (C)60 (D)90 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 L1：x  3 為鉛垂線，斜角1 90 2: 3 1 0 L x y  ，斜角 ₂ tan ₂ 1 3 m       ∴ 2 150 ∴ L1與 L2交角之一為21 150 90 60 （ ）24.sin15  cos15  (A)0 (B) 2

2 (C) 6 2 (D) 6 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 sin15 cos15 6 2 6 2 6 4 4 2         （ ）25.設 ( 1, 3)A  ，B(  2,0)，則 AB 的斜角為 (A)30 (B)60 (C)120 (D)150 【龍騰自命題.】 解答 B