1113 不等式解答

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- 1 - 1113 不等式 班級 姓名 座號 一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分) ( )1.在坐標平面上,滿足 x y  2,x 2y  2,x  2 不等式組 的區域面積為何?(A)12 (B)20 (C)24 (D)28 【093 年歷屆試題.】 解答 A 解析 2 2 2 2 x y x y x             所成區域為△ABC(如下圖所示) 所求面積(即△ABC 面積) 1 2AB  (AB邊上的高) 1 6 4 12 2     ( )2.目標函數 f (x , y) x 2y 在限制條件 0 0 5 2 7 20 8 2 16 x y x y x y x y              , 的極小值 為 (A)3 (B)4 (C)5 (D)7 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 0 0 5 2 7 20 8 2 16 x y x y x y x y              , f (x , y)  x  2y 以(3 , 2)代入得 f (3 , 2)  3  2  2  7 為極小值 ( )3.滿足不等式 2x2 3x 35 0 的整數個數有 (A)5 個 (B)8 個 (C)9 個 (D)10 個 (E)無限多個 【課本練習題-自我評量.】 解答 C 解析 將 2x2  3x  35 因式分解得(2x  7)(x  5) 故(2x  7)(x  5)  0  7 5 2 x    滿足 7 5 2 x    的整數有  3、  2、  1、0、1、2、3、4、 5 共 9 個 ( )4.在聯立不等式組x0,y0,2x y 60,x2y 6 0 的可行解區域中, x 、y均為整數解的點坐標

 

x y, 共有多少 個? (A)8 (B)9 (C)11 (D)無限多個 【103 年歷屆試題.】 解答 C 解析 聯立不等式組的可行解區域如下: 其中xy均為整數解的點坐標為

 

0,0 、

 

0,1 、

 

0, 2 、

 

0,3 、

 

1,0 、

 

1,1 、

 

1, 2 、

 

2,0 、

 

2,1 、

 

2, 2 、

 

3,0 , 共有11個 ( )5.6  5x x2 0 的解為 (A) 6 x 1 (B)x  6 或 x 1 (C)  3  x 2 (D)x  2 或 x  3 (E)無解 【課本練習題-自我評量.】 解答 A 解析 將不等式 6  5x  x2  0 移項整理得 x2  5x  6  0  (x  6)(x  1)  0   6  x  1 ( )6.若不等式 x2 4x k 0 的解為所有實數,則 k 的範圍為 (A)k 4 (B)k 4 (C)k 4 (D)k 4 (E)k  4 【課本練習題-自我評量.】 解答 D 解析 ∵ 不等式 x2  4x  k  0 的解為所有實數 ∴ b2  4ac  0  42  4  1  k  0  k  4 ( )7.直角坐標平面上,合於 x y  3  0,x y  3  0,x y  3  0, x  y  3 0 條件之區域面積為 (A)15 (B)16 (C)18 (D)20 【龍騰自命題.】 解答 C 解析 四邊等長  (0 3) 2 (3 0)2 3 2是菱形,兩對角線長 分別為 6、6 ∴ 此區域面積  4  (1 2 3  3)  18

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- 2 - ( )8.若 a、b 皆為正實數,則(3a b)(3 4) a b   的最小值為 (A)0 (B)5 (C)15 (D)25 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 (3a b)(3 4) a b   ( 3a 3 b 2 )2 a b    (3  2)2  25 ( )9.不等式(x  1)(1  2x) 0 之解為 (A)x  1 (B)1 1 2 x (C) 1 2 x (D) 1 2 x或 x  1 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 (x  1)(1  2x)  0  (x  1)(2x  1)  0  1 1 2 x ( )10.不等式 9x2 30x 25 0 之解為 (A)x 為任意實數 (B)無解 (C)3  x 5 (D)x5 3 【龍騰自命題.】 解答 D 解析 9x2  30x  25  0 

3x5

20(0 為不可能)  (3x  5)2  0  x 5 3 ( )11.設 x、y 0,若 xy2 36,則 3x y 的最小值為 (A)9 (B)12 (C)18 (D)27 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 ∵ 3 3 2 2 3 3 2 2 y y x y y x      ∴ 3 3 3 2 3 4 x y xy    3x  y  33 3 2 4xy  9 ( )12.下列何者為不等式 2x 5y  0 的圖形? (A) (B) (C) (D) 【龍騰自命題.】 解答 B ( )13.若 a 0,b 0,c 0,則 ax by c 之圖形可為 (A) (B) (C) (D) 【龍騰自命題.】 解答 B 解析 令 ax  by  c  過(c a , 0),(0 , c b ),而 c a 0, c b 0  x 截距正,y 截距負而 ax  by  c 又包含原點(0,0),故選(B) ( )14.不等式 3x 2y  6  0 的圖形不通過第幾象限? (A)一 (B) 二 (C)三 (D)四 【龍騰自命題.】 解答 C ( )15.在 x 0、y 0、x 2y  2  0、2x y  2  0 之條件下,2x 3y 的最小值為 (A)1 (B)5 (C)4 3 (D) 3 4 (E) 10 3 【課本練習題-自我評量.】 解答 E 解析 不等式組的圖解如圖, 可行解區域的頂點為(0 , 2)、(2 2, 3 3)、(2 , 0) (0 , 2)代入 2x  3y  6 (2 2, 3 3)代入 2x  3y  10 3 (2 , 0)代入 2x  3y  4 故當 2 3 x 、 2 3 y 時, 2x  3y 有最小值10 3

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- 3 - ( )16.已知 x 、y滿足 2 20 3 30 0 0 x y x y x y              ,則4x3y2之最小值為 (A)5 (B)4 (C)3 (D)2 【隨堂講義補充題.】 解答 D 解析

 

x y, f x y

 

, 4x3y2

 

0,0 2

10,0

38

 

8,6 48

0,10

28 ∴ 4x3y2的最小值為2 ( )17.設 a 0,b 0 且 a b 8,則 ab 的最大值為 (A)4 (B)8 (C)12 (D)16 【龍騰自命題.】 解答 D ( )18.在不等式組 x 0、y 0、2x y  6  0、x 2y  6  0 的圖 解區域中,若 x、y 為整數,則點(x , y)共有多少個? (A)8

(B)9 (C)10 (D)11 (E)無限多 【課本練習題-自我評量.】 解答 D 解析 不等式組的圖解如圖,可行解區域中的點(x , y) x、y 為整數,即為圖中的格子點,共有 11 個 ( )19.不等式 6x  16  3x 5 的解為 (A)x 7 (B)x 7 (C)x 7 (D)x  7 【龍騰自命題.】 解答 A 解析 6x  16  3x  5  3x  21  x  7 ( )20.設 a、b、x、y 為實數,且 a2 b2 6、x2 y2 24,則 ax by 的 (A)最大值為 30 (B)最大值為 12 (C)最小值為  6 (D)最小值為  18 (E)最小值為  144 【課本練習題-自我評量.】 解答 B 解析 由柯西不等式知

(a2  b2)(x2  y2)  (ax  by)2  6  24  (ax  by)2

  12  ax  by  12 所以 ax  by 的最大值為 12,最小值為  12, 故選(B) ( )21.不等式 2x 3y  2 的圖形不通過第幾象限? (A)一 (B)二 (C)三 (D)四 (E)二和三 【課本練習題-自我評量.】 解答 B 解析 作直線 L:2x  3y  2,就 x 項而論「x  」,圖解區域在 L 的 右側, 如圖所示,故不等式 2x  3y  2 的圖形不通過第二象限 ( )22.已知正數 a 、b、 c 滿足abc16,則a2b2c的最小 值為 (A)8 (B)12 (C)16 (D)20 【隨堂講義補充題.】 解答 B 解析 利用算幾不等式 3 3 3 2 2 2 2 4 64 4 3 a b c a b c abc   2 2 12 a b c     ∴ a2b2c的最小值為12 ( )23.不等式x2y 2 0的圖形不通過第幾象限? (A)一 (B) 二 (C)三 (D)四 【隨堂測驗.】 解答 C 解析 作直線x2y 2 0 2 0 0 1 x y 2 2 0 xy  的解在直線的右側,如圖所示,故圖形不通過 第三象限 ( )24.設 x 、y為實數,且x2y10,當 2 2 xy 有最小值時, 序對

 

x y,  (A)

 

8,1 (B)

 

6, 2 (C)

 

4,3 (D)

 

2, 4 【隨堂測驗.】 解答 D

(4)

- 4 - 解析 當x2y2有最小值時, 1 2 x y t   ,其中t為實數  xty2t代入x2y10中得 4 10 t tt2 ∴ x2,y4 故

   

x y,  2, 4 ( )25.設 a 、b、 c 均為實數,若一元二次函數

 

2 0 f xaxbx c 對任意實數 x 恆成立,則下列何者 正確? (A)a0, 2 4 0 bac (B)a0, 2 4 0 bac (C)a0, 2 4 0 bac (D)a0, 2 4 0 bac 【隨堂測驗.】 解答 A

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