不用積分公式高中生如何證明球表面積公式

不用積分公式

高中生如何證明球表面積公式

奪政豐

3三敢祥鄭猛憊江淑娟余B芯

國立竹高高級中學

(一)嫂子:

自蓓的高中數學新課程，工年級有選修 幾何學，其中幾f可擊下f嗨，都豆葉至2球表阻橫、 體積乏正式。這一部分的證明，在高立的的程 度，會有點國難，尤其是球表題積公式進一吉E 份，要堅證得很荳輯，學有特間難。 回顧大一橄欖分，球表甜余式可由下劃 與積分公式求得; Y 牟 2 , ,,2__2 x~+v-=r 繞 x 軸接轉，會形 成一個球。 取 y =-{?士?

11:2πyι訂dx

y=

.y

r-x'

， y ←2)、2x)

X r

球表輯積=

r

2rtJ;ï可7

=L

2π峨 =(2忱。xl~[ =4πr

2 高中生解讀

₂

_時

_J

可訪實有關難，幾(呀 學課本，六多混罰不諦，要學生把公式背下來 就好。 窗小劉高 ，都有詞學或者師會使揖到，館目 前只有龍騰文化贖書公司的前的 r_幾何學運 視品，騙者聽志摟、余文驛教據有…個比較 特臻的證法。 本文提出一制:直觀、易'f擎的方法，我們 只用研三角~數的和橫互化公式，數列級數 的輯限概念，與連纜函數的 'f生賀，就可以把 「球表面積去式」證出來。

(二)本文:

X (1)雛台(frustum)之側表盟(lateral surface) 的 面積之訐算: 如果誰台(如 F 輯) ，上聽半密是 y ， 下

x

' 斜高(slant height)為 z '對棚 表面積若干? •

z

也相似三三角悟 y X

ty+yz=tx

蠹

下

HH 凶 , hNF \，/時間 NU 母 f3 、、明湖

一點按

法…綠草

"可…麗是

叭叭 -Y 博立

抖抖一卜和動

131j

盟和訓丹 MmH tθ

均

31

科學教育丹刊 第 2 的期 中導民國九十年六月 C A O Q 2r.:y t 。 路 =最彤。AB 面積一處形 OCD 也聽主是公式 te=2Jty

。

一 2πy t

(一旦)

x

y

自主閱(月五)式 2飛(x-y)

z 一由麗芳丟面積公式 A= 三 γ。

故，錐合側表面積

1

~ yz 、 2π(x

- y)

，、 =一(一一一+

Z )

2( 一一一一ω) 一一(一一一 )2

x

y

z

2 '

x

…

y

2π(x-y) 從x2_zπy2z (一一一一)且一一一了一口 π(z)(x

+ y)

z

x-y

λ-y 把錐台側衰弱纜，表示成 π(z)(x+y) 波恩 2 犯

(月三)(z) 這都是容易解讀的方式。

叫巴半的 r 的 j 觀弧，以及圖心角 2 ，分

n 等撈，每一等分的圓心角 θ 戶后對的強 自鹼控定理:

EF2 詛 r2+r人2(r)(r)cos θ

話 2 r2(l -c的 θ)

= 2r

2

_(2sin

2 Fírco 神，tSJ 關}

品

_4r

2

_sin

2

空

2

故

_Ezhin:

(說

_f

象但!J刀削水果皮，刮刀的力寬是一定的，

所削婷的一圈果皮，寬境扭扭

sin

些)

2

(3)控訴繞_y 軸旋轉，所成之錐台， 酒樓為何

?

由E

(r

_,

0 )

_,

F(rcos θ

_，

rsìnθ)

CF:::::

rcos θ(上圓半徑)

OE:::::

r

(下圈半鐘)

扭扭

_2r

啦!(斜高)

故，樹表面積玉的

r

吋

)(r

+

r

酬

θ)

; G(rcos2

_{8 ' rsin2}

e)

， 只 rcosθ ，

rsin

θ)出告

_F

續y輯主主轉研成鍾 圈半種 r 化'co的s2θ ，下囂半?經莖娃 r此'co的sθ{鵲

_E

_{貼目商(母轅長〉}

話←口

2

吋

,

故(儲員摺服目照表衰…頂喃醋積為叫

π

叭吋仙(扭仰叫

2

計

r

θ+村rcω正os2θ圳) ，立志換 y輪盤轉研成錐台之棋

π

悶:阿

_2θ

_…

3θ)

(4)由這拉等畏的弦甜、

_F

豆、

₆

立...繞_y軸 接轉所成鑑台之間表面積的和為:

O

S"=

π (2r

sin

_'2

)[(r

+r

cos

θ)

+

(r

cos

θ+

r cos2θ)

+

(r cos2θ +r

cos3 8 )+...

(r

cos(n國_{1)θ +rcos(nθ))}} 1t

E!3

8=

迄今nθ

_弓，

1t

cos (n

θ)=

_。

n

S，=1t 叫

n;)

扒r(cos θ

_心

θ 抖。s3θ

+...cos(n-

l)

8)]

=(2

次向

_in;)

_悶悶;)【

2r(cosθ+

_∞

s2

一32 一

θ+ cos3θ+...

'cos(n-

l)

e)

>

器( 2π 叫;川 π 呻 sin; 叭。

。。

+2sin

2'

cos2

e

+2sin 2' cos3θ÷ ﹒

電 S βv 、龜， J

l

n

/S 、、 03 O PLW 。一 2 nu

--QO 勻，但

+

由三角屋i 數的戶積化和三是公式 J

30

0

50

4πr2_{sin -=-+2 文 r2}

_[(sin

_{-",- sÌn~)+(sín 一.}

2

~...

2' .

，~...

2

30

70

50

sÌn 2

)+(s 侃了。 -sinyO)+.. 2約一 2n-3

(sin

2θ 吟in -2θ)] 。 2n … o

S

, : 2 πrzsinr2πμ[sin …γθ 仿inE]

2n-l

:2ηr2_{sín[( 一玄一)校 1} π

入

θ R

2n -1

. rr

= 2

rr'之sín[( 一一一) (~)]

2

/ '2n

1

、盔章， J

EZ

/' •. 、 、 ZF 二 MA HH … Jd 亨三 ras 、、

i

n

o3 勾心 r' 窕 qE E戶

民=∞時月1)→ l

.tn 由於正弦盈數是一個連續區數，得半球

之表時為 2 前必 φ=2η r

2

故，球接關積為_4究計 (5)球冠的側表面積變怎麼多華? 如下蟹，在半僅舉 r 的路中，球短的皇軍 題，觀的半徑漿爽，球甜的高舉 h' 對主教冠的 側表莒纜豈是多少?

41之三》

不用精分合式高中如何證 llJJ 球表面積公式 如 ;如果球冠

P

,

LPOX= 戶 則士學球之{冠外部分 1 的價IJ 表面積最多 少? (如下盧斯示) 我 1m等 β 角 m 等好，令 αm 童剖闊的分點盔標如上圍內;示。

令 E令，0)

,

F(rc仰仗， rsinα)

,

G(rcos2α ，

rsÌn2α)

,

H(rcos3α ， rsin3α)...

... ...

下輯中，連接指鄰的分點宜興 F '所 成的弦，繞 y 軸脆轉所成錐台之憫表盟

為 :η(古)(CF +δb

E 將這些等畏的弦 EF 、 FG 、 GH ....撓 y 軸挂牌所成鐘台之棚眾面 積的和其; α

S"，= 汀 (2r

sin 2

)[(r+

r

cos

a)叫 r cos 位+

r

cos2α)叫 r

cos2

a +r

cos3

a

)....仆...+

(r

cos(m-l)

a +r

cos

m

α)] q

s'..口汀 (2r

sin

'2

)[r+ 2r(cos α+cos2α÷

句、

w

吟、

科學教育月刊 輩 2 哇。無 中是農民劉九十年六丹

cos3α....

"+cos(m-

l) a )+r

cos

m αl

=2πμ內$吋+刊寬位趴

r內5吟炸糊rη伽)

+...+叫枷 1)α 附心:削 β

ααα =2π 內n

2 +2

J[ 月2sin "2削 α+2sin

"2

αα cos2α+2sin "2 cos3ω+...2$inECO$

(m- l) 州立 πμ仇內s泣吋

i

仿照酹蘭(恃4)8的守方法 :γ， 樹禮化和 2濫設與;諧符去法 α2m-lα

Sm= 2

J[

r

2

sin 2 +2

J[ ，-2 [sin …7… αsin "2

]

a +立方 r2_{sin 三 cos β}

:::2 方向in(mα-jMπ 內infcosβ

曲和角訟式

=2π 刊(心1αmf 一 ω m α 的 2)

山伯 fcosβ

mα=β 2 汀削

μ內卅心

s位mimn

;

馴 β

2

J[

r

2

sinβmj

m

→∞持 a :::~→。

更=斗一→。

2

2m

α cos 三→ l

Sm=

2πr句 mβ=2πr(rsinβ) 由上僅 r

sin

ß

:::(r-的代入 ，

S

",

=2

J[ r(r 一的 (此時令 h=û '也可得到半球之 l~lj 表聲讀是 2 π ，-2) 部半球之【寇外部分〕的個u喪盡額是 2 J[

r(r-h)

,

f旦半球之樹菩提面擴是 2π r2

34

故球荒草之衡表面積是2 J[

r 2

…

2

J[ r(r間的 =2 J[ r

h

...(乙) (其中 r 是球寇斯在球之半徑 ，

h

的高) 手寄自上聞及畢氏定理

r 2=

(r-h)2+R立

r 2

,-2…

2rh+h2+R2

得到

h

2

+R

2

r=

2h

將 r 代入(乙)式， 得球組之樹表間積的另…留表示法是 π (h2_{+R2)( 其中 h 是球寇的高 .R 是球寇緝部} (五)結語: 這餾方法， 較接(或中上)程 的學生，能嘿靜的範囂，它把高二幾何 學，與萬…的數3JU 級數、攝限、三角函數的 概念，結合起來，聽一個高中生能看得懂的 內容。其中，仍然必需用對正餘弦晶數雖連

最i 數的條件， 11tf(OnhfG!EOJ 才能賤

，我們只能用正餘弦函數圖形，叢觀的加 t:.t說明。

(即)參考資料:

橄欖分。黨能哲、{可典恭攜著 嘴何學透視。吳志陽、余文轉教攪騙者， 騰文化聲書合司出版