1. 若不然，設這個正方形表格為一個 n× n 的方格表，且第 i 行的正號有 xi 個，第 i 列的正號有 yi 個。那麼 x1∼ xn 互異且 ∑ xi = n 2 2 ，因此存在一 個 0∼ n 的整數 k 滿足 (0 + 1 + 2 + … + n) − k =∑xi= n 2 2 。由此易知 k = n 2。 因此存在 k 使得 xk= n。同理存在 l 使得 yl= 0。如此一來，第 k 行第 l 列既 不能是正號也不能是負號，得證。 2. 設此多邊形為 P1P2...Pn，且 PiPi+1 上的切點為 Xi。令 xi = PiXi = PiXi−1， 且 設 PjPj+1 為 所 有 邊 長 中 最 長 的 一 個。 那 麼 由 PjPj+1 的 最 大 性 知 PjPj+1 + Pj−1Pj > Pj+1Pj+2 且 PjPj+1+ Pj+1Pj+2 > Pj−1Pj。 又 Pj−1Pj + Pj+1Pj+2 = xj−1 + xj + xj+1+ xj+2 > xj+ xj+1 = PjPj+1，故 Pj−1Pj, PjPj+1, Pj+1Pj+2三線段可形成一個三角形，得證。. 3. 首先，由 97 和 89 這兩個質數在 100! 中的質因數冪次為 1，所以 100! 的因數個數為 4 的倍數。因此，將 100! 的因數從小排到大，設為 1 = d1 < d2 < … < d4k = 100!，那麼 100! = d1d4k = d2d4k−1 = … = d2kd2k+1。因此將 d1∼ dk, d3k+1∼ d4k 分成一組，dk+1∼ d3k 分成一組即可。 4. 用反證法。若在所有警察走的距離總和最小時沒有人不需要走動，將所 有警察分成兩類：順時鐘走和逆時鐘走。由於警察的個數為奇數，不妨設順時 鐘走的人較多 (設有 x≥ 13 個)，那麼讓所有警察的目的地往逆時鐘方向移動 一格的話，警察所走的距離和會減少 x− (25 − x) = 2x − 25。又 x ≥ 13，所以 如此一來警察所走的距離和便減少了，和最小性矛盾。得證。 5. 1
先標點：設這個直角三角形為 ∆ABC，其中角 C 為直角，且圓 O1切 AB, BC
於 M, D，圓 O2 切 AB, AC 於 N, E，兩圓切於 P ，且 M N 中點為 X。欲證
CX 為角平分線，只需證 AX : BX = AC : BC。設 P X 交 BC, AC 於 Y, Z。 由 P X 垂直 AB 易知 ∆AXZ ∼ ∆Y XB ∼ ∆ACB，又由前兩者的內切圓 (圓 O1 和圓 O2) 半徑等大知前兩者其實是全等的。因此 AX : BX = AX : ZX = AC : BC，得證。 6. 下證：若 n ≤ 10k−1 9 ，那麼至多只需要 k + 1 個 plain number 即可湊出 n。對 k 歸納。當 k = 1 時，易證。若 k = i 時成立，那麼 k = i + 1 時，先考 慮 n≤ 10i+1−1 9 − 1 的情況。可知存在 0 ≤ t ≤ 9 使得 n − t · 10i−1 9 ≤ 10i−1 9 。因 此由數歸假設即得證。又 n = 10i+1−1
9 是個 plain number，所以只需一個 plain
number。因此 n≤ 10i+1−1 9 時只需要至多 i + 2 個 plain number 即可。由數學 歸納法得證。 7. 將 100 乘 100 的方格表分成 1000 個 1 乘 10 的小矩形，每個方向都朝 上。現在讓蜘蛛從最左下角開始執行以下的步驟： (1) 每當蜘蛛來到一個新的小矩形，便開始搜尋是否有蒼蠅。若有，則從小矩 形的一端走至另一端。若無，移動至下一個矩形。 (2) 蜘蛛每次都先將一排小矩形走完後，再往上移動至下一排小矩形，繼續行 動，直至走完每個矩形。 接著來計算這個策略所需的步數。首先，至多只會有 100 個小矩形內含蒼 蠅，這需要 9× 100 = 900 步。再來，蜘蛛橫向走至下一個小矩形所需步數 為 99× 10 = 990 步。最後，蜘蛛直向走至下一個小矩形所需步數最多為 10× 9 = 90 步。因此，總共只需至多 900 + 990 + 90 = 1980 步，(a)(b) 同時得 證。 2
