103上學期評量-國中高級卷解答

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(1)

1. 若不然,設這個正方形表格為一個 n× n 的方格表,且第 i 行的正號有 xi 個,第 i 列的正號有 yi 個。那麼 x1∼ xn 互異且 ∑ xi = n 2 2 ,因此存在一 個 0∼ n 的整數 k 滿足 (0 + 1 + 2 + … + n) − k =xi= n 2 2 。由此易知 k = n 2。 因此存在 k 使得 xk= n。同理存在 l 使得 yl= 0。如此一來,第 k 行第 l 列既 不能是正號也不能是負號,得證。 2. 設此多邊形為 P1P2...Pn,且 PiPi+1 上的切點為 Xi。令 xi = PiXi = PiXi−1, 且 設 PjPj+1 為 所 有 邊 長 中 最 長 的 一 個。 那 麼 由 PjPj+1 的 最 大 性 知 PjPj+1 + Pj−1Pj > Pj+1Pj+2 且 PjPj+1+ Pj+1Pj+2 > Pj−1Pj。 又 Pj−1Pj + Pj+1Pj+2 = xj−1 + xj + xj+1+ xj+2 > xj+ xj+1 = PjPj+1,故 Pj−1Pj, PjPj+1, Pj+1Pj+2三線段可形成一個三角形,得證。. 3. 首先,由 97 和 89 這兩個質數在 100! 中的質因數冪次為 1,所以 100! 的因數個數為 4 的倍數。因此,將 100! 的因數從小排到大,設為 1 = d1 < d2 < … < d4k = 100!,那麼 100! = d1d4k = d2d4k−1 = … = d2kd2k+1。因此將 d1∼ dk, d3k+1∼ d4k 分成一組,dk+1∼ d3k 分成一組即可。 4. 用反證法。若在所有警察走的距離總和最小時沒有人不需要走動,將所 有警察分成兩類:順時鐘走和逆時鐘走。由於警察的個數為奇數,不妨設順時 鐘走的人較多 (設有 x≥ 13 個),那麼讓所有警察的目的地往逆時鐘方向移動 一格的話,警察所走的距離和會減少 x− (25 − x) = 2x − 25。又 x ≥ 13,所以 如此一來警察所走的距離和便減少了,和最小性矛盾。得證。 5. 1

(2)

先標點:設這個直角三角形為 ∆ABC,其中角 C 為直角,且圓 O1切 AB, BC

於 M, D,圓 O2 切 AB, AC 於 N, E,兩圓切於 P ,且 M N 中點為 X。欲證

CX 為角平分線,只需證 AX : BX = AC : BC。設 P X 交 BC, AC 於 Y, Z。 由 P X 垂直 AB 易知 ∆AXZ ∼ ∆Y XB ∼ ∆ACB,又由前兩者的內切圓 (圓 O1 和圓 O2) 半徑等大知前兩者其實是全等的。因此 AX : BX = AX : ZX = AC : BC,得證。 6. 下證:若 n 10k−1 9 ,那麼至多只需要 k + 1 個 plain number 即可湊出 n。對 k 歸納。當 k = 1 時,易證。若 k = i 時成立,那麼 k = i + 1 時,先考 慮 n≤ 10i+1−1 9 − 1 的情況。可知存在 0 ≤ t ≤ 9 使得 n − t · 10i−1 9 10i−1 9 。因 此由數歸假設即得證。又 n = 10i+1−1

9 是個 plain number,所以只需一個 plain

number。因此 n≤ 10i+1−1 9 時只需要至多 i + 2 個 plain number 即可。由數學 歸納法得證。 7. 將 100 乘 100 的方格表分成 1000 個 1 乘 10 的小矩形,每個方向都朝 上。現在讓蜘蛛從最左下角開始執行以下的步驟: (1) 每當蜘蛛來到一個新的小矩形,便開始搜尋是否有蒼蠅。若有,則從小矩 形的一端走至另一端。若無,移動至下一個矩形。 (2) 蜘蛛每次都先將一排小矩形走完後,再往上移動至下一排小矩形,繼續行 動,直至走完每個矩形。 接著來計算這個策略所需的步數。首先,至多只會有 100 個小矩形內含蒼 蠅,這需要 9× 100 = 900 步。再來,蜘蛛橫向走至下一個小矩形所需步數 為 99× 10 = 990 步。最後,蜘蛛直向走至下一個小矩形所需步數最多為 10× 9 = 90 步。因此,總共只需至多 900 + 990 + 90 = 1980 步,(a)(b) 同時得 證。 2

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