國中數學2 1 3應用問題

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1−3 應用問題

本節課程學習重點: ◎能運用二元一次聯立方程式解決日常生活中的問題,並能判別解是否合乎題意。 一、應用問題:日常生活中有些應用問題可以依據情境列出二元一次聯立方程式,再觀察聯立方程式, 選擇適合的方法解題。一般而言,解應用問題的步驟如下: (1)設未知數:依題意假設兩個適當的未知數。 (2)列方程式:根據題目找出相等的關係,列出二元一次聯立方程式。 (3)解聯立方程式:利用「代入消去法」或「加減消去法」解此聯立方程式。 練習 1:小靖的撲滿裡有 50 元和 10 元的硬幣共 15 個,一共是 310 元,則 50 元及 10 元的硬幣各有 幾個? 練習 2:小健到郵局買了面額 5 元與 12 元的兩種郵票共 29 張,花了 250 元,則小健買了這兩種郵票 各幾張? 練習 3:小凱用等臂天平測量餅乾與糖果的重量,已知每塊餅乾的重量都相同,且每顆糖果的重量都 相同。測量結果如下: 圖(一):左邊放兩塊餅乾,右邊放三顆糖果;結果天平兩臂平衡。 圖(二):左邊放 10 公克砝碼,右邊放一塊餅乾和一顆糖果;結果天平兩臂平衡。 則一塊餅乾和一顆糖果的重量分別為多少公克? 10 公克 圖(一) 圖(二) 練習 4:小文有兩種不同大小的彈珠各數顆,已知每顆大彈珠的重量都相同,且每顆小彈珠的重量都 相同。他用下圖(三)、圖(四)的方法來測量這兩種彈珠的重量,則一顆大彈珠和一顆小彈珠的 重量分別為多少公克? 1 公克 126 公克

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練習 5:有一長方形,各邊的長度如下圖所示,則此長方形的長和寬分別為多少? 6x+4y-7 長:5x+3y 寬:-x+y-5 -2x-y+12 練習 6:有一個正三角形,各邊的長度如下圖所示,則此正三角形的周長為多少? 3x-y+9 3x+2y x+3y+5 練習 7:已知直線道路上小兔和小龜相距 300 公尺。若牠們各以固定速率同時相向而行,則 10 分鐘後 相遇;若同時向右而行,則 15 分鐘後相遇。那麼牠們的分速各是多少?(Hint:作圖思考) 相 遇 小 兔 小 龜 300 公尺 10y 10x 相 遇 小 龜 小 兔 300 公尺 15y 15x 練習 8:已知直線道路上一輛腳踏車和一輛機車相距 16 公里,若兩車各以固定速率同時相向而行,則 12 分鐘後相遇;若同時向左而行,則 24 分鐘後相遇。那麼腳踏車和機車的時速各是多少? 練習 9:已知兩正整數,大數比小數的 3 倍多 16,小數是大數的 1 5少 4,則這兩數分別為多少?

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練習 10:小皓想要知道卡通人物米老鼠的生日,於是上網搜尋資料。他在其中一個網頁上看到: 「米老鼠生日的月分和日期相加是 31,月分的 3 倍減日期的 2 倍是 3。」小皓計算過後 發現這個網站寫錯了。你認為是網站寫錯了還是小皓算錯了? 自我評量 1. 已知 2 年前,毛怪的年齡是阿布的 7 倍;6 年後,毛怪的年齡是阿布的 3 倍。則毛怪今年幾歲? 阿布今年幾歲? 2. 一瓶鮮奶連瓶共重 1900 公克,若將鮮奶喝掉 23後,連瓶共重 700 公克,則原本瓶子和鮮奶各重多少 公克? 3. 小丑魚尼莫第一天上學,他在學校認識了許多好朋友。回家後他告訴爸爸:「我們班上的章魚同學 和海龜同學總共有 11 隻,他們一共有 68 隻腳。」 4. 參加夏令營的學員依中年級和低年級分組,若中年級生每 6 人一組、低年級生每 8 人一組,共可 分為 9 組;若中年級生每 9 人一組、低年級生每 4 人一組,共可分為 10 組。則學員共有多少人? 5. 有一臺筆記型電腦,老闆若以定價的六折出售,就會賠 1000 元;若以定價的八折出售,就會賺 7000 元。則定價和成本分別為多少元?

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6. 小妍和小翊、小靖兩兄弟到球場看球賽,觀賞完球賽後,三人在回家的路上討論起比賽的結果。 小妍:「終場象隊大勝獅隊 5 分,真是太精彩了!」 小靖:「對啊!今天兩隊一共得了 14 分,投手的表現需要加強囉!」 小翊:「不對喔,小靖你把兩隊的得分記錯了吧!」 若已知小妍的說法正確,則小靖是否把兩隊的得分記錯了? 習作 1. 老王開車上下班,每週都要花錢付停車費。他上班地點每小時停車費的 2 倍,恰是住家附近每小時 停車費的 5 倍。本週他於上班地點共停車 40 小時,於住家附近共停車 56 小時,共付了 3120 元的 停車費,則老王在兩地的停車費每小時各是多少元? 2. 如下圖,兩個等臂天平都剛好平衡。假設一個圓形積木重 x 公克,一個方形積木重 y 公克,那麼 一個圓形積木加一個方形積木共重多少公克? 10 10 10 1 5 1 10 3. 爸爸對小祐說:「你的年齡是我的1 4倍。」小祐對爸爸說:「我年齡的 5 倍比你的年齡少 10 歲。」 算算看,他們說對了嗎? 4. 小妍在古書算法統宗裡看到一道數學題:「一百饅頭一百僧,大和尚三箇更無爭,小和尚三人分 一箇,大小和尚得幾箇?」題目翻譯如下:「100 個和尚吃 100 個饅頭。大和尚一人吃 3 個饅頭, 小和尚三人吃 1 個饅頭。求大、小和尚各多少人?」你能解出這道古算題嗎?

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5. 如圖(一),其運算規律為圓圈內的相鄰兩數之和等於兩數中間上方的數。例如:1+4=5, 則圖(二)中 x、y 所代表的數分別為何? 11 1 5 4 12 -y

x

xy x+2y 圖(一) 圖(二) 6. 小文解二元一次聯立方程式

{

2x=3y+m nx+5y=21時,不小心在 2x=3y+m 的 3y 前面多加了一個「-」號, 解得 x=19、y=-11,此外無其他計算上的錯誤,則 (1)m 與 n 的值分別為何? (2)原聯立方程式正確的解為何? 類題補充 1. 大約在一千五百年前,在孫子算經中記載了一道題目:「今有雉、兔同籠,上有三十五頭,下有九 十四足,問雉、兔各幾何?」意思是有若干隻雞和兔在同一個籠子裡,從上面看,有三十五個頭; 從下面看,有九十四隻腳。求籠中各有幾隻雞和兔? 2. 甲、乙兩人比賽下棋,規定勝的一方可得 2 分,敗的一方可得 1 分,若每盤棋並無平手的情形(意即 必有輸贏產生),結果甲得 12 分,乙得 18 分,則甲共贏了 盤棋。 3. 大強和小強做加法運算,大強將加數的後面少寫一個 6,求得和為 177,小強將加數的後面多寫

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4. 小智和小佑兩人猜拳分糖,「贏的」得三顆糖、「平手」各得兩顆糖、「輸的」僅得一顆糖,今兩人共 猜拳 20 次,結算後小智共得 43 顆糖,則小智比小佑多贏了幾次? 5. 某工廠生產一件 A 產品,需用甲種原料 9 公斤,乙種原料 3 公斤,可獲利 900 元;生產一件 B 產品 需要甲種原料 4 公斤,乙種原料 10 公斤,可獲利 1100 元。今用完甲種原料 350 公斤,乙種原料 290 公斤,生產 A、B 兩種產品且無剩餘,則共可獲利 元。 6. 嘉仁全班在周末至墾丁與鵝鑾鼻郊遊,36 人共租了 15 輛協力車。同學協議每輛只能兩人共騎或三人 共騎,則在這 15 輛協力車中,由兩人共騎的有 輛。 7. 綜合活動時,全班圍坐在地上,有一名男生站起來說:「坐著的男生是坐著的女生的一半。若是再有 10 個女生站起來,坐著的男女生就會一樣多了。」則全班共有 人。 8. 有一船在河中航行,已知順流而下時,每小時可航行 60 公里,但逆流而上時,每小時只能航行 46 公里,則河水的流速為每小時多少公里?

9. 有 A、B、C 三張標有不同數字的紙牌,若 A、B 這兩張紙牌的數字和是 5;A、C 這兩張紙牌的 數字和是 59;B、C 這兩張紙牌的數字和是 100。則這三張紙牌上的數字分別是多少?

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加強練習 1. 優酪乳 5 罐比柳橙汁 4 罐貴 10 元,且兩種飲料價格相差 3 元,則優酪乳的單價是多少元? (A)無解 (B)不只一解 (C) 25 元 (D) 22 元。 2. 小玲解 x+y=m nx-y=6 時,不小心將 6 看成-6,解得 x=-1,y=5,此外無其他計算錯誤,則 (1) m 與 n 的值分別為何? (2)原聯立方程式的解為何? 3. 教室內原有男生、女生各若干人,下課後先有 2 位女生走出教室,剩下的女生人數為男生的 2 倍 多 1 人;後來又有 4 位男生和 5 位女生走出教室,最後男生人數為女生人數的1 2 倍少 2 人。 若教室內原有男生 x 人,女生 y 人,則依題意可列出聯立方程式為何? (A) ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧x-2=2(y-2)+1 x-4=1 2 (y-5)-2 (B) ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧y-2=2x+1 x-4=1 2 y-7-2 (C) ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧x-2=2y+1 x-4=(y-5)×1 2 -2 (D) ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧y-2=2x+1 x-4=1 2 (y-7)-2 。 4. 爸爸對阿達說:「我的年齡比你的年齡的 3 倍多 3 歲。」 阿達對爸爸說:「四年前,你的年齡是我的年齡的 4 倍。」 則下列何者正確? (A)阿達現年 15 歲 (B)爸爸現年 45 歲 (C)父子兩人現在年齡和為 55 歲 (D)父子年齡相差 25 歲。 5. 暑假期間,安安旅行社針對一個原先每人費用 20000 元的旅遊行程,推出甲、乙兩種親子旅遊優惠 方案,下表是大華與小明兩家人的選擇及家庭成員狀況: 選擇方案 家庭成員 大華 甲案:大人原價,小孩半價 2 大人+若干小孩 小明 乙案:兩人同行一人免費(不分大人或小孩) 2 大人+若干對雙胞胎小孩 結果發現兩家人所繳的總錢數一樣多,則小明家的小孩人數比大華家的小孩人數多或少幾人? 6. 有一對雙胞胎和一組三胞胎,他們五人年齡總和是 140 歲,如果雙胞胎與三胞胎的年齡互換,年齡 總和是 110 歲,則雙胞胎的年齡是幾歲? 7. 哥哥與弟弟各有數張棒球紀念卡。已知弟弟給哥哥 9 張後,哥哥的張數就是弟弟的 3 倍;若哥哥給 弟弟 9 張,則兩人的張數就一樣多。設哥哥有 x 張,弟弟有 y 張,依題意下列列式何者正確? (A) ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧y-9=3x y=x-9 (B)⎩⎪⎨ ⎪⎧3(y-9)=x y=x-9 (C)⎩⎪⎨ ⎪⎧x-9=3x x-9=y+9 (D) ⎩⎪⎨ ⎪⎧3(y-9)=x+9 x-9=y+9 。 8. 大阪的環球影城有一音樂鐘,每當時針與分針重合時就會響,此時小郭看著手錶為下午 3:19,則 (1)音樂鐘在下午 3 點到下午 4 點之間是否已響過? (2)下一次鐘響的時間是幾點幾分? 9. 若正三角形的三邊長分別為 x+y,13-y,x+4,則 x= 。 10. 阿勇生日的日和月的數字相減為 13,且日期為月份的 2 倍多 4,則阿勇生日為 。 11. 2011 年 3 月日本發生大海嘯,世界各地紛紛投入救難工作。救難隊搬了 5 箱泡麵準備發給避難所 受災的民眾。第 l 次發 2 箱,平均每位分得 3 包泡麵,最後剩 6 包;第 2 次發剩下的 3 箱,最後 結果每人共分得 8 包泡麵,且剩下 6 包,則 1 箱泡麵有 包。 12. 有一個二位數,個位數字的 3 倍和十位數字的 2 倍相等,若將其個位數字和十位數字交換,得到一 個新數,且新數和原數的總和是 55,則原數是 。 13. 甲、乙兩人比賽跑步,已知甲的速度是乙的 1.3 倍。若讓乙先跑 100 公尺,甲再開始追趕,則 1 分鐘 後甲還落後乙 25 公尺。設甲每分鐘跑 x 公尺,乙每分鐘跑 y 公尺,則依題意可列出下列哪一個聯立

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Ans:1.(D);2.(1) m=4,n=1,(2) x=5,y=-1;3.(D);4.(A);5.多 2 人;6. 10 歲;7.(D);

8.(1)是,(2) 4 時 21 9

11 分;9. 5;10. 9 月 22 日;11. 30;12. 32;13.(B);14. 45。

數據

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參考文獻

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