1−3 應用問題
本節課程學習重點： ◎能運用二元一次聯立方程式解決日常生活中的問題，並能判別解是否合乎題意。 一、應用問題：日常生活中有些應用問題可以依據情境列出二元一次聯立方程式，再觀察聯立方程式， 選擇適合的方法解題。一般而言，解應用問題的步驟如下： (1)設未知數：依題意假設兩個適當的未知數。 (2)列方程式：根據題目找出相等的關係，列出二元一次聯立方程式。 (3)解聯立方程式：利用「代入消去法」或「加減消去法」解此聯立方程式。 練習 1：小靖的撲滿裡有 50 元和 10 元的硬幣共 15 個，一共是 310 元，則 50 元及 10 元的硬幣各有 幾個？ 練習 2：小健到郵局買了面額 5 元與 12 元的兩種郵票共 29 張，花了 250 元，則小健買了這兩種郵票 各幾張？ 練習 3：小凱用等臂天平測量餅乾與糖果的重量，已知每塊餅乾的重量都相同，且每顆糖果的重量都 相同。測量結果如下： 圖(一)：左邊放兩塊餅乾，右邊放三顆糖果；結果天平兩臂平衡。 圖(二)：左邊放 10 公克砝碼，右邊放一塊餅乾和一顆糖果；結果天平兩臂平衡。 則一塊餅乾和一顆糖果的重量分別為多少公克？ 10 公克 圖(一) 圖(二) 練習 4：小文有兩種不同大小的彈珠各數顆，已知每顆大彈珠的重量都相同，且每顆小彈珠的重量都 相同。他用下圖(三)、圖(四)的方法來測量這兩種彈珠的重量，則一顆大彈珠和一顆小彈珠的 重量分別為多少公克？ 1 公克 126 公克練習 5：有一長方形，各邊的長度如下圖所示，則此長方形的長和寬分別為多少？ 6x＋4y－7 長：5x＋3y 寬：－x＋y－5 －2x－y＋12 練習 6：有一個正三角形，各邊的長度如下圖所示，則此正三角形的周長為多少？ 3x－y＋9 3x＋2y x＋3y＋5 練習 7：已知直線道路上小兔和小龜相距 300 公尺。若牠們各以固定速率同時相向而行，則 10 分鐘後 相遇；若同時向右而行，則 15 分鐘後相遇。那麼牠們的分速各是多少？(Hint：作圖思考) 相 遇 小 兔 小 龜 300 公尺 10y 10x 相 遇 小 龜 小 兔 300 公尺 15y 15x 練習 8：已知直線道路上一輛腳踏車和一輛機車相距 16 公里，若兩車各以固定速率同時相向而行，則 12 分鐘後相遇；若同時向左而行，則 24 分鐘後相遇。那麼腳踏車和機車的時速各是多少？ 練習 9：已知兩正整數，大數比小數的 3 倍多 16，小數是大數的 1 5少 4，則這兩數分別為多少？
練習 10：小皓想要知道卡通人物米老鼠的生日，於是上網搜尋資料。他在其中一個網頁上看到： 「米老鼠生日的月分和日期相加是 31，月分的 3 倍減日期的 2 倍是 3。」小皓計算過後 發現這個網站寫錯了。你認為是網站寫錯了還是小皓算錯了？ 自我評量 1. 已知 2 年前，毛怪的年齡是阿布的 7 倍；6 年後，毛怪的年齡是阿布的 3 倍。則毛怪今年幾歲？ 阿布今年幾歲？ 2. 一瓶鮮奶連瓶共重 1900 公克，若將鮮奶喝掉 23後，連瓶共重 700 公克，則原本瓶子和鮮奶各重多少 公克？ 3. 小丑魚尼莫第一天上學，他在學校認識了許多好朋友。回家後他告訴爸爸：「我們班上的章魚同學 和海龜同學總共有 11 隻，他們一共有 68 隻腳。」 4. 參加夏令營的學員依中年級和低年級分組，若中年級生每 6 人一組、低年級生每 8 人一組，共可 分為 9 組；若中年級生每 9 人一組、低年級生每 4 人一組，共可分為 10 組。則學員共有多少人？ 5. 有一臺筆記型電腦，老闆若以定價的六折出售，就會賠 1000 元；若以定價的八折出售，就會賺 7000 元。則定價和成本分別為多少元？
6. 小妍和小翊、小靖兩兄弟到球場看球賽，觀賞完球賽後，三人在回家的路上討論起比賽的結果。 小妍：「終場象隊大勝獅隊 5 分，真是太精彩了！」 小靖：「對啊！今天兩隊一共得了 14 分，投手的表現需要加強囉！」 小翊：「不對喔，小靖你把兩隊的得分記錯了吧！」 若已知小妍的說法正確，則小靖是否把兩隊的得分記錯了？ 習作 1. 老王開車上下班，每週都要花錢付停車費。他上班地點每小時停車費的 2 倍，恰是住家附近每小時 停車費的 5 倍。本週他於上班地點共停車 40 小時，於住家附近共停車 56 小時，共付了 3120 元的 停車費，則老王在兩地的停車費每小時各是多少元？ 2. 如下圖，兩個等臂天平都剛好平衡。假設一個圓形積木重 x 公克，一個方形積木重 y 公克，那麼 一個圓形積木加一個方形積木共重多少公克？ 10 10 10 1 5 1 10 3. 爸爸對小祐說：「你的年齡是我的1 4倍。」小祐對爸爸說：「我年齡的 5 倍比你的年齡少 10 歲。」 算算看，他們說對了嗎？ 4. 小妍在古書算法統宗裡看到一道數學題：「一百饅頭一百僧，大和尚三箇更無爭，小和尚三人分 一箇，大小和尚得幾箇？」題目翻譯如下：「100 個和尚吃 100 個饅頭。大和尚一人吃 3 個饅頭， 小和尚三人吃 1 個饅頭。求大、小和尚各多少人？」你能解出這道古算題嗎？
5. 如圖(一)，其運算規律為圓圈內的相鄰兩數之和等於兩數中間上方的數。例如：1＋4＝5， 則圖(二)中 x、y 所代表的數分別為何？ 11 1 5 4 12 －y
x
x－y x＋2y 圖(一) 圖(二) 6. 小文解二元一次聯立方程式{
2x＝3y＋m nx＋5y＝21時，不小心在 2x＝3y＋m 的 3y 前面多加了一個「－」號， 解得 x＝19、y＝－11，此外無其他計算上的錯誤，則 (1)m 與 n 的值分別為何？ (2)原聯立方程式正確的解為何？ 類題補充 1. 大約在一千五百年前，在孫子算經中記載了一道題目：「今有雉、兔同籠，上有三十五頭，下有九 十四足，問雉、兔各幾何？」意思是有若干隻雞和兔在同一個籠子裡，從上面看，有三十五個頭； 從下面看，有九十四隻腳。求籠中各有幾隻雞和兔？ 2. 甲、乙兩人比賽下棋，規定勝的一方可得 2 分，敗的一方可得 1 分，若每盤棋並無平手的情形(意即 必有輸贏產生)，結果甲得 12 分，乙得 18 分，則甲共贏了 盤棋。 3. 大強和小強做加法運算，大強將加數的後面少寫一個 6，求得和為 177，小強將加數的後面多寫4. 小智和小佑兩人猜拳分糖，「贏的」得三顆糖、「平手」各得兩顆糖、「輸的」僅得一顆糖，今兩人共 猜拳 20 次，結算後小智共得 43 顆糖，則小智比小佑多贏了幾次？ 5. 某工廠生產一件 A 產品，需用甲種原料 9 公斤，乙種原料 3 公斤，可獲利 900 元；生產一件 B 產品 需要甲種原料 4 公斤，乙種原料 10 公斤，可獲利 1100 元。今用完甲種原料 350 公斤，乙種原料 290 公斤，生產 A、B 兩種產品且無剩餘，則共可獲利 元。 6. 嘉仁全班在周末至墾丁與鵝鑾鼻郊遊，36 人共租了 15 輛協力車。同學協議每輛只能兩人共騎或三人 共騎，則在這 15 輛協力車中，由兩人共騎的有 輛。 7. 綜合活動時，全班圍坐在地上，有一名男生站起來說：「坐著的男生是坐著的女生的一半。若是再有 10 個女生站起來，坐著的男女生就會一樣多了。」則全班共有 人。 8. 有一船在河中航行，已知順流而下時，每小時可航行 60 公里，但逆流而上時，每小時只能航行 46 公里，則河水的流速為每小時多少公里？
9. 有 A、B、C 三張標有不同數字的紙牌，若 A、B 這兩張紙牌的數字和是 5；A、C 這兩張紙牌的 數字和是 59；B、C 這兩張紙牌的數字和是 100。則這三張紙牌上的數字分別是多少？
加強練習 1. 優酪乳 5 罐比柳橙汁 4 罐貴 10 元，且兩種飲料價格相差 3 元，則優酪乳的單價是多少元？ (A)無解 (B)不只一解 (C) 25 元 (D) 22 元。 2. 小玲解 x＋y＝m nx－y＝6 時，不小心將 6 看成－6，解得 x＝－1，y＝5，此外無其他計算錯誤，則 (1) m 與 n 的值分別為何？ (2)原聯立方程式的解為何？ 3. 教室內原有男生、女生各若干人，下課後先有 2 位女生走出教室，剩下的女生人數為男生的 2 倍 多 1 人；後來又有 4 位男生和 5 位女生走出教室，最後男生人數為女生人數的1 2 倍少 2 人。 若教室內原有男生 x 人，女生 y 人，則依題意可列出聯立方程式為何？ (A) ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧x－2＝2(y－2)＋1 x－4＝1 2 (y－5)－2 (B) ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧y－2＝2x＋1 x－4＝1 2 y－7－2 (C) ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧x－2＝2y＋1 x－4＝(y－5)×1 2 －2 (D) ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧y－2＝2x＋1 x－4＝1 2 (y－7)－2 。 4. 爸爸對阿達說：「我的年齡比你的年齡的 3 倍多 3 歲。」 阿達對爸爸說：「四年前，你的年齡是我的年齡的 4 倍。」 則下列何者正確？ (A)阿達現年 15 歲 (B)爸爸現年 45 歲 (C)父子兩人現在年齡和為 55 歲 (D)父子年齡相差 25 歲。 5. 暑假期間，安安旅行社針對一個原先每人費用 20000 元的旅遊行程，推出甲、乙兩種親子旅遊優惠 方案，下表是大華與小明兩家人的選擇及家庭成員狀況： 選擇方案 家庭成員 大華 甲案：大人原價，小孩半價 2 大人＋若干小孩 小明 乙案：兩人同行一人免費(不分大人或小孩) 2 大人＋若干對雙胞胎小孩 結果發現兩家人所繳的總錢數一樣多，則小明家的小孩人數比大華家的小孩人數多或少幾人？ 6. 有一對雙胞胎和一組三胞胎，他們五人年齡總和是 140 歲，如果雙胞胎與三胞胎的年齡互換，年齡 總和是 110 歲，則雙胞胎的年齡是幾歲？ 7. 哥哥與弟弟各有數張棒球紀念卡。已知弟弟給哥哥 9 張後，哥哥的張數就是弟弟的 3 倍；若哥哥給 弟弟 9 張，則兩人的張數就一樣多。設哥哥有 x 張，弟弟有 y 張，依題意下列列式何者正確？ (A) ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧y－9＝3x y＝x－9 (B)⎩⎪⎨ ⎪⎧3(y－9)＝x y＝x－9 (C)⎩⎪⎨ ⎪⎧x－9＝3x x－9＝y＋9 (D) ⎩⎪⎨ ⎪⎧3(y－9)＝x＋9 x－9＝y＋9 。 8. 大阪的環球影城有一音樂鐘，每當時針與分針重合時就會響，此時小郭看著手錶為下午 3：19，則 (1)音樂鐘在下午 3 點到下午 4 點之間是否已響過？ (2)下一次鐘響的時間是幾點幾分？ 9. 若正三角形的三邊長分別為 x＋y，13－y，x＋4，則 x＝ 。 10. 阿勇生日的日和月的數字相減為 13，且日期為月份的 2 倍多 4，則阿勇生日為 。 11. 2011 年 3 月日本發生大海嘯，世界各地紛紛投入救難工作。救難隊搬了 5 箱泡麵準備發給避難所 受災的民眾。第 l 次發 2 箱，平均每位分得 3 包泡麵，最後剩 6 包；第 2 次發剩下的 3 箱，最後 結果每人共分得 8 包泡麵，且剩下 6 包，則 1 箱泡麵有 包。 12. 有一個二位數，個位數字的 3 倍和十位數字的 2 倍相等，若將其個位數字和十位數字交換，得到一 個新數，且新數和原數的總和是 55，則原數是 。 13. 甲、乙兩人比賽跑步，已知甲的速度是乙的 1.3 倍。若讓乙先跑 100 公尺，甲再開始追趕，則 1 分鐘 後甲還落後乙 25 公尺。設甲每分鐘跑 x 公尺，乙每分鐘跑 y 公尺，則依題意可列出下列哪一個聯立
Ans：1.(D)；2.(1) m＝4，n＝1，(2) x＝5，y＝－1；3.(D)；4.(A)；5.多 2 人；6. 10 歲；7.(D)；
8.(1)是，(2) 4 時 21 9
11 分；9. 5；10. 9 月 22 日；11. 30；12. 32；13.(B)；14. 45。
