6-2-2導函數的應用-函數的極值

11  Download (0)

全文

(1)選修數學(I)2-2 導函數的應用-函數的極值 【定義】 1. 最大值、最小值、極大值、極小值: 設 f : D  R 是實函數,且 a  D 。 (1) 若對任意 x  D ,恆有 f ( x)  f (a) , 則稱 f (a) 是函數 f (x) 在 D 中的最大值(absolute maximum)。 (2) 若對任意 x  D ,恆有 f ( x)  f (a) , 則稱 f (a) 是函數 f (x) 在 D 中的最小值(absolute minimum)。 (3) 若有一包含 a 的開區間 I ,使得對任意 x  D  I ,恆有 f ( x)  f (a) , 則稱 f (a) 是 f (x) 的一個相對極大值,簡稱極大值(relative maximum)。 (4) 若有一包含 a 的開區間 I ,使得對任意 x  D  I ,恆有 f ( x)  f (a) , 則稱 f (a) 是 f (x) 的一個相對極小值,簡稱極小值(relative minimum)。 (5) 函數 f (x) 的所有極大值和極小值,都稱為 f (x) 的極值。 註: (1) 若將函數 f ( x) 的圖形比做起伏的波浪, 則在圖形相對高點的波峰處就是有極大值的位置; 而相對低點的波谷處就是有極小值的位置。 (2) 函數的極值也可能出現在定義域的端點。 (3) 此為絕對極值與相對極值的意義。. 【定理】 1. 費馬定理(Fermat Theorem): 設 f : [a, b]  R ,且 c  (a, b) 。 若 f (c) 是 f (x) 的一個極值且 f ' (c) 存在,則 f ' (c)  0 。 證明: 若 f (c) 為極大值,則存在一個開區間 I 使得 c  I , 且對任意 x [a, b]  I ,恆有 f ( x)  f (c) 。因此, (1) 當 x 從 c 的左側趨近 c 時, x  c 且 f ( x)  f (c) , f ( x)  f (c) f ( x)  f (c) 可得  0 ,故 f (c)  lim  0。 x c xc xc (2) 當 x 從 c 的右側趨近 c 時, x  c 且 f ( x)  f (c) , f ( x )  f (c ) f ( x)  f (c) 可得  0 ,故 f (c)  lim  0。 x c xc xc 由於 f (c)  0 且 f (c)  0 ,故 f ' (c)  0 。 同理,若 f (c) 為極小值,一樣可推得 f ' (c)  0 。. 7.

(2) 【定義】 1. 臨界點: 實函數 f : I  R 的臨界點是指區間 I 中可能產生極值且不為定義域端點的 點,即以下兩種可能的點 c : (1) 導數 f ' (c)  0 。 (2) 導數 f ' (c) 不存在。 註: 給定函數 f ( x) ,當 f (c) 存在時, 我們知道:若 f (c) 為一極值,則必有 f (c)  0 ; 而當 c 是定義域的端點或 f (c) 不存在時, f (c) 也可能是函數的極值。 這些可能產生函數極值且不為定義域端點的點,我們統稱為臨界點。. 8.

(3) 【方法】 1. 極值的一階導數檢定法: 設實函數 f (x) 在開區間 I 內可微分, c  I 且 f ' (c)  0 。 (1) 對任意 x  I ,當 x  c 時, f ' ( x)  0 ,而 x  c 時, f ' ( x)  0 , 則 f (c) 是 f (x) 的極大值。 (2) 對任意 x  I ,當 x  c 時, f ' ( x)  0 ,而 x  c 時, f ' ( x)  0 , 則 f (c) 是 f (x) 的極小值。 註: f ' (c)  0 並不能保證 f (c) 是函數 f (x) 的極值。 例如: f ( x)  x 3 在 x  0 的情形。. 2.. 證明: (1) 函數 f (x) 在 x  c 時, f ' ( x)  0 ,即 f (x) 在點 x  c 的左側附近是遞增的; 在 x  c 時, f ' ( x)  0 ,即 f (x) 在點 x  c 的右側附近是遞減的。 此情況下, f (c) 是極大值。 (2) 函數 f (x) 在 x  c 時, f ' ( x)  0 ,即 f (x) 在點 x  c 的左側附近是遞減的; 在 x  c 時, f ' ( x)  0 ,即 f (x) 在點 x  c 的右側附近是遞增的。 此情況下, f (c) 是極小值。 極值的二階導數檢定法: 設實函數 f (x) 在開區間 I 內可微分, c  I , f (c)  0 且 f (c) 存在。 (1) 若 f ' ' (c)  0 ,則 f (c) 是 f (x) 的極大值。 (2) 若 f ' ' (c)  0 ,則 f (c) 是 f (x) 的極小值。 註: (1) 第二階導數 f ' ' (c)  0 或不存在時, 就不能採用二階導數檢定法來判定 f (c) 是否為極值。 例如: f ( x)  x 4 在 x  0 的情形。 (2) 可微分函數 f (x) 滿足 f ' (c)  f ' ' (c)  0 時, f (c) 未必是極值。 例如: f ( x)  x 3 在 x  0 的情形。 證明: f ( x)  f (c) f ( x) 當 f (c) 存在且 f ' ' (c)  0 時, 0  f ' ' (c)  lim ,  lim x c x c x  c xc f ( x) 由此可知:當 x 很接近 c 點時,必有  0; xc 即 x  c 時, f ( x)  0 ,而 x  c 時, f ( x)  0 。 因此,依據極值的一階導數檢定法, f (c) 就是極大值。 同樣的,當 f (c) 存在且 f ' ' (c)  0 時, f (c) 是極小值。 9.

(4) 【應用】 1. 設 f ( x)  ax3  bx 2  cx  d 是實係數三次函數。 詴證: f ( x) 有極大值,也有極小值的充要條件是 b2  3ac 。 證明: 函數 f ( x) 有極大值也有極小值的充要條件是 f ( x)  0 有兩相異實根, 即 3ax 2  2bx  c  0 有兩相異實根, 即判別式 (2b)2  4  3a  c  0 ,即 b2  3ac 。. 10.

(5)

數據

Updating...

參考文獻

相關主題 :