6-2-2導函數的應用-函數的極值

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(1)選修數學(I)2-2 導函數的應用-函數的極值【定義】 1. 最大值、最小值、極大值、極小值：設 f : D  R 是實函數，且 a  D 。 (1) 若對任意 x  D ，恆有 f ( x)  f (a) ，則稱 f (a) 是函數 f (x) 在 D 中的最大值(absolute maximum)。 (2) 若對任意 x  D ，恆有 f ( x)  f (a) ，則稱 f (a) 是函數 f (x) 在 D 中的最小值(absolute minimum)。 (3) 若有一包含 a 的開區間 I ，使得對任意 x  D  I ，恆有 f ( x)  f (a) ，則稱 f (a) 是 f (x) 的一個相對極大值，簡稱極大值(relative maximum)。 (4) 若有一包含 a 的開區間 I ，使得對任意 x  D  I ，恆有 f ( x)  f (a) ，則稱 f (a) 是 f (x) 的一個相對極小值，簡稱極小值(relative minimum)。 (5) 函數 f (x) 的所有極大值和極小值，都稱為 f (x) 的極值。註： (1) 若將函數 f ( x) 的圖形比做起伏的波浪，則在圖形相對高點的波峰處就是有極大值的位置；而相對低點的波谷處就是有極小值的位置。 (2) 函數的極值也可能出現在定義域的端點。 (3) 此為絕對極值與相對極值的意義。. 【定理】 1. 費馬定理(Fermat Theorem)：設 f : [a, b]  R ，且 c  (a, b) 。若 f (c) 是 f (x) 的一個極值且 f ' (c) 存在，則 f ' (c)  0 。證明：若 f (c) 為極大值，則存在一個開區間 I 使得 c  I ，且對任意 x [a, b]  I ，恆有 f ( x)  f (c) 。因此， (1) 當 x 從 c 的左側趨近 c 時， x  c 且 f ( x)  f (c) ， f ( x)  f (c) f ( x)  f (c) 可得  0 ，故 f (c)  lim  0。 x c xc xc (2) 當 x 從 c 的右側趨近 c 時， x  c 且 f ( x)  f (c) ， f ( x )  f (c ) f ( x)  f (c) 可得  0 ，故 f (c)  lim  0。 x c xc xc 由於 f (c)  0 且 f (c)  0 ，故 f ' (c)  0 。同理，若 f (c) 為極小值，一樣可推得 f ' (c)  0 。. 7.

(2) 【定義】 1. 臨界點：實函數 f : I  R 的臨界點是指區間 I 中可能產生極值且不為定義域端點的點，即以下兩種可能的點 c ： (1) 導數 f ' (c)  0 。 (2) 導數 f ' (c) 不存在。註：給定函數 f ( x) ，當 f (c) 存在時，我們知道：若 f (c) 為一極值，則必有 f (c)  0 ；而當 c 是定義域的端點或 f (c) 不存在時， f (c) 也可能是函數的極值。這些可能產生函數極值且不為定義域端點的點，我們統稱為臨界點。. 8.

(3) 【方法】 1. 極值的一階導數檢定法：設實函數 f (x) 在開區間 I 內可微分， c  I 且 f ' (c)  0 。 (1) 對任意 x  I ，當 x  c 時， f ' ( x)  0 ，而 x  c 時， f ' ( x)  0 ，則 f (c) 是 f (x) 的極大值。 (2) 對任意 x  I ，當 x  c 時， f ' ( x)  0 ，而 x  c 時， f ' ( x)  0 ，則 f (c) 是 f (x) 的極小值。註： f ' (c)  0 並不能保證 f (c) 是函數 f (x) 的極值。例如： f ( x)  x 3 在 x  0 的情形。. 2.. 證明： (1) 函數 f (x) 在 x  c 時， f ' ( x)  0 ，即 f (x) 在點 x  c 的左側附近是遞增的；在 x  c 時， f ' ( x)  0 ，即 f (x) 在點 x  c 的右側附近是遞減的。此情況下， f (c) 是極大值。 (2) 函數 f (x) 在 x  c 時， f ' ( x)  0 ，即 f (x) 在點 x  c 的左側附近是遞減的；在 x  c 時， f ' ( x)  0 ，即 f (x) 在點 x  c 的右側附近是遞增的。此情況下， f (c) 是極小值。極值的二階導數檢定法：設實函數 f (x) 在開區間 I 內可微分， c  I , f (c)  0 且 f (c) 存在。 (1) 若 f ' ' (c)  0 ，則 f (c) 是 f (x) 的極大值。 (2) 若 f ' ' (c)  0 ，則 f (c) 是 f (x) 的極小值。註： (1) 第二階導數 f ' ' (c)  0 或不存在時，就不能採用二階導數檢定法來判定 f (c) 是否為極值。例如： f ( x)  x 4 在 x  0 的情形。 (2) 可微分函數 f (x) 滿足 f ' (c)  f ' ' (c)  0 時， f (c) 未必是極值。例如： f ( x)  x 3 在 x  0 的情形。證明： f ( x)  f (c) f ( x) 當 f (c) 存在且 f ' ' (c)  0 時， 0  f ' ' (c)  lim ，  lim x c x c x  c xc f ( x) 由此可知：當 x 很接近 c 點時，必有  0； xc 即 x  c 時， f ( x)  0 ，而 x  c 時， f ( x)  0 。因此，依據極值的一階導數檢定法， f (c) 就是極大值。同樣的，當 f (c) 存在且 f ' ' (c)  0 時， f (c) 是極小值。 9.

(4) 【應用】 1. 設 f ( x)  ax3  bx 2  cx  d 是實係數三次函數。詴證： f ( x) 有極大值，也有極小值的充要條件是 b2  3ac 。證明：函數 f ( x) 有極大值也有極小值的充要條件是 f ( x)  0 有兩相異實根，即 3ax 2  2bx  c  0 有兩相異實根，即判別式 (2b)2  4  3a  c  0 ，即 b2  3ac 。. 10.

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