4-2-1排列組合-計數的基本法則
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(2) 【定義】 1. 集合： 把一些物件放在一起就形成一個集合，通常以大寫英文字母表示。 註：集合有以下特性：確定性，互異性，無序性。 2. 元素： 集合裡的每一物件稱為集合的元素，通常以小寫英文字母表示。 3. 描述集合的方法： (1) 列舉法：將集合中的元素逐一列舉在大刮號裡的表示方法。 形如 {元素1, 元素2,L} 。 (2) 描述法：在集合豎線的右側寫出集合元素的共同性質的表示方法。 形如 {元素 | 條件} 。 4. 屬於： 如果 x 是 A 中的元素，記為 x ∈ A 。如果 x 不是 A 中的元素，記為 x ∉ A 。 5. 包含於與包含： 如果集合 A 中的每一個元素都在集合 B 中，稱 A 是 B 的部分集合(或稱子 集)，記為 A ⊂ B 讀作 A 包含於 B ，也可記為 B ⊃ A ，讀作 B 包含 A ，否則 記為 A ⊄ B 。 註：包含於有含相等的可能情形。 6. 宇集： 討論某一特定的問題時，所涉及到的最大集合稱為宇集，記為 U 。 7. 餘集： 宇集中不在 A 中的元素所成的集合，記為 A' = U − A (也可記為 A )。 8. 差集： 所 有 屬 於 A 且 不 屬 於 B 的 元 素 形 成 的 集 合 ， 記 為 A− B ， 即 A − B = {x | x ∈ A且x ∉ B} 。 9. 積集： A × B = {( x, y ) | x ∈ A且y ∈ B} 。 10. 聯集(union)： A 與 B 所有元素所組成的集合，記為 A ∪ B = {x | x ∈ A or x ∈ B} 。表示滿足 一種即可。 11. 交集(interction)： A 與 B 共同元素所組成的集合，記為 A ∩ B = {x | x ∈ A and x ∈ B}。表示都要 有之意。 12. 空集合(empty set)： 一個集合裡沒有任何元素時，稱為空集合，記為 φ 或 {} 。 註：空集合為任意集合的子集。 13. 集合相等： 若集合 A 與 B 滿足 A ⊂ B 且 B ⊂ A ，則稱集合 A 與 B 相等，記為 A = B 。 14. 集合的個數： 如果集合 A 的元素個數是有限多個時，我們以 | A | 表示 A 中的元素個數。. 第四冊 第二章. 排列、組合 — P2.
(3) 【性質】 1. 若 A ⊂ B ，則 B ' ⊂ A' 。. A =U − A。 A − B = A ∩ B = A − ( A ∩ B) = ( A ∪ B) − B 。 A ∩ B ⊂ A, A ⊂ A ∪ B 。 分割： | A |=| A ∩ B | + | A ∩ B |⇔| A ∩ B |=| A | − | A ∩ B | 。 6. 笛摩根定律(De Morgan＇s Laws)： (1) ( A ∪ B )' = A'∩ B ' 。表示至少一對的相反即全部都錯。 (2) ( A ∩ B )' = A'∪ B ' 。表示全部都對的相反即至少有一個錯。 (3) ( A ∪ B ∪ C )' = A'∩ B '∩C ' 。 (4) ( A ∩ B ∩ C )' = A'∪ B '∪C ' 。 註：可用文氏圖說明或代數法證明。 7. 排容原理(容斥原理)： 設 A, B, C 為集合： 甲、 | A ∪ B |=| A | + | B | − | A ∩ B | 。 乙、 | A ∪ B ∪ C | =| A | + | B | + | C | − | A ∩ B | − | B ∩ C | − | C ∩ A | + | A ∩ B ∩ C | 。 2. 3. 4. 5.. n. 丙、 n 個集合 A1 , A2 , L , An 的聯集個數 n( A1 ∪ A2 ∪ L ∪ An ) 等於 ∑ n( Ai ) 減 i =1. 去任 2 個集合交集的元素個數(即 ∑ n( Ai ∩ A j ) )，再加上任 3 個集合的 i> j. 元素個數(即. ∑ n( A ∩ A. i > j> k. i. j. ∩ Ak ) )，…，直到 n 個集合交集的元素個數. (即 n( A1 ∩ A2 ∩ L ∩ An ) )為止。 【問題】 1. A ⊂ A ？ 2. 若 A ⊂ B ，則 B ⊄ A ？ 3. 若 A ⊄ B ，則 B ⊂ A ？ 4. 下列各表示何種涵義： φ , {}, {φ }, {{}}, {0},0, {x | x ≠ x} ？哪些是相等的集合？ 5. 試判別 φ ⊂ A ？ 0 ⊂ {0} ？ 0 ⊂ φ ？ 0 ∈ φ ？ 0 ∈ {0} ？ φ ⊂ {0} ？ 6. n 個元素的集合共有幾種不同的子集？ 7. 試判別矩形、正方形、菱形、平行四邊形、四邊形等集合之間的關係？ 8. 試求 U ' = ？ φ ' = ？ A ∪ A' = ？ A ∩ A' = ？ 9. 若 A ∩ B = φ ，則 A − B = ？ B − A = ？ 10. 若 A ⊂ B ，則 A − B = ？ B − A = ？ 11. 若 A ⊂ B ，則 B ' ⊂ A' = ？ 12. 若 A ⊂ B 則下列何者為空集合？ A ∩ B ' ， A'∩ B ， A'∩ B ' ， A ∩ B ？ 13. A ∪ B = ( A − B ) ∪ B ？ 14. A ∪ B = ( A − B ) ∪ ( A ∩ B ) ∪ ( B − A) ？. 第四冊 第二章. 排列、組合 — P3.
(4) 【問題】 1. 有 7 件不同的禮物分給 A, B, C , D 四人，若每人至少得一件，則方法有幾種？ 2. 甲乙丙丁戊五人排成一列，若規定甲乙不排首，且丙丁不排尾之排法有幾 種？ 3. 試求不超過 100 的正整數中，是 2 的倍數或 3 的倍數的數有幾個？ 4. 設 a, b, c, d , e 表 1,2,3,4,5 之一排列，則滿足 ( a − 1)(b − 2)(c − 3)( d − 4)(e − 5) ≠ 0 的 ( a, b, c, d , e) 共有幾組？ 【應用】 設 n 為 自 然 數 ， 若 n = p1 r1 × p 2 r1 × L × p k rk 1 ， 其 中 p1 , p 2 ,L , p k 為 相 異 質 數 ， r1 , r2 ,L , rk 為自然數，則： 1. n 有 (r1 + 1)(r2 + 1)L (rk + 1) 個正因數。 2. n 的所有正因數總合為 2. 2. 2. (1 + p1 + p1 + L + p1 1 )(1 + p 2 + p 2 + L + p 2 21 )L (1 + p k + p k + L + p k k ) 。 3.. r. n 的所有正因數乘積為. ( r1 +1 )( r2 +1)L( rk +1). n. 2. 第四冊 第二章. r. 。. 排列、組合 — P4. r.
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