5-2-3三角函數-複數的幾何意義

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(1)2-3 複數的幾何意義【目標】認識複數平面及複數的極式表法，理解某複數乘以另一複數時，向徑與輻角的變化，其對應的幾何意義為伸縮與旋轉。再引入棣美弗定理，並由此探討 1 的 n 次複數方根，進而求一般複數的 n 次方根。【討論】 1. 複數平面：每一個複數 z 都有唯一的標準式表法，即 z  a  bi ，其中 a, b 是確定的實數。因此，給一複數 z  a  bi ，在坐標平面上就有一點 P(a, b) 與 z 對應；反之，在坐標平面上給一點 P(a, b) ，就有一複數 z  a  bi 與 P 對應。於是，所有複數與坐標平面上所有點一一對應，如圖所示。. 當坐標平面上的點用複數表示時，該坐標平面稱為複數平面，其橫軸稱為實軸，縱軸稱為虛軸。複數 z  a  bi 稱為點 P(a, b) 的複數坐標，記為 P(z ) 或 P(a  bi) 。有時為了方便，也稱複數 z  a  bi 為點，意指坐標為 z 的點。 2.. 在複數平面上，複數 z  a  bi (標準式)與原點 O 的距離為 a 2  b2 ，仿實數的情形，此非負實數值定為 z 的絕對值，即 | z |  a 2  b 2 ，如圖所示，. 例如： | 3  4i |  | 3  4i |  25  5 ， | 1  2i |  | 1  2i |  5 。一般而言，複數 z  a  bi 與其共軛複數 z  a  bi 的絕對值相同，因為｜z | a2  (b)2  a2  b2 | z | 。 3.. 又 z z  (a  bi )(a  bi )  a 2  b 2i 2  a 2  b 2 | z |2 。複數的絕對值：複數 z  a  bi 與原點的距離為 | z |  a 2  b 2 ，因而 z z | z |2 。在複數平面上， | z | 表複數 z 到原點的距離，此值也稱為 z 的向徑。給定正實數 r 時，所有向徑為 r 的複數形成一個以原點為圓心、 r 為半徑的圓，如圖。. 28.

(2) 4.. 5.. 若 | z |  r ，且 z 在廣義角  的終邊上，則 z 的直角坐標為 ( r cos ， r sin  )，因此 z  r cos  (r sin  )i  r[cos  (sin  )i] ，習慣上， (sin  )i 寫成 i sin  ，於是 z  r (cos  i sin  ) 。 r ( cos  + i sin  )稱為複數 z 的極式，其中 r  | z | 是 z 的向徑，而  稱為 z 的一個輻角。換言之，複數平面上， z 的極式為 r ( cos  + i sin  )與 z 點的極坐標為 [r, ] 同義。複數的極式：若複數 z 的向徑為 r（| z |  r）且以  為輻角( z 在  的終邊上)，則 z  r (cos  i sin  ) 稱為 z 的極式。 9  一個複數的輻角不是唯一的，是 1  i 的一個輻角，也是 1  i 的一個輻 4. 角。 1  i 表成極式可以是 2(cos 事實上， n 是整數時，.  4. . . 4. 9 9  i sin ) ，也可以是 2(cos  i sin ) 。 4 4 4 4.  2n 都是 1  i 的輻角。但每一個非零複數 z 恰有一. 個輻角  滿足 0    2 ，此輻角稱為 z 的主輻角，記為 Arg (z ) ，例如：  11 。 Arg(1  i)  ， Arg( 3  i)  4. 6.. 7.. 8.. 6. 複數 0 的向徑是 0 ，任何廣義角  都可做為 0 的輻角，不規定主輻角， 0 的極式為 0(cos  i sin  ) ，其中  可以是任意實數。觀察，我們發現： |  |  |  | |  | ，且  的輻角加  的輻角變成  的一個輻角。一般而言，設  ,  是任意複數，  , 分別是  ,  的輻角，則   |  | (cos  i sin  ) ，   |  | (cos   i sin  ) ，   |  | (cos  i sin  )  |  | (cos  i sin  )  |  | |  |[(cos cos   sin  sin  )  (sin  cos   cos sin  )i] 再由和角公式即得   |  | |  |[cos(   )  i sin(   )] 。複數極式的乘積：設   |  | (cos  i sin  ) ，   |  | (cos   i sin  ) ，則   |  | |  |[cos(   )  i sin(   )] 。故 |  |  |  | |  | ，即向徑乘積等於乘積向徑。    是  的一個輻角，即輻角之和即為乘積輻角。 |  |  |  | |  | 意謂兩複數其積的絕對值等於絕對值之積，而兩複數其和的絕對值與絕對值之和的關係，以下面的例題說明。設複數 z  | z | (cos  i sin  ) ，   |  | (cos   i sin  ) 。在複數平面上，若給定點 P(z ) 及點 A( ) 的位置，則可用尺規作圖作出  z ，方法如下(參閱圖)：. 令 O(0),U (1) ，作 OUA 。以 OP 為一邊，利用相似三角形的 AA AA 性質，作 OPQ ~ OUA ，其中取 QOP  AOU   ， QPO  AUO 。 29.

(3) 於是點 Q 的坐標即為  z 。證明如下： OQ OA OQ |  | ，， OQ  |  | | z | 。   |z| 1 OP OU QOU  QOP  POU     。. 由 OPQ ~ OUA 知. 故點 Q 的坐標為 |  | | z |[cos(   )  i sin(   )]  |  | (cos   i sin  )  | z | (cos  i sin  )   z 。 9. 旋轉與伸縮：複數 z 乘以   |  | (cos   i sin  ) 的變換，相當於在複數平面上，將 z 點旋轉  並伸縮 |  | 倍。【定義】 1. 複數平面(高斯平面)：每個複數 z  x  iy( x, y  R) 都恰好對應於此平面上的唯一一點 ( x, y) 。反之，給定坐標平面上一個點 ( x, y)，可找到唯一一個複數 z  x  iy 與之對應。這種與複數對應的平面稱為複數平面，又稱 x 軸為實軸， y 軸為虛軸。當點 P( x, y) 對應於複數 z  x  iy( x, y  R) ，我們稱 z  x  iy 為 P 點的複數坐標，並寫成 P(z ) 或 P( x  iy) 表示。 2. 共軛複數： 3.. 設 z  x  iy ( x, y  R) ，則 z  x  iy 稱為 z 的共軛複數。複數的絕對值：對於複數 z1  x1  iy1 , z 2  x2  iy2 ( x1 , y1 , x2 , y 2  R) ，. 他們差的絕對值 | z1  z 2 | ( x1  x2 ) 2  ( y1  y 2 ) 2 表示兩點 P1 ( z1 ), P2 ( z 2 ) 的距離。【性質】 1.. z1  z2  z1  z2 。. 2.. z1  z2  z1  z2 。. 3. 4. 5.. z1 z ) 1。 z2 z2 | z1  z2 || z1 |  | z2 | 。 z |z | | 1 | 1 。 z2 | z2 | (. 30.

(4) 【定義】 1. 極坐標：設 P( z)  P( x  iy) 的極式為 r (cos  i sin ) ，以符號 [r, ] 來做為 P(z ) 的坐標，稱為極坐標，記為 [r, ] 。在複數平面上選定一點 O ，再過 O 作一數線 L ，以其正向為始邊，繞定點 O 旋轉，使 P 點恰在其上，若其旋轉量  (為一有向角，逆時針為正、順時針為負)，且設 OP  r ，我們就可以利用 r, 來描述 P 點的位置，用符號 [r, ] 表示 P 點的位置，這種表示法就是極坐標表示法。其中 O 點稱為該極坐標系的極(或極點)，數線 L 稱為極軸，並稱 [r, ] 為 P 點的極坐標。. P( z)  P( x  iy) r. . L. O 註： 1. 極坐標就是用長度與角度來描述點之意。 2. 點的極坐標的表示法不唯一(因為有同界角的關係)，但直角坐標的表示法唯一。 3. 直角坐標： ( x, y)  (r cos , r sin ) 。複數坐標： z  x  iy  r (cos  i sin ) 。極坐標： [r, ] 。【公式】 1. 兩點距離：兩點 A[r1 ,1 ], B[r2 , 2 ] 的距離為 AB  r1  r2  2r1 r2 cos(1   2 ) 2. y B[r2 , 2 ]. A[r1 ,1 ]. x. 31. 2.

(5) 【定理】 1. 平行四邊形定理：平行四邊形中兩對角線平方的和等於各邊平方的和，即 | z1  z 2 | 2  | z1  z 2 | 2  2(| z1 | 2  | z 2 | 2 ) 。 y. z1  z 2. z2. z1. O. x.  z2. z1  z 2. 【定義】 1. 複數的極式： y. P( z)  P( x  iy). r  x2  y2. . x. (1) 複數平面上任一點 P( z)  P( x  iy)(x, y  R) ，設 OP  r ，並以  表示任意以 x 軸的正向為始邊， OP 為終邊的有向角， y 則 r  x 2  y 2 | x  iy | 且 x  r cos ， y  r sin 及 tan   ， x x y  i )  r (cos  i sin ) ，故有 z  x  iy  x 2  y 2 ( x2  y2 x2  y2 x y , sin   其中 cos  ， 2 2 2 x y x  y2 z  r (cos  i sin ) 稱為複數的極式。 (2) 給定一個複數 z  x  iy ( x, y  R) ，我們就可以把 z  x  iy 表示成 x  iy  r (cos  i sin ) 的型式。. 2.. 反之，若知道 OP  r ，以及任一有向角  (以 x 軸的正向為始邊， OP 為終邊)的大小，就可以確定 P 點的位置及其複數坐標，又  的取法不唯一。向徑與輻角：其中 r  x 2  y 2  | x  iy | 稱為複數 x  iy 的向徑(或絕對值)，  稱為複數 x  iy 的輻角，記為 arg(z ) ，並將 r (cos  i sin ) 稱為複數 z  x  iy 的極式表示，簡稱為極式。也就是說極式是用長度與角度來描述複數，且若 0    2 ，則稱輻角  為複數的主輻角，把它記為 Arg (z) 。 32.

(6) 【性質】 1. 若  為 z  x  iy 之輻角，則   2k (k  Z ) 亦為複數 x  iy 的輻角。主輻角 Arg (z) 只有一個，而輻角 arg(z ) 卻有無限多個。 2. 複數 x  iy 的極式 r (cos  i sin ) 中，須注意 r  0 ，前後角度必須相同，且以 cos 為實部， sin  為虛部。 3. 注意： (3 cos30  3i sin 30) ，  3(cos30  i sin 30) ， 3(sin 30  i cos30) ， 3(cos30  i sin 30) ， 3(cos30  i sin 60) ， 3(sin 30  i cos30) ， 6 ， 3 1 3 1  i ) 等均不為複數極式的型式。  i ) ，及 3( 2 2 2 2 4. 化成複數極式的技巧為先調整 r  0 ，再化成 cos , sin 的順序，接著化成加法型式。【公式】複數的乘除運算與棣美弗定理： 1. 若兩複數的極式分別為 z1  r1 (cos1  i sin1 ) 及 z 2  r2 (cos 2  i sin 2 ) ，則 z1 z 2  r1r2 (cos(1   2 )  i sin(1   2 )) ，即複數的乘法，其長度為兩複數的長度相乘，角度為兩複數的輻角相加。證明： z1 z 2  r1 (cos1  i sin1 )r2 (cos 2  i sin 2 )  r1r2 [(cos1 cos 2  sin1 sin 2 )  i(sin1 cos 2  cos1 sin 2 )]  r1r2 (cos(1   2 )  i sin(1   2 )) 1 1 2. 設 z2  r2 (cos 2  i sin 2 ) ，則  (cos( 2 )  i sin( 2 )) 。 z 2 r2 證明： (cos 2  i sin  2 ) 1 1   z 2 r2 (cos 2  i sin  2 ) r2 (cos 2  i sin  2 )(cos 2  i sin  2 ) 1 1  (cos 2  i sin  2 )  (cos( 2 )  i sin( 2 )) r2 r2 3. 若兩複數的極式分別為 z1  r1 (cos1  i sin1 ) 及 z 2  r2 (cos 2  i sin 2 ) ， z r 則 1  1 (cos(1   2 )  i sin(1   2 )) ， z 2 r2 即複數的除法，其長度為兩複數的長度相除，角度為兩複數的輻角相減。證明： r (cos1  i sin 1 ) r z1  1  1 (cos1  i sin 1 )(cos( 2 )  i sin( 2 )) z 2 r2 (cos 2  i sin  2 ) r2 r r  1 (cos(1  ( 2 ))  i sin(1  ( 2 )))  1 (cos(1   2 )  i sin(1   2 )) r2 r2 3(. 33.

(7) 【問題】 1. Arg ( z1 z 2 )  Arg ( z1 )  Arg ( z 2 ) ？(解答：錯誤) z 2. Arg ( 1 )  Arg ( z1 )  Arg ( z 2 ) ？(解答：錯誤) z2 3. arg( z1 z 2 )  arg( z1 )  arg( z 2 ) ？(解答：錯誤) z 4. arg( 1 )  arg( z1 )  arg( z 2 ) ？(解答：錯誤) z2 5. 試解釋複數極式的乘法及除法之幾何意義(如旋轉、伸縮等意義)？試以下圖 z 1 例子中 z1 及 z 2 作圖標出 z1 z 2 、 1 及之位置。 z2 z2 (解答：乘或除一個複數就是表示對某一點的伸縮及旋轉之意。) y z 2  2(cos. z1  (cos.  4. . .  i sin ) 3 3. .  i sin ) 4. x. 【問題】 1. 試在複數平面上用 z  x  iy 表示出 P(z ) 點對於 x 軸、 y 軸、原點、直線 y  x 等的對稱點。 2. 試在複數平面上說明 z1  x1  iy1 , z 2  x2  iy2 ( x1 , y1 , x2 , y 2  R) 與 z1  z 2 , z1  z 2 之間的幾何意義為何？ 3. 設  ,  是複數，試證： |    |  |  |  |  | 。解答： |    |2  (   )(   )  (   )(   )           |  |2       |  |2 。. 令    x  yi ( x ，y 為實數)，則    x  yi ，於是，       2 x  2 | x |  2 x2  2 x2  y 2  2 |   |  2 |  | |  |  2 |  | |  | 。. 因此， |    | 2 |  |2 2 |  | |  |  |  | 2  ( |  |  |  | ) 2 ，得到 |    |  |  |  |  | 。註：由於複數加法(實部相加，虛部相加)在複數平面上的表現類似平面向量的加法，因此， |    |  |  |  |  | 與 | a  b |  | a |  | b | 具有相同的幾何意義。. 34.

(8) 【討論】 1. 複數的 n 次方根：設 z  | z | (cos  i sin  ) ，由複數極式的乘積可知 z 2  z  z  | z |2 (cos 2  i sin 2 ) ， z 3  z 2  z  | z |3 (cos3  i sin 3 ) ，依此類推，可猜測 z n  | z |n (cos n  i sin n ) 。對每一個正整數 n 都成立，以下用數學歸納法證明之： n  1 時， z  | z | (cos  i sin  )  | z |1 (cos1  i sin1 ) ，成立。設 n  k 時成立，即 z k  | z |k (cos k  i sin k ) ，則 n  k  1 時， z k 1  z k  z  | z |k (cos k  i sin k )  | z | (cos  i sin  )  | z |k | z |[cos(k   )  i sin(k   )]  | z |k 1 [cos(k  1)  i sin(k  1) ] ，故 z n  | z |n (cos n  i sin n ) 對任意正整數 n 恆成立。 2. 棣美弗定理：若複數 z  | z | (cos  i sin  )，則 z n  | z |n (cos n  i sin n ) 對每一個正整數 n 都成立。 3. 設 z 是一個非零複數，且 n 是正整數，仿實數的情形，定義： 1 。 zn 設非零複數 z  | z | (cos  i sin  ) ， n 是正整數，求證：. z0  1 ， z  n . 4.. z  n  | z | n [cos(n )  i sin(n )] 。. 證明： z n . 1 1 1 cos n  i sin n  n  n n z | z | (cos n  i sin n ) | z | (cos n  i sin n )(cos n  i sin n ). 1 (cos n  i sin n )  | z | n [cos(n )  i sin(n )] 。 | z |n 由以上討論可知：當非零複數 z  | z | (cos  i sin  ) 時， . 5.. 6.. z n  | z |n (cos n  i sin n ) ，對任意整數 n 恆成立。特別在 n  1 時， 1 1  z 1  | z |1 [cos( )  i sin( )]  [cos( )  i sin( )] 。 z |z| 故複數   |  | (cos  i sin  ) ，   |  | (cos   i sin  )  0 時，  1 | |    [cos(   )  i sin(   )] 。   | | 設  是一個複數， n 是正整數，若複數 z 滿足 z n   ，則稱 z 是  的一個 n 次方根。首先考慮 1 的 n 次方根，令複數 z  | z | (cos  i sin  ) 滿足 z n  1 ，則 | z |n (cos n  i sin n )  1  1(cos0  i sin 0) ，. 於是，正實數 | z | 滿足 | z |n  1，且 n 與 0 是同界角，即 n  2k ，其中 k 是整 2k 2k 2k 數，故得 | z |  1 且   ，即 z  cos 。  i sin n. n n 2 k 2 z 的向徑為定值 1，輻角為，雖然 k 可以是任意整數，但 z 恰有 n k n n. 個解，即取 k  0,12,, n  1便足夠，其他 k 值所表輻角都只是同界角而已。. 35.

(9) 以 n  5 為例，1 的 5 次方根為 z  cos. 2k 2k ，其中 k 可為任意整數，但  i sin 5 5. 取 k  0,12,3,4 即可。1 的 5 次方根恰有 5 個，在複數平面上形成正五邊形的五個頂點，如圖所示。. 7.. 1 的 n 次方根：. 設 n 為正整數，則 1 的複數 n 次方根 z 恰有 n 個，即 z  cos 8.. 2k 2k ，其  i sin n n. 中 k  0,12,, n  1。設   |  | (cos   i sin  ) 是一個非零複數， n 是正整數，若複數 z  | z | (cos  i sin  ) 是  的一個 n 次方根，即 z n   ，則 | z |n (cos n  i sin n )    |  | (cos   i sin  ) ，於是 | z |n  |  | ， n  與  是同界角。因此正實數 | z | 是正實數 |  | 的 n 次方根，   2k 即 | z |  n |  | ； n    2k ，即   。得到 z  n |  |(cos.   2 k n.  i sin.   2 k n. n. ) ，其中 k 可以是任意整數，但取. k  0,12,, n  1即可。這 n 個 n 次方根的向徑都是 n |  | ，所以散布在以原點  2  4  為圓心、 n |  | 為半徑的圓上，又輻角為，  ，  ，…，. n n n n n 2(n  1)  ，故這 n 個根是該圓上輻角從開始的 n 等分點，當  是  的主  n n n. . 輻角時，如圖所示。. 9.. 複數的 n 次方根：設   |  | (cos   i sin  ) 是非零複數， n 是正整數，則  的 n 次方根為   2k   2k n |  |(cos  i sin ) ， k  0,12,, n  1。 n. n. 36.

(10) 【定理】 1. 棣美弗定理(De Moivre`s Theorem)：若 z  r (cos  i sin ) 為極式，則 z n  r n (cos n  i sin n ), n  Z 均成立。證明： (1)當 n  1時， z 1  r 1 (cos(1   )  i sin(1   )) ，原式成立。設 n  k 時，原式成立，即 z k  r k (cos k  i sin k ) 成立，則 n  k  1 時， z k 1  z k z  r k (cos k  i sin k )r (cos  i sin  )  r k 1 (cos(k  1)  i sin(k  1) ) ，故由數學歸納法得知 z n  r n (cos n  i sin n ), n  N 均成立。 (2)當 n  0 時， z 0  1  r 0 (cos(0   )  i sin(0   )) ，原式成立。 (3)當 n  m, m  N 時， 1 1 1 z n  z m  m  m  m (cos(m )  i sin(m )) r (cos m  i sin m ) r z  r  m (cos(m )  i sin(m ))  r n (cos n  i sin n ) 。. 由上知 z n  r n (cos n  i sin n ), n  Z 均成立。註： 1. 有時棣美弗定理指的是：若 z  r (cos  i sin ) 為極式，則 z n  r n (cos n  i sin n ), n  N 均成立。 2. 此定理即表示 | z n |  | z | n 及 arg( z n )  n arg( z1 )  2k , k , n  Z 。 3. 定理可以用於簡化複數的乘除法運算。 1 1 4. 若 x   2 cos  x  cos  i sin  x n  n  2 cos n 。 x x 【問題】 1. 求 1  3i 的 3 次方根。解答： 1 3 2 2 1  3i  2(  i)  2(cos  i sin ) ， 2. 2. 3. 3 2  2 k  2 2k 故 1  3i 的 3 次方根為 3 2[cos(  )  i sin(  )] ， k  0,1,2 。 9 3 9 3. 37.

(11) 【討論】 1.. 2 2 ，則 1 的 n 次方根  i sin n n 2 k 2 k 2 2 cos  i sin  (cos  i sin )k   k ， k  0,12,, n  1。 n n n n 2 即 1 的 n 個 n 次方根為 1 ，  ，  ，…，  ，它是以 1 為首項、  為公比的 2 2 等比數列。由於  n  (cos  i sin )n  cos 2  i sin 2  1 ， n n 2 2 而 n  2 時，公比   cos  i sin  1 ，故等比級數 n n 1 n 11 1     2    n 1    0， 1  1 . 設 n 是正整數，令   cos. n 1. 因此可知 1 的 n 個 n 次方根之和為 0 。更一般地，非零複數   |  | (cos   i sin  ) 時，  的 n 次方根為   2k   2k n |  |(cos  i sin ) n 2  2  n |  |(cos  i sin )(cos  i sin ) k ， k  0,12,, n  1。 n n n n   2 2 令   n |  |(cos  i sin ) ，   cos  i sin ， n n n n 則  的 n 個 n 次方根為  ，  ，  2 ，…，  n 1 。. . n. . n  2 時，等比級數      2 . 2..   n 1 .  (1   n )  (1  1)   0 ，故  的 n 1 1. 個 n 次方根之和為 0 。 2 2 複數   cos  i sin 的性質： n. n. 2 2 有下列性質：  i sin n n  是 1 的 n 次方根，即  n  1 。 n  2 時， 1     2    n 1  0 。. 令 n 是正整數，   cos. 【問題】 1.. 2 2 ，求下列各式的值：  i sin 5 5 (1)  100 。(2)    2   3    99 。(3) (1   )(1   2 )(1   3 )(1   4 ) 。. 設   cos. 解答： (1) 100  ( 5 )20  120  1 。  (1   99 )   100   1    1 。 1 1 1 (3)方程式 x5  1  0 的 5 個根為 1 ，  ，  2 ，  3 ，  4 ，故 x5  1  ( x  1)( x   )( x   2 )( x   3 )( x   4 ) ，. (2)    2   3 .   99 . x5  1  x 4  x3  x 2  x  1， x 1 因此， (1   )(1   2 )(1   3 )(1   4 )  1  1  1  1  1  5 。. 於是， ( x   )( x   2 )( x   3 )( x   4 ) . 38.

(12) 【討論】 1. 給定複數標準式   a  bi ，欲將  表為極式時，雖然知道  的輻角  滿足 cos . a a b 2. 2. ， sin  . b a  b2 2. 。但若  不是特別角，則  不易表示，極式 3 5. 表法也就有問題。例如 3  4i 的輻角  滿足 cos  ， sin  . 4 ，其中  約為 5. 53 ，但  不易精確表示。當   a  bi 的極式表法有問題時，求  的 n 次方根就有困難，但  的 2 次方根仍可求得。【問題】 1. 1)求 3  4i 的 2 次方根。 (2)解複係數二次方程式 x2  2(1  i) x  (3  6i)  0 。解答： (1) 方法一》  x2  y 2  3 2 xy  4. 設 3  4i  ( x  yi)2 ，其中 x, y 是實數，則  由得 y . ，. 2 代入，得到 x. 4  3 ， x 4  3x 2  4  0 ， ( x 2  4)( x 2  1)  0 ， x 2  4 ， x  2 。 2 x 當 x  2 時， y  1 ；當 x  2 時， y  1 。故 3  4i 的 2 次方根為 (2  i) 。 x2 . 方法二》 3 5. 4 5. 令 3  4i  5(cos   i sin  ) ，其中  滿足 cos   ， sin   ，且0  .  2.   ，則 3  4i 的 2 次方根為 5(cos  i sin ) 2. 2.     及 5[cos(   )  i sin(   )] ，亦即  5(cos  i sin ) 。 2. 2. 2. 2. 又由半角公式， 3 3 1 5  2 ， sin   1  cos   5  1 。 2 2 2 2 5 5 2 1 故所求 2 次方根為  5(  i)  (2  i) 。 5 5. . 1  cos  cos   2 2. 2.. 1. (2)用配方法將原方程式化為 [ x  (1  i)]2  (3  6i)  (1  i)2 ， [ x  (1  i)]2  3  4i ，知 x  (1  i)  (2  i) ，故 x  (1  i)  (2  i) ，即 x  3 或 x  1  2i 。 1 的 3 次方根：試解方程式 z 3  1 。解答：設解之極式為 r (cos  i sin ) 且 1 之極式為 (cos0  i sin 0)  (r (cos  i sin  )) 3  (cos 0  i sin 0)  r 3 (cos3  i sin 3 )  (cos 0  i sin 0) 39.

(13) r  3 1 r 3  1    2k , k  0,1,2 3  0  2k , k  z   3  2k 2k  根為 z k  cos  i sin , k  0,1,2 3 3 此 3 個根稱為 1 的 3 次方根。. y. A1 ( w) A0 (1) x. A2 ( w 2 ). 3.. 1 的 n 次方根：試解方程式 z n  1, n  Z  。解答：設解之極式為 r (cos  i sin ) 且 1 之極式為 (cos0  i sin 0)  (r (cos  i sin  )) n  (cos 0  i sin 0).  r n (cos n  i sin n )  (cos 0  i sin 0). 4.. r  n 1 r n  1    2k , k  0,1,2, , n  1 n  0  2k , k  z   n  2k 2k  根為 z k  (cos  i sin ), k  0,1,2,, n  1 n n 此 n 個根稱為 1 的 n 次方根。複數 a 的 n 次方根：試解方程式 z n  a, n  Z  , a  C 。解答：設解之極式為 r (cos  i sin ) 且 a 之極式為 r0 (cos 0  i sin  0 ).  (r (cos  i sin )) n  r0 (cos 0  i sin 0 )  r n (cos n  i sin n )  r0 (cos 0  i sin 0 ) r  n r0 r n  r0     0  2k , k  0,1,2,, n  1 n   0  2k , k  z   n    2k   2k  i sin 0 ), k  0,1,2,, n  1  根為 z k  n r0 (cos 0 n n 此 n 個根稱為 a 的 n 次方根。. 40.

(14) 【性質】 1.. 2.. 2 2 ，則此 3 個根為 z 0 , z1 , z 2 ，即 1, w, w 2 ，且有以下性  i sin 3 3 質：  3  1 。 1     2  0 。已知 z 3  1  ( z  1)( z 2  z  1) ，又 z 3  1  ( z  1)( z   )( z   2 ) ，可得 z 2  z  1  ( z   )( z   2 ) ，令 z  1 代入，得 (1   )(1   2 )  3 。若點 Ak ( z k ), k  0,1,2 ，此 3 個根在複數平面上半徑為 1 的圓上，並將單位圓 3 等份， 2 即 Ai OAi 1  , i  0,1,2 (令 A3  A0 )。 3 1 2 此 3 個根在複數平面上所圍成的正三角形面積為 3  (  1  1  sin ) 。 2 3 2 A0 A1  A0 A2  | 1   |  | 1   |  | 3 |  3 。   2 2  i sin 若令 z 0  n r0 (cos 0  i sin 0 ),   cos ， n n n n 則此 n 個根為 z 0 , z1 , z 2 , , z n 1 ，即 z 0 , z 0, z 0 2 ,, z 0 n1 ，且有以下性質：   n (註： z 0  [ n r0 (cos 0  i sin 0 )]n  r0 (cos 0  i sin  0 )  a ) n n 若令   cos. y A1 ( z1 )  A1 ( z0 w). A0 ( z 0 ) A2 ( z2 )  A2 ( z0 w2 ). 2 n. (n r0 ,0). x. An1 ( zn1 )  An1 ( z0 wn1 ). (1). z n  a  ( z  z 0 )( z  z1 )( z  z 2 )  ( z  z n 1 ). (2).  ( z  z 0 )(z  z 0 )(z  z 0 2 )( z  z 0 n1 ) 。若點 Ak ( z k ), k  0,1,2,  , n  1 ，此 n 個根在複數平面上半徑為 n r0 的圓上，並將此圓 n 等份，. 2 , i  0,1,2,, n  1 (令 An  A0 )。 n 此 n 個根在複數平面上所圍成的正 n 邊形面積為 1 2 n  (  n r0  n r0  sin ) 。 2 n 即 Ai OAi 1 . (3). 41.

(15) 3.. 2 2  i sin ，則此 n 個根為 z 0 , z1 , z 2 , , z n 1，即 1, w, w 2 , , w m 1， n n 且有以下性質：若令   cos. y A1 ( z1 )  A1 ( w). A2 ( z 2 )  A2 ( w 2 ). A0 ( z0 )  A0 (1). 2 n. x (1,0) An 1 ( z n 1 )  An 1 (w n 1 ). (1).  n  1。. (2). 1     2     n 1  0 (即實部  cos k  0 且虛部  sin k  0 )。. (3). (4). (5) (6). n 1. n2. n 1. n 1. k 0. k 0. 已知 z  1  ( z  1)( z  z    z  1) ，又 z n  1  ( z  1)( z   )( z   2 )  ( z   n 1 ) ，可得 z n 1  z n  2    z  1  ( z   )( z   2 )  ( z   n 1 ) ，令 z  1 代入，得 (1   )(1   2 )  (1   n 1 )  n 。若點 Ak ( z k ), k  0,1,2,  , n  1 ，此 n 個根在複數平面上半徑為 1 的圓上，並將單位圓 n 等份， 2 即 Ai OAi 1  , i  0,1,2,, n  1 (令 An  A0 )。 n 1 2 此 n 個根在複數平面上所圍成的正 n 邊形面積為 n  (  1  1  sin ) 。 2 n 2 n 1 A0 A1  A0 A2    A0 An 1  | 1   |  | 1   |  | 1   |  | n |  n 。 n. 42.

(16) 【性質】 1. 在複數平面上，複數 z  a  bi (標準式)與原點的距離為 | z |  a 2  b 2 ，| z | 是非負實數且 | z |2  z z 。 2. 若複數 z 有一輻角  ( z 在  的終邊上)，則 z 的極式為 | z | (cos  i sin  ) 。 3. 複數 z 的主輻角記為 Arg (z ) ， 0  Arg (z ) < 2 ，且 z 的輻角都是 Arg (z ) 的同界角。 4. 設   |  | (cos  i sin  ) ，   |  | (cos   i sin  ) ，則   |  | |  |[cos(   )  i sin(   )] ，  | | 且   0 時，  [cos(   )  i sin(   )] 。  | | 5. 設  ,  是複數，則 |    |  |  |  |  | 。 6. 複數 z 乘以   |  | (cos   i sin  ) 的變換，相當於在複數平面上，將 z 點旋轉  並伸縮 |  | 倍。 7. 棣美弗定理：若複數 z  | z | (cos  i sin  ) ，則 z n  | z |n (cos n  i sin n ) 對任意正整數 n 恆成立。 8. 設 n 是正整數，則 1 的 n 次方根為 2 k 2 k ， k  0,1,2,, n  1 。 cos  i sin n. n. 9. 非零複數   |  | (cos   i sin  ) 的 n 次方根為 n |  |(cos. k  0,1,2,, n  1 。 10. 設 n 是正整數，   cos 1   2 .   2k n.  i sin. 2 2 ，則  n  1 ，且當 n  2 時，  i sin n n.   n 1  0 。. 43.   2k n. )，.

(17)