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booka62/lt99a622 函數性質的判定

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(1)

2-2 函 數 性 質 的 判 定

運 動 會 中 ﹐ 當 選 手 將 標 槍 擲 出 時 ﹐ 標 槍 的 質 量 中 心 在 空 中 的 路 徑 是 條 拋 物 線 ﹐ 此 時 標 槍 飛 行 的 方 向 變 化 就 類 似 於 此 拋 物 線 上 切 線 的 方 向 變 化 ﹒ 觀 察 已 知 多 項 式 函 數 圖 形 上 切 線 的 斜 率 變 化( 或 方 向 變 化 )﹐有 助 於 我 們 判 定 多 項 式 函 數 的 性 質 ﹒

甲 ﹑ 函 數 的 遞 增 與 遞 減

首 先 觀 察 二 次 函 數 2 yx 的 圖 形 ﹕ (1) 當 x0時 ﹐ 圖 形 愈 往 右 邊 的 點 ﹐ 會 愈 往 上 攀 升 ﹒ 也 就 是 說 ﹐ 當 x值 愈 大 時 ﹐ 所 對 應 的 y 值 也 隨 著 增 大 ﹐ 我 們 稱 函 數 在 x0時 為 嚴 格 遞 增 函 數 ﹒ (2) 當 x0時 ﹐ 圖 形 愈 往 右 邊 的 點 ﹐ 會 愈 往 下 降 低 ﹒ 也 就 是 說 ﹐ 當 x值 愈 大 時 ﹐ 所 對 應 的 y 值 卻 隨 著 減 少 ﹐ 我 們 稱 函 數 在 x0時 為 嚴 格 遞 減 函 數 ﹒ 一 般 而 言 ﹐ 我 們 有 遞 增 與 遞 減 函 數 的 定 義 設 f x 為 實 函 數 ﹐

 

x1﹐ x2是 區 間

 

a b 內 的 任 意 兩 數 ﹒ , (1) 若x1x2﹐恆 有 f x

 

1f x

 

2 ﹐ 則 稱 f x 在 區 間

 

 

a b 上 為 嚴 格 遞 增 函 數 ﹒ , 若 x1x2﹐ 恆 有 f x

 

1f x

 

2 ﹐ 則 稱 f x 在 區 間

 

 

a b 上 為 遞 增 函 數 ﹒ , (2) 若x1x2﹐恆 有 f x

 

1f x

 

2 ﹐ 則 稱 f x 在 區 間

 

 

a b 上 為 嚴 格 遞 減 函數 ﹒ , 若 x1x2﹐ 恆 有 f x

 

1f x

 

2 ﹐ 則 稱 f x 在 區 間

 

 

a b 上 為 遞 減 函 數 ﹒ , ▲圖 1 x y O y =x2 遞 增 遞 減

(2)

事 實 上 ﹐ 函 數 f x 的 遞 增 或 遞 減 的 狀 況 ﹐ 與 其 導 函 數

 

 

fx 的 正 負 有 密 切 的 關 係 ﹒ 我 們 再 以 函 數 f x

 

x2為 例 ﹐ 探 討 其 圖 形 與 導 函 數 f

 

x 2x函 數 值 的 正 負 關 係 ﹕ (1) 當 x0時 ﹐ f x 為 嚴 格 遞 增 函 數 而 其 導 數 都 大 於 0﹒

 

(2) 當 x0時 ﹐ f x 為 嚴 格 遞 減 函 數 而 其 導 數 都 小 於 0﹒

 

這 個 現 象 並 非 巧 合 ﹐ 而 是 通 則 ﹐ 一 般 來 說 ﹐ 函 數 在 某 個 範 圍 內 ﹐ 導 數 的 正 負 與 函 數 的 增 減 情 況 有 以 下 的 關 係 ﹕ 函 數 遞 增 與 遞 減 的 判 定 設 實 函 數 f x 在 區 間

 

 

a b 連 續 且 在 區 間,

 

a b 可 微 分 ﹒ , (1) 若 在 區 間

 

a b 內, f

 

x 0恆 成 立 ﹐ 則 f x 在 區 間

 

 

a b 上 為 嚴 格 遞 增 函, 數 ﹒ (2) 若 在 區 間

 

a b 內, f

 

x 0恆 成 立 ﹐ 則 f x 在 區 間

 

 

a b 上 為 嚴 格 遞 減 函, 數 ﹒ x y O a b x y O a b 這 判 定 的 證 明 超 出 本 書 範 圍 ﹐ 在 此 省 略 ﹒ 底 下 ﹐ 我 們 由 導 數 就 是 切 線 的 斜 率 ﹐ 並 藉 助 標 槍 擲 出 後 在 空 中 飛 行 的 方 向 變 化 來 理 解 ﹒ 如 圖 4 所 示 ﹐ 觀 察 標 槍 所 在 直 線 的 斜 率 ﹐ 可 以 發 現 ﹕ 若 斜 率 為 正 ﹐ 則 飛 行 的 路 徑 是 上 升 的 ﹔ 若 斜 率 為 負 ﹐ 則 飛 行 的 路 徑 是 下 降 的 ﹒ 現 在 我 們 練 習 這 個 判 定 ﹒ x O y=x ▲ 圖 3

(3)

【 例 題 1】 函 數

 

3 3 2 f xxx在 下 列 哪 些 區 間 上 為 嚴 格 遞 增 函 數 ﹖ (1)

 3, 2

(2)

 

0, 2 (3)

 

2,3 (4)

2,

Ans: 【 詳 解 】 先 求 出 f x 的 導 函 數 ﹐ 並 將 其 因 式 分 解 如 下 ﹕

 

 

2



3 3 3 1 1 fxx   xx ﹒ 接 著 將 f

 

x 的 正 ﹑ 負 列 表 如 下 ﹕

 

1 1 0 0 x fx     增減變化 得 知 ﹐ (1) 在 區 間

 3, 2

f

 

x 0恆 成 立 ﹒ (2) 在 區 間

 

0 , 2 內 的 導 數 有 負 數 ﹒ (3) 在 區 間

 

2 , 3 內 f

 

x 0恆 成 立 ﹒ (4) 在 區 間

2,

f

 

x 0恆 成 立 ﹒ 根 據 函 數 遞 增 與 遞 減 的 判 定 ﹐ 得

 

f x 在 區 間[ 3, 2 ]  ﹐

 

2,3 與[2, ) 上 為 嚴 格 遞 增 函 數 ﹒ 故 選 (1)(3)(4)﹒ 【 隨 堂 練 習 1】 函 數

 

3 6 f x   x x在 下 列 哪 些 區 間 上 為 嚴 格 遞 減 函 數 ﹖ (1)

 5, 2

(2)

 

1,1 (3)

 

1, 2 (4)

2,

Ans: (1)(4) 1, f ( 1) 1, f (1)

(4)

【 詳 解 】 先 求 出 f (x)的 導 函 數 ﹐ 並 將 其 因 式 分 解 如 下 ﹕ 2 ( ) 3 6 3( 2)( 2) f x   x    xx ﹒ 接 著 將 f (x)的 正 ﹑ 負 列 表 如 下 ﹕ 2 2 ( ) 0 0 x f x      增減變化 得 知 ﹐ (1) 在 區 間 (5,2)內 f (x)< 0 恆 成 立 (2) 在 區 間 (1, 1)內 的 導 數 有 正 數 (3) 在 區 間 (1 , 2)內 的 導 數 有 正 數 (4) 在 區 間 (2 ,)內 f (x)< 0 恆 成 立 根 據 函 數 遞 增 與 遞 減 的 判 定 ﹐ 得 f (x)在 區 間 [5,2]與 [2,)上 為 嚴 格 遞 減 函 數 ﹒ 故 選 (1)(4)﹒ 2, f 2 2, f 2 在 例 題 1 中 ﹐ 我 們 是 用 方 程 式 f

 

x 0的 實 根 將 數 線 分 成 數 個 區 間 ﹐ 再 由 區 間 中 導 數 的 正 或 負 來 判 定 f x 的 嚴 格 遞 增 或 嚴 格 遞 減 狀 況 ﹒ 底 下 ﹐ 仍 延 續 這

 

個 方 法 ﹐ 再 舉 一 個 例 題 ﹒ 【 例 題 2】 函 數

 

4 3 4 5 f xxx在 下 列 哪 些 區 間 上 為 嚴 格 遞 增 函 數 ﹖ (1)

 5, 4

(2)

 4, 2

(3)

2,0

(4)

 

0,3 ﹒ Ans: (3)(4) 【 詳 解 】 先 求 出 f x 的 導 函 數 ﹐ 並 將 其 因 式 分 解 如 下 ﹕

 

(5)

 

3 2 2

4 12 4 3 fxxxx x ﹒ 接 著 將 f

 

x 的 正 ﹑ 負 列 表 如 下 ﹕

 

3 0 0 0 x fx     增減變化 得 知 ﹐ (1) 在 區 間

 5, 4

內 的 導 數 有 負 數 ﹒ (2) 在 區 間

 4 , 2

內 的 導 數 有 負 數 ﹒ (3) 在 區 間

2 , 0

f

 

x 0恆 成 立 ﹒ (4) 在 區 間

 

0 , 3 內 f

 

x 0恆 成 立 ﹒ 根 據 函 數 遞 增 與 遞 減 的 判 定 ﹐ 得

 

f x 在 區 間[ 2 , 0 ] 與

 

0,3 上 為 嚴 格 遞 增 函 數 ﹒ 故 選 (3)(4)﹒ 在 例 題 2 中 ﹐區 間

2,0

 

0,3 是 相 鄰 的 兩 個 嚴 格 遞 增 區 間 ﹐若 將 這 兩 個 區 間 合 併 成 區 間

2,3

﹐ 則 由 f x 是 多 項 式 函 數 ( 連 續 函 數 )﹐ 可 以 推 得

 

f x( )在 這 合 併 區 間 上 仍 為 嚴 格 遞 增 函 數 ﹒ 要 注 意 的 是 ﹕ 在 區 間

2,3

內 有 導 數 為 0 的 點 ( f

 

0 0)﹐即 區 間 內 的 導 數 並 不 是 全 大 於 0﹐但 f x 在 區 間

 

2 , 3

上 為 嚴 格 遞 增 函 數 ﹒ 一 般 而 言 ﹐ 當 函 數 f x 是

 

n n

1

次 多 項 式 函 數 時 ﹐

n1

次 方 程 式 f

 

x 0 至 多 有 n1個 實 根 ﹐即 數 線 上 至 多 有 n1個 導 數 為 0 的 點﹒如 果 有 一 區 間

 

a b 內, 的 點 都 滿 足 f x( )0( 即 區 間 中 可 以 有 導 數 為 0 的 點 )﹐ 那 麼 利 用 上 述 合 併 相 鄰 0, f (0) 3, f ( 3)

(6)

區 間 的 方 式 ﹐ 可 推 得 f x 在 區 間

 

 

a b 上 為 嚴 格 遞 增 函 數 ﹒ , 利 用 同 樣 的 方 式 也 可 推 得 嚴 格 遞 減 的 情 形 ﹒ 我 們 將 這 個 遞 增 與 遞 減 的 判 定 敘 述 如 下 ﹕ 多 項 式 函 數 遞 增 與 遞 減 的 判 定 設 f x 為 一 次 以 上 的 多 項 式 函 數 ﹒

 

(1)若 在 區 間

 

a b 內, f

 

x 0恆 成 立 ﹐則 f x 在 區 間

 

 

a b 上 為 嚴 格 遞 增 函 數﹒ , (2)若 在 區 間

 

a b 內, f

 

x 0恆 成 立 ﹐則 f x 在 區 間

 

 

a b 上 為 嚴 格 遞 減 函 數﹒ , 現 在 我 們 練 習 這 個 判 定 ﹒ 【 例 題 3】 多 項 式 函 數 f x

  

x x4

3在 下 列 哪 些 區 間 上 為 嚴 格 遞 減 函 數 ﹖ (1)

 4, 1

(2)

 5, 2

(3)

 , 1

(4) [2, ) Ans: (1)(2)(3) 【 詳 解 】 先 求 出 f x 的 導 函 數 ﹐ 並 將 其 因 式 分 解 如 下 ﹕

 

 

3

 

2

 

2

 

2

1 4 3 4 4 4 3 4 4 1 fx   x  x x  xx  xxx ﹒ 接 著 將 f

 

x 的 正 ﹑ 負 列 表 如 下 ﹕

 

4 1 0 0 x fx      增減變化 得 知 ﹐ (1) 在 區 間

 4 , 1

f

 

x 0恆 成 立 ﹒ 4,f( 4) 1, f ( 1)

(7)

(2) 在 區 間

 5, 2

f

 

x 0恆 成 立 ﹒ (3) 在 區 間

 , 1

f

 

x 0恆 成 立 ﹒ (4) 在 區 間

2,

內 的 導 數 有 正 數 ﹒ 根 據 多 項 式 函 數 遞 增 與 遞 減 的 判 定 ﹐ 得

 

f x 在 區 間

 4 , 1

 5, 2

 , 1

上 為 嚴 格 遞 減 函 數 ﹒ 故 選 (1)(2)(3)﹒ 【 隨 堂 練 習 3】 多 項 式 函 數

 

4 2 6 5 f xxx在 下 列 哪 些 區 間 上 為 嚴 格 遞 增 函 數 ﹖ (1)

 , 3 (2)  3, 0 (3) 0, 3 (4) 3,

Ans: (2)(4) 【 詳 解 】 先 求 出 f (x)的 導 函 數 ﹐ 並 將 其 因 式 分 解 如 下 ﹕ 3 ( ) 4 12 4 ( 3)( 3) f x  xxx xx ﹒ 接 著 將 f (x)的 正 ﹑ 負 列 表 如 下 ﹕ 3 0 3 ( ) 0 0 0 x f x       增減變化 得 知 ﹐ (1) 在 區 間(  , 3 )內 的 導 數 有 負 數 (2) 在 區 間( 3 , 0 )內 f (x)≧ 0 恆 成 立 (3) 在 區 間( 0 , 3 )內 的 導 數 有 負 數 (4) 在 區 間( 3 , )內 f (x)≧ 0 恆 成 立 根 據 多 項 式 函 數 遞 增 與 遞 減 的 判 定 ﹐ 得 f (x)在 區 間[ 3, 0]與[ 3, ) 上 為 嚴 格 遞 增 函 數 ﹒ 故 選 (2)(4)﹒

(8)

0, f (0)

(9)

乙 ﹑ 函 數 圖 形 的 凹 向 性 與 反 曲 點

當 我 們 描 繪 多 項 式 函 數 f x 的 圖 形 時 ﹐只 了 解 函 數

 

f x

 

的 遞 增 或 遞 減 狀 況 ﹐ 還 不 足 以 掌 握 圖 形 的 形 狀 ﹒ 例 如 ﹐ 圖 5 是 由 電 腦 繪 製 函 數

 

3 f xx 的 圖 形 ﹐圖 中 f x 在 區 間

 

1, 0

 

0,1 上 雖 同 為 遞 增 函 數 ﹐ 可 是 這 兩 段 圖 形 彎 曲 的 方 向 卻 有 明 顯 的 差 異 ﹒ 如 果 假 想 3 yx 在 區 間

 

1, 1的 圖 形 是 一 條 公 路 ﹐ 並 且 有 一 部 汽 車 從 點

1, 1

P   出 發 沿 公 路 向 點Q

 

1,1 前 進 ﹐那 麼 為 了 要 保 持 在 公 路 上 前 進 ﹐汽 車 在 P 與 原 點 間 的 路 段 需 要 持 續 偏 右 彎 前 進 ﹔ 在 原 點 與Q間 的 路 段 需 要 持 續 偏 左 彎 前 進 ﹒ 這 種 「 偏 右 彎 ﹐ 偏 左 彎 」 的 現 象 指 出 了 這 兩 段 曲 線 的 一 項 重 要 差 異 ﹐ 以 數 學 術 語 來 說 明 ﹐ 就 是 「 3 yx 在 區 間

1, 0

的 圖 形 是 凹 口 向 下 ﹐ 而 在 區 間

 

0,1 的 圖 形 是 凹 口 向 上 ﹒ 」 在 第 一 冊 第 三 章 中 ﹐ 圖 形 的 凹 向 的 定 義 是 ﹕ 圖 形 上 任 相 異 兩 點 所 連 成 的 線 段 ﹐ 除 兩 個 端 點 外 ﹐ 若 恆 在 圖 形 的 上 方 ﹐ 則 凹 口 向 上 ﹔ 若 恆 在 圖 形 的 下 方 ﹐ 則 凹 口 向 下 ﹒ 現 在 有 了 導 函 數 之 後 ﹐ 我 們 可 以 利 用 它 來 判 定 函 數 圖 形 的 凹 向 ﹒ 我 們 由 左 而 右 觀 察 上 述 兩 段 曲 線 上 切 線 斜 率 的 變 化 ﹕ (1) 凹 口 向 下 這 段 ﹕ 切 線 的 斜 率 逐 漸 減 少 ﹐ 或 者 說 ﹐ 曲 線 上 愈 往 右 邊 的 點 之 導 數 值 愈 小 ﹐ 即 f

 

x 為 嚴 格 遞 減 函 數 ﹒ (2) 凹 口 向 上 這 段 ﹕ 切 線 的 斜 率 逐 漸 增 加 ﹐ 或 者 說 ﹐ 曲 線 上 愈 往 右 邊 的 點 之 導 數 值 愈 大 ﹐ 即 f

 

x 為 嚴 格 遞 增 函 數 ﹒ 有 了 這 個 觀 察 之 後 ﹐利 用 多 項 式 函 數 遞 增 與 遞 減 的 判 定 ﹐及 f

 

xf

 

x 的 導 函 數 ﹐ 可 以 推 得 ﹐ 當 f x 是 二 次 以 上 的 多 項 式 函 數 時 ﹐ 若 在 區 間

 

 

a b 內,

 

0 f x  恆 成 立 ﹐則 f

 

x 為 嚴 格 遞 減 函 數 ﹐即 f x 的 圖 形 是 凹 口 向 下 ﹐如 圖 6(a)﹒

 

x y O 1 1 Q P   y=x3

(10)

x O a b x O a b (a)凹 口 向 下 (b)凹 口 向 上 ▲ 圖 6 利 用 同 樣 的 方 式 也 可 以 討 論 凹 口 向 上 的 情 形 ﹐ 可 參 看 圖 6(b)﹒ 我 們 將 結 果 整 理 如 下 ﹕ 函 數 圖 形 凹 向 性 的 判 定 設 f x 為 二 次 以 上 的 多 項 式 函 數 ﹒

 

(1) 若 在 區 間

 

a b 內, f

 

x 0恆 成 立 ﹐ 則

 

f x 在 區 間

 

a b 的 圖 形 是 凹 口 向 下 ﹒ , (2) 若 在 區 間

 

a b 內, f

 

x 0恆 成 立 ﹐ 則

 

f x 在 區 間

 

a b 的 圖 形 是 凹 口 向 上 ﹒ , 底 下 我 們 就 利 用 這 個 判 定 討 論 函 數 圖 形 的 凹 向 ﹒ 【 例 題 4】 討 論 函 數

 

3 3 2 f xxx圖 形 的 凹 向 ﹒ 【 詳 解 】 先 求 出 f

 

xf

 

x

 

2 3 3 fxx  ﹐

 

6 f xx0, f (0)

(11)

接 著 將 f

 

x 的 正 ﹑ 負 列 表 如 下 ﹕

 

0 0 x f x   凹向變化 根 據 函 數 圖 形 凹 向 的 判 定 ﹐ 得 (1) f x 在 區 間

 

0,

的 圖 形 是 凹 口 向 上 ﹒ (2) f x 在 區 間

 

, 0

的 圖 形 是 凹 口 向 下 ﹒ 【 隨 堂 練 習 4】 討 論 函 數

 

2 4 3 f xxx圖 形 的 凹 向 ﹒ 【 詳 解 】 先 求 出 f (x)及 f (x)﹐ f (x)= 2x- 4﹐ f (x)= 2﹒ 因 為 f (x)恆 為 正 數 ﹐ 所 以 根 據 函 數 圖 形 凹 向 的 判 定 ﹐ 得 知 f (x)的 圖 形 恆 為 凹 口 向 上 ﹒ 在 例 題 4 中 ﹐ 函 數

 

3 3 2 f xxx 圖 形 的 凹 向 在 x0處 發 生 變 化 ﹐ 我 們 把 點

0, f

 

0

稱 為 函 數 f x 圖 形 的 反 曲 點 ﹒ 定 義 如 下 ﹕

 

反 曲 點 的 定 義 在a的 附 近 ﹐若 函 數 f x 連 續 ﹐且

 

f x 的 圖 形 在

 

xaxa的 凹 向 相 反 時 ﹐ 稱 點

a f a 為 函 數,

 

f x 圖 形 上 的 一 個 反 曲 點 ﹒

 

現 在 我 們 舉 一 實 例 求 反 曲 點 ﹒ 【 例 題 5】 討 論 函 數

 

4 2 6 5 f xxx圖 形 的 凹 向 與 反 曲 點 ﹒

(12)

【 詳 解 】 先 求 出 f

 

xf

 

x ﹐ 並 將 f

 

x 因 式 分 解 如 下 ﹕

 

3 4 12 fxxx

 

2



12 12 12 1 1 f xx   xx ﹒ 接 著 將 f

 

x 的 正 ﹑ 負 列 表 如 下 ﹕

 

1 1 0 0 x f x     凹向變化 根 據 函 數 圖 形 凹 向 的 判 定 ﹐ 得 (1) f x 在 區 間

 

 

1, 與

 , 1

的 圖 形 是 凹 口 向 上 ﹒ (2) f x 在 區 間

 

1, 1

的 圖 形 是 凹 口 向 下 ﹒ 又 因 為 f x 圖 形 的 凹 向 在

 

x 1與 x1處 發 生 變 化 ﹐ 所 以 反 曲 點 為

1,0

 

1,0 ﹒ 【 隨 堂 練 習 5】 討 論 函 數

 

3 6 f x   x x圖 形 的 凹 向 與 反 曲 點 ﹒ 【 詳 解 】 先 求 出 f (x)及 f (x)﹐ f (x)=3x2+ 6﹐ f (x)=6x﹒ 接 著 將 f (x)的 正 ﹑ 負 列 表 如 下 ﹕ 0 ( ) 0 x f x   凹向變化 根 據 函 數 圖 形 凹 向 的 判 定 ﹐ 得 (1) f (x)在 區 間 (  ,0)的 圖 形 是 凹 口 向 上 ﹒ (2) f (x)在 區 間 (0,)的 圖 形 是 凹 口 向 下 ﹒ 又 因 為 f (x)圖 形 的 凹 向 在 x= 0 處 發 生 變 化 ﹐ 所 以 反 曲 點 為 (0,0)﹒ ( 1,0) (1,0)

(13)

0, f (0)f x 為 二 次 以 上 的 多 項 式 函 數 時 ﹐在 反 曲 點 的 附 近 ﹐第 二 階 導 函 數

 

f

 

x 的 函 數 值 由 正 轉 負 或 由 負 轉 正 ﹐ 因 為 f

 

x 是 多 項 式 函 數 ( 連 續 函 數 )﹐ 所 以 在 反 曲 點 上 ﹐ f

 

x 的 函 數 值 為 0﹒ 反 曲 點 的 第 二 階 導 函 數 值 為 0 設 f x 為 二 次 以 上 的 多 項 式 函 數﹒若

 

a f a,

 

f x 圖 形 上 的 一 個 反 曲 點 ﹐

 

f

 

a 0﹒ 底 下 ﹐ 我 們 利 用 這 個 結 論 來 做 個 練 習 ﹒ 【 例 題 6】 已 知 點

 

1, 2 為 四 次 函 數 f x

 

x4ax2b圖 形 的 一 個 反 曲 點 ﹐求 實 數 a﹐b 的 值 ﹒ Ans: a=6, b= 7 【 詳 解 】 函 數 f x 的 第 一 階 與 第 二 階 導 函 數 分 別 為

 

 

3 4 2 fxxax

 

2 12 2 f xxa﹒ 因 為

 

1, 2 為 反 曲 點 ﹐ 所 以 f

 

1 0且 f

 

1 2﹐ 即 1 2 2 0 1 2 a a b         ﹒ 解 得a 6﹐b7﹒ 代 回 檢 驗 符 合 題 意 ﹒

(14)

【 隨 堂 練 習 6】 已 知 點P

 

1,3 為 三 次 函 數

 

3 2 f x  x ax  bx c圖 形 的 反 曲 點 ﹐ 且 以 點 P 為 切 點 的 切 線 斜 率 為 4 ﹐ 求 實 數a﹐ b ﹐c的 值 ﹒ Ans: a=3﹐ b= 7 ﹐ c=2 【 詳 解 】 函 數 f (x)的 第 一 階 與 第 二 階 導 函 數 分 別 為 f (x)= 3x2+ 2ax+ b﹐ f (x)= 6x+ 2a﹒ 因 為 P(1, 3)為 反 曲 點 ﹐ 所 以 f (1)= 3 且 f (1)= 0﹒ 又 因 為 以 P 為 切 點 的 切 線 斜 率 為 4﹐ 所 以 f (1)= 4﹒ 因 此 ﹐ 可 列 得 聯 立 方 程 式 1 3 6 2 0 3 2 4 a b c a a b               ﹒ 解 得 a=3﹐ b= 7﹐ c=2﹒ 代 回 檢 驗 符 合 題 意 ﹒

(15)

丙 ﹑ 描 繪 多 項 式 函 數 的 圖 形

現 在 ﹐ 我 們 就 來 介 紹 如 何 將 函 數 的 遞 增 ﹑ 遞 減 及 凹 向 等 資 料 用 於 多 項 式 函 數 圖 形 的 描 繪 ﹒ 【 例 題 7】 描 繪 函 數

 

3 3 2 f xxx的 圖 形 ﹒ 【 詳 解 】 先 求 出 f

 

xf

 

x ﹐ 並 將 它 們 因 式 分 解 如 下 ﹕

 

2



3 3 3 1 1 fxx   xx ﹐

 

6 f xx (1) 遞 增 與 遞 減 ﹕ 由 f

 

x 的 因 式 分 解 得 知 ﹐ f x 在 區 間

 

 , 1

1,

上 為 嚴 格 遞 增 函 數 ﹔ 在 區 間

 

1,1 上 為 嚴 格 遞 減 函 數 ﹒ (2) 凹 向 與 反 曲 點 ﹕ 由 f

 

x 的 因 式 分 解 得 知 ﹐ f x 在 區 間

 

0,

的 圖 形 是 凹 口 向 上 ﹔ 在 區 間

, 0

的 圖 形 是 凹 口 向 下 ﹔ 反 曲 點 為

0,f

 

0

 

0, 2 ﹒ (3) 繪 圖 ﹕ 再 根 據 以 上 的 資 料 整 理 成 下 表 ﹕

 

 

 

1 0 1 0 0 0 4 2 0 x f x f x f x               上 表 中 的 紅 色 曲 線 為 函 數 圖 形 的 大 略 形 狀 ﹒ 接 著 在 坐 標 平 面 上 ﹐ 先 點 出

1, 4

 

0, 2 ﹐

 

1,0 等 三 點 ﹐ 及 描 出 一 些 其 他 點 ﹐ 如

2, 0

 

2, 4 等 ﹐ 再 以 平 滑 曲 線 連 接 ﹐ 可 得 3 3 2 yxx 的 近 似 圖 形 如 下 ﹒

(16)

【 隨 堂 練 習 7】 描 繪 函 數 f x

 

  x3 6x的 圖 形 ﹒ 【 詳 解 】 首 先 求 出 f (x)及 f (x)﹐ 2 ( ) 3 6 3( 2)( 2) f x   x    xx﹐ f (x)=6x﹒ 接 著 列 表 如 下 ﹕ 2 0 2 ( ) 0 0 ( ) 0 ( ) 4 2 0 4 2 x f x f x f x                再 繪 圖 如 下 ﹕ x y O 2,4 2 2 , 4 2 6 6 y= x36x 再 舉 一 個 四 次 函 數 的 例 題 ﹒ 【 例 題 8】 描 繪 函 數

 

4 2 6 5 f xxx的 圖 形 ﹒ 【 詳 解 】 先 求 出 f

 

xf

 

x ﹐ 並 將 它 們 因 式 分 解 如 下 ﹕

 

3



4 12 4 3 3 fxxxx xx ﹐ x y O (1,0) (2,4) ( 1,4) ( 2,0) (,2)

(17)

x y O (0,5) (2, 3) ( 2, 3) 1 1 3, 4 3, 4

 

2



12 12 12 1 1 f xx   xx (1) 遞 增 與 遞 減 ﹕ 由 f

 

x 的 因 式 分 解 得 知 ﹐ f x 在 區 間

 

 3, 0與  3,

上 為 嚴 格 遞 增 函 數 ﹔ 在 區 間

 , 3與 0, 3上 為 嚴 格 遞 減 函 數 ﹒ (2) 凹 向 與 反 曲 點 ﹕ 由 f

 

x 的 因 式 分 解 得 知 ﹐ f x 在 區 間

 

 

1, 與

 , 1

的 圖 形 是 凹 口 向 上 ﹔ 在 區 間

1,1

的 圖 形 是 凹 口 向 下 ﹔ 反 曲 點 為

1,0

 

1,0 ﹒ (3) 繪 圖 ﹕ 再 根 據 以 上 的 資 料 整 理 成 下 表 ﹕

 

 

 

3 1 0 1 3 0 0 0 0 0 4 0 5 0 4 x f x f x f x                        上 表 中 的 紅 色 曲 線 為 函 數 圖 形 的 大 略 形 狀 ﹒ 接 著 在 坐 標 平 面 上 ﹐ 先 點 出

 3, 4

1,0

 

0,5 ﹐

 

1,0 ﹐

3, 4

等 五 點 ﹐ 及 描 出 一 些 其 他 點 ﹐ 如

 2, 3

2, 3

等 ﹐ 再 以 平 滑 曲 線 連 接 ﹐ 可 得 4 2 6 5 yxx  的 近 似 圖 形 如 右 ﹒ 【 隨 堂 練 習 8】 描 繪 函 數

 

4 2 2 1 f xxx的 圖 形 ﹒ 【 詳 解 】 首 先 求 出 f (x)及 f (x)﹐ f (x)= 4x3- 4x= 4x(x- 1)(x+ 1)﹐ 2 ( ) 12 4 4( 3 1)( 3 1) f xx   xx ﹒ 接 著 列 表 如 下 ﹕

(18)

1 1 1 0 1 3 3 ( ) 0 0 0 ( ) 0 0 4 4 ( ) 0 1 0 9 9 x f x f x f x                      再 繪 圖 如 下 ﹕ x y O (1,0) ( 1,0) , 1 3 4 9 , 1 3 4 9 (0,1) y = x4 2x21 底 下 ﹐ 我 們 來 描 繪 一 個 沒 有 遞 減 區 間 的 三 次 函 數 之 圖 形 ﹒ 【 例 題 9】 描 繪 函 數

 

3 2 3 4 1 f xxxx的 圖 形 ﹒ 【 詳 解 】 先 求 出 f

 

xf

 

x

 

2 3 6 4 fxxx ﹐

 

6 6 f xx (1) 遞 增 與 遞 減 ﹕ 由 二 次 函 數 f

 

x 的 判 別 式

 

6 2     4 3 4 12 0得 知 ﹐ 無 論 x 是 任 何 實 數 ﹐ f

 

x 的 值 恆 為 正 數 ﹐ 即 f x 恆 為 嚴 格 遞 增 函 數 ﹒

 

(2) 凹 向 與 反 曲 點 ﹕ 由 f

  

x 6 x1

得 知 ﹐ f x 在 區 間

 

 

1, 的 圖 形 是 凹 口 向 上 ﹔ 在 區 間

,1

的 圖 形 是 凹 口 向 下 ﹔ 反 曲 點 為

1,f

 

1

 

1,1 ﹒ (3) 繪 圖 ﹕

(19)

再 根 據 以 上 的 資 料 整 理 成 下 表 ﹕

 

 

 

1 0 1 x f x f x f x        上 表 中 的 紅 色 曲 線 為 函 數 圖 形 的 大 略 形 狀 ﹒ 接 著 在 坐 標 平 面 上 ﹐ 先 點 出

 

1,1 ﹐ 及 描 出 一 些 其 他 點 ﹐ 如

 

2 , 3 ﹐

0, 1

等 ﹐ 再 以 平 滑 曲 線 連 接 ﹐ 可 得 3 2 3 4 1 yxxx 的 近 似 圖 形 如 右 ﹒ x -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f(x) -29 -9 -1 1 3 11 31 69 131 223 351 521 739 【 隨 堂 練 習 9】 描 繪 函 數

 

3 2 3 f x   x x的 圖 形 ﹒ 【 詳 解 】 先 求 出 f (x)及 f (x)﹐ f (x)=3x2- 2﹐ f (x)=6x﹒ 接 著 列 表 如 下 ﹕ 0 ( ) ( ) 0 ( ) 3 x f x f x f x        再 繪 圖 如 下 ﹕ x y O (1,0) (0,3) ( 1,6) y= x3 2x3 x y O (2,3) (1,1) (0, 1)

(20)

丁 ﹑ 多 項 式 函 數 的 極 值

在 第 一 冊 時 曾 經 使 用 配 方 法 求 得 二 次 函 數 的 最 大 值 與 最 小 值 ﹐ 但 這 方 法 並 不 能 應 用 到 三 次 以 上 的 函 數 ﹒ 本 單 元 我 們 將 介 紹 如 何 利 用 導 數 的 方 法 求 得 多 項 式 函 數 的 極 值 ﹒ 首 先 ﹐ 我 們 來 介 紹 最 大 值 ﹑ 最 小 值 ﹑ 極 大 值 與 極 小 值 這 四 個 名 詞 ﹒ (一 ) 極 值 的 定 義 設 多 項 式 函 數 f x 在 閉 區 間

 

 

a b 的 圖 形 ﹐ 如 圖 7 所 示 ﹕ , x y O a c d b f (b) f (c) f (a) f (d) A B C D ▲ 圖 7 (1) 在 圖 形 上 ﹐ 很 接 近 C 點 的 每 個 點 都 比 C 點 低 ﹐ 也 就 是 說 ﹐ C 點 是 局 部 範 圍 內 的 最 高 點 ﹐ 而 B 點 是 端 點 ﹐ 也 是 局 部 範 圍 內 的 最 高 點 ﹐ 我 們 稱 這 兩 點 的 縱 坐 標 f c 及

 

f b 都 是 函 數

 

f x( )的 極 大 值﹒又 B 點 是 全 部 圖 形 中 的 最 高 點 ﹐ 我 們 也 稱 B 點 的 縱 坐 標 f b 為 函 數

 

f x 的 最 大 值 ﹒

 

(2) 在 圖 形 上 ﹐ 很 接 近 D 點 的 每 個 點 都 比 D 點 高 ﹐ 也 就 是 說 ﹐ D 點 是 局 部 範 圍 內 的 最 低 點 ﹐ 而 A 點 是 端 點 ﹐ 也 是 局 部 範 圍 內 的 最 低 點 ﹐ 我 們 稱 這 兩 點 的 縱 坐 標 f d 及

 

f a 都 是 函 數

 

f x 的 極 小 值 ﹒ 又 D 點 是 全 部 圖 形 中 的 最 低

 

點 ﹐ 我 們 也 稱 D 點 的 縱 坐 標 f d 為 函 數

 

f x 的 最 小 值 ﹒

 

一 般 而 言 ﹐ 我 們 有

(21)

極 值 的 定 義 (1) 若cf x 定 義 域 中 的 一 數 ﹐且 在 定 義 域 中

 

c附 近 的 每 一 個 數 x﹐都 有

 

 

f cf x 時 ﹐ 則 稱 f c 為 函 數

 

f x 的 一 個 極 大 值 ﹔ 若

 

af x 定 義

 

域 中 的 一 數 ﹐ 且 在 定 義 域 中 a附 近 的 每 一 個 數 x﹐ 都 有 f a

 

f x

 

時 ﹐ 則 稱 f a 為 函 數

 

f x 的 一 個 極 小 值 ﹒

 

(2) 在 f x 所 有 的 極 大 值 中 ﹐ 最 大 的 那 個 數 稱 為 函 數

 

f x 的 最 大 值 ﹒

 

f x 所 有 的 極 小 值 中 ﹐ 最 小 的 那 個 數 稱 為 函 數

 

f x 的 最 小 值 ﹒

 

我 們 將 極 大 值 與 極 小 值 合 稱 為 極 值 ﹒ 【 隨 堂 練 習 01】 下 圖 是 多 項 式 函 數 f x 在 閉 區 間

 

4,6

的 圖 形 ﹐ 試 由 圖 形 指 出 此 函 數 的 最 大 值 ﹑ 最 小 值 ﹑ 極 大 值 與 極 小 值 ﹒ A( 4,5) C( 1,1) D(2,3) F(5, 1) E(4, 3) B(6, 2) x y O Ans: 最 大 值 5﹐ 最 小 值 3﹐ 極 大 值 5﹐ 3﹐1﹐ 極 小 值 1﹐3﹐2 【 詳 解 】 根 據 定 義 ﹐ 得 (1) 最 大 值 為 5﹒ (2) 最 小 值 為 3﹒ (3) 極 大 值 有 5﹐ 3﹐1﹒ (4) 極 小 值 有 1﹐3﹐2﹒

(22)

(二 ) 極 值 可 能 發 生 的 點 從 圖 7 可 推 得 ﹐當 多 項 式 f x 定 義 在 閉 區 間

 

 

a b 上 時 ﹐端 點, 所 產 生 的 函 數 值 f a 與

 

f b 一 定 是 極 值 ﹒ 接 下 來 ﹐我 們 要 探 討 端

 

點 以 外 的 極 值 點 與 導 數 有 什 麼 關 係 ﹒ 觀 察 例 題 7 中 函 數

 

3 3 2 f xxx 的 圖 形( 如 圖 8)與 其 導 函 數

 

2 3 3 fxx  ﹒ 因 為 點

1, 4

是 圖 形 由 上 升 轉 為 下 降 的 轉 折 點 ﹐ 即 局 部 範 圍 內 的 最 高 點 ﹐所 以 f x 在

 

x 1處 有 極 大 值 ﹔ 另 一 方 面 ﹐點

 

1,0 是 圖 形 由 下 降 轉 為 上 升 的 轉 折 點 ﹐ 即 局 部 範 圍 內 的 最 低 點 ﹐ 所 以 f x 在

 

x1處 有 極 小 值 ﹒ 這 兩 個 產 生 極 值 處 的 導 數 均 為 0﹐ 即

 

1

 

1 0 f   f  ﹒ 我 們 想 知 道 的 是 ﹕ 多 項 式 函 數 產 生 極 大 值 或 極 小 值 的 點 ﹐ 它 們 的 導 數 都 是 0 嗎 ﹖ 設 多 項 式 函 數 f x 在

 

xc處 有 極 大 值 ﹐ 如 圖 9(a)所 示 ﹕ x c x c (a)極 大 值 (b)極 小 值 ▲ 圖 9 在 xc的 附 近 ﹐ c點 的 左 側 圖 形 是 上 升 的 ﹐ 而 右 側 圖 形 是 下 降 的 ﹒ 也 就 是 說 ﹐ 在 xc的 附 近 ﹐當 xc時 ﹐ f

 

x 0﹔ 當 xc時 ﹐ f

 

x 0﹒ 又 因 為 f

 

x 是 多 項 式 函 數 ( 連 續 函 數 )﹐ 所 以 f c

 

0﹒ 至 於 f x 在

 

xc處 有 極 小 值 時 ﹐ 如 圖 9(b)所 示 ﹐ 可 以 仿 造 前 面 的 方 法 推 得

 

0 f c  ﹒ 我 們 將 這 個 結 論 敘 述 如 下 ﹕ 端 點 以 外 的 極 值 點 ﹐ 其 導 數 為 0﹒ (1,0) ( 1,4)

(23)

此 外 ﹐閉 區 間

 

a b 的 端 點, a﹐b 也 是 產 生 極 值 的 點 ﹐這 提 供 給 我 們 一 個 很 重 要 的 資 訊 ﹕ 極 值 可 能 發 生 的 點 當 多 項 式 函 數 f x 定 義 在 閉 區 間

 

 

a b 上 時 ﹐, f x 的 極 大 值 與 極 小 值 只 可 能

 

出 現 在 下 面 這 些 點 ﹕ (1) 閉 區 間

 

a b 的 端 點 ﹒ , (2) 導 數 為 0 的 點 ﹐ 即 滿 足 f

 

x 0的 點 ﹒ 這 裡 要 強 調 的 是 ﹕ 在 多 項 式 函 數 中 ﹐ 導 數 為 0 的 點 只 是 產 生 極 值 的 可 能 點 ﹐ 未 必 一 定 是 產 生 極 值 的 點 ﹒ 例 如 ﹐ 因 為 函 數

 

3 f xxx0處 的 導 數 f

 

0 0﹐所 以 f x 在

 

x0處 可 能 產 生 極 值 ﹒ 但 是 由 其 圖 形 知 道 f x 沒 有 極 大 值 也 沒 有 極 小

 

值 ﹐ 也 就 是 說 ﹐ 雖 然 x0是 導 數 為 0 的 點 ﹐ 但 x0並 不 是 產 生 極 值 的 點 ﹒ (三 )極 值 的 一 階 檢 定 法 接 下 來 我 們 想 知 道 的 是 ﹐ 如 何 判 別 滿 足 f

 

x 0的 點 是 否 是 產 生 極 值 的 點 ? 又 如 何 區 分 一 個 極 值 是 極 大 值 或 極 小 值 ?先 觀 察 下 列 兩 個 圖 形 的 遞 增 與 遞 減 狀 況 ﹕ x c x c (a)極 大 值 (b)極 小 值 ▲ 圖 11 設 f x 為 多 項 式 函 數 ﹐ 且 在

 

xc處 有 極 值 ﹒ x y O y= x3

(24)

(1) 若 在 xc處 的 左 側 附 近 嚴 格 遞 增 且 右 側 附 近 嚴 格 遞 減 ﹐如 圖 11(a)所 示 ﹐則

 

f x 在 xc處 有 極 大 值 ﹒ (2) 若 在 xc處 的 左 側 附 近 嚴 格 遞 減 且 右 側 附 近 嚴 格 遞 增 ﹐如 圖 11(b)所 示 ﹐則

 

f x 在 xc處 有 極 小 值 ﹒ 我 們 將 上 述 的 現 象 整 理 成 底 下 這 個 判 定 極 大 值 或 極 小 值 的 方 法 ﹕ 極 值 的 一 階 檢 定 法 設 f x 為 多 項 式 函 數 ﹐ 且

 

f

 

c 0﹒ (1) 若 對c附 近 的 任 意 數 x﹐滿 足 當 xc時 ﹐f

 

x 0﹔ 當 xc時 ﹐f

 

x 0﹐ 則 f x 在

 

xc處 有 極 大 值 ﹒ (2) 若 對c附 近 的 任 意 數 x﹐滿 足 當 xc時 ﹐f

 

x 0﹔ 當 xc時 ﹐f

 

x 0﹐ 則 f x 在

 

xc處 有 極 小 值 ﹒ 底 下 ﹐ 我 們 利 用 這 個 檢 定 法 求 極 值 ﹒ 【 例 題 10】 求 函 數

 

4 2 6 5 f xxx的 極 大 值 與 極 小 值 ﹒ Ans: M= 5, m=4 【 詳 解 】 先 求 出 f x 的 導 函 數 ﹐ 並 將 其 因 式 分 解 如 下 ﹕

 

 

3



4 12 4 3 3 fxxxx xx ﹒ 當 f

 

x 0時 ﹐ 解 得 x  3﹐ 0 或 3﹒ 接 著 將 f

 

x 的 正 ﹑ 負 整 理 成 下 表 ﹕

(25)

 

 

3 0 3 0 0 0 4 5 4 x f x f x         利 用 極 值 的 一 階 檢 定 法 ﹐ 得 f x 在

 

x0處 有 極 大 值 f

 

0 5﹔ 在 x  3及 x 3兩 處 都 有 極 小 值 f

   

 3  f 3  4 【 隨 堂 練 習 10】 求 函 數

 

3 12 2 f x  x x的 極 大 值 與 極 小 值 ﹒ Ans: 極 大 值 18﹐ 極 小 值 14 【 詳 解 】 首 先 求 出 f (x)的 導 函 數 f (x)= 3x2- 12= 3(x- 2)(x+ 2)﹒ 當 f (x)= 0 時 ﹐ 解 得 x=2﹐ 2﹒ 接 著 將 f (x)的 正 ﹑ 負 列 表 如 下 ﹕ 2 2 ( ) 0 0 ( ) 18 14 x f x f x       利 用 極 值 的 一 階 檢 定 法 ﹐ 得 f (x)的 極 大 值 為 18﹐ 極 小 值 為 14﹒ 當 多 項 式 函 數 f x 定 義 在 閉 區 間

 

 

a b 上 時 ﹐其 圖 形 是, 一 條 有 兩 端 點 的 連 續 曲 線( 或 線 段 )﹒因 為 這 樣 的 圖 形 必 然 有 最 高 點 與 最 低 點( 如 圖 12 中 ﹐最 高 點 為 C ﹐最 低 點 為 端 點 A )﹐所 以 f x 一 定 有 最 大 值 與 最 小 值﹒此 時 ﹐我 們 除 了

 

考 慮 導 數 為 0 的 點 外 ﹐ 還 需 考 慮 閉 區 間

 

a b 的 兩 個 端 點 ﹐, 來 確 定 f x 的 極 大 值 與 極 小 值 ﹐ 進 而 求 出 最 大 值 與 最 小 值 ﹒

 

x y O a b A B C y=f (x)

(26)

【 例 題 11】 求 函 數

 

3 3 2 f xxx 在 閉 區 間

3,3

上 的 最 大 值 與 最 小 值 ﹒ Ans: 最 大 值 為 20﹐ 最 小 值 為 16 【 詳 解 】 先 求 出 f x 的 導 函 數 ﹐ 並 將 其 因 式 分 解 如 下 ﹕

 

 

2



3 3 3 1 1 fxx   xx ﹒ 當 f

 

x 0時 ﹐ 解 得 x 1或 1﹒ 因 為 閉 區 間

3,3

的 端 點 為 3 ﹐ 3﹐ 所 以 f x 的 極 值 只 可 能 出 現 在

 

x 3﹐ 1 ﹐ 1 與 3 ﹒ 接 著 將 f

 

x 的 正 ﹑ 負 整 理 成 下 表 ﹕

 

 

3 1 1 3 0 0 16 4 0 20 x f x f x        由 函 數 的 遞 增 與 遞 減 ﹐ 我 們 知 道 ﹕

 

f x 的 極 大 值 為 f

 

 1 4及 f

 

3 20﹔ 極 小 值 為 f

 

  3 16及 f

 

1 0﹒ 又 因 為 20 是 所 有 極 大 值 中 最 大 的 一 個 ﹐ 及 16 是 所 有 極 小 值 中 最 小 的 一 個 ﹐ 所 以 最 大 值 為 20﹐ 最 小 值 為 16 【 隨 堂 練 習 11】 求 函 數

 

3 2 3 9 2 f x   x xx 在 閉 區 間

4, 2

上 的 最 大 值 與 最 小 值 ﹒ Ans: 最 大 值 7﹐ 最 小 值 25 【 詳 解 】 首 先 求 出 f (x)的 導 函 數 f (x)=3x2- 6x+ 9=3(x+ 3)(x- 1)﹒

(27)

當 f (x)= 0 時 ﹐ 解 得 x=3﹐ 1﹒ 因 為 f (x)的 定 義 域 端 點 為 4﹐ 2﹐ 所 以 f (x)的 極 值 只 可 能 出 現 在 4﹐3﹐ 1﹐ 2﹒ 接 著 將 f (x)的 正 ﹑ 負 列 表 如 下 ﹕ 4 3 1 2 ( ) 0 0 ( ) 18 25 7 0 x f x f x         因 此 ﹐ f (x)的 最 大 值 為 7﹐ 最 小 值 為 25﹒ (四 )極 值 的 二 階 檢 定 法 在 多 項 式 函 數 f x 滿 足

 

f c

 

0的 前 提 下 ﹐ 極 值 的 一 階 檢 定 法 是 在 xc處 附 近 ﹐觀 察 導 數 的 正 負 變 化 來 判 定 極 值﹒現 在 ﹐我 們 再 介 紹 一 個 只 需 再 利 用 f

 

c 值 的 正 負 就 可 判 定 極 值 的 方 法 ﹒ 先 觀 察 下 列 兩 個 圖 形 的 凹 向 狀 況 ﹕ x c x c (a)極 大 值 (b)極 小 值 ▲ 圖 13 設 f x 為 多 項 式 函 數 ﹐ 且 在

 

xc處 有 極 值 ﹒ (1) 若 f x 在

 

xc處 附 近 的 圖 形 是 凹 口 向 下 ﹐ 如 圖 13(a)所 示 ﹐ 則 f x 在

 

xc處 有 極 大 值 ﹒ (2) 若 f x 在

 

xc處 附 近 的 圖 形 是 凹 口 向 上 ﹐ 如 圖 13(b)所 示 ﹐ 則 f x 在

 

xc處 有 極 小 值 ﹒ 我 們 將 上 述 的 現 象 整 理 成 底 下 這 個 判 定 極 大 值 或 極 小 值 的 方 法 ﹕

(28)

極 值 的 二 階 檢 定 法 設 f x 為 多 項 式 函 數 ﹐ 且

 

f c

 

0﹒ (1) 若 f

 

c 0﹐ 則 f x 在

 

xc處 有 極 大 值 ﹒ (2) 若 f

 

c 0﹐ 則 f x 在

 

xc處 有 極 小 值 ﹒ 底 下 ﹐ 我 們 利 用 這 個 檢 定 法 求 極 值 ﹒ 【 例 題 12】 求 函 數

 

4 2 8 3 f x   x x的 極 大 值 與 極 小 值 ﹒ Ans: 極 大 值 為 13﹐ 極 小 值 為3 【 詳 解 】 先 求 出 f

 

xf

 

x ﹐ 並 將 f

 

x 因 式 分 解 如 下 ﹕

 

4 3 16 4

2



2

fx   xx  x xx ﹐

 

2 12 16 f x   x  ﹒ 當 f

 

x 0時 ﹐ 解 得 x 2﹐ 0 或 2﹐ 即 f

 

 2 f

 

0  f

 

 2 0﹒ 因 此 ﹐ f

 

2 ﹐ f

 

0 與 f

 

2 是 f x 可 能 的 極 值 ﹐

 

利 用 極 值 的 二 階 檢 定 法 判 定 如 下 ﹕ (1) 由 f    

 

2 32 0﹐ 知 f

 

 2 1 3是 極 大 值 ﹒ (2) 由 f

 

0 160﹐ 知 f

 

0  3是 極 小 值 ﹒ (3) 由 f

 

2   32 0﹐ 知 f

 

2 1 3是 極 大 值 ﹒ 故 f x 的 極 大 值 為 13 ﹐ 極 小 值 為 3

 

(29)

【 隨 堂 練 習 12】 求 函 數

 

3 2 6 9 4 f x  x xx的 極 大 值 與 極 小 值 ﹒ Ans: 極 大 值 8﹐ 極 小 值 4 【 詳 解 】 先 求 出 f (x)與 f (x)﹐ 並 將 f (x)因 式 分 解 如 下 ﹕ f (x= 3x2- 12x+ 9= 3(x- 1)(x- 3)﹐ f (x)= 6x- 12﹒ 當 f (x)= 0 時 ﹐ 解 得 x- 1 或 3﹐ 即 f (1)= f (3)= 0﹒ 因 此 ﹐ f (1)與 f (3)是 f (x)可 能 的 極 值 ﹐ 利 用 極 值 的 二 階 檢 定 法 判 定 如 下 ﹕ (1) 由 f (1)=6< 0﹐ 知 f (1)= 8 是 極 大 值 ﹒ (2) 由 f (3)= 6> 0﹐ 知 f (3)= 4 是 極 小 值 ﹒ 故 f (x)的 極 大 值 為 8﹐ 極 小 值 為 4﹒ 極 值 的 二 階 檢 定 法 在 使 用 上 往 往 比 極 值 的 一 階 檢 定 法 簡 潔 些 ﹐ 但 遇 到

 

 

0 fcf c  時 ﹐二 階 檢 定 法 就 不 適 用 ﹐此 時 可 改 用 一 階 檢 定 法 來 判 定 ﹐舉 例 如 下 ﹕ 【 例 題 13】 求 函 數

 

4 3 4 2 f xxx的 極 值 ﹒ Ans: 極 小 值 f

 

  3 25﹐ 沒 有 極 大 值 【 詳 解 】 先 求 出 f

 

xf

 

x ﹐ 並 將 f

 

x 因 式 分 解 如 下 ﹕

 

3 2 2

4 12 4 3 fxxxx x ﹐

 

2 12 24 f xxx﹒ 當 f

 

x 0時 ﹐ 解 得 x 3或 0 ( 重 根 )﹐ 即 f

 

 3 f

 

0 0﹒ 因 此 ﹐ f

 

3 與 f

 

0 是 f x 可 能 的 極 值 ﹐

 

利 用 極 值 的 二 階 檢 定 法 判 定 如 下 ﹕

(30)

(1) 因 為 f  

 

3 3 6 0﹐ 所 以 f

 

  3 2 5是 極 小 值 ﹒ (2)因 為 f

 

0 0﹐ 所 以 二 階 檢 定 法 不 適 用 ﹐ 改 用 一 階 檢 定 法 來 判 定 極 值 ﹒ 將 f x( )的 正 ﹑ 負 整 理 成 下 表 ﹕

 

 

3 0 0 0 25 2 x f x f x       這 表 示 f x 在

 

x0處 的 左 右 兩 側 都 是 遞 增 的 ﹐ 即 f

 

0 2不 是 極 值 ﹒ 故

 

f x 只 有 極 小 值 f

 

  3 25﹐ 沒 有 極 大 值 ﹒ 上 例 是 滿 足 f c

 

f

 

c 0﹐而 f c 不 是 極 值 的 例 子﹒底 下 ﹐我 們 練 習 一 道

 

滿 足 f

 

cf

 

c0﹐ 但 f c 是 極 值 的 隨 堂 練 習 ﹒

 

【 隨 堂 練 習 13】 求 函 數

 

4 f xx 的 極 值 ﹒ Ans: 極 小 值 0﹐ 沒 有 極 大 值 【 詳 解 】 先 求 出 f (x)與 f (x)﹕ f (x)= 4x3﹐ f (x)= 12x2﹒ 當 f (x)= 0 時 ﹐ 解 得 x= 0( 三 重 根 )﹐ 即 f (0)= 0﹒ 因 此 ﹐ f (0)是 f (x)可 能 的 極 值 ﹒ 因 為 f (0)= 0﹐ 所 以 二 階 檢 定 法 不 適 用 ﹐ 改 用 一 階 檢 定 法 來 判 定 極 值 ﹒ 將 f (x)的 正 ﹑ 負 整 理 成 下 表 ﹕ 0 ( ) 0 ( ) 0 x f x f x    故 f (x)只 有 極 小 值 f (0)= 0﹐ 沒 有 極 大 值 ﹒ 由 例 題 13 及 其 隨 堂 練 習 知 道 ﹐ 滿 足 f c

 

f

 

c 0的 多 項 式 函 數 f x 在

 

xc處 可 能 有 極 值 也 可 能 沒 有 極 值 ﹒ 底 下 ﹐ 我 們 應 用 極 值 的 檢 定 法 求 多 項 式 函 數 ﹒

(31)

【 例 題 14】 已 知 三 次 函 數 f x 在

 

x0處 有 極 大 值 2﹐ 在 x2處 有 極 小 值 2 ﹐ 求 f x ﹒

 

Ans: f x

 

 x3 3x22 【 詳 解 】 設

 

3 2 f xaxbx  cx da0)﹒ 求 出 f

 

x

 

2 3 2 fxaxbx c ﹒ 因 為 f x 在

 

x0與 x2處 有 極 值 ﹐ 所 以

 

0 0 f  且 f

 

2 0﹒ 又 因 為 f x 在

 

x0與 x2時 的 函 數 值 分 別 為 2 與 2 ﹐ 所 以

 

0 2 f  且 f

 

2  2﹒ 因 此 ﹐ 可 列 得 聯 立 方 程 式

 

 

 

 

0 0 2 12 4 0 0 2 2 8 4 2 2 f c f a b c f d f a b c d                     ﹒ 解 得a1﹐b 3﹐c0﹐ d 2﹐ 即

 

3 2 3 2 f x  x x  ﹒ 代 回 檢 驗 ﹕ 由 f

 

x 6x6﹐ 得 f

 

0   6 0﹐ f

 

2  6 0﹒ 利 用 極 值 的 二 階 檢 定 ﹐ 得 f

 

0 2是 極 大 值 ﹔

 

2 2 f   是 極 小 值 ﹒ 符 合 題 意 ﹐ 故

 

3 2 3 2 f x  x x 【 隨 堂 練 習 14】 設 函 數

 

3 2 5 f x  x ax  bxx1處 有 極 小 值 3﹐ 求 實 數 a﹐ b 的 值 ﹒ Ans: a= 0﹐ b=3

(32)

【 詳 解 】 函 數 f (x)的 導 函 數 為 f (x)= 3x2+ 2ax+ b﹒ 因 為 在 x= 1 處 有 極 小 值 3﹐ 所 以 f (1)= 0 且 f (1)= 3﹐ 即 3 2 0 2 3 1 5 3 3 a b a b a b a b                  ﹐ 解 得 a= 0﹐ b=3﹒

(33)

戊 ﹑ 三 次 函 數 的 圖 形

本 單 元 我 們 將 函 數 的 遞 增 ﹑ 遞 減 及 凹 向 等 性 質 作 為 輔 助 資 料 ﹐ 完 整 討 論 三 次 函 數 所 有 可 能 的 圖 形 ﹒ 三 次 函 數

 

3 2 f xaxbx  cx da0) 的 第 一 階 與 第 二 階 導 函 數 為 f

 

x 3ax22bx c ﹐

 

6 2 6 3 b f x ax b a x a        ﹒ 因 為 f

 

x 0是 一 次 方 程 式 ﹐所 以 f

 

x 0恰 有 一 個 實 根 3 b x a   ﹒我 們 將 f

 

x 的 正 ﹑ 負 列 表 如 下 ﹕ (1)當 a0時 (2)當a0時

 

03 x f x b a     凹向變化

 

03 x f x b a     凹向變化 由 上 表 的 資 料 ﹐ 可 知 f x 圖 形 的 凹 向 在

 

3 b x a   處 發 生 變 化 ﹒ 因 此 ﹐ 三 次 函 數 f x 的 圖 形 恰 有 一 個 反 曲 點

 

, 3 3 b b f a a        其 次 ﹐ 因 為

 

2 3 2 0 fxaxbx c  是 二 次 方 程 式 ﹐ 其 判 別 式 為

 

2

2

2b    4 3a c 4 b 3ac ﹐ 所 以 二 次 方 程 式 f

 

x 0的 解 可 能 為 (1) 兩 相 異 實 根 ﹐ 此 時 2 3 0 bac ﹔ (2) 兩 相 等 實 根 ﹐ 此 時 2 3 0 bac ﹔ (3) 沒 有 實 根 ﹐ 此 時 2 3 0 bac ﹒ 以 下 我 們 分 別 就 這 三 種 情 形 來 討 論 函 數 f x 的 圖 形 ﹕

 

第 一 種 情 形 ﹕ f

 

x 0有 兩 相 異 實 根 ﹐ 此 時 2 3 0 bac ﹒ 設 f

 

x 0的 兩 個 相 異 實 根 為 與  ﹐且  ﹒此 時 f

 

xf

 

x 可 分 別 表 示 成 f

 

x 3ax22bx c 3a x





x

3a x

2

 

x

f

 

x 3a

2x

 

6 2 a x      ﹒

(34)

 當 a0時 ﹐ 我 們 將 f x 的 有 關 資 料 整 理 如 下 表 ﹕

 

 

 

2 0 0 0 x f x f x                   、 極大值 圖形大略形狀 反曲點 極值及反曲點 極小值 綜 合 上 表 的 資 料 ﹐可 知 f x 的 圖 形 是 圖 14(a)的 形 狀 ﹐即 圖 形 是 先 遞 增 ﹐後 遞 減 ﹐

 

再 遞 增 ﹐ 恰 有 一 個 反 曲 點 ﹔ 它 有 兩 個 極 值 ﹐ 且 在 極 值 處 有 水 平 切 線 ﹒ 例 題 7 中 的

 

3 3 2 f xxx 就 是 這 種 類 型 的 函 數 ﹒  當 a0時 ﹐仿 照的 討 論 ﹐可 知 f x 的 圖 形 是 圖 14(b)的 形 狀﹒ 例 題 7 隨 堂

 

練 習 中 的

 

3 6 f x   x x就 是 這 種 類 型 的 函 數 ﹒ (a)a0 (b)a0 ▲ 圖 14 第 二 種 情 形 ﹕ f

 

x 0有 兩 相 等 實 根 ( 二 重 根 )﹐ 即 2 3 0 bac ﹒ 設 f

 

x 0的 二 重 根 為 ﹒ 此 時 f

 

xf

 

x 可 分 別 表 示 成 f

 

x 3ax22bx c 3a x



2﹐ f

 

x 6a x



﹒  當 a0時 ﹐ 我 們 將 f x( )的 相 關 資 料 整 理 如 下 表 ﹕

(35)

 

 

0 0 x f x f x        圖形大略形狀 反曲點 與反曲點 ( 註 ﹕ 無 極 值 ) 綜 合 上 表 的 資 料 ﹐ 可 知 f x 的 圖 形 是 圖 15(a)的 形 狀 ﹐ 即

 

f x 是 遞 增 函 數 ﹐

 

沒 有 極 值 ﹔ 它 恰 有 一 個 反 曲 點 ﹐ 而 且 在 反 曲 點 處 有 水 平 切 線 ﹐ 例 如 ﹐

 

3 1 f x  x 就 是 這 種 類 型 的 函 數 ﹒  當 a0時 ﹐ 仿 照的 討 論 ﹐ 可 知 f x 的 圖 形 是 圖 15(b)的 形 狀 ﹒ 例 如 ﹐

 

 

3 f x  x 就 是 這 種 類 型 的 函 數 ﹒ (a)a0 (b)a0 ▲ 圖 15 第 三 種 情 形 ﹕ f x( )0沒 有 實 根 ﹐ 即 2 3 0 bac ﹒ 當 a0時 ﹐因 為 無 論 x 是 任 何 實 數 ﹐ f

 

x 的 值 恆 為 正 數 ﹐所 以 f x 是 遞 增 函

 

數 ﹐ 沒 有 極 值 ﹔ 它 恰 有 一 個 反 曲 點 ﹔ 而 且 因 為 f

 

x 的 值 都 不 為 0﹐ 所 以 函 數 f x 的 圖 形 沒 有 水 平 切 線 ﹐ 其 圖 形 是 圖 16(a)的 形 狀 ﹒ 例 題 9 中 的

 

 

3 2 3 4 1 f xxxx 就 是 這 種 類 型 的 函 數 ﹒  當 a0時 ﹐仿 照的 討 論 ﹐可 知 f x 的 圖 形 是 圖 16(b)的 形 狀﹒ 例 題 9 隨 堂

 

練 習 中 的

 

3 2 3 f x   x x 就 是 這 種 類 型 的 函 數 ﹒

(36)

(a)a0 (b)a0 ▲ 圖 16 圖 14 至 圖 16 等 六 種 形 狀 的 圖 形 ﹐ 就 是 三 次 函 數 所 有 可 能 的 圖 形 ﹐ 整 理 如 下 ﹕ 2 3 bac a 2 3 0 bacb2 3ac0 b23ac0 0 a 0 a 綜 合 以 上 的 討 論 ﹐ 我 們 將 三 次 函 數 圖 形 的 特 性 整 理 如 下 ﹕

(37)

三 次 函 數 圖 形 的 特 性 三 次 函 數

 

3 2 f xaxbx  cx d的 圖 形 恰 有 一 個 反 曲 點 , 3 3 b b f a a       ﹐而 且 (1) 當b23ac0時 ﹐f x 有 兩 個 極 值 ﹐其 圖 形 在 極 值 處 有 水 平 切 線﹒

 

(2) 當 2 3 0 bac 時 ﹐f x 沒 有 極 值 ﹐其 圖 形 在 反 曲 點 處 有 水 平 切 線﹒

 

(3) 當 2 3 0 bac 時 ﹐ f x 沒 有 極 值 ﹐ 其 圖 形 沒 有 水 平 切 線 ﹒

 

其 中 當 2 3 0 bac 時 ﹐若 a0﹐則 f x 是 遞 增 函 數 ﹔ 若

 

a0﹐則 f x 是

 

遞 減 函 數 ﹒ 現 在 我 們 來 做 一 道 有 關 三 次 函 數 圖 形 特 性 的 例 題 ﹒ 【 例 題 15】 已 知 三 次 函 數

 

3 2 3 10 f xxkxx有 兩 個 極 值 ﹐ 求 實 數 k 的 範 圍 ﹒ Ans:k3或k 3 【 詳 解 】 因 為 f x 有 兩 個 極 值 ﹐ 所 以 方 程 式

 

f

 

x 3x22kx 3 0有 二 相 異 實 根 ﹒ 因 此 ﹐ 其 判 別 式

 

2k 2   4 3 3 0﹐ 即 2 9 0 k   ﹒ 解 得 k3或k 3 【 隨 堂 練 習 15】 已 知 三 次 函 數

 

3 2 3 2 6 f x   xx  kx 沒 有 極 值 ﹐ 求 實 數 k 的 範 圍 ﹒ Ans: 4 9 k  【 詳 解 】 因 為 f (x)沒 有 極 值 ﹐ 所 以 方 程 式 f (x)=9x2+ 4x+ k= 0 是 兩 相 等 實 根 或 沒 有 實 根 ﹒ 因 此 ﹐ 其 判 別 式 42- 4 (9)  k≦ 0﹐ 即 16+ 36k≦ 0﹒ 解 得 4 9 k  ﹒

(38)

x y O 由 三 次 函 數 圖 形 的 形 狀 ﹐ 可 以 判 定 係 數 的 正 負 ﹒ 【 例 題 16】 右 圖 為 三 次 函 數

 

3 2 f xaxbx  cx d的 圖 形 ﹐ 其 中 黑 點 為 反 曲 點 ﹒ 選 出 正 確 的 選 項 ﹕ (1) a0 (2) b0 (3) c0 (4) d 0 (5) 2 3 0 bac Ans: (1)(4)(5) 【 詳 解 】 函 數 f x 的 第 一 階 與 第 二 階 導 函 數 分 別 為

 

 

2 3 2 fxaxbx c ﹐

 

6 2 f xaxb (1) 因 為 圖 形 的 最 右 方 是 上 揚 的 ﹐ 所 以 a0﹒ (2) 因 為 反 曲 點 在 y 軸 的 右 側 ﹐ 即 反 曲 點 的 x坐 標 0 3 b a   ﹐ 且a0﹐ 所 以b0﹒ (3) 因 為 在 x0處 的 切 線 斜 率 為 f

 

0 c﹐且 由 圖 形 知 此 切 線 的 斜 率 為 負 ﹐ 所 以c0﹒ (4) 因 為 f

 

0 d﹐ 即 圖 形 與 y 軸 的 交 點 為

 

0, d ﹐ 且 由 圖 形 知

 

0, d 在 x 軸 上 方 ﹐ 所 以 d 0﹒ (5) 因 為 f x 有 兩 個 極 值 ﹐ 所 以

 

b23ac0﹒ 故 選 項 (1)(4)(5)正 確 ﹒ x y O (0,d)

(39)

x y O 【 隨 堂 練 習 16】 右 圖 為 三 次 函 數

 

3 2 f xaxbx  cx d的 圖 形 ﹐ 其 中 黑 點 為 反 曲 點 ﹒ 選 出 正 確 的 選 項 ﹕ (1) a0 (2) b0 (3) c0 (4) d 0 (5) b23ac0 Ans: (3)(5) 【 詳 解 】 函 數 f (x)的 第 一 階 與 第 二 階 導 函 數 分 別 為 f (x)= 3ax2+ 2bx+ c﹐ f (x)= 6ax+ 2b﹒ (1) 因 為 圖 形 的 最 右 方 是 下 沉 的 ﹐ 所 以 a< 0 (2) 因 為 反 曲 點 在 y 軸 的 左 側 ﹐ 即 反 曲 點 的 x 坐 標 0 3 b a   ﹐ 且 a< 0﹐ 所 以 b< 0 (3) 因 為 在 x= 0 處 的 切 線 斜 率 為 f (0)c﹐ 且 由 圖 形 知 此 切 線 的 斜 率 為 正 ﹐ 所 以 c> 0 (4) 因 為 f (0)= d﹐ 即 圖 形 與 y 軸 的 交 點 為 (0,d)﹐ 且 由 圖 形 知 (0,d)在 x 軸 下 方 ﹐ 所 以 d< 0 (5) 因 為 f (x)有 兩 個 極 值 ﹐ 所 以 b2- 3ac> 0 故 選 項 (3)(5)正 確 ﹒ x y O (0,d) 在 第 一 冊 中 ﹐我 們 由 代 數 基 本 定 理 及 實 係 數 多 項 式 方 程 式 的 虛 根 成 對 定 理 ﹐ 知 道 實 係 數 三 次 方 程 式 實 根 的 個 數 是 1 個 或 是 3 個 ( 二 重 根 算 2 個 ﹐ 三 重 根 算 3 個 )﹐ 現 在 我 們 藉 助 三 次 函 數 的 圖 形 ﹐ 來 判 定 方 程 式 實 根 的 個 數 ﹒

(40)

【 例 題 17】 已 知 函 數

 

3 2 3 1 f x  x x﹐ 求 下 列 各 方 程 式 實 根 的 個 數 ﹕ (1) f x

 

3 (2) f x

 

5 (3) f x

 

21 Ans: (1) 3, (2) 3, (3) 1 【 詳 解 】 先 求 出 f

 

xf

 

x ﹐ 並 將 它 們 因 式 分 解 如 下 ﹕

 

2

3 6 3 2 fxxxx x ﹐

 

6 6 6

1

f xx  x ﹒ 再 將 f x( )的 相 關 資 料 整 理 如 下 表 ﹕

 

 

 

2 1 0 0 0 0 5 3 1 x f x f x f x                得 f x 的 圖 形 如 下 圖 所 示 ﹐ 其 中

 

f

 

 2 5為 極 大 值 ﹐ f

 

0 1為 極 小 值 ﹒ x y 2 y=3 y=5 y= 21 y=f (x) O (1) 方 程 式 f x

 

3的 實 根 就 是 函 數 f x 的 圖 形 與 水 平 線

 

y3之 交 點 的 x 坐 標 ﹒ 因 為 f x 的 圖 形 與 水 平 線

 

y3有 三 個 交 點 ( 如 上 圖 所 示 ) ﹐ 所 以 方 程 式 f x

 

3實 根 的 個 數 為 3﹒ (2) 由 f x 的 圖 形 與 水 平 線

 

y5有 二 個 相 異 交 點 ( 如 上 圖 所 示 ) ﹐ 又 由 解 方 程 式

 

3 2

 

2

5 3 4 0 2 1 0 f x  xx    xx 

(41)

得 知 ﹕ 方 程 式 f x

 

5有 2 ﹐ 2 ﹐1 共 3 個 實 根( 有 一 個 是 二 重 根 )﹒ (3) 由 f x 的 圖 形 與 水 平 線

 

y21有 一 個 交 點 ( 如 上 頁 圖 所 示 ) ﹐ 又 由 解 方 程 式

 

3 2

2

21 3 20 0 2 5 10 0 f x  xx    xxx  得 知 ﹕ 方 程 式 f x

 

21只 有 1 個 實 根 ( 另 兩 根 為 虛 根 ) ﹒ 【 隨 堂 練 習 17】 已 知 函 數

 

3 12 9 f x   x x﹐ 求 下 列 各 方 程 式 實 根 的 個 數 ﹕ (1) f x

 

5 (2) f x

 

 7 (3) f x

 

 9 0 Ans: (1) 3, (2) 3, (3) 1 【 詳 解 】 先 求 出 f (x)及 f (x)﹐ 並 將 它 們 因 式 分 解 如 下 ﹕ f (x)=3x2+ 12=3(x- 2)(x+ 2)﹐ f (x)=6x﹒ 再 將 f (x)的 相 關 資 料 整 理 如 下 表 ﹕ 2 0 2 ( ) 0 0 ( ) 0 ( ) 7 9 25 x f x f x f x                得 f (x)的 圖 形 如 下 圖 所 示 ﹐其 中 f (2)=7 為 極 小 值 ﹐f (2)= 25 為 極 大 值 ﹒ x y O2 2 y=f (x) y= 9 y= 7 y=5 (1) 方 程 式 f (x)= 5 的 實 根 就 是 函 數 f (x)的 圖 形 與 水 平 線 y= 5 之 交 點 的 x 坐 標 ﹒ 因 為 f (x)的 圖 形 與 水 平 線 y= 5 有 三 個 交 點 ﹐ 如 上 圖 所 示 ﹐ 所 以 方 程 式 f (x)= 5 實 根 的 個 數 為 3﹒ (2) 由 f (x)的 圖 形 與 水 平 線 y=7 有 二 個 相 異 交 點 ( 如 圖 所 示 ) ﹐ 又 由 解 方 程 式 f (x)=7  x3- 12x- 16= 0 (x+ 2)2(x- 4)= 0 得 知 ﹕ 方 程 式 f (x)=7 有2﹐2﹐ 4 共 3 個 實 根 ( 有 一 個 是 二 重 根 ) ﹒ (3) 由 f (x)的 圖 形 與 水 平 線 y=9 有 一 個 交 點 ( 如 圖 所 示 ) ﹐

參考文獻

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