談幾何扣條在國中數學
「平行」與「四邊形」單元的應用
李祐宗
澎湖縣立湖西國民中學 暈、前言 筆者曾發表過幾何扣條在中小學教 學上的應用，該篇文章主要針對學生在學 三角形時如何利用扣條來做學習。以國中 數學來說，三角形的單元大部分都會出現在國中八年級上、下學期，而國中八年級
下學期緊接在三角形單元後的是平行與四 遍形的幾何問題，沒想到扣條這簡單又好 用的教具居然可以再度派上用場。算一算 整個國中數學有六分之一以上的數學課都 可以利用扣條做教學，因此筆者再介紹扣 條在平行與四邊形單元的應用。 在此之前為方便讀者理解，筆者將市 售扣條的長度表列出如衰 1 。 表 1 、扣條長度分析表貳、教學主題一平行四邊形
[配合單元:園中平行四邊形單元]
筆者建議在實施此單元教學時，先將 平行四還形的理論講解清楚，讓學生明白 平行四邊形的四個邊長組合必須擁有什麼 樣的條件，例如只要兩組對邊等長或一組 對邊等長且互相平行，就一定可以構成平 行四邊形;反之，只要是平行四邊形，一 定會有兩組對邊等長且互相平行的線段。 扣條在此扮演的角色是實物操作、預測結 果與定理驗證。因此在教師講解相關理論 完畢後，可以逐次問學生以下問題: 顏色 橘 黨 綠 黃 藍 紅 大扣條長度(em)
10
14.14
17.32
20
24
.4
8
28.28
小扣條長度(em)
5
7.07
8.66
10
12.24
14.14
大扣條除以2
2
2
2
2
2
小扣條之比例大扣條畏度分析
，且自o
lOx
J2
10x
.j3
10x2
lOx
J6
20x
J2
各扣條長度的比d
d
2
J6
2
J2
顏色代號2
3
4
5
6
科學教育月刊 草 344 期 中華民國一 00 年十一月 一、四種不同顏色的組條可否組成平行 四遍形。參考答案:不行﹒教師再 問:為何不行?學生答 因為沒有一 對顏色相同的扣條(相同顏色的扣條 長度相等)
•
二、三種不同顏色的扣條可否組成平行 四邊形?此時學生拿起拍條操作一 番，最後答案是:不行﹒教師按著問: 為何不行?學生答:因為三種顏色四 根扣條當中，必定只有一對顏色相同 的犯條，所以仍不足以拼出平行四遍 形﹒ 三、二種不同顏色的扣條可否組成平行 四邊形。大部分學生回答。可以﹒教 師問﹒為何可以?學生答。因為會有 兩對顏色一樣的扣條，所以可以組成 平行四邊形﹒教師再問 您確定真的 可以嗎?有沒有例外的情況?此時 有學生想到否定的答案，理由是二種 不同顏色的扣條有可能是黃色的三 根加上綠色的一根，如此便無法拼出 平行四邊形﹒道有，若是相同顏色的 扣條互為鄰遁的組合為箏形(圖 3)•
此部分學生在回答此問題時很容易 掉人陷阱，沒關餘，經過一遠串的你 問裁答觀念釐濟之後，教師再發放扣 條給學生，並請學生象徵性的辨出幾 種平行四邊形出來(圖 l 及圖 2)· 四、同一種顏色的扣條可否組成平行四邊 形?學生答可以﹒教師再問為何? 學生答 因為滿足兩組對邊等長的條 件﹒其簣，四條等長的扣條拼出來的 不只是平行四邊形，也是菱形，所以 畫畫形是平行四邊形的一種﹒ 圖卜平行四遍形 l 團 2 、平行四邊形 2 國 3 、事形接著，為了擴大問題的討論層面，筆 者設計簡單的一道問題讓每位學生作答， 此問題是:六種不同長度的扣條總共可以 拼出多少種平行四邊形?筆者列舉幾位學 生的答案如圖 4 。 此題正確答案一共有 21 種，且筆者 在批改此道題目時，發現多數同學答案的 寫法出現如上圖紅色框的形式。於是在某 堂課我將幾位同學的答案秀給班上所有同 學觀摩，並討論此種答案有何特殊之處， 學生在思考之餘提出，此種圖形類似等差 數列的排法，從左至右依序是 6 、 5 、 4 、 3 、 2 、 1 '六個數字加總共 21 '就是此題的答 個幢揖平行四蕩，慘 _: It名﹒ *巳錯班闡有六種不回圖阻AU!!妞，分回壘，、圖﹒輯、頁、UJ[色﹒房間殉情輯@、 @、@、@、@、@費增...也可以且血來持四連串峙信會﹒ 個個，«(I)﹒@、@、(I)、«(I)、@﹒@﹒(l»lII'壘. .‘自真有圖種組會? 1<D 甜 0> ' " 均由 ctl <t<,(Jl 3.(J), ~.(1.J ~ 1\<1>.~ (3).@ 4-0) @fJ申@ IdC}) (O.C1l啞 生。由@迂)電串串;i.l可
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"'申曲。 1‘Q: <Zl;I，~.(i) 1<» ~曲唱"砂島建 b ~ ~ t3>.~ (舟 'f 祉￡ 守q..> ~ 6.).Q Ii::'iJ.V .~.i，.忌、J t叫秒。申例。 h<D 品 一一一…心( 吉克幾何扣條在國中數學「平行」與「四邊形」單元的應用 案。此時筆者乘勝追擊，再問學生: 10 種 不同長度的扣條可以組成幾種平行四邊 形，有精明的學生就開始推測答案是 1+2 +3+4+5+6+7+8+9+10=55 種，若 以排列組合的方式討論此題，六種不同長 度的扣條共有 C(6'1) +C(6'2) =6
+6的 72=21 種;十種不同長度的扣條則 有 C(10 ，1) +C(10
,
2)
=10+ 凹的÷ 2=55 種。依此類推 'n 條不同長度的扣條 共有 C(n'I)+C 惘，2) = n+ nx (n
1 ) 72= nx ( n + 1 ) 72= 1 + 2 + 3 + ...
n 。 真沒想到平行四邊形的問題竟可以與等差 數列扯上關條!/tTiJ
扭儼興平行間攝影 鐘W. I生1'0 *巴扭扭僅有六，不周圍臨震擻，冊是...‘陣"實lUI.紅色﹒神!JIllf鴨@、 @、@、@、@、@過章'..由可以且居平行四邊形的單合: 個組(I])﹒@、@、1])、(I])﹒@﹒@﹒(l» 等'.後酷禽由共有-包含? 。 AJ) ·.G 曲 。由"''''' 鼎鼎，‘<:j.~.li>Q). m 主斗三 =士Y'''' <J alG8~1OlCl g磁~
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圖 4 、學生答案參考科學教育月刊 草 344 期 中華民國 -00年十-月
參、教學主題一梯形
[配合單元:圈中佛形單元 1
往往大部分教師都是將扣條應用在 三角形之上，當筆者將之納入梯形的教學 時，才發現扣條在梯形問題上扮演的角色 有多重要，因此書証者非常連續教師可以參 考﹒ 按照梯形的定義，是指四邊形中只有 一組對過互相平行，另一組對過不平行。 由此可知平行四遍形與娣形是互不相平 的，平行四邊形並不是梯形的一種;梯形 更不可能是平行四遍形的一種﹒所以第 一:四種同色的扣條不可能排出梯形，因 為拼出來一定是平行四邊形，而非榜形. 第二，三種不同長度的扣條可否拼出梯 形。此種問題若光用腦袋憑空想像也很難 得到答案，若有把條可操作，加上平行四 遍形的不 it 定原理，可以得到串串形如圖 5 、圖 6•
此處有何值得討論之處?三種顏色 扣條中必有一組組條長度相等(如圈中黃 色扣條).那麼排列順序是否影響梯形的形 成?以下分三點討論: (一)兩黃色約條輝對通並平行可否組成 串串形? 此答案是否定的，如果一組等畏扣條 據對邊，則形成了一組對迪等長且平 行的平行四邊形而非梯形﹒ (二)兩黃色把綠續對通並但不平行可否 組成楊形? 可組成等腰梯形如圖 6 .由於綠色與 紅色扣條是不同的長度，所以組成一 圖 5 ‘可制筆為4辭形 圖 6 、尊且要梯子眼 個等腰梯形﹒但是如何證明這是等腰 梯形?續續者自行遣明之﹒ (三)雨，電色約條鈕II 適可否組成串串形? 可組成梯形如圖 5 .那磨如何鐘明這 樣的組合可以調整成佛形?!l!們先 從圖 7 的菱形說起，如國ABeD 是一 個變形，事E形是平行四邊形的一種， 現在這個菱形即將要變成佛形﹒首先 保持 AB 及 BC 不動，將 D 點左移至 E 點如圖 8•
由於 La> ζC' 所以 CE> AE· 也就是
CE
*
AE
*
AB
=
BC
.符合本題的要求﹒ 除此外，言，者可以繼續研究，若給定任意三 種畏度四條線段﹒是否一定可以組成梯形?被All何扣峰在國中數學「平行 J 典「回遭到~J 單元的應用
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國 9 、軍腰梯形A
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團 8 、董形變成梯形 圖 10 、無法排出梯形 (二)兩組等長線段的組合: 團 12 、平行四邊形非梯形D
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國 11 、事形非梯形的一種8
第三.二種不同長度的扣條可否拼出 梯形?這種情形我們可以分兩種情況來討 論﹒ {一}三條等長線段加另一條線段的組合: 三條等長線段加另一條線段的組 合:此種組合的排列方式只有一種， 就是連續三條等長線段組合後再外 接第四條線段﹒ 若第四條線段(團 9 的~色扣條) 當梯形的上底或下底則可排出等腰 梯形(如國 9) ;若非如此則無法排出 梯形，理由是三條等長線段中若有一 組當梯形的上下底，則第四條鐵段的 長度也非得等於原來那三條不可(圖 10 的 CD ).如此一來變成為平行四遍 形而非梯形了﹒科學教育月刊 草 344 期 中華民國 -00年十-Jl 排列方式有兩種，第一種會組成 箏形，那麼箏形可否是梯形呢?假設 令 La+
Lb=
180 ，則 AD 平行 BC; AB 也平行 CD '會成為平行四遍形 (此種情況下箏形也會變成菱形)而 非梯形﹒若是排成如圖十二也不可， 因為兩雙對邊等長的線段會組成平 行四遍形﹒ 第四:四種不同長度的扣條可否拼出 梯形? 此種狀況更為精采，倘若教學現 場沒有道具可供學生操作的話學習者會更 難想像﹒筆者在請學生操作之前先做預測 此種狀況可否拼出梯形來，有些同學說可 以，有些則說不可以。待扣練一到手把玩 幾下後，發現梯形的出現; 圖 13 、四種不同長度的扣條組合 (有學生剛開始以為不可以排出梯形) 圖 14 、將圖十三調整成神形 團 15 、加上方格放可謂登的更加精種 國 16 、另一組梯形 操作過程中設現即使學生有扣條在 手上，剛開始還以為無法排出梯形(如圖13)
，在教師或同儕的引導下才調整也紛 形，如圖 14 .此過程若有適當的方格紙 (被)更可用來驗證排出來的梯形(圖 15 、 16)•
肆、教學主題一等腰三角形
[配合單元:園中三角形及平行單元]
等接三角形的兩底角相等是很常見 且重要的定理，若利用伸縮扣條(圈中藍 色、黃色扣條為伸縮扣條)搭配一般扣條 (圈中底過資色扣條)，再 2日上宣角器便可 輕鬆完成等按三角形的模型。此模型可藉 由改變三角形的過長，再畫出兩底角是否 相等來得到驗證﹒此量角器的作用是 當調整三角形過程 中，保持三角形的高 (黃色伸縮扣條)始 終垂直三角形的底 邊﹒ 校幾何扣條在園中數學「平行 J 輿「四遍形 J 單元的應用 圖 18 、調整扣條的邊長俠之成為 不同的尊腰三角形
