高中數學科差異化評量—100學年度高二下第3次定期考

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高中數學科差異化評量—100 學年度高二下第 3 次定期考

1.1 拋物線標準式基礎級試題 1.1 拋物線標準式精熟級試題 1. 如圖所示，拋物線造型的鋼拱全長 80 公尺，中央鋼柱的高度為 20 公尺，則距離鋼拱中央30 公尺處的鋼柱高度為__________公尺參考答案：70 8 出處：慈大附中 2. 如圖所示，若拋物線 2 xay by 通過點(0,1)﹐則下列哪些數為c 負數？ (1)a (2)b (3)c (4)b2 4ac (5)a b c. 參考答案：(1)(2) 出處：泰山高中 1. 在拋物線 2 ₈ y  x上有一點 P 使得 P 到焦點 F 與定點 (3,5)A 之距離 和 PF PA 最小，則此最小值為 . 參考答案： 26 出處：臺中二中 2. 已知坐標平面上圓 2 2 1: ( 7) ( 1) 144 O x  y  與 2 2 2: ( 2) ( 13) 9 O x  y  相切，且此兩圓均與直線 L: x5相切。若 為以 L 為準線的拋物線，且同時通過O1與O2的圓心，則  的焦點坐標為。（化為最簡分數）參考答案： -1 53, 5 5       出處：97 學測題 3. 在坐標平面上，設拋物線 通過點 (8 , 4)，且其對稱軸為直線 2 0 x  。請選出正確的選項？ (1)若拋物線  的頂點坐標為 (2 , 1)，則其焦點坐標必為 (2 , 4) (2)若拋物線  的焦點坐標為 (2 , 12)，則其頂點坐標必為 (2 , 3) (3)若拋物線  也通過點 (10 , 11)，則其準線方程式必為 y 6 0 (4)直線 x 2 0上每個點都可能是拋物線  的頂點 (5)直線 x 2 0上每個點都可能是拋物線  的焦點參考答案：(1)(2)(5) 出處：97 指考題

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3. 坐標平面上，關於 2 ₄





y  xy 的圖形 ，請選出正確的選項。 (1) 頂點是原點 (2)  對直線y 對稱 2 (3)  的圖形在直線x 2的右方 (4)  的圖形經過平移、伸縮後可以和 2 ₂₀₁₂ y  x重合參考答案：(2)(3)(4) 出處：臺中一中 4. 如圖所示，每個方格的邊長為 1. 若一拋物線的焦點為 F﹐頂點為 V﹐則下列哪些點也在此拋物線上﹖ (1) A (2) B (3) C (4) D (5) E 參考答案：(1)(3) 出處：臺中二中 5. 「以 (1,0) 為焦點，直線x 1為準線的拋物線通過哪些象限？ (1) 一、二象限 (2) 二、三象限 (3) 三、四象限 (4) 一、四象限參考答案：(4) 出處：斗六高中 4. 在坐標平面上以表示拋物線 y ＝ _x2_{的圖形。則以下哪} 些方程式的圖形可以由 經適當的平移或旋轉得到？ (1) y2x2₍₂₎ y x2₍₃₎ xy2 (4) yx24x3₍₅₎ y2  3x 參考答案：(2)(3)(4) 出處：95 指考題 5. 已知 F 是拋物線 2 x y 的焦點，A, B 是拋物線上的兩點， 3 AFBF  , 則線段 AB 的中點到 y 軸的距離為 . 參考答案：5 4 出處：臺中一中 6. 設等腰三角形ABC之底邊BC , 若點 A 在以 B 為頂點2 C為焦點的一拋物線上，則ABC之周長為 . 參考答案：8 出處：臺中二中 7. 給定一點 A(8,7), 若 P 為拋物線 x2=4y 上一點，且 P 到 x 軸的距 離為 d, 則 d PA 的最小值為 . 參考答案：9 出處：竹北高中

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6. 已知一拋物線的對稱軸平行 x 軸，且過



2,1 , 3, 2 , 5, 2

   

  三點，



則此拋物線的焦點為 . 參考答案： 23, 1 4 _ _      出處：弘文高中 7. 已知一拋物線的焦點為 (2, 2) , 準線為x4，若點(3, )b 在此拋物 線上，則b 之值為何? (1)1 (2) 2 (3) 3 (4) 4 (5) 5 參考答案： (2) 出處：新化高中 2.1 橢圓標準式（含平移與伸縮）基礎級試題 2.1 橢圓標準式（含平移與伸縮）精熟級試題 1. 在直角坐標平面上，分別以A



3,0



, B

 

3,0 為圓心，依1 單位、 2 單位、3 單位、……、7 單位，做一系列的同心圓。若P a b 為

 

, 其中兩個圓的交點，如圖所示，請選出正確的選項？ (1) PAB為等腰三角形 (2)



a3



2b2 36 (3)



₃



2 2 ₁₆ a b  (4) 2 2 1 25 16 a b   (5) 2 2 ₁ 9 b a   參考答案：(1)(2)(3)(4) 出處：弘文高中 1. 給定 (2,0), ( 2,0, ( , )A B  P x y , 若PAB之周長為10, 且面積為 4, 則 2 2 x y  參考答案：29 5 出處：竹北高中 2. 已知等腰ABC為橢圓





2 2 2 2 2 2 1 x y a b a b   內接三角形，其中 A 為 短軸頂點，兩腰 AB 與 AC 分別經過兩焦點F F , 且原點恰為₁, ₂ ABC  的重心，則 2 2 a b 之值為。 (化成最簡分數) 參考答案：3 2 出處：臺中二中 3. 某彗星的軌道為一拋物線，太陽位於焦點處，若其遠日點到太陽之距離恰好為橢圓之短軸長的5 倍，則橢圓的短軸長是其近日點到太陽之距離的多少倍﹖ 參考答案： 20 出處：新光高中

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2.某一行星運轉軌道為一橢圓，且以太陽為焦點，設此行星與太陽最近距離為100 萬公里，最遠距離為 900 萬公里，當行星與太陽連線和橢圓長軸成60 夾角時，如圖所示，此時行星與太陽的距離為萬公里。參考答案：300 出處：弘文高中 3. 設 k 為常數，若方程式 2 2 2 _{1 6} 1 x y k   k  表一橢圓，且與橢圓 2 2 1 75 24 x _ y _{ 有相同的焦點，則 k 之值為 .} 參考答案：8 出處：臺中二中 4. 橢圓的中心為 ( 1,2) , 長軸垂直 x 軸，若此橢圓通過點(2, 3), 則下 列哪些點必在此橢圓上？ (1)(  4, 3) (2)(  4, 1) (3)(0, 0) (4)(2, 1) (5)(  1, 4) 參考答案：(1)(2)(4) 出處：新化高中 4. 如圖所示，已知將橢圓 : 2 2 1 4 3 x y    圖形上的每一點的坐標伸縮 t 倍，得一新橢圓 。若橢圓 ''  上一點 A 到橢圓 ' 上兩焦點 F1﹐ F2所形成ᇞAF1F2的周長為 18﹐則新橢圓 ' 的方程式為 (請化成標準式) 參考答案： 2 2 1 36 27 x y   出處：臺中二中 5. 已知 P 為橢圓 2 2 : 1 25 24 x y    上之動點，一焦點F

 

1,0 , A

 

2, 4 為 一定點，則 PA PF 之最大值為。參考答案：15 出處：臺中一中 6. 設 m n, 為正實數，橢圓 2 2 1 x y m  n  的焦點分別為 F1(0, 2) 與 2(0, 2) F  。若此橢圓上有一點P使得PF F_{1 2}為一正三角形，則 m ， n  。 參考答案：m=12,n=16 出處：101 學測題

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5.若 F1﹐F2為橢圓 2 2 1 16 5 x _ y _ 之二焦點，AB為過 F1的焦弦，則△ABF2 之周長為。參考答案： 16 出處：新化高中 6.關於橢圓₂ 2 2 ₄ ₆ _{5 0} x y  x y  的敘述﹐請選出正確的選項。 (1)中心為



1, 3



(2)長軸兩端點為



1 2 2, 3 



和



1 2 2, 3 



(3)焦點為



1, 3 2 2 



和



1, 3 2 2 



(4)短軸兩端點為

 

1,1 和



1, 7



(5)長軸所在方程式為 y+3=0 參考答案：(1)(3) 出處：高雄市立三民高中 3.1 雙曲線標準式（含平移與伸縮）基礎級試題 3.1 雙曲線標準式（含平移與伸縮）精熟級試題 1. 一雙曲線的方程式為



₅



2 2



₅



2 2 ₆ x y  x y  , 請回答下列問題: (1) 共軛軸長 (2) 若 P 點位於雙曲線上，且使得PF F_{1 2}為一等腰三角形(F F₁, ₂ 為雙曲線的兩個焦點)，求PF F_{1 2}的周長。參考答案：(1)8 (2)18 或 30 出處：慈大附中 1. (多選) 坐標平面上，關於雙曲線的敘述，請選出正確的選項。 (1)雙曲線恰可決定兩支拋物線 (2)等軸雙曲線的漸近線為x y 0,x  y 0 (3)兩相異雙曲線具有相同的漸近線且兩焦點距離相等，則此兩雙曲線為共軛雙曲線 (4)兩共軛雙曲線上分別取一點到其漸近線的距離乘積必定相同 (5)等軸雙曲線的漸近線必定互相垂直參考答案：(3)(4)(5) 出處：臺中二中

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2. (單選)已知雙曲線 x 2 9 － y2 16 ＝1 上一點 P 到其中一焦點 F 的距離 為4，則 P 到另一焦點 F'的距離為何？ (1) 2 (2) 4 (3) 6 (4) 10 (5) 12 參考答案：(4) 出處：斗六高中 3. 已知一雙曲線的共軛軸平行於 y 軸,兩漸近線交於點 (1, 2) , 而且點 (3,5) 在雙曲線上，則下列哪些點也一定在此雙曲線上？ (1) ( 1, 1)  (2) (5,3) (3) (3, 1) (4) (3, 5) (5) ( 2, 3)  參考答案：(1)(3) 出處：竹北高中 4. 關於雙曲線



₅



2 2



₅



2 2 ₈ x y  x y  ,請選出正確的選項。 (1) 對稱於 y 軸 (2) 對稱於直線 3x－4y＝0 (3) 直線 3x＋4y＝0 為一漸近線 (4) 正焦弦長是 32 ₃ (5) (－4 , 0 )及( 4 , 0 )為其頂點參考答案： (1)(3)(5) 出處：斗六高中 2. 已知圓 C 的圓心



5,0



、半徑為4，則通過(5,0)且與圓 C 相切的圓其圓心軌跡所成的圖形為何？ (1)圓 (2)橢圓 (3)拋物線 (4)雙曲線 (5)一直線。參考答案：(4) 出處：竹北高中 3. 設F F 是雙曲線₁, ₂ 2 2 1 9 16 x y   的兩焦點，若 P 為  上一點使得 1, ,2 F F P 三點形成一直角三角形，則 PF F_{1 2} 的面積可能為。(兩解) 參考答案：16 或 80 3 出處：臺中二中 4. 已知等軸雙曲線 Γ 的一條漸近線為 x–y=0,中心坐標為(1,1), 且 Γ 通過點(3,0), 請選出正確的選項。 (1) Γ 的兩條漸近線互相垂直 (2) x+y=0 為 Γ 的另外一條漸近線 (3) Γ 的共軛軸在直線 x=1 上 (4) 點(1, 2 2) 為Γ 的ㄧ頂點 (5) (1, 2 2) 為Γ 的一個焦點參考答案：(1)(3) 出處：新化高中

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圓錐曲線綜合性質基礎題圓錐曲線綜合性質精熟題 1. 已知坐標平面上三點 (3,0), ( 3,0), ( , )A B  P x y , 請選出正確的選項。 (1)若PA PB 2AB, 則 P 點的軌跡是一個橢圓 (2)若PA 2PB，則 P 點的軌跡是一個圓 (3)若PA PB  , 則 P 點的軌跡是一個點 6 (4)若 PA PB , 則 P 點的軌跡是一條直線 (5)若 PA PB  , 則 P 點的軌跡是一雙曲線 7 參考答案：(1)(2)(4) 出處：臺中二中 2. 下列圓錐曲線中，哪一個的焦點與其他者不同？ (1) 2 2 1 2 2 y x   (2) 2 2 1 4 8 y x   (3) 2 2 1 1 5 x y   (4) 2 2 1 12 16 x y   (5) 2 2 1 5 9 x y   參考答案： (2) 出處：新化高中 3. 坐標平面上方程式 2+ 2 1 9 4 x _{y } 的圖形與 2 2 ( 1) 1 16 9 x y   的圖形共有幾個交點？ (1) 1 個 (2) 2 個 (3) 3 個 (4) 4 個 (5) 0 個參考答案：(1) 出處：96 學測題 1.給定兩點F 和₁ F 且₂ F F_{1 2}12,已知動點 P 滿足PF₁PF₂ 16, 動點 Q 滿足 QF₁QF₂  ,當 P=Q 時，則8 PF F_{1 2}面積為。參考答案：4 35 出處：臺中二中 2. 請選出正確的選項。 (1) 給予正焦弦的二端點，可決定唯一的拋物線 (2) 給予中心及長、短軸長度的比值，可決定唯一的橢圓 (3) 給予二焦點及長軸的長度，可決定唯一的橢圓 (4) 給予二焦點及雙曲線上一點，可決定唯一的雙曲線 (5) 以給予的二直線為漸近線，可決定唯一的雙曲線參考答案： (3)(4) 出處：斗六高中 3. 已知雙曲線 2 2 2 2 1 x y a b  (a  的左頂點與拋物線b 0) 2 ₄ y  cx (c 的焦點的距離為 4，且雙曲線的一條漸近線與拋0) 物線的準線的交點坐標為



  , 則雙曲線的兩焦點距離2, 1



為 . 參考答案：2 5 出處：臺中一中