97指考數學乙

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九十七學年度指定科目考試試題

數學乙

作答注意事項

考試時間：80 分鐘

作答方式：第壹部分請用

2B 鉛筆在答案卡之「解答欄」內劃記。修正時應以橡皮擦拭，

請勿在答案卡上使用修正液。

第貳部分作答於「非選擇題答案卷」，請在規定之欄位以較粗的黑色或藍色

原子筆、鋼珠筆或中性筆作答，並標明題號。

第壹部分作答示例：請仔細閱讀下面的例子。

（一）

單選題及多選題：只用

1，2，3，4，5 等五個格子，而不需要用到

，，以及

6，7，8，9，0 等格子。

例：若第

1 題為單選題，選項為(1)3 (2)5 (3)7 (4)9 (5)11，而正確的答案為 7，亦即

選項(3)時，考生要在答案卡第 1 列的 劃記（注意不是 7），如：

例：若第

5 題為多選題，正確選項為(1)與(3)時，考生要在答案卡的第 5 列

的 與 劃記，如：

（二）選填題的題號是

A，B，C，…，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的

格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。

例：若第 C 題的答案格式是 ，而答案是

50 7 

時，則考生必須分別在答案卡的

第 20 列的 與第 21 列的 劃記，如：

3 1 3 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   7  20 21 50

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   解 答 欄

第 壹 部 分 ： 選 擇 題 ( 單 選 題 、 多 選 題 及 選 填 題 共 佔 7 4 分 )

一 、 單 選 題 （

1 8 分 ）

說明：第

1 至 3 題為單選題，每題選出一個最適當的選項，劃記在答案卡之「解答

欄」

。每題答對得

6分，答錯或劃記多於一個選項者倒扣1.5分，倒扣到本大題

之實得分數為零為止。未作答者，不給分亦不扣分。

1. 根據一百多年來的氣象紀錄，美國費城年雨量平均值為 41. 0 英吋，標準差為 6. 1 英吋。 今 欲 將 此 項 統 計 資 料 的 單 位 由 英 制 換 為 公 制 ， 請 問 該 城 市 一 百 多 年 來 年 雨 量 的 標 準 差 最 接 近 下 列 的 哪 一 個 選 項 ？ （ 註 ：1英吋等於 25. 4 毫米。） (1) 0. 240 毫米 (2) 1. 61 毫米 (3) 6. 10 毫米 (4) 155 毫米 (5) 1041 毫米

2. 兩向量以

a

和b表 示 ， 並 以a b表 示

a

和b的 內 積 ， 以 a ， b _{分 別 表 示}

a

_和b_的

長 度 ， 試 問 下 列 哪 一 個 選 項 表 示 ：「 三 角 形 兩 邊 中 點 的 連 線 段 與 第 三 邊 平 行 ， 且 其 長 度 為 第 三 邊 之 半 。 」 ？ (1) a b0 (2) ( ) 2 1 2 1 2 1 b a b a   (3) ab a b (4) (ab)(ab)(ab)(ab)2(aabb) (5) ab  a  b

3. 解下列聯立方程式時，         1 5 4 3 2 y x y x 將 相 關 的 係 數 與 常 數 以 矩 陣A表達如下：         1 3 5 2 4 1 對 矩 陣A 進行 高斯 消去 法的 一個 步驟 ：第 一列 不改 變， 並將 第二 列減 去第 一列 的四 倍 成 為 新 的 第 二 列 。 試 問 下 列 哪 一 個 選 項 中 的 矩 陣 乘 積 代 表 對A進行上述步驟？ (1) _               1 3 5 2 4 1 0 0 0 4 (2) _               1 3 5 2 4 1 0 4 0 0 (3) _               1 3 5 2 4 1 0 4 0 1 (4) _               1 3 5 2 4 1 1 4 0 0 (5) _               1 3 5 2 4 1 1 4 0 1

二 、 多 選 題 （

3 2 分 ）

說明：第

4 至 7 題，每題各有5個選項，其中至少有一個是正確的。選出正確選項，

劃記在答案卡之「解答欄」。每題

8分，各選項獨立計分，每答對一個選項，

可得

1.6分，每答錯一個選項，倒扣1.6分，完全答對得8分，整題未作答者，

不給分亦不扣分。在備答選項以外之區域劃記，一律倒扣

1.6分。倒扣到本大

題之實得分數為零為止。

4. 有一個不公正的 骰子，投擲的時候，二點、三點、四點、五點和 六點出現的機率都 是

(5) ab 5. 給 定 二 次 多 項 式 f₍x₎ x2axb_{， 已 知 多 項 式} 2 4 3 2 3_{ x  x} x 除 以 f(x)其 餘 式 為 2 3x ， 多 項 式 _x3_x2_x1_{除 以 f(x)其 餘 式 為4x1， 請 選 出 正 確 的 選 項 。} (1) a 3 (2) b  1 (3) 方程式 f(x)0無 實 根 (4) f(x)的 極 小 值 為 4 5 (5) f(x)除 以(x3)其 餘 式 為1 6. 有四 個相 異的 正整 數， 由 小 到大 依 序 為 k,l,m,n， 其 和 等 於16 ， 亦即0klmn, 16    l m n k 。 請 問 單 獨 再 增 加 下 列 哪 一 個 選 項 中 的 條 件 ， 可 以 保 證 k 等於

1

？ (1) l 是奇數，

m

是 偶 數 (2) l ,

m

是 偶 數 (3) k,l,m,n是 等 差 數 列 (4) l ,

n

是 奇 數 (5) l ,

m

是 奇 數

7. 請問對於下列哪 些選項，可以 找到實數 a，使得選項 裡面所有的數 都同時滿足一元二 次 不 等 式x2 (2 a x) 2a0？ (1) 1,0 (2) _{1, 2,3,}（ 所 有 的 正 整 數 ） (3) _{   }3, 4, 5, （ 所 有 小 於2的 整 數 ） (4) 97,2008 (5) 

 

, （



是 圓 周 率 ）

三 、 選 填 題

( 2 4 分 )

說明：

A至C各題為選填題，請在答案卡的「解答欄」之列號（8-14）中標示答案。

每一題完全答對得

8分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 趙 氏與錢 氏兩對夫婦、以及 孫 先生、李 先生圍坐一個六人座圓桌吃飯 ，其中 趙 先生和 孫 先 生 已 在 兩 個 相 鄰 的 位 子 坐 定。若 限 定 夫 妻 不 得 相 鄰 ， 則 其 他 四 人 就 座 的 方 法 共 有 種 。

B. 從集 合

, ,

0,1, 2

3

0

a b

a b c

c



_

_

























為或



中 隨 機 抽 取 一 個 矩 陣 ， 其 行 列 式 為0的 機率 等於 。 （ 化 為 最 簡 分 數 ） C. 若三角形 ABC 的 AB8、 AC 4 5及 5 1

cosBAC ， 則sinACB 。 （ 化 為 最 簡 分 數 ）

第 貳 部 分 ： 非 選 擇 題 （ 佔 2 6 分 ）

說明：本大題共有二題計算證明題，答案務必寫在答案卷上，並於題號欄標明題

號（一、二），同時必須寫出演算過程或理由，否則將予扣分。每題配分標

於題末。

一、坐 標 平 面 上 有 兩 條 拋 物 線 ， 第 一 條 拋 物 線 的 頂 點 在(4,0)， 焦 點 在(4,4)， 第 二 條 拋 物 線 的 頂 點 在(4,4)， 焦 點 在(4,0)， 求 兩 條 拋 物 線 的 交 點 。( 13 分) 二、建 築 公 司 在 房 市 熱 絡 時 推 出 甲、乙 兩 型 熱 門 預 售 屋。企 劃 部 門 的 規 劃 如 下 ： 甲 型 屋 每 棟 地 價 成 本 為 500 萬 元， 建築 費用 為 900 萬 元， 乙型 屋每 棟地 價 成 本為 200 萬 元， 建 築 費 用 為1500 萬元，公司在資金部分限制地價總 成本上 限為 3500 萬元，所有建 築 費 用 的 上 限 為1 億 2000 萬 元 ； 無 論 甲 型 或 乙 型 售 出 ， 每 棟 獲 利 皆 為 500 萬 元 ， 假 設 推 出 的 預 售 屋 皆 可 售 出 ， 請 問 推 出 甲 、 乙 兩 型 預 售 屋 各 幾 棟 ， 公 司 才 可 得 到 最 大 利 潤 。( 13 分)