行政院國家科學委員會專題研究計畫 成果報告
子計畫十一：青少年的數學方程式概念發展研究(2/2)
計畫類別： 整合型計畫 計畫編號： NSC91-2522-S-110-001- 執行期間： 91 年 08 月 01 日至 93 年 01 月 31 日 執行單位： 國立中山大學教育研究所 計畫主持人： 吳寶桂 報告類型： 完整報告 處理方式： 本計畫可公開查詢中 華 民 國 93 年 9 月 20 日
行政院國家科學委員會專題研究計劃成果報告
青少年的數學概念學習研究—子計畫十一：
青少年的數學方程式概念發展研究
計劃主持人：吳寶桂 計劃編號： NSC 91-2522-S-110-001 執行年限：91 年 8 月 01 日至 92 年 7 月 31 日 執行機構：國立中山大學教育研究所 一、中英文摘要 中文摘要 本研究重點在編制一份『一元一次方 程式情境測驗』以作為往後偵測國中學生 在『數學一元一次方程式概念』上的認知 發展之依據。此項工作係藉由文獻資料的 蒐集，與國、高中數學老師訪談的記錄， 以及對已學過一元一次方程式之國二學生 所做的開放性問卷施測的結果，歸納整理 出有關數學一元一次方程式之各項子概念 及其相對應之『一元一次方程式概念細 圖』。接著，依據此『一元一次方程式概念 細圖』編制出一份『一元一次方程式情境 測驗』。該情境測驗包括 16 種連續情境， 各情境均含有與一元一次方程式有關之問 題，將 11 位參與預試的學生晤談內容分 析，具良好之信、效度。正式施測時，亦 採一對一個案晤談方式，除了要求每位學 生都將解題過程完全書寫下來外，並將訪 談內容全程錄音。 本研究將全國劃分為北、中、南、東 四區，並以分層隨機抽樣方式選取研究學 校，共計有全國八縣市、16 個學校、24 個 班級、共 288 人參與本次『一元一次方程 式情境測驗』的施測。 分析晤談內容及學生測驗填答紀錄顯 示，『一元一次方程式情境測驗』確能偵測 學生在一元一次方程式概念的發展。同 時，有些題目較能引發一元一次方程式子 概念中的某項特定概念。若能詳細檢視同 學晤談內容，可對每位同學之錯誤概念有 深刻的瞭解。 關鍵詞：一元一次方程式、概念、晤談、 一元一次方程式情境測驗、 概念發展、迷思概念、 全國抽樣調查、分層隨機抽樣 英文摘要The main purpose of this study was to create a “One-Variable Linear Equation Situation Test” as the basis for investigating junior high school students’ development of their “One-Variable Linear Equation Conception”. All conceptions related to single variable linear equations and the “One-Variable Linear Equation Conception schema diagram” were organized from
literature review , interview records of junior high and high school teachers, and results of open-ended surveys completed by
second-year junior high school students who already possessed knowledge of one-variable linear equations. Consequently, the
“One-Variable Linear Equation Situational Test” was developed according to the “One-Variable Linear Equation Conception Graph”. The situational test contained 16 continuing situations. Each situation included questions related to one-variable linear equations. Eleven students had already been pre-tested with the situational test, and the assessment had good reliability and validity. The situational test utilized the one-to-one interview method that required each student to do their best and wrote down their whole problem-solving process. The interview was also recorded.
The whole nation was divided into four regions, Northern, Middle, Southern, and Western, and stratified random sampling was used to select schools for this study. There were a total of 288 students from 24 classes chosen from 16 schools in 8 cities who took the “One-Variable Linear Equation Situational Test.”
The results of analyzing interview contents and students’ answers on the test paper showed that the “One-Variable Linear Equation Situational Test” indeed
accurately detected students’ development of one-variable linear equation concepts. At the same time, several questions were
observed to be more likely to help students to
develop some specific concepts for the one-variable linear equations. Students’ misconceptions might be better understood if their one-to-one interview contents could be further analyzed.
Key words：One-Variable Linear Equation, conception, interview, development of conception, stratified random sampling, One-Variable Linear Equation Situation Test
二、緣由與目的 數學是一切科學之母，由於時代快速 變遷，科技汰舊換新，數學早已與科技結 合，成為日常生活中不可或缺的知識。雖 然數學是如此重要，但許多人卻普遍地對 數學心存恐懼：於是如何學好數學，又該 如何教好數學，乃是目前各國教育人士最 關心的議題。 各國研究數學教育學者一致認為數學 學習的本質在於對數學概念的瞭解 (NCTM，1989，英國、澳大利亞)，但是根 據過去數十年的研究結果顯示：學生在正 式學習特定學科之前，並非如白板般地一 無所知，而會依個人過去成長經驗，對該 學科有其獨特信念-亦即個人獨特之既存 「內在架構」、「另有架構」或「先有概念」。 但是這些「內在架構」有些是與「專家公 認架構」並不符合，而個體所持的「先有 概念」又多半是錯誤的想法（「迷思概念」） （Anderson & Smith,1986; Brown,1988; Duffiy & Jonassen,1991 ;陳瓊森，1998）。這 些研究也都更進一步顯示，學生的「另有 架構」會不斷左右個體思考，所產生的迷 思概念也會不斷地阻礙個體從事有意義學 習。
外國學者 Schwarzenberger(1984)認為 分析學生錯誤的解答可促進瞭解學生內心 真正想法，進而明白學生形成迷思概念的 真正原因，因此瞭解學生錯誤類型和瞭解 他們的正確答案是一樣重要。Brown & Burton (1978) 及 Ashlock(1990)也認為分 析學生錯誤類型可發現學生學習困難所 在，提供教師為學生補救教學、矯正「另 有架構」之依據。 一般對數學概念的研究，先是設計一 份紙筆測驗測試相關數學概念，在學生經 過課堂的正式學習後，進行施測，再根據 紙筆測驗分析的結果，歸納整理出錯誤型 態，並挑出幾個個案進行訪談，找出錯誤 形成的原因。但是根據研究顯示，紙筆式 團體測驗，對概念階層的鑑別力要比個別 式診斷為差，因此許多學者認為可採用晤 談方法來探討學生的迷思概念或是錯誤概 念類型(Osborne & Gilbert, 1982; 陳建蒼， 2000)。 這一波的教育改革中，國內外的教育 決策者都不約而同地將培養學生問題解決 能力列為教育首要目標(美國的 Project 2061;澳洲的關鍵能力;教育部)。但是常用 的傳統評量方式大都只能測得學生對知識 的片段記憶，無法從中得知學生高層次思 考及問題解決能力。因此，若能以情境測 驗代替傳統測驗形式，將更能在問題解決 過程中窺得學生對相關概念理解及應用的 程度。 本研究即是以一元一次方程式虛擬情 境問題對小學及國中生作一對一晤談，所 有晤談資料都經過詳細謄錄及分析，以偵 測學生一元一次方程式概念的型態。 三、文獻探討 有關一元一次方程式相關概念的研究 可以文字符號、方程式及代數文字題等三 部分加以探討。 近四十年來，有許多不同的學者針對 文字符號加以研究（袁媛，民 82），以探討 學生在數學中的文字符號概念。其中以學 者 Collis（1975）對文字符號的分類較為完 整，他從學生的觀點出發，將文字符號概 念分類成六種不同使用層次： 1.文字符號代表一個可以算出的值， 如：n＋5＝8 中的 n，n＝3。 2.文字符號在數學計算裡是可以忽略 而不用，如 a＋b＝43，a＋b＋2＝？在求出 答案的過程裡並不需要考慮到文字符號所 代表的意義。 3.把文字符號當作物體，例如將 h 代表 為正方形的一邊，所以只是代表其中的一 邊，而不是邊長是多少，這是不一樣的。 4.把文字符號當做特定未知數，如一多 邊形有 n 個邊，而且每邊長為 2，知道此多 邊形周長為 2n，這是可以直接用來運算的。 5.把文字符號當作一般化的數字，如 c ＋d＝10，且 c＜d，則 c 代表小於 5 的數， 則此文字符號代表的是一組數字而非單一 數值。 6.把文字符號當作變數來使用，亦即該 文字符號代表著一個可隨條件變動的未定 數值，如比較 n 和 2n 的大小，n 可以是任 何數，兩者也一定可以做比較。 由上述 Collins 的分類，前三者文字符 號的使用是停留在具體層面，而後三者的 分類則過渡到抽象思考模式，在一元一次 方程式概念學習，若學生對文字符號的認 知只是停留在具體階段，固然可以解決一 些簡單的問題，不過若遇到結構較為複雜 的問題時，則往往沒有辦法適當使用文字 符號，因此形成了解題困難與概念迷思。
在 Resnick（1981）與 Carpenter（1982） 等多位數學教育研究者發現，當學生在解 決與方程式有關的問題時，學生通常習慣 先利用□來假設未知數，之後再寫成關係 式來解題，利用此種方式通常可以很快解 決與方程式有關的題目。但要求學生對相 類似的方程式問題，若改以使用文字符號 假設未知數解題時，作答結果比上述學生 以□假設未知數解題的答對率有明顯降 低，所以使用何種形式的符號或文字來替 代未知數，對於學生在解決方程式的問題 上是絕對有關聯的。 林光賢、郭汾派及林福來（民 78）曾 以台灣地區國中學生為對象，研究國中生 在文字符號的概念發展，另外，在此研究 中亦發現，半數以上台灣地區國中二、三 年級的學生只會作如單一文字符號運算、 處理文字符號只當特定數或只有數字計算 等結構簡單的題目，因此顯現出多數學生 對文字符號概念的瞭解並不完全，且使用 文字符號的能力也相當有限。但是，能夠 使用文字符號來代表數，是國中學生從算 數過渡到代數的一個重要橋樑，更是數學 抽象化與形式化的一個重要步驟（林光 賢、郭汾派及林福來，民 78）。 依據謝夢珊（民 89）的研究，影響方 程式的解題因素有以下七大類如下： 1.運算符號的性質 2.運算符號的個數 3.運算符號及未知數的位置 4.未知數出現的次數 5.答案是否為整數 6.係數的大小 7.題目中是否有括號 歸納上述各項研究，可統整出影響國 中生正確使用方程式的三大主要因素，包 括：對方程式的了解，此包含對未知數的 了解，即對文字符號的正確認知；正確的 運算過程，大部分學生的問題是由此產 生，其中包括加減乘除的運算、括號的去 除，單項的提出；具有足夠先備知識，如 答案是否為整數會影響學生是否能正確解 題，因而學生之前對分數概念的了解亦是 影響正確解題的關鍵。 有關代數文字題的研究中，Hammer （1957）發現在解代數文字題時，約有 75% 的學生對問題無法真正清楚了解。
Clement，Lochhead & Monk（1981）的研 究也指出，多數大學生不能成功地完全將 簡單句子轉譯成方程式，這些學者認為造 成這種現象的最主要原因是學生們不能真 正了解題目的意思。Resnick（1982）在其 對大學生面談的原案分析研究中，也發現 學生在解代數文字題時常出現「定義不精 確」、「不一致」、「似是而非」、及「過度連 結」的現象。 學生無法對代數文字題作妥善處理的 兩大主要原因為：一是學生根本不能了解 題目真意，在這種情形下，學生縱使能完 善地應用運算工具，對代數文字題也將無 從做起，因為他根本無法分辨究竟想要知 道什麼？想要解些什麼？另一種情形則是 學生縱使能對題意完全理解，但在假設或 運算時無法正確使用文字符號來幫助解 題，換言之即使學生可以充分了解題目的 意思，但卻無法有效使用運算工具。
四、研究目的 探討我國國小及國中生對一元一次方 程式概念發展的情形。 五、研究方法 （一） 樣本 本計畫研究對全國國中一、二及小六 學生在一元一次方程式概念發展及概念迷 思進行調查。將全國劃分為北、中、南、 東四區，並以分層隨機抽樣方式在上述四 區先隨機各抽取一縣，並選取與其同名之 省轄市或院轄市作縣市配對。例如在南區 是台南縣被隨機抽中為研究對象，則台南 市自然亦成為本計畫之研究學校，以便與 台南縣組成城、鄉配對。 之後，在各縣、市中各隨機抽取一校， 並在每校國一及國二各年級中隨機選取一 班。每班再以前學期數學總成績及前一次 段考成績平均，將每班學生分成高、中、 低三組，各組中再以隨機方式選取男、女 生各兩人，因此每班有男生 6 人、女生 6 人，共 12 人參與本研究。 接著，便在上述所選取國中所在學區 內，隨機抽取一國小，並以同一隨機選樣 程序，在六年級中各選取一班 12 位學生(男 生 6 人，女生 6 人)。 因此，本研究共計有全國八縣市、16 個學校、24 個班級、共 288 人參與（見表 一）（省略）。 （二）、工具 「一元一次方程式虛擬情境測驗」是 研究者自編、以一元一次方程式為內容核 心、虛擬故事情節為測試方式的情境測 驗。整份測驗是有關地球人要打敗卡薩伊 族人期間經過的一連串問題解決情境。整 套虛擬測驗共有 16 個情境，每種情境各含 一至五個小問題（問題群組），題目由簡單 至複雜，小六及國一對第 11 及第 14 至 16 情境，因題目太難，省略不做。題目是以 一對一晤談方式進行測試。 根據吳寶桂與邱玥慈(2002)，研究者與 已在國高中任教具 25 年經驗數學科任教師 對「一元一次方程式虛擬情境測驗」16 個 情境 35 個題目之評鑑符合度為 0.70~1.00(平均值為 0.91，標準差.09，而中 位數為.93)。而 11 位接受學生之前、後測 一致性(間距為 3~4 個月)為 0.42~1.00 (平均 值為 0.93，標準差.16，而中位數為 1.00)。 因此，本測驗具良好信、效度。 （三）、施測 「一元一次方程式虛擬情境測驗」是 以一對一晤談方式進行，並事先徵得學生 同意對晤談內容全程加以錄音。學生並要 求將整個解題歷程寫下來。全程施測時間 平均約為兩小時又二十分鐘。 六、結果與討論 一元一次方程式虛擬情境概念細目 經參考民國 88 年國編版數學第一冊第 三章的教科書（國立編譯館，民 88）、教師 訪談（吳寶桂與邱玥慈，2002）、美國教科 書及 Wu（2002）有關「一元一次方程式虛 擬情境測驗」預試研究結果，並以「學生 觀點」出發，統整出學生在解「一元一次 方程式情境問題」時所有可能表現的概念 如表二(省略)。 表二「一元一次方程式虛擬情境概念 細目」完全是以「學生反應」出發，對學 生在「一元一次方程式情境問題」解題過 程中所表現的所有概念作詳細分類，如此
分類除了要瞭解學生的一元一次方程式概 念外，並且探索在達到純熟一元一次方程 式概念前之發展雛形。因此如表一中將符 號代表數的概念又細分成：可填充式圖形 如○、△、□ 等：一般的圖像如卡通人物、 偶像等；文字；及心理潛藏的符號表徵。 其中，心理潛藏的符號表徵可以下列訪談 實例說明： (T) 把自己的經驗值給他。那，你知道要給 他多少嗎？ (S) （沉默了一會兒）400 (T) 那你可以用式子列出來嗎？ (S) 學生寫下 400+400+800 (T) 那你寫這樣子是什麼意思？ 400+400=800 (S) 他只有的 400 的經驗值，和我本身的 400 的經驗值，就會等於這裡，必須要 有 800 的經驗值。 (T) 是這樣子喔！那除了這個算法還有沒 有其他算法？ (S) （學生思考中） (T) 你要給他多少經驗值？ (S) （學生持續思考中）寫下 400+X=800 因此，可以探得此學生第一次所述之 「400＋400＝800」有可能是第二次所述 「400＋X＝800」的外顯式子。 正式施測評分者信度 兩位評分者經過討論並製訂評鑑標準 後，對前十位學生晤談謄錄內容進行概念 評定，每完成一份評鑑資料，兩位評分者 便進行討論並解決彼此差異。之後，分別 對另十位同學錄音謄錄內容進行評定，對 此十份錄音內容評分者間一致性為.95。其 餘學生晤談內容所呈現的一元一次方程式 概念也都經此兩位評分者一一核定達到一 致的共識。 概念分析(紙本答題卷整理) 根據每位同學在測驗紙本所書寫的解 題歷程進行概念歸類，第一次細項歸類 後，再經第二次對一元一次方程式概念的 大項歸類，結果如表三(略)。 228 位學生中，有 11 位學生試卷未填 答或遺失，因此本研究的分析是根據 217 位學生的資料。每筆資料都經兩位評分者 評定、討論，最後達到對概念評定的一致 性。先對每位學生在每一情境試題的反應 作初步分類，然後對所有學生在同一情境 之反應進行第一次歸類，之後再進行更進 一步歸類。每一類別的概念，分別計算其 出現的百分比所得結果如表四(略)。由表四 可知：運用數字計算解題的同學佔大部 分，例如在「情境 3-1：買香蕉」問題中， 57.14%以數字計算方式來解題，0.46%僅能 列出一元一次方程式，僅有 1.84%的同學 能列出一元一次方程式並求得正解。 各情境分析(訪談結果) 對所有學生在各情境所表現概念列於 表五(略)。表中包含一元一次方程式虛擬情 境測驗之十六個情境(S1)九宮格、(S2)打開 房間門（題組）、(S3)買香蕉（題組）、(S4) 補給站、 (S5)年齡問題(題組)、(S6)買寶 劍、(S7)天秤與南瓜(題組)、(S8) 與狼交易 (題組)、(S9) 過橋(題組)、(S10)旅社住宿、 (S11)買車票(題組)、(S12)如何打敗卡薩 人、(S13) 打敗潛水艇、(S14) 多少勇士 (一)、(S15) 多少勇士(二)、(S16) 多少勇士 (三)。
由表中初步統計分析發現，各情境問 題能激發學生一元一次方程有關概念反應 程度各有不同，例如與其他情境比較，在 情境 1、7-1、7-2、7-3 及 9-2 中學生所表 現的潛藏表徵遠較可填充式圖形、文字符 號表徵為多。買香蕉的題組最能引發學生 表現文字符號的概念。 由學生在「發現題目已知數(C4)」、「了 解題目已知數(C5)」、「發現題目未知數 (C6)」各項表現，及對題目的答對率，發 現旅社住宿問題(S12)最難，此題描述一旅 行團要住宿旅館，有一些旅館限制要遵 守，在一些條件下要求旅館房間數及旅客 人數。由於該題牽涉兩個未知數，求解難 度最高。 各年級在各情境的表現 各年級在各情境的表現可以表六表示 （略）。由表六「發現題目已知數」(C4)、 「了解題目已知數」(C5)、「發現題目未知 數」(C6)，及對題目「答對」率的統計數 字，顯示住旅社問題(S12)對於各年級學生 仍是較難的題目，且六年級學生對已知數 的瞭解及未知數的發現比例較國中生為 低。， 另外，除了情境 9-1 沒有標準答案、 S12 題目太難學生無法解決、S13 可用嘗試 -錯誤方式(Try and error)解題、及 S9-2 可以 直述式方式解題以致各年級的表現都很平 均外，學生們在各情境都有隨著年級的增 加而有較佳表現的趨勢！ 七、參考文獻 中文部分 林光賢、郭汾派、林福來（1989）。國 中生文字符號概念的發展。國科會專題研 究報告：NSC-77-0111-S-004-001-A。 吳寶桂(2001)。青少年的數學方程式概 念發展研究。國科會專題研究報告： NSC-89-2511-S-110-002。 陳建蒼(1993)。高一學生對數函概念層 次教學成效研究。國立高學師範大學數學 教育研究所碩士論文。 陳瓊森(1998)。從建構主義觀點談概念 形成及概念轉變。國民中學學生概念學習 學術研討會。 謝孟珊（2000）。以不同符號表徵未知 數對國二學生解方程式表現之探討。國立 台北師範數理教育研究所碩士論文。 英文部分
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