高三己第一次期中考題庫

第一章

一、單選題

（ ）1.下列隨機變數X 的可能取值﹐何者為 X = 1﹐2﹐3﹐4﹖ (1)一盒中有 10 件樣品﹐其中 3 件為不良品﹐自盒中任取 4 件﹒令 X 表示取得不良品的件數﹒ (2)甲乙丙丁 4 人同時猜拳﹐以「剪刀﹑石頭﹑布」決定勝負﹐令 X 表示得勝的人數﹒ (3)自一副撲克牌中隨機取出 5 張﹐令 X 表示其中 A 點的張數﹒ (4)擲一個骰子﹐令 X 表示擲出點數的正因數個數﹒ 解答 4 解析 (1)X 表示取得不良品的件數﹐則 X = 0﹐1﹐2﹐3﹒ (2)X 表示得勝的人數﹐則 X = 0﹐1﹐2﹐3﹒ (3)X 表示其中 A 點的張數﹐則 X = 0﹐1﹐2﹐3﹐4﹒ (4)X 表示擲出點數的正因數個數﹐各點數的正因數與 X 的取值如下﹕ 擲出點數 正因數 X 1 1 1 2 1﹐2 2 3 1﹐3 2 4 1﹐2﹐4 3 5 1﹐5 2 6 1﹐2﹐3﹐6 4 答案為(4)﹒ （ ）2.下列有關「隨機號碼表」的敘述何者正確﹖ (1)任兩個隨機號碼表都相同 (2)每列 40 個數字裡﹐恰 好有4 個 0 (3)每三個一組的數字裡﹐出現 000 的機率是 1 1000 (4)表中不可能出現像 0000 這樣 4 個 連續的數字 (5)從任一列開始的簡單隨機抽樣﹐都會有相同的結果﹒ 解答 3 解析 (1)不同的方法所產生的隨機號碼表可能不同﹐因此任兩個隨機號碼表不一定相同﹒ (2)隨機號碼表每個位置上出現各數字的機率都是相等的﹐但不能代表每個數字出現的次數都是相同 的﹒ (3)隨機號碼表每個位置上出現各數字的機率都是 1 10 ﹐因此出現000 的機率為 3 1 1 10 =1000﹒ (4)出現 0000 這樣 4 個連續的數字的機率為 1₄ 1 10 =10000﹐雖然很小﹐但仍不是0﹐還是有可能出現 0000﹒ (5)隨機號碼表每個位置上出現各數字的機率都是相等的﹐但不能代表從不同列取出的結果是相同的﹒ 故選項(3)正確﹒ （ ）3.某廠商委託民調機構在甲地調查聽過該品牌洗衣粉的居民占當地居民之百分比（以下簡稱為「知名

度」）﹒結果在95%信心水準之下﹐該品牌洗衣粉在甲地的知名度之信賴區間為[0.608,0.672]﹒試問此 次民調中﹐下列哪些選項是正確的﹖ (1)此次調查結果可解讀為﹕甲地全體居民中恰有 64%的人聽過 該產品 (2)若在甲地再實施一次民調﹐所得信賴區間仍為[0.608,0.672] (3)真正的知名度有 95%的機 會在區間[0.608,0.672]中 (4)若以同樣方式在甲地進行多次民調﹐所得區間中約有 95%會包含真正的 知名度﹒ 解答 4 解析 (1)調查的結果﹐並不代表全體的結果﹒ (2)若在甲地再實施一次民調﹐所得信賴區間未必一樣為[0.608,0.672]﹒ (3)真正的知名度在區間[0.608,0.672]的機率不是 0﹐就是 1﹒ (4)正確﹒ （ ）4.甲丟一枚均勻硬幣8 次﹐下列選項有哪些是正確的﹖ (1)會正好得到正面 4 次及反面 4 次 (2)若前 4 次得到正面4 次﹐則後 4 次得到正面 4 次的機率小於得到反面 4 次的機率 (3)恰好得到 4 次正面及 4 次反面的機率大於1 4 (4)若已知丟完硬幣共出現正面 4 次與反面 4 次﹐則丟擲過程是正反面交錯出現 的機率大於丟擲過程是正面集中在前4 次或後 4 次的機率﹒ 解答 3 解析 (1)不一定會正好得到正面 4 次及反面 4 次﹒ (2)若前 4 次得到正面 4 次﹐則後 4 次得到正面 4 次的機率與得到反面 4 次的機率皆為_{( )}1 4 2 ﹒ (3)恰好得到 4 次正面及 4 次反面的機率為 8 4 4 4 1 1 35 1 ( ) ( ) 2 2 128 4 C =  ﹒ (4)正反面交錯出現的機率為 1 4 1 4 1 2 ( ) ( ) 2 2 128  = ﹐ 若正面集中在前4 次﹐則後 4 次皆為反面﹐所以機率為 1 4 1 4 1 ( ) ( ) 2 2 =256﹐ 若正面集中在後4 次﹐則前 4 次皆為反面﹐所以機率為 1 4 1 4 1 ( ) ( ) 2 2 =256﹐ 因為 1 1 1 128=256+256﹐所以機率相等﹒ 故選項(3)正確﹒

二、多選題

（ ）1.關於期望值的敘述﹐選出正確的選項﹕ (1)擲一個公正骰子 1 次﹐點數的期望值等於所有可能出現點數的算術平均數﹒ (2)擲一個公正骰子 2 次﹐點數和的期望值等於所有可能出現點數和的算術平均數﹒ (3)丟一枚均勻硬幣 1 次﹐正面出現次數的期望值是1 2﹒

(4)丟一枚均勻硬幣 2 次﹐正面出現次數的期望值是 1﹒ 解答 1234 解析 (1)因為擲一個公正骰子 1 次﹐出現每一種點數的機率皆為1 6﹐點數的期望值為 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 6 6 6 6 6 6 6 + + + + +  +  +  +  +  +  = ﹐ 所以點數的期望值等於所有可能出現點數的算術平均數﹒ (2)因為擲一個公正骰子 2 次﹐點數和 X 的可能取值與機率分布如下﹕ X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1 36 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 36 期望值為 1 2 3 4 5 6 ( ) 2 3 4 5 6 7 36 36 36 36 36 36 E X =  +  +  +  +  +  5 4 3 2 1 252 8 9 10 11 12 7 36 36 36 36 36 36 +  +  +  +  +  = = ﹐ 可能出現點數和的算術平均數為2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 11 + + + + + + + + + + = ﹒ (3)因為丟一枚均勻硬幣 1 次﹐正面出現次數 X 的可能取值與機率分布如下﹕ X 0 1 P 1 2 1 2 所以期望值為 ( ) 0 1 1 1 1 2 2 2 E X =  +  = ﹒ (4)因為丟一枚均勻硬幣 2 次﹐正面出現次數 X 的可能取值與機率分布如下﹕ X 0 1 2 P 1 4 2 4 1 4 所以期望值為 ( ) 0 1 1 2 2 1 1 4 4 4 E X =  +  +  = ﹒ 故選項(1)(2)(3)(4)正確﹒ （ ）2.投擲一均勻硬幣2 次﹐若 A 表示第一次出現正面的事件﹐B 表示第二次出現反面的事件﹐C 表示兩次 為同一面的事件﹐下列各組何者互為獨立事件﹖ (1)事件 A 與 B (2)事件 B 與 C (3)事件 A 與 C (4)事件 A﹐B﹐C﹒

解答 123 解析 樣本空間 S = {(正﹐正)﹐(正﹐反)﹐(反﹐正)﹐(反﹐反)}﹐ A = {(正﹐正)﹐(正﹐反)}﹐B = {(正﹐反)﹐(反﹐反)}﹐C = {(正﹐正)﹐(反﹐反)}﹐ 故AB = {(正﹐反)}﹐BC = {(反﹐反)}﹐AC = {(正﹐正)} (1)P(AB) =1 1 1 4=  =2 2 P(A)P(B)﹐事件 A 與 B 獨立﹒ (2)P(BC) =1 1 1 4=  =2 2 P(B)P(C)﹐事件 B 與 C 獨立﹒ (3)P(CA) =1 1 1 4=  =2 2 P(A)P(C)﹐事件 A 與 C 獨立﹒ (4)ABC = ﹐得 P(ABC) = 0﹐ 但P(A)P(B)P(C) =1 1 1 1 2  = 2 2 8 P(ABC)﹐ 故A﹐B﹐C 不是獨立事件﹒ 答案為(1)(2)(3)﹒ （ ）3.已知丟某枚銅板﹐其出現正面的機率為p﹐出現反面的機率為(1 − p)﹐將此枚銅板丟擲 n 次﹐在丟擲過 程中﹐正面第一次出現時﹐可得獎金1 元﹐正面第二次出現時﹐可再得獎金 2 元﹐正面第三次出現 時﹐可再得獎金3 元﹐以此類推﹒試問下列哪些選項是正確的﹖ (1)若 n 次丟擲中出現正面 k 次﹐總共得到獎金1 2 ( ) 2 k −k 元﹒ (2)丟擲銅板第二次之後﹐累計得獎金 1 元的機率為 2(p − p2_)﹒ (3)總共得到獎金 2 元的機率為 ( 1) 2 2 (1 ) 2 n n n p p − − − ﹒ (4)總共得到獎金1 2 ( ) 2 n − 元的機率為 n(pn n − 1 _{− p}n_)﹒ 解答 24 解析 (1)若 n 次丟擲中出現正面 k 次﹐得到獎金為 1 + 2 + 3 + … + k 1 1 2 ( 1) ( ) 2k k 2 k k = + = + （元）﹒ (2)丟擲銅板第二次之後﹐累計得獎金 1 元的機率為 2 2 1 (1 ) 2( ) C p −p = p−p ﹒ (3)不可能得到獎金 2 元﹐所以機率為 0﹒ (4)因為 ( 1)( 1 1) 1 2 1 2 3 ( 1) ( ) 2 2 n n n − − + n n + + + + − = = − ﹐所以得到獎金1 2 ( ) 2 n −n 元﹐ 表示投擲n 次中恰出現(n − 1)次正面﹐其機率為 1 1 1 (1 ) ( ) n n n n n C ₋ p − −p =n p − −p ﹒ 所以選項(2)(4)正確﹒ （ ）4.在重複丟一枚均勻硬幣20 次的試驗中﹐下列敘述何者是正確的﹖ (1)可能出現 20 次正面 (2)恰出現

10 次正面的機率為1 2 (3)出現 6 次正面的機率等於出現 14 次正面的機率 (4)出現正面次數的期望值 為10 次﹒ 解答 134 解析 (1)正面的次數可能為 0﹐1﹐2﹐…﹐20 次﹒ (2)恰出現 10 次正面的機率為 20 10 10 10 1 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 C  ﹒ (3)出現 6 次正面的機率為 20 6 14 6 1 1 ( ) ( ) 2 2 C ﹐ 出現14 次正面的機率為 20 14 6 14 1 1 ( ) ( ) 2 2 C ﹐兩者相等﹒ (4)出現正面次數的期望值為20 1 10 2  = （次）﹒ 故答案為(1)(3)(4)﹒ （ ）5.想要了解臺灣的公民對某議題支持的程度所作的抽樣調查﹐依性別區分﹐所得結果如下表﹕ 女性公民 男性公民 贊成此議題的比例 p 0.52 0.59 p 的標準差 p(1 p) n − _{0.02 0.04} 請問從此次抽樣結果可以得到下列哪些推論﹖ (1)全臺灣男性公民贊成此議題的比例大於女性公民贊 成此議題的比例 (2)在 95%的信心水準之下﹐全臺灣女性公民贊成此議題之比例的信賴區間為 [0.48,0.56]（計算到小數點後第二位﹐以下四捨五入） (3)此次抽樣的女性公民數少於男性公民數 (4)如果不區分性別﹐此次抽樣贊成此議題的比例 p 介於 0.52 與 0.59 之間 (5)如果不區分性別﹐此次 抽樣 p 的標準差 p(1 p) n − 介於0.02 與 0.04 之間﹒ 解答 24 解析 (1)不正確﹒ (2)95%的信心水準之下﹐信賴區間為[0.52 − 2  0.02,0.52 + 2  0.02] = [0.48,0.56]﹒ (3)設女性公民的抽樣人數為 n1﹐男性公民的抽樣人數為n2﹐由題意知﹕ 1 1 0.52(1 0.52) 0.02 n 624 n − =  = （人） 2 2 0.59(1 0.59) 0.04 n 151 n − _{=  } （人） 所以抽樣的女性公民數多於男性公民數﹒ (4)不區分性別﹐此次抽樣贊成此議題的比例為p﹐

624 0.52 151 0.59 0.52 0.59 624 151 p  +   =  + ﹒ (5)由(4)知﹐0.52 p 0.59﹐0.41 1 − p 0.48 0.52 0.41  p(1−p)0.59 0.48 p的標準差 (1 ) (1 ) (1 ) 0.59 0.48 0.02 624 151 775 775 p p p p p p n − ₌ − ₌ − _  _ + ﹒ 故選項(2)(4)正確﹒ （ ）6.隨機變數X 是一個參數為

(

20, 0.3 的二項分布（即重複操作成功機率為

)

0.3 的伯努利試驗 20 次﹐20 次 中成功的次數為X）﹐其機率分布圖如下﹒選出正確的選項﹕ (1)X 的期望值為 6 (2)X 的標準差大於 4 (3)X = 6 時的機率最大 (4)P(X = 8)  P(X = 10) (5)P(X = 7) = P(X = 5)﹒ 解答 134 解析 (1)X 的期望值為 E(X) = np = 20  0.3 = 6﹒ (2)X 的標準差(X)= np(1−p)= 20 0.3 0.7  = 4.24﹒ (3)由機率分布圖知 X = 6 時的機率最大﹒ (4)由機率分布圖知 P(X = 8)  P(X = 10)﹒ (5)由機率分布圖知 P(X = 7)  P(X = 5)﹒ 故選項(1)(3)(4)正確﹒ （ ）7.丟一枚均勻硬幣10 次﹐恰好出現 n 次正面的機率記為 pn﹐選出正確的選項﹕ (1) ₅ 1 2 p = (2)p0﹐p1﹐ p2﹐…﹐p10中的最大值是p5 (3)p3 = p7 (4)p3  p5 (5)p0﹐p1﹐p2﹐…﹐p10的平均值為0.5﹒ 解答 234 解析 (1) 10 5 10 5 5 5 1 1 252 1 ( ) ( ) 2 2 1024 2 p =C − =  ﹒ (2) 10 10 10 10 10 1 1 ( ) ( ) 2 2 2 1024 i i i i i i C C p =C − = = ﹐其中i = 0﹐1﹐2﹐…﹐10﹒ p0﹐p1﹐p2﹐…﹐p10分母相同﹐而分子以C105 最大﹐故最大值為p5﹒ (3) 10 10 3 7 3 10 10 7 2 2 C C p = = = p ﹒ (4)由選項(2)知p5最大﹐所以p3  p5﹒ (5)p0﹐p1﹐p2﹐…﹐p10的平均為 2 1 0 3 4 5 6 7 8 91011121314151617181920 0.15 0.10 0.05 0.20 0.25 0

10 10 10 10 10 0 1 2 10 0 1 2 10 2 1 11 11 1024 11 1024 11 p + p +p + + p ₌C +C +C + +C _{= =}   ﹒ 另解﹕ 因為p0﹐p1﹐p2﹐…﹐p10代表所有可能情形的機率﹐所以﹐ p0 + p1 + p2 + … + p10 = 1﹐ 因此﹐ 0 1 2 10 1 11 11 p + p +p + + p ₌ ﹒ 故選項(2)(3)(4)正確﹒ （ ）8.甲乙丙三人投擲一枚不均勻的硬幣各若干次（每人投擲次數可不相同）﹐在各自選定的信心水準之下﹐ 作擲出正面機率的信賴區間圖形如下（其中乙和丙的區間長度相同）﹐下列何者正確﹖ (1)丙擲出正 面的比率最大 (2)甲的抽樣誤差最大 (3)若投擲次數相同﹐則甲的信心水準比乙低 (4)若信心水準 相同﹐則甲的投擲次數比乙少 (5)若信心水準相同﹐則丙的投擲次數比乙多﹒ 解答 1245 解析 由圖形知(1)(2)正確﹐ (3)因甲和乙投擲次數 n 和p皆相等﹐所以 p(1 p) n − 相等﹐今甲的區間較長﹐表示甲的信心水準比乙 高﹒ (4)甲和乙的p相等﹐但在相同的信心水準下﹐誤差 p(1 p) n − 甲較大﹐因為p(1− p)相同﹐ 故甲的n 值較少﹐即甲的投擲次數比乙少﹒ (5)乙和丙的信心水準相同﹐且區間長度相同﹐所以誤差 p(1 p) n − 相等﹐n 與p(1−p)成正比﹐ 又 2 1 2 1 (1 ) ( ) 2 4 p −p = −p + = − −p p + 在 1 0.5 2 p = = 時﹐此二次函數p(1− p)有最大值﹐相對n 的值就較大﹒由圖知丙的p =0.5﹐所以丙 的投擲次數比乙多﹒ 選項(1)(2)(4)(5)正確﹒ （ ）9.投擲一枚不均勻硬幣﹐出現正面的機率為3 4﹐出現反面的機率為 1 4﹒今丟擲此硬幣5 次﹐若 X 表示出 現正面的次數﹐則下列敘述何者正確﹖ (1)X = 1 的機率為 15 512﹒ 甲 乙 丙 0.5 0 1 P

(2)X = 2 的機率小於 X = 3 的機率﹒ (3)X = 3 的機率最大﹒ (4)X 的期望值為15 4 ﹒ (5)X 的標準差為 15 4 ﹒ 解答 245 解析 令隨機變數 X 為出現正面的次數﹐則 X 的取值與機率分布如下﹕ X 0 1 2 P 50 5 1 1 ( ) 4 1024 C = 51 4 3 1 15 ( )( ) 4 4 1024 C = 52 2 3 3 1 90 ( ) ( ) 4 4 1024 C = X 3 4 5 P 53 3 2 3 1 270 ( ) ( ) 4 4 1024 C = 54 4 1 3 1 405 ( ) ( ) 4 4 1024 C = 55 5 3 243 ( ) 4 1024 C = 期望值為 1 15 90 270 405 243 15 ( ) 0 1 2 3 4 5 1024 1024 1024 1024 1024 1024 4 E X =  +  +  +  +  +  = ﹐ 變異數為 2 15 2 90 2 270 2 405 2 243 15 2 15 ( ) 1 2 3 4 5 ( ) 1024 1024 1024 1024 1024 4 16 Var X =  +  +  +  +  − = ﹐ 標準差為 15 15 ( ) ( ) 16 4 X Var X  = = = ﹐所以選項(2)(4)(5)正確﹒

三、填充題

1.袋中裝有1 號球 1 顆﹐2 號球 2 顆﹐…﹐10 號球 10 顆﹐自袋中任取一球﹐取到 k 號球時﹐可得(100 − k)元（k = 1﹐2﹐…﹐10）﹐試問任取一球的期望值為多少元﹖ 解答 93 元 解析 由題意知﹐袋中總共有10 (10 1) 55 2  + = 顆球﹐今自袋中取一球﹐取到k 號球的機率為 55 k ﹐且可得到 (100 − k)元﹐故期望值為 10 10 2 1 1 1 (100 ) (100 ) 55 55 k k k k k k = = −  = −





1 [100 10 (10 1) 10 (10 1) (2 10 1)] 93 55 2 6  +  +   + =  − = （元）﹒

2.甲﹑乙﹑丙各出「剪刀﹑石頭﹑布」猜拳﹐令X 表示得勝的人數﹐求(1)P(X = 0) (2)X 的機率分布﹒ 解答 (1)1 3;(2)見解析 解析 (1)P(X = 0)表示三人不分勝負的機率﹐可能三人出相同的拳或各出一種﹐其機率 P(X = 0) 3 3!₃ 9 1 3 27 3 + = = = ﹒ (2)X 的取值與機率分布如下﹕ X 0 1 2 P 1 3 3 1 3 3 1 3 3 C  ₌ 3₂ 3 3 1 3 3 C  = 3.某男校學務處進行「是否贊成招收女生」的意見調查﹐結果回收有效問卷1600 張﹐其中贊成者 1280 張﹒ (1)求贊成比例﹒ (2)在 95%的信心水準下﹐這次調查的誤差是多少個百分點﹖ (3)計算 95%的信賴區間﹒ 解答 (1)0.8;(2)0.02;(3)[0.78 , 0.82] 解析 (1)在 1600 張問卷中﹐有 1280 張表示贊成﹐贊成率為 1280 0.8 1600 p = = ﹒ (2)在 95%的信心水準下﹐誤差是2 (1 ) 2 0.8 (1 0.8) 2 0.01 0.02 1600 p p n −  − = =  = ﹒ (3)95%信賴區間為[0.8 − 0.02 , 0.8 + 0.02] = [0.78 , 0.82]﹒ 4.袋子中裝有編號1﹑2﹑3﹑4 的四張卡片﹐自袋中隨意抽出兩張﹐若 X 表示所抽出的卡片兩號碼的平均﹐求 X 的 期望值與標準差﹒ 解答 期望值5 2﹐標準差 15 6 解析 因為四張卡片隨意抽出兩張﹐有 4 2 6 C = 種情形﹒隨機變數X 表示所抽出的卡片兩號碼的平均﹐X 的取值 與機率分布如下﹕ 抽出號碼 1﹐2 1﹐3 1﹐4 或 2﹐3 2﹐4 3﹐4 X 3 2 2 5 2 3 7 2 P 1 6 1 6 2 6 1 6 1 6 X 的期望值為 ( ) 3 1 2 1 5 2 3 1 7 1 5 2 6 6 2 6 6 2 6 2 E X =  +  +  +  +  = ﹐ 變異數為 3 5 2 1 5 2 1 5 5 2 2 5 2 1 7 5 2 1 5 ( ) ( ) (2 ) ( ) (3 ) ( ) 2 2 6 2 6 2 2 6 2 6 2 2 6 12 Var X = −  + −  + −  + −  + −  = ﹐

標準差為 ( ) ( ) 5 15 12 6 X Var X  = = = ﹒ 5.從實驗室的數據證實﹐人的睡眠時數呈現常態分布﹐其平均數為7.5 小時﹐標準差 1 小時﹒根據此睡眠分布﹐試 估計下列各項所占的人數比例﹒ (1)睡眠時數超過 7.5 小時者. (2)睡眠時數介於 6.5 到 8.5 小時者. (3)睡眠時數不到 8.5 小時者﹒ 解答 (1)50%;(2)68%;(3) 84 100 解析 (1)常態分布為左右對稱的分布﹐其平均數在曲線的中心點﹐所以約有 50%的數值超過 7.5 小時﹒ (2)6.5 到 8.5 小時為與平均數相距 1 個標準差的範圍﹐根據 68−95−99.7 規則﹐約占 68%的比例﹒ (3)8.5 小時在平均數以上 1 個標準差的地方﹐由圖知在此數的左邊區域的比例約為 50 68 1 84 100+100 =2 100﹒ 6.設A﹐B﹐C 為三獨立事件﹐若 ( ) 1 4 P AB = ﹐ ( ) 1 6 P BC = ﹐且 ( ) 2 3 P AC = ﹐求 P(A)﹐P(B)﹐P(C)﹒ 解答 ( ) 1 2 P A = ﹐ ( ) 1 2 P B = ﹐ ( ) 1 3 P C = 解析 若 A﹐B﹐C 為三獨立事件﹐則 A 與 B﹑B 與 C 及 A 與 C 亦為獨立事件﹒ A 與 B 為獨立事件﹐ ( ) ( ) ( ) 1 4 P AB =P A P B = … B 與 C 為獨立事件﹐ ( ) ( ) ( ) 1 6 P BC =P B P C = … 8.5 7.5 6.5 5.5 9.5 8.5 7.5 6.5 5.5 9.5 8.5 7.5 6.5 5.5 9.5 50% 34%

A 與 C 為獨立事件﹐P(AC) = P(A)P(C) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 P AC =P A +P C −P AC =P A +P C −P A P C = … 由  ﹐得 ( ) 3 ( ) 2 P A = P C …﹐將代入得﹐ 2 3 3 2 ( ) ( ) ( ( ) ) 2P C +P C −2 P C =3 9P(C)2 _{− 15P(C) + 4 = 0} [3P(C) − 1][3P(C) − 4] = 0 1 ( ) 3 P C = 或 ( ) 4 3 P C = （不合） 將 ( ) 1 3 P C = 分別代入﹑得 ( ) 1 2 P A = ﹑ ( ) 1 2 P B = 所以 ( ) 1 2 P A = ﹐ ( ) 1 2 P B = ﹐ ( ) 1 3 P C = ﹒ 7.(1)單一選擇題每題有 4 個選項﹐恰有一個選項是正確的﹒若每題答對可得 5 分﹐答錯應倒扣幾分﹖ (2)上述記分方式中﹐若確定選項 A 不正確﹐隨意猜答另三個選項的其中之一﹐則該題得分的期望值為何﹖ 解答 (1)5 3分;(2) 5 9分 解析 (1)設答錯應倒扣 x 分﹐則5 1 ( ) 3 0 4 x 4  + −  = ﹐ 得 5 3 x = ﹒故每題答錯應倒扣5 3分﹒ (2)確定選項 A 不正確﹐隨意猜答時﹐猜對的機率為1 3﹐猜錯的機率為 2 3﹐ 該題得分的期望值為5 1 ( 5) 2 5 3 3 3 9  + −  = 分﹒ 8.設袋中有7 顆球﹐分別編號 1 到 7 號﹐自袋中取出 3 球﹐令隨機變數 X 表示其中最大的號碼﹒ (1)求 P(X = 5)﹒ (2)求 X 的機率分布﹒ 解答 (1) 6 35;(2)見解析 解析 令隨機變數 X 表示自袋中取出 3 球﹐其中最大的號碼﹐ (1)P(X = 5)表示 3 球中最大號碼為 5 之機率﹐即 4 1 2 1 7 3 6 ( 5) 35 C C P X C = = = ﹒ (2)X 的機率分布如下﹕

X 3 4 5 6 7 P 2 1 2 1 7 3 1 35 C C C = 3 1 2 1 7 3 3 35 C C C = 4 1 2 1 7 3 6 35 C C C = 5 1 2 1 7 3 2 7 C C C = 6 1 2 1 7 3 3 7 C C C = 9.某校有學生1000 位﹐某次數學段考成績呈常態分布﹐平均成績 72 分﹐標準差 12 分﹒ (1)此次數學段考不及格（60 分以下）的學生約有幾位﹖ (2)成績超過 96 分的約有幾位﹖ (3)某生成績 84 分﹐他在全校大約排第幾名﹖ 解答 (1)160 位;(2)25 位;(3)第 160 名 解析 (1)成績呈平均 72 分﹐標準差 12 分的常態分布﹐60 分在平均數以下 1 個標準差的地方﹐ 由常態分布規律﹐約有68%的成績在區間[72 − 12 , 72 + 12] = [60 , 84]之間﹒ 也就是成績落在60 分以下及 84 分以上合占 32%﹐ 由對稱性知60 分以下與 84 分以上各占 16%﹐也就是大約有 160 位數學成績不及格﹒ (2)成績落在區間[72 − 2  12 , 72 + 2  12]者約占 95%﹐ 也就是大約有5%的學生成績在 48 分以下或 96 分以上﹐ 由對稱性知成績在96 分以上者約占 2.5%﹐也就是大約有 25 位學生成績在 96 分以上﹒ (3)成績 84 分為平均數以上 1 個標準差的地方﹐由(1)的討論知他大約排在第 160 名左右﹒ 10.甲參選角逐某里的里長寶座﹐其競選團隊隨機抽樣100 人﹐其中有 64 人對甲表示支持﹒ (1)求甲支持率 95%的信賴區間﹒ (2)在相同的支持率與信心水準的條件下﹐欲使信賴區間長度縮短一半﹐需抽樣多少人﹖ 解答 (1)[0.544,0.736];(2)400 人 解析 (1)在 100 位受訪者當中﹐有 64 位表示支持﹐甲的支持率 64 0.64 100 p = = ﹒ 又2 (1 ) 2 0.64 (1 0.64) 2 0.048 0.096 100 p p n −  − = =  = ﹐ 得95%的信賴區間[0.64 − 0.096,0.64 + 0.096] = [0.544,0.736]﹒ (2)設需抽樣 n 人﹐依題意 0.64 (1 0.64) 1 0.64 (1 0.64) 2 100 n  − ₌  − ﹐解得n = 400﹒ 故需抽樣400 人﹒ 11.設兩事件A 與 B 滿足 ( ) 1 2 P A = ﹐ ( ) 7 10 P AB = ﹒ (1)設 A 與 B 為互斥事件﹐求 P(B)﹒ (2)設 A 與 B 為獨立事件﹐求 P(B)﹒ 解答 (1)1 5;(2) 2 5

即 7 1 ( ) 0 10= +2 P B − ﹐得 7 1 ( ) 10 2 P B = − 1 5 = ﹒ (2)A 與 B 為獨立事件﹐P(AB) = P(A)  P(B)

P(AB) = P(A) + P(B) − P(AB) = P(A) + P(B) − P(A)  P(B)

即 7 1 ( ) 1 ( ) 10= +2 P B − 2 P B ﹐得 1 7 1 ( ) 2P B =10−2 故 ( ) 2 5 P B = ﹒ 12.袋中有編號1 號至 10 號的卡片各一張﹒今任取一張﹐ (1)若取出 k 號﹐則可得 k 元﹐求所得金額的期望值﹒ (2)若取出 k 號﹐則可得 k2_{元﹐求所得金額的期望值﹒} 解答 (1)11 2 元;(2) 77 2 元 解析 (1)期望值為1 1 2 1 10 1 (1 2 10) 1 11 10 10 10 10 2  +  + +  = + + +  = （元）﹒ (2)期望值為 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 77 1 2 10 (1 2 10 ) 10 10 10 10 2  +  + +  = + + +  = （元）﹒ 13.設病人對某種治療藥物有反應的機率為0.9﹐且不同的病人對此藥物的反應與否為獨立事件﹒今有三位病人接受 此項治療﹐求 (1)其中有 2 位有反應的機率﹒ (2)至少有一位病人有反應的機率﹒ 解答 (1)0.243;(2)0.999 解析 令 A﹐B﹐C 分別表甲﹑乙﹑丙三人對治療藥物反應的事件﹒ (1)有 2 位有反應的情形為 A 與 B 有反應事件(ABC)或 B 與 C 有反應事件(ABC)或 C 與 A 有反應 事件(ABC)三者之聯集﹒因為 A﹐B﹐C 三事件均互為獨立事件﹐所以

P(ABC) + P(ABC) + P(ABC)

= P(A)  P(B)  P(C) + P(A)  P(B)  P(C) + P(A)  P(B)  P(C) = 0.9  0.9  0.1 + 0.1  0.9  0.9 + 0.9  0.1  0.9 = 0.243﹒

故有2 位有反應的機率為 0.243﹒

(2)至少有一位病人有反應的情形為 A 有反應事件或 B 有反應事件或 C 有反應事件﹐三者之聯集 (ABC)﹐因為 A﹐B﹐C 三事件均互為獨立事件﹐所求為

P(ABC) = 1 − P(ABC) = 1 − P(A)P(B)P(C)

= 1 − (1 − 0.9)(1 − 0.9)(1 − 0.9) = 1 − 0.1  0.1  0.1 = 0.999﹒

故至少有一位病人有反應的機率為0.999﹒

14.下圖是一個彈珠台﹐從上方放入一顆彈珠﹐彈珠每滑落撞擊到釘柱時﹐會隨機的向左或向右落下而必撞擊到下一 層的釘柱﹐最後落到下方編號0 到 6 的格子中﹒若彈珠每次向左或向右落下的機率相等﹐則

(2)寫出彈珠落到各格子中的機率分別為多少﹖ (3)彈珠落到幾號格子機率最大﹖ 解答 (1) 3 32;(2)見解析;(3)3 號 解析 (1)彈珠向左方落下的機率 1 2 p = ﹐向右方落下的機率1 1 2 p − = ﹒ 因為彈珠台有6 層﹐彈珠會落下 6 次﹐若最後落入 1 號格子中﹐表示其路徑有 5 次向左﹐只有 1 次 向右（其中一路徑如圖）﹐其機率為 6 1 5 1 1 1 6 3 ( ) ( ) 2 2 64 32 C = = ﹒ (2)設隨機變數 X 為彈珠最後所在格子的編號﹐那麼彈珠落到編號k的情形是有k次向右﹐6−k次向左 落下﹐其機率為 6 1 1 6 6 1 6 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 k k k k P X =k =C − =C ﹐k = 0﹐1﹐2﹐…﹐6 得X 的機率分布如下﹕ X 0 1 2 3 4 5 6 P 1 64 6 3 64=32 15 64 20 5 64=16 15 64 6 3 64=32 1 64 (3)由機率分布得知﹐彈珠落入 3 號格子的機率最大﹒ 15.某公司有員工124 人﹐其性別與國籍列表如下﹕ 本國 外國 和 男性 50 30 80 女性 20 24 44 和 70 54 124

(1)從中抽出一人﹐令 A 表此人是男性的事件﹐B 表此人是本國籍的事件﹐則 A 與 B 是否為獨立事件﹖ (2)公司人事部門覺得似乎本國女性員工人數過少﹐為達到性別與國籍獨立的目標﹐應再增聘幾名本國女性﹖ 解答 (1)否;(2)20 名 解析 (1)A 表抽出男性的事件﹐ ( ) 80 124 P A = ﹐B 表抽出本國籍的事件﹐ ( ) 70 124 P B = AB 表抽出男性且為本國籍的事件﹐ ( ) 50 124 P AB = ﹐ 因為 80 70 50 124 124 124﹐即P(AB)  P(A)  P(B) 所以A 與 B 非獨立事件﹒ (2)設再增聘本國女性 x 名﹒此時性別與國籍列表如下﹕ 本國 外國 和 男性 50 30 80 女性 20+ x 24 44+ x 和 70+ x 54 124+ x 此時 ( ) 80 124 P A x = + ﹐ 70 ( ) 124 x P B x + = + ﹐ 50 ( ) 124 P A B x  = + ﹐ 當A 與 B 為獨立事件時﹐P(AB) = P(A)  P(B)﹐ 即 50 ( 80 )(70 ) 124 124 124 x x x x + = + + + ﹐ 整理得50(124 + x) = 80(70 + x)﹐解得 x = 20﹒

因為當A 與 B 為獨立事件時﹐事件 A與 B﹐A 與 B﹐A與 B亦均為獨立事件﹐如此可達到性別與國

籍獨立的目標﹒ 故應再增聘20 名本國女性﹒ 16.根據某汽車公司的資料﹐列出50 名開車人士的性別及車種顏色如下﹕ 黑色 非黑色 男性 18 12 女性 12 8 試問﹕「性別」與「車種顏色」是否為獨立事件﹖ 解答 是 解析 先求雙向表中各列與各行總和﹕ 黑色 非黑色 總和 男性 18 12 30 女性 12 8 20 總和 30 20 50 令A 表開車人士為男性的事件﹐則 ( ) 30 3 50 5 P A = =

B 表開車人士為女性的事件﹐則 ( ) 20 2 50 5 P B = = C 表喜好黑色車的事件﹐則 ( ) 30 3 50 5 P C = = D 表喜好非黑色車的事件﹐則 ( ) 20 2 50 5 P D = = (1)AC 表開車人士為男性且喜好黑色車的事件﹐ ( ) 18 9 50 25 P AC = = ﹐ 因為3 3 9 5 =5 25﹐即P(AC) = P(A)P(C)﹐所以 A 與 C 為獨立事件﹒ (2)AD 表開車人士為男性且喜好非黑色車的事件﹐ ( ) 12 6 50 25 P AD = = ﹐ 因為3 2 6 5 =5 25﹐即P(AD) = P(A)P(D)﹐所以 A 與 D 為獨立事件﹒ (3)BC 表開車人士為女性且喜好黑色車的事件﹐ ( ) 12 6 50 25 P BC = = ﹐ 因為2 3 6 5 =5 25﹐即P(BC) = P(B)P(C)﹐所以 B 與 C 為獨立事件﹒ (4)BD 表開車人士為女性且喜好非黑色車的事件﹐ ( ) 8 4 50 25 P BD = = ﹐ 因為2 2 4 5 =5 25﹐即P(BD) = P(B)P(D)﹐所以 B 與 D 為獨立事件﹒ 故「性別」與「車種顏色」為獨立事件﹒ 17.丟一個公正的骰子三次﹐求恰出現兩次點數是6 的機率﹒ 解答 5 72 解析 骰子出現點數是 6 的機率為1 6﹐不出現點數是6 的機率為 5 6﹐故 3 2 2 1 5 5 ( ) ( ) 6 6 72 P=C = ﹒ 18.設在不同的抽樣調查中﹐分別訪問1200 人﹐得樣本滿意度比例p =₁ 0.3﹐p =2 0.5﹐p =3 0.8﹒在95%的信心水 準下﹐何者的信賴區間最長﹖ 解答 p₂ 解析 從信賴區間公式知﹐抽樣誤差2 p(1 p) n − 愈大﹐信賴區間就愈長﹒ 故只須比較 p(1 p) n − 的大小即可﹒ 【解一】

計算各p值的 p(1 p) n − ﹕ 1(1 1) 0.3 (1 0.3) 0.3 0.7 0.21 1200 1200 1200 p p n − ₌  − ₌  ₌ ﹐ 2(1 2) 0.5 (1 0.5) 0.5 0.5 0.25 1200 1200 1200 p p n − ₌  − ₌  ₌ ﹐ 3(1 3) 0.8 (1 0.8) 0.8 0.2 0.16 1200 1200 1200 p p n − ₌  − ₌  ₌ ﹒ 因為0.16  0.21  0.25﹐所以 p2(1 p2) n − 最大﹐即p2的信賴區間最長﹒ 【解二】 在抽樣人數n 均等的情形下﹐只須比較p(1−p)的大小﹕ 因為p(1−p)為p的二次函數﹐且 (1 ) 2 ( 1)2 1 2 4 p −p = −p + = − −p p + 在 1 0.5 2 p = = 時﹐此二次函數p(1−p)有最大值﹐故p =2 0.5 的抽樣誤差₂ p2(1 p2) n − 最大﹐其信賴區間最長﹒ 19.求下列隨機變數X 的可能取值個數﹒ (1)擲一公正的骰子 3 次﹐令 X 表示此 3 次的點數和﹒ (2)投擲 10 顆公正骰子一次﹐令 X 表示其中最大的點數﹒ (3)從 5 雙尺寸式樣與顏色均相同的鞋子中任選 6 隻﹐令 X 表示此 6 隻可配成的雙數﹒ (4)自 1﹐2﹐3﹐4﹐5 中取出三相異數字﹐令 X 表示此三數字所作成的三位數﹒ 解答 (1)16 個;(2)6 個;(3)3 個;(4)60 個 解析 (1)X 表示此 3 次的點數和﹐X = 3﹐4﹐5﹐…﹐18﹒共 16 個﹒ (2)X 表示其中最大的點數﹐X = 1﹐2﹐3﹐4﹐5﹐6﹒共 6 個﹒ (3)5 雙鞋子中任選 6 隻﹐則 6 隻中至少可配成 1 雙﹐X = 1﹐2﹐3﹒共 3 個﹒ (4)X 表示此三數字所作成的三位數﹐ 5 3 5 4 3 60 P =   = （個）﹒ 20.欲調查全校700 名學生每天平均上網時數﹐將全校 700 名學生編號 1 到 700 號﹒擬抽樣 1%人數﹒ (1)此調查的母體是什麼﹖樣本數是多少人﹖ (2)採簡單隨機抽樣﹐若自本書附錄所附的隨機號碼表第 10 列第 1 個數字開始﹐由左到右讀取數字﹐則所抽到的樣 本是哪些號碼﹖ 解答 (1)母體為全校 700 名學生﹐樣本數 7 人;(2)239﹐372﹐507﹐306﹐231﹐255﹐084 解析 (1)母體為全校 700 名學生﹐樣本數為 700  1% = 7 人﹒ (2)239﹐372﹐507﹐306﹐231﹐255﹐084﹒ 31.丟一均勻的硬幣4 次﹐令隨機變數 X 表示出現的正面數﹐ (1)求 X 所有可能的取值﹒

(2)列出 X 取各值時的機率﹒ 解答 見解析 解析 用「+」表出現正面﹐「−」表出現反面﹐則樣本空間為 S = {( + , + , + , + )﹐( + , + , + , − )﹐( + , + , − , + )﹐( + , − , + , + )﹐( − , + , + , + )﹐ ( + , + , − , − )﹐( − , − , + , + )﹐( + , − , + , − )﹐( − , + , − , + )﹐( − , + , + , − )﹐ ( + , − , − , + )﹐( + , − , − , − )﹐( − , + , − , − )﹐( − , − , + , − )﹐( − , − , − , + )﹐ ( − , − , − , − )} 其中序對裡面的位置﹐代表依次出現的結果﹒則 X = 0﹐表示沒有出現正面﹐即事件{( − , − , − , − )}﹐ X = 1﹐表示出現一個正面﹐即事件 {( + , − , − , − )﹐( − , + , − , − )﹐( − , − , + , − )﹐( − , − , − , + )}﹐ X = 2﹐表示出現二個正面﹐即事件 {( + , + , − , − )﹐( − , − , + , + )﹐( + , − , + , − )﹐( − , + , − , + )﹐( − , + , + , − )﹐( + , − , − , + )}﹐ X = 3﹐表示出現三個正面﹐即事件 {( + , + , + , − )﹐( + , + , − , + )﹐( + , − , + , + )﹐( − , + , + , + )}﹐ X = 4﹐表示出現四個正面﹐即事件{( + , + , + , + )} 所以隨機變數X 所有可能的取值為 0﹐1﹐2﹐3﹐4﹒ 將X 取各值的機率 P 列表如下﹕ X 0 1 2 3 4 P 1 16 1 4 3 8 1 4 1 16 32.保險公司針對60 歲長青族推出一年期壽險﹐保險額 2000 萬元﹐保費 2400 元﹒若依統計資料顯示﹐60 歲長青族 一年內死亡的機率為0.0001﹒則每張保單中﹐保險公司利潤的期望值是多少﹖ 解答 400 元 解析 令隨機變數 X 為保險公司所得利潤﹒因為 60 歲長青族一年內可能有平安或死亡兩種結果﹐又若平安度 過﹐保險公司賺2400 元﹐否則要賠(20000000 − 2400)元﹐所以 X 的機率分布如下﹕ 顧客狀況 平安 死亡 X 2400 − 20000000 + 2400 P 0.9999 0.0001 故保險公司利潤的期望值為 E(X) = 2400  0.9999 + (− 20000000 + 2400)  0.0001 = 2400  (0.9999 + 0.0001) − 20000000  0.0001 = 2400 − 2000 = 400（元）﹒ 33.盒中有6 張大小相同的卡片﹐分別標示號碼 1﹐2﹐2﹐3﹐3﹐3﹒今從中一次取出一張﹐取完都再放回﹐連取三 次﹒求 (1)連續三次都取出 1 的機率﹒

(2)三次的總和為 6 的機率﹒ 解答 (1) 1 216;(2) 11 54 解析 取出的卡片均再放回﹐所以每次取出的號碼均互相獨立﹐依題意﹐取到 1﹐2﹐3 的機率分別為1 6﹐ 1 3﹐ 1 2﹒ (1)連續三次都取出 1 的機率為1 1 1 1 6  =6 6 216﹒ (2)三次的總和為 6 的事件為三次都取出 2 或取出 1﹐2﹐3 各一張﹐其機率為 1 1 1 1 1 1 1 1 11 3! 3  +    =3 3 6 3 2 27+ =6 54﹒ 21.一箱子中有10 個燈泡﹐其中有 2 個是壞的﹒今從箱子中取 3 個燈泡測試﹐求取出的燈泡中壞燈泡個數的期望 值﹒ 解答 3 5個 解析 令隨機變數 X 為所取得的壞燈泡個數﹐則 X 的可能取值為 0﹐1﹐2﹐其機率分布如下﹕ X 0 1 2 P 8 3 10 3 56 120 C C = 2 8 1 2 10 3 56 120 C C C  ₌ 2 8 2 1 10 3 8 120 C C C  ₌ 因此﹐壞燈泡個數的期望值E(X) 0 56 1 56 2 8 72 3 120 120 120 120 5 =  +  +  = = （個）﹒ 22.臺北銀行委託民調公司調查發現﹕「約有65%的臺灣地區民眾在過去一年中曾購買過樂透彩券﹐且有 95%的信 心認為其誤差在2.5 個百分點之內﹒」試計算﹕ (1)民調公司抽查的樣本約為多少人﹖ (2)樣本中曾購買過樂透彩券的約有多少人﹖ (3)我們可以有 95%的信心認為曾購買過樂透彩券的民眾比例在多少到多少之間﹖ 解答 (1)1456 人;(2)946 人;(3)[0.625,0.675] 解析 (1)在過去一年中曾購買過樂透彩券的民眾比例p =0.65﹐在95%的信心水準下﹐誤差為 0.65(1 0.65) 2 0.025 n − ₌ 整理成2 65 35 2.5 n 1456 n  _{=  =} ﹐ 故抽樣人數1456 人﹒ (2)樣本中曾購買過彩券的人約有 1456  0.65  946 人﹒ (3)95%的信賴區間為[0.65 − 0.025,0.65 + 0.025] = [0.625,0.675]﹒

23.數學SAT 考試規定﹐該項測驗的總分如果超過 800 分﹐一律以 800 分記錄﹒已知今年 SAT 考試呈現常態分布﹐ 其平均560﹐標準差 120﹒試求﹕約有多少比例的考生會收到 800 分的成績單﹖ 解答 2.5% 解析 800 = 560 + 2  120 為 + 2 的位置﹐所以有1(1 0.95) 0.025 2 − = 的考生原始成績是超過800 分的﹐即約 有2.5%的考生會收到 800 分的成績單﹒ 24.丟3 個公正硬幣﹐若出現 k 個正面﹐則可獲 2k_{元（k = 1﹐2﹐3）﹐為使賭局公平﹐出現 3 個反面時應賠多少元﹖} 解答 26 元 解析 丟 3 個公正硬幣﹐出現正面個數與其機率如下表﹕ 正面個數 0 1 2 3 機率 1 8 3 8 3 8 1 8 設出現3 個反面時應賠 x 元﹐欲使期望值為 0﹐即3 1 3 2 1 3 1 2 2 2 0 8 + 8 + 8 −8x= 得x = 26（元）﹐故出現 3 個反面時應賠 26 元﹒

第二章

一、單選題

（ ）1.把函數y = sinx 的圖形向右平移 2  單位﹐所得新圖形為下列哪一個函數的圖形﹖ (1) cos( ) 2 y= x− (2) cos( ) 2

y= x+ (3)y = sin(−x) (4)y = cosx (5)y = − cosx﹒

解答 5

解析 利用平移的性質﹐得新圖形的函數為 sin( )

2

y= x− ﹒

又 sin( ) sin cos

2 2 y= x− = − _ −x_= − x   ﹐ 故選(5)﹒ （ ）2.下列哪一個角度最接近3 弧度﹖ (1)90 (2)120 (3)135 (4)150 (5)180﹒ 解答 5 解析 因為 3 弧度 3 (180) (540) 171.9   =   =   ﹐所以選(5)﹒ （ ）3.已知a = sin5﹐選出正確的選項﹕ (1) 1 1 2 a −   − (2) 1 0 2 a −   (3)0 1 2 a   (4)1 1 2  ﹒ a 解答 1

解析 由 a = sin5 知道點(5,a)落在 y = sinx 的圖形上﹒ 因為  3.14﹐3 4.71 2  _ ﹐11 5.76 6  _ ﹐所以點(5,a)約略位置如下圖所示﹕ 由圖知﹐點(5,a)比點(3 , 1) 2  ₋ 高﹐但比點(11 , 1) 6 2  ₋ 低﹐ 因此﹐ 1 1 2 a −   − ﹐故選(1)﹒

（ ）4.下圖是下列哪個函數的圖形﹖ (1)y = sinx (2)y = 3sinx (3)y = − 3sinx (4)y = 3sin2x (5)y = − 3sin2x﹒ 解答 5 解析 由圖形得知﹐此函數的週期為﹐最大值為3﹐最小值為 − 3﹒又當0 2 x    時﹐圖形的y 坐標為負﹐ 即函數值為負﹒在選項中只有y = − 3sin2x 符合上述條件﹐故選(5)﹒ （ ）5.設a = cos1﹐選出正確的選項﹕ (1) − 1  a  0 (2)0  a 1 2 (3) 1 2 a  22 (4) 2 2  a  32 (5) 3 2  a  1﹒ 解答 3 解析 利用 1 4 3     ﹐及y = cosx 的部分圖形（如圖）﹐ x y O 2 3 2 11 6 5 (5,a) x y O 3 3 2 2 3 4 1 O x y 1 y=cosx

得cos cos1 cos 4 3  _{ }  ﹐即 2 1 2  a 2﹒ 故選(3)﹒

二、多選題

（ ）1.關於函數f (x) = 3cos2x﹐選出正確的選項﹕ (1) − 2  f (x)  2 (2)f (x)在 2 x= 時有最大值 (3) ( ) f x 的 週期為 (4)y = f (x)的圖形對稱於直線 2 x= (5)f (1)  0﹒  解答 34 解析 函數 f (x) = 3cos2x 的圖形如下﹐得 (1) − 3  f (x)  3﹒ (2)f (x)在 2 x= 時有最小值 − 3﹒ (3)f (x)的週期為﹒ (4)因為 f (x)在 2 x= 時有最小值﹐所以圖形對稱於直線 2 x= ﹒ (5)因為點(1 , f (1))在 x 軸下方﹐所以 f (1)  0﹒ 故選(3)(4)﹒

三、填充題

1.求下列各式的值﹕ (1) cot 3  (2)sec2 3  (3)csc3 2  ﹒ 解答 (1) 3 3 ;(2) − 2;(3) − 1 解析 利用倒數關係式計算如下﹕ (1)cot 3  的意思是cot( ) 3  弧度 ﹒ 因為 3  弧度 (180) 60 3   =   = ﹐且tan tan 60 3 3  _{=  =} ﹒所以cot 1 3 3 3 3  = = ﹒ (2)因為cos2 1 3 2  _{= −} ﹐所以sec2 2 3  _{= −} ﹒ x y O 1, f (1) 3 3 2

(3)因為sin3 1 2  _{= −} ﹐所以csc3 1 2  _{= −} ﹒ 2.如下圖﹐已知二同心圓的半徑分別為3 與 6﹐且AD的弧長為2﹐求鋪色區域的周長與面積﹒ 解答 周長 12﹐面積 9 解析 設AOD = ﹒因為AD=3=2﹐所以 2 3  = ﹒因此﹐ 周長 3 6 2 3 2 12 3 AB BC CD DA = + + + = +  + + = ﹒ 面積 = 扇形 OBC 面積 − 扇形 OAD 面積 1 2 2 1 2 2 6 3 9 2 3 2 3 =   −   = ﹒ 3.若三角形三內角度數的比為5：6：7﹐則此三角形最大內角是多少弧度﹖ 解答 7 18  弧度 解析 因為三內角和為 180﹐所以最大內角為180 7 70 5 6 7  =  + + ﹐即 7 70 180 18    = 弧度﹒ 4.如下圖﹐已知正方形ABCD 的邊長為 6﹐分別以 A 和 B 為圓心﹑6 為半徑畫弧﹐兩弧交於 E 點﹐求鋪色區域的面 積﹒ 解答 12 −9 3 解析 連接AE﹐BE﹒因為AE=BE=AB﹐所以△ABE 為正三角形﹐即 60 3 EAB   =  = 弧度﹒ A B C D O A B D C E A B D C E 60°

故鋪色區域的面積為 2  扇形ABE的面積 − △ABE 的面積 2 1 1 2 ( 6 ) ( 6 6 sin 60 ) 2 3 2  =    −     =12−9 3﹒ 5.在0  x  2 的範圍內﹐求方程式 2sin2_{x + 5cosx − 4 = 0 的解﹒} 解答 3 x= ﹐5 3  解析 利用 sin2_{x + cos}2_{x = 1﹐將原方程式改寫為}

2(1 − cos2_{x) + 5cosx − 4 = 0  2cos}2_{x − 5cosx + 2 = 0﹐} 即(2cosx − 1)(cosx − 2) = 0﹐解得cos 1

2 x = 或2（不合）﹒ 因為0  x  2﹐所以 3 x= ﹐5 3  ﹒ 6.已知sin 3 5 = ﹐且 2     ﹐求下列各値﹕

(1)csc﹒ (2)sec﹒ (3)cos( +  )﹒ (4)cot( −  )﹒ 解答 (1)5 3;(2) 5 4 − ;(3)4 5;(4) 4 3 解析 (1)由倒數關係式﹐得csc 1 5 sin 3   = = ﹒ (2)由 sin2_{ + cos}2_{ = 1 可得} 2 cos=  1 sin−  ﹐ 因為 是第二象限角﹐cos  0﹐所以 2 cos = − 1 sin−  1 ( )3 2 4 5 5 = − − = − ﹒ 由倒數關係式﹐得sec 1 5 cos 4   = = − ﹒ (3)cos( ) cos 4 5  + = −  = ﹒ (4) 4 cos ₅ 4 cot( ) cot 3 sin 3 5      − − = − = − = − = ﹒ 7.畫出函數 3sin(2 ) 1 3 y= x+ + 的圖形﹐並求其週期﹑最大值及最小值﹒ 解答 圖見解析﹐週期﹐最大值為4﹐最小值為 − 2 解析 根據圖形平移及伸縮的形式﹐將函數 3sin(2 ) 1 3 y= x+ + 改寫為 3sin(2( )) 1 6 y= x+ + ﹐ 再透過底下的流程畫出其圖形﹕ y = sinx 的圖形⎯⎯⎯⎯鉛直方向₃ → 拉伸 倍 y = 3sinx 的圖形 步驟一

₁ 2 ⎯⎯⎯⎯水平方向→ 壓縮 倍 y = 3sin2x 的圖形 步驟二 6 1  ⎯⎯⎯⎯⎯⎯向左平移 單位_{向上平移 單位}→ 3sin(2( )) 1 6 y= x+ + 的圖形 步驟三 三步驟圖示如下﹕ 步驟一 步驟二 步驟三 故函數 3sin(2 ) 1 3 y= x+ + 的週期是2 2 = ﹐最大值為3  1 + 1 = 4﹐最小值為 3  ( − 1) + 1 = − 2﹒ 8.已知 5 6 x 6     ﹐求函數y = cos2_{x + sinx − 1 的最大值與最小值﹒} 解答 最大值1 4﹐最小值0 解析 利用平方關係式﹐將函數改寫為

y = (1 − sin2_{x) + sinx − 1 = − sin}2_{x + sinx =} 1 2 1 (sin ) 2 4 x − − + ﹒ 因為 5 6 x 6  _{ }  ﹐所以1 sin 1 2 x ﹒ 故y 有最大值1 4﹐最小值 2 1 1 (1 ) 0 2 4 − − + = ﹒ 2 y O 2 4 2 x y=sinx y =3sinx 2 y O 3 2 2 2 4 2 x y=3sin2x y =3sin x 2 y O 3 2 2 2 4 2 x y= 3sin 2x+ +1 3 y=3sin2x

9.已知 是第三象限角﹐且tan cot 25 12

+ = ﹐求下列各值﹕

(1)sin  cos﹒ (2)sin + cos﹒ (3)sec + csc﹒ (4)sin2﹒ 解答 (1)12 25;(2) 7 5 − ;(3) 35 12 − ;(4)24 25 解析 (1)因為 2 2

sin cos sin cos 1 tan cot

cos sin sin cos sin cos

            + + = + = =   ﹐ 所以sin cos 12 25   = ﹒

(2)因為_{(sin cos )}2 _sin2 _{2sin cos cos}2 _{1 2sin cos} 49 25

+  = +  + = +  = ﹐

且 是第三象限角﹐sin  0﹐cos  0﹐所以sin cos 7 5 + = − ﹒ (3) 7 1 1 sin cos ₅ 35 sec csc 12 cos sin sin cos 12

25         − + + = + = = = −  ﹒

(4)利用兩倍角公式﹐得sin 2 2sin cos 2 12 24

25 25  =  =  = ﹒ 10.在0  x  2 的範圍內﹐兩函數 y = tanx 與 3 3 5 y= − x+ 的圖形共有多少個交點﹖ 解答 3 個 解析 如下圖﹕ 共有3 個交點﹒ 11.如圖﹐已知圓O 的半徑為 2﹐直線 OA 分別與直線 OC 及直線 AB 垂直﹐且OA =1﹐求斜線區域面積﹒ x y O 3 2 y=tanx y= 3x+3 5 A O C B

解答 3 2 3  + 解析 如圖﹐連接OB﹒ 在直角△OAB 中﹐因為OA =1﹐OB =2﹐ 所以∠AOB = 60°﹒ 故斜線區域面積 = 2（△OAB 面積＋扇形 OBC） = 2(1 3 1 2 2 2 2 6   +   ) = 3 2 3  + ﹒ A O 30 ° 60 ° C B