單元 1~單元 5
一、單選題1. （ ）設<an>、<bn>都是等差數列，試問下列何者是等比數列？ (A)<an + 2> (B)<3an> (C)<an + bn> (D)<2an> (E)<an2> 【龍騰自命題】 解答 D 解析 設 an = a1 + (n − 1)d，bn = b1 + (n − 1)t。 (A)an + 2 = (a1 + 2) + (n − 1)d，首項 a1 + 2，公差 d (B)3an = 3a1 + (n − 1)3d，首項 3a1，公差 3d (C)an + bn = (a1 + b1) + (n − 1)(d + t)，首 項 a1 + b1，公差 d + t (D) 1 1 ( 1) 1 2an 2a n d 2a (2 )d n 是首項2a1，公比 2d的等比數列 (E)
若<an> = <n>，則<an2> = <n2>，顯然<an2>非等比數列
2. （ ）有 8 個座位排成一排，今甲、乙、丙三人選完全不相連（即兩兩分開）的位子而坐， 則有多少種坐法？ (A)4! (B)5! (C)6! (D)7! (E)8! 【龍騰自命題】 解答 B 解析 甲、乙、丙一人先拿走一張椅子，再將 3 人的椅子插入剩下的 5 張椅子的 6 個空隙， 故所求P63120 5! （種） 3. （ ）設(1 + x)n = a 0 + a1x + a2x2 + … + anxn，且 2a4 = 3an − 6，則正整數 n 為何值？ (A)8 (B)9 (C)10 (D)11 (E)12 【龍騰自命題】 解答 B 解析 4 4 n a C ， 6 n 6 6n n n a C C ， 所以2C4n 3 C6n⇒ ! ! 2 3 ( 4)! 4! ( 6)! 6! n n n n ⇒(n4)(2n5)6 53 ⇒ n2 − 9n = 0 ⇒ n = 9（0 不合） 4. （ ）一列火車有 7 節車廂，車廂號碼 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7，今有兩對夫婦同時上火車。此四人 剛好選坐兩節車廂而且是一對夫婦在一節車廂，另外一對夫婦選坐另一節車廂，則共有 多少種選法？ (A)49 (B)21 (C)42 (D)84 (E)13 【龍騰自命題】 解答 C 解析 所求P72 7 6 42（種） 5. （ ）有 6 位旅客欲參加旅遊，一共有五家旅行社及四種路線可以選擇，每個人都必須選一 家旅行社及一種路線，則此 6 位旅客共有幾種不同的選擇？ (A)69 (B)96 (C)56 × 46 (D)65 × 46 (E)56 + 46 【龍騰自命題】 解答 C 解析 由乘法原理知：共有 56 × 46種選擇
6. （ ）將 5 種不同的酒，倒入 4 個不同的酒杯，每杯都要倒酒，且只准倒入一種酒，則有多 少種倒法？ (A)9 (B)20 (C)625 (D)1024 (E)24 【龍騰自命題】 解答 C 解析 每一個酒杯有 5 種酒可選擇， 5 5 5 5 故倒法有 5 × 5 × 5 × 5 = 54 = 625種 7. （ ）5 男 4 女排成一列，且 4 位女士完全不相鄰的排法共有多少種？ (A)9! (B)5! × 4! (C)5! P 54 (D) 6 4 5! P (E) 9 4 5! P 【龍騰自命題】 解答 D 解析 先排男生，再將女生插空隙， 故所求 5! P64（種） 8. （ ）將三個 0，三個 1 以及二個 2 作成八位數，則共可排出多少個八位數？ (A)350 (B)400 (C)450 (D)500 (E)550 【龍騰自命題】 解答 A 解析 (任意排列) − (0 在首位)3! 3! 2! 2! 3! 2! 8! 7! 560 210 350 9. （ ）A = {(x , y) | 3x − y = 1 且 2x + y = 4}，B = {(x , y) | x − y = a 且 2x − y = b}，若 A = B，下 列何者為真？ (A) a = − 1 (B) b = 1 (C) a + b 為偶數 (D) a + b > 0 (E) a − b > 0 【龍騰自命題】 解答 A 解析 32x yx y 14 ，所以(x , y) = (1 , 2)，因此 A = {(1 , 2)}，B = {(1 , 2)}，
又 a x yb 2x y 1 22 2 01，故 a = − 1，b = 0，a + b = − 1 為奇數，a + b < 0，a − b = − 1 < 0 10. （ ）將 abscissa 八個字排成一列，若 b, c, i 的順序不變，則排法共有多少種？ (A)240 (B)360 (C)560 (D)720 (E)1440 【龍騰自命題】 解答 C 解析 將 b, c, i 先看成同一字，記為□， 再將 aasss□□□排成一列， 故排法有2! 3! 3! 8! 560種
（ ）設 A = {(x , y) | x + y = 3}，B = {(x − y , x + y) | 2x − y = 5}，則 A ∩ B = (A){7, 1 2 2} (B){( 2 , 2 7 )} (C){(1 , − 2)} (D){( 7 1 , 2 2)} (E){( − 1 , − 2)} 【龍騰自命題】 解答 D 解析 令 x − y = a，x y b x a b2 ， 2 b a y ， 代入 2x − y = 5 得 3a + b = 10， B = {(a , b) | 3a + b = 10} = {(x , y) | 3x + y = 10}， 解 3x yx y 310 x 72， 1 2 y ，故 A B {( 7 1 , 2 2)} 12. （ ）設 A = {x | f (x) = 0}，B = {x | g (x) = 0}，C = {x | h (x) = 0}，D = {x | k(x) = 0}，則聯立 方程式h xf x
k xg x
00 之解集合為 (A) ~ (A ∪ B) ∩ (C ∩ D) (B) ~ (A ∪ B) ∪ (C ∩ D) (C) ~ (A ∩ B) ∩ (C ∩ D) (D) ~ (A ∩ B) ∪ (C ∩ D) (E) ~ (A ∪ B) ∩ (C ∪ D) 【龍騰自命題】 解答 E 解析 f (x) × g (x) ≠ 0 為 f (x) × g (x) = 0 之反面，故其解為~ (A ∪ B)，而 h (x) × k (x) = 0 之解為 C ∪ D，故原聯立方程式之解集合為~(A ∪ B) ∩ (C ∪ D) 13. （ ）下列各命題，何者是正確的？ (A)四邊形 ABCD 中，若AB CD// ，則此四邊形為一平 行四邊形 (B)一直線與一圓至少會有一個交點 (C)若△ABC 為等腰三角形，則AB AC (D)若△ABC 為正三角形，則∠A = 60° (E) x2 − 2x − 3 = 0 ⇒ x = 3
【龍騰自命題】
解答 D
解析 (A)另一雙對邊亦須平行，才能是一平行四邊形 (B)一直線與一圓可能有 0 個、1 個、2
個交點 (C)等腰△ABC 中，∠B =∠C 時，才能得AB AC
(E) x2 − 2x − 3 = 0 ⇒ x = 3或 x = −1
14. （ ）一等差數列<an>中，a8 = 65，a20 = − 31，令 Sn = a1 +…+ an，且 Sn有最大值時，n 值為 (A)15 (B)16 (C)17 (D)18 (E)20 【龍騰自命題】 解答 B 解析 設公差是 d， 8 1 20 1 7 65 19 31 a a d a a d ，得 1 121 8 a d ， 故 an = 121 + (n − 1) × ( − 8) = 129 − 8n， Sn有最大值時，an ≥ 0且 an + 1 < 0，即 129 − 8n ≥ 0 且 129 − 8(n + 1) < 0 ⇒ n = 16
15. （ ）數列<an>，滿足 a1 = 2，an + 1 = 1 1an ，則 a1000的值為 (A) 2 (B) − 1 (C) 1 2 (D) 0 【龍騰自命題】 解答 A
解析 a1 = 2，a2 = − 1，a3 =
1
2，a4 = 2，a5 = − 1，a6 =
1 2，…， 由循環性知每 3 個一循環，1000÷3 = 333…1，故 a1000 = 2 16. （ ）實數等比數列<an>的前 n 項和為 Sn，且 S9是 S3的 57 倍，試問公比 r 的值可為下列哪一 個數？ (A)2 (B) − 2 (C)3 (D) − 3 (E) − 4 【龍騰自命題】 解答 B 解析 (I)若 r = 1 ⇒ S9是 S3的 3 倍，不合。 (II)r ≠ 1 ⇒ 9 1 9 (1 ) 1 a r S r ， 3 1 3 (1 ) 1 a r S r ⇒ 9 1 3 1 (1 ) 1 57 (1 ) 1 a r r a r r ⇒ 3 3 6 3 (1 )(1 ) 57 1 r r r r ⇒ r6 + r3 − 56 = 0 ⇒ (r3 + 8)(r3 − 7) = 0 ⇒ r3 = − 8或 r3 = 7， 又 r∈ℝ ⇒ r = − 2 或37 17. （ ）圖中 A、B、C 表示三集合，U 是宇集，試問灰色的區域是哪一選項？ A B C (A)A′∩B∩C (B)A∩B′∩C (C)A∩B∩C′ (D)A′∩B′∩C′ (E)A′∩B′∩C 【龍騰自命題】 解答 C 解析 灰色區域為 A∩B∩C′ 18. （ ）小華、小明兩人各擲一顆公正的骰子，並約定如下：若小明只要丟出 6 點就算小明獲 勝，小明丟出非 6 點且兩人同點數時小華獲勝，其餘的情形以點數大者獲勝，則小華獲 勝的情形有幾種？ (A)20 (B)21 (C)22 (D)23 (E)24 【龍騰自命題】 解答 A 解析 小華獲勝的情況有以下二種情形： (I)兩人同點數且非 6 ⇒ 5 種； (II)小華點數比小明大 ⇒6 5 15，
（ ）級數1 (1 1 ) (1 1 )(1 2) (1 2)(1 3) (1 29)(1 30) 30 30 30 30 30 30 30 的和為 (A) 890 99 (B) 899 90 (C) 899 99 (D) 89 90 (E) 89 99 【龍騰自命題】 解答 B 解析 原式30 301 (30 × 29 + 29 × 28 + 28 × 27 +…+ 2 × 1 + 1 × 0) 1 (29(29 1) 28(28 1) 27(27 1) 1(1 1)) 30 30 1 [(292 282 1 ) (29 282 1)] 30 30 1 (29 30 59 29 30) 899 30 30 6 2 90 20. （ ）設 A = {x | x2 − 3x + 2 > 0}，B = {x | x2 + ax + 1 > 0}，若 A ∪ B = R，試求實數 a 的範圍 為何？ (A) a > 1 (B) a > 0 (C) a > 2 (D) a > − 2 (E) a > 3 【龍騰自命題】 解答 D 解析 由 x2 − 3x + 2 > 0 ⇒ x > 2或 x < 1， 所以 A = {x | x > 2 或 x < 1}， 今欲使 A ∪ B = R 則 B 中必包含 1 ≤ x ≤ 2， 即{x | 1 ≤ x ≤ 2}⊂ B = {x | f (x) > 0}， 所以 f (1) > 0 且 f (2) > 0， 由 f (1) > 0 且 f (2) > 0 ⇒ a > − 2 且a 52⇒ a > − 2 為所求
21. （ ）設 A = {2x + 6y | x, y∈ℤ}，B = {x + 7y | x, y∈ℤ}，C = {4x + 8y | x, y∈ℤ}，則 (A) A ⊃ B ⊃ C (B) C ⊃ A ⊃ B (C) B ⊃ C ⊃ A (D) B ⊃ A ⊃ C (E) A ⊃ C ⊃ B
【龍騰自命題】 解答 D 解析 A 為 2 的整數倍數所成的集合，B 為所有整數的集合，C 為 4 的整數倍數所成的集合， 故 B ⊃ A ⊃ C 22. （ ）等差數列< an >的前 n 項和 Sn的最大值為 S7，且| a7 | < | a8 |，則使 Sn > 0的 n 的最大值 為 (A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 15 (E) 16 【龍騰自命題】 解答 B 解析 依題意，顯然 a1 > 0，d < 0， 因為| a7 | < | a8 |，所以 a8 ≠ 0，又 Sn的最大值為 S7，所以 a7 ≥ 0，a8 < 0
⇒ 1 1 1 1 6 0 7 0 6 ( 7 ) a d a d a d a d ⇒ 13 1 6 2 a d ， Sn =2[2 1 ( 1) ] n a n d = na1 + 2 n (n−1)d =d2n2 + (a 1−2 d )n > 0 ⇒ n2 + (2a1 1 d )n < 0，因為 n ≥ 1，所以 n + ( 1 2 1 a d ) < 0 ⇒ n < 1−2ad1 ，又 13 1 6 2 a d ，所以 12 ≤ 2a1 13 d ⇒ 13 ≤ 1−2da1 14，故 n 的最大值為 13 23. （ ）A、B 皆為有限集合，n(A) = m，n(B) = n，若 n (A ∪ B)的最大值為 p，最小值為 q，n (A ∩ B)的最大值為 r，最小值為 s，則 p + q + r + s = (A) m + n (B) m2 + n2 (C) mn (D) m2n2 (E) 2(m + n) 【龍騰自命題】 解答 E 解析 由題意知，s = 0，p = m + n，q = m + n − r， 所以 p + q + r + s = (m + n) + (m + n − r) + r = 2(m + n)
24. （ ）若數列<an>的定義如下：a1 = 5，an + 1 = 2an + 3，則 a12為下列哪一個數？ (A)1021
(B)2045 (C)4093 (D)8189 (E)16381 【龍騰自命題】 解答 E 解析 設 an + 1 + k = 2(an + k) ⇒ an + 1 = 2an + k ⇒ k = 3， 所以原遞迴關係式可改為(an + 1 + 3) = 2(an + 3)， 令 bn = an + 3 ⇒ bn + 1 = 2bn， 即<bn>為等比數列且公比為 2，首項 b1 = a1 + 3 = 5 + 3 = 8 ⇒ bn = b1 × 2n − 1 = 8 × 2n − 1 = 2n + 2 故 an = bn − 3 = 2n + 2 − 3 ⇒ a 12 = 214 − 3 = 16381 25. （ ）由 1～12 的十二個數字中，任取三個相異數，則此三數恰成等差數列的取法有多少種？ (A)20 (B)26 (C)30 (D)32 (E)36 【龍騰自命題】 解答 C 解析 設此三數為 a，b，c 成等差 ⇒ a + c = 2b 為偶數， 所以 a，c 二數為二奇或二偶（此時 b =a c2 ） ⇒ 取法有C26C26= 15 + 15 = 30種 26. （ ）U = {x | 20 ≤ x ≤ 100, x 為正整數}，A = {2x | x 為正整數}，B = {3x | x 為正整數}，C = {5x | x為正整數}，且 A ⊂ U，B ⊂ U，C ⊂ U，則 n (A ∪ B ∪ C) = (A)58 (B)59 (C)60 (D)61 (E)62
解析 因為 A ⊂ U，所以 20 ≤ 2x ≤ 100 ⇒ 10 ≤ x ≤ 50 ⇒ n(A) = 41， 同理 n(B) = 27，n(C) = 17，
因為 A ⊂ U，B ⊂ U，C ⊂ U，所以(A∩B) ⊂ U，(B ∩ C) ⊂ U，(A ∩ C) ⊂ U，
(A ∩ B ∩ C) ⊂ U，A ∩ B = {6x | 20 ≤ 6x ≤ 100} ⇒ n (A ∩ B) = 13， 同理 n (B ∩ C) = 5，n (A ∩ C) = 9，n (A ∩ B ∩ C) = 3， n (A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n (A ∩ B) − n (A ∩ C) − n (B ∩ C) + n (A ∩ B ∩ C) = 61 二、多選題 1. （ ）下列哪一個數列是等比數列？ (A) < − 2 , 4 , − 8 , 16 , − 32> (B) <5 , 5 , 5 , 5 , 5> (C) <1 , − 1 , 1 , − 1 , 1> (D) <16 , 24 , 36 , 54 , 81> (E) <2 , 4 , 6 , 8 , 10> 【龍騰自命題】 解答 ABCD 解析 (A)公比= − 2 (B)公比= 1 (C)公比= − 1 (D)公比 32 2. （ ）設數列<an>滿足 an + 1 = 2an + 1，試問下列哪些選項是正確的？ (A)若 a1 < − 1，則 a3 < − 1 (B)若 an = 1，則 an + 2 = 7 (C)若 a1 ≠ 1，則數列< − 1 + an>是一個等比數列 (D)若 a1 ≠ − 1，則數列<1 + an>是一個等比數列 (E)數列<an + 1 − an>是一個等差數列 【龍騰自命題】 解答 ABD
解析 設 an + 1 + k = 2(an + k) ⇒ an + 1 = 2an + k ⇒ k = 1，即原遞迴關係式可改為 an + 1 + 1 = 2(an +
1)。 (A)a3 + 1 = 2(a2 + 1) = 2[2(a1 + 1)] = 22(a1 + 1)，所以當 a1 < − 1時 ⇒ a3 + 1 < 0，即
a3 < − 1 (B)an + 2 + 1 = 22(an + 1) = 8 ⇒ an + 2 = 7 (C)舉反例：取 a1 = 2 ⇒ a2 = 5，a3 =
11，此時 − 1 + 2， − 1 + 5， − 1 + 11非等比數列 (D)an + 1 + 1 = 2(an + 1)，令 bn = an + 1
⇒ bn + 1 = 2bn且 b1 = a1 + 1 ≠ 0，所以<bn>為等比數列，即<an + 1>為等比數列 (E)舉反例：
取 a1 = 2 ⇒ a2 = 5，a3 = 11，a4 = 23 ⇒ <an + 1 − an> = <5 − 2,11 − 5,23 − 11,…> = <3,6,12,…
>，此時<an + 1 − an>不是等差數列 3. （ ）從 1, 2, 3, 4, …, 20 等 20 個數中，取出 3 個相異數，試問下列的選法，哪些是正確的？ (A)任意選的選法有 1140 種 (B)三數都不是相鄰的整數的選法有 816 種 (C)三數為連續 的三個整數的選法有 18 種 (D)三數由小到大排列成等差數列的選法有 90 種 (E) 三數中，恰有兩個數為連續的整數的選法有 306 種 【龍騰自命題】 解答 ABCDE 解析 (A)○： 203 20 19 18 1140 3 2 1 C (B)○： 183 18 17 16 816 3 2 1 C (C)○：C181 18 (D)○：a, b, c 成等差 ⇔ 2b = a + c，故 a + c 要為偶數 ⇒ 選法有C102 C102 45 45 90 種 (E)○：C182 C12306 4. （ ）設三相異實數 a, b, c 成等差數列，三相異實數 d, e, f 成等比數列，試問下列哪些選項 必為真？ (A)2020a × 2020c = 20202b (B)若 d > 0，e > 0，f > 0，則e df (C) 若 d, e, f 三數中的 f 為最大，則 d 為最小 (D)若 a + b > 0，則 b + c > 0 (E)若 d + e + f < 0，則 d < 0
【龍騰自命題】 解答 ABE 解析 (A)真：因為 a, b, c 成等差，所以 a + c = 2b，故 2020a × 2020c = 2020a + c = 20202b (B)真： 因為 d, e, f 成等比，所以 e2 = df，又 d > 0，e > 0，f > 0 ⇒e df (C)假：舉反例：令 d = 2，e = − 4，f = 8，此時 e = − 4 為最小 (D)假：舉反例：令 a = 3，b = − 1，c = − 5，此時 a + b = 2 > 0，但 b + c = − 6 < 0 (E)真：證明如下：設公比為 r ⇒ d + e + f = d + dr + dr2 = d(1 + r + r2)，又因為 1 + r + r2恆正，且 d(1 + r + r2) < 0，故 d < 0
單元 6
一、單選題 1. （ ）在同一個樣本空間中，甲事件發生的機率為 0.7，乙事件發生的機率為 0.5，甲或乙發 生的機率為 0.9，則甲和乙同時發生的機率為下列哪一個數？ (A)0.1 (B)0.3 (C)0.35 (D)0.45 (E)0.5 【龍騰自命題】 解答 B 解析 P(甲∪乙) = P(甲) + P(乙) − P(甲∩乙) ⇒ 0.9 = 0.7 + 0.5 − P(甲∩乙) ⇒ P(甲∩乙) = 1.2 − 0.9 = 0.3 2. （ ）有 5 本相異的書，其中英文課本 2 本，數學課本 2 本，國文課本 1 本，若將其隨意疊 在一起，試問同一科目的書都不相鄰的機率為下列哪一個數？ (A)15 (B)25 (C)53 (D)45 (E)101 【龍騰自命題】 解答 B 解析 設英文課本相鄰的事件為 A， 數學課本相鄰的事件為 B， ⇒P A B( )P A( )P B( )P A B( )4! 2! 4! 2! 3! 2! 2!5! 5! 5! 120 120 12048 48 24 35， 故所求 1 ( ) 1 3 2 5 5 P P AB 3. （ ）作某項科學實驗共有三種可能結果 A，B，C，其發生的機率分別為 PA = loga， 1 2 log B P a ， log 13 C P a ，其中 a > 0，試問 PA的值為下列哪一個選項？ (A) 6 11 (B) 3 11 (C)112 (D)56 (E)23 【龍騰自命題】 解答 A解析 a10PA， 1 2 10PB a ，a1310PC ⇒a10PA 102PB 103PC⇒ PA = 2PB = 3PC， 又 PA + PB + PC = 1 ⇒ 1 1 1 2 3 A A A P P P ⇒11 1 6 PA ⇒ 6 11 A P 4. （ ）將 5 個不同的球，全部任意投入 3 個不同的籃框，則恰有一個籃框沒有球的機率為下 列哪一個數？ (A)1081 (B)3281 (C)275 (D)1027 (E)24332 【龍騰自命題】 解答 D 解析 3 5 1 5 5 (2 2) 3 30 10 3 3 27 C P 二、填充題 1. A，B 表樣本空間S中的二事件，且 ( ) 1 4 P AB ， ( ) 3 4 P AB ， ( ) 2 3 P A ，求 (1)P(A′) = ____________。 (2)P(B) = ____________。 【龍騰自命題】 解答 (1)13 (2)13 解析 (1) ( ) 1 ( ) 1 2 1 3 3 P A P A 。
(2)由於 P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B) ⇒3 2 ( ) 1
4 3 P B 4 ⇒ 1 ( ) 3 P B 。 2. 設樣本空間 S = {1,2,3,4,5,6,7}，事件 A = {1,2,3}，則 S 的事件中與 A 互斥的有____________個。 【龍騰自命題】 解答 16 解析 與 A = {1,2,3}互斥的事件為 S − A = {4,5,6,7}的子集， 故有C04C14C24C43C442416個。 3. 一粒不公正的骰子上的點數為 1，1，1，2，2，3，連續擲此骰子兩次，則兩次點數和為 4 的機 率為____________。 【龍騰自命題】 解答 185 解析 將樣本空間列舉出來，如下： 1 1 1 2 2 3 1 2 2 2 3 3 ④ 1 2 2 2 3 3 ④ 1 2 2 2 3 3 ④
2 3 3 3 ④ ④ 5 3 ④ ④ ④ 5 5 6 故機率為1036 18 5 。 4. 若袋中有同式樣的黑襪與紅襪各三雙，自袋中任取 6 隻，則 6 隻恰可成兩雙的機率為________ ____（同色不分左右隻）。 【龍騰自命題】 解答 118231 解析 6 隻恰可成兩雙：取到「5 黑 1 紅」或「3 黑 3 紅」或「1 黑 5 紅」， 故 6 6 6 6 6 6 5 1 3 3 1 5 12 6 472 118 924 231 C C C C C C P C 。 5. 投擲一粒公正的骰子二次，設第一次出現 a 點，第二次出現 b 點，則聯立方程式 bx2x ay3y14有 唯一解的機率為____________。 【龍騰自命題】 解答 89 解析 因為樣本空間 S 中的元素有 6 × 6 = 36 個， 當聯立方程式有唯一解時，得 2：a ≠ b：3，即 ab ≠ 6， 設 A 表聯立方程式有唯一解的事件，則 A = S − {(1,6),(2,3),(3,2),(6,1)}， 因為 n(A) = n(S) − 4 = 36 − 4 = 32，故所求機率 ( ) 32 8 36 9 P A 。 6. 若將「probability」這個字的字母任意排列，則 (1)兩個 b 相鄰的機率為____________。 (2)相同字母都不相鄰的機率為____________。 【龍騰自命題】 解答 (1)112 (2)3755 解析 (1) 任意排列的排列數 =2!2! 11! ，兩個 b 相鄰的排列數 =10!2! ， 所以兩個 b 相鄰排列的機率 = 10! 2! 11! 2!2! = 2 11 。 (2)設 b 相鄰的排列形成 A 集合，i 相鄰的排列形成 B 集合， 則 n(A) = n(B) =10! 2! ，n(A ∩ B) = 9!，
所以 n(A ∪ B) = 2 ×10! 2! − 9! = 10! − 9! = 9 × 9!， 故相同字母都不相鄰排列的機率 = 1 − ( 9 9! 11! 2!2! ) = 1 −18 55 =37 55。
單元 7
一、單選題 1. （ ）設袋中有 2 紅球，3 白球。自袋中每次取一球，取後再放回。若連續取球 6 次，取到 紅球時每次均有 100 元獎金，則得獎金的期望值為何？ (A)600 元 (B)400 元 (C)240 元 (D)200 元 (E)120 元 【龍騰自命題】 解答 C 解析 E 100 2 6 240 5 2. （ ）某種彩券每張售價為 100 元，總共發行 10000 張，其中有 1 張獎金 200000 元，有 100 張獎金 1000 元，有 1000 張獎金 100 元，則買彩券 1 張，可得獎金期望值為 (A)40 元 (B)60元 (C)80 元 (D)100 元 (E)120 元 【龍騰自命題】 解答 A 解析 200000 1000 100 1 100 1000 10000 10000 10000 獎金 機率 1 100 1000 200000 1000 100 20 10 10 40 10000 10000 10000 E （元） 3. （ ）丟一顆不公正的四面體骰子，上面的點數分別為 1，2，3，4，且各點數出現的機率如 表，若丟擲一次，出現的點數期望值為4720，則 b 的值為下列哪一個數？ 1 2 3 4 1 1 3 5 a b 點數 機率 (A)1160 (B)1360 (C)1760 (D)1960 (E)2360 【龍騰自命題】 解答 B 解析 (I)1 1 1 7 3 5 a b a b 15， (II) 1 1 2 1 3 4 47 3 4 97 3 5 20 60 E a b a b ， 由(II) − (I) × 3 b 97 21 1360 15 604. （ ）某賭博遊戲的獎金期望值為 5 美元，若換成新臺幣（1 美元換成 30 元新臺幣），則期 望值為新臺幣多少元？ (A)5 (B)150 (C)305 (D)25 (E)無法確定 【龍騰自命題】 解答 B 解析 設原來的期望值 E = x1 × P1 + x2 × P2 + … + xk × Pk = 5（美元）， 其中 xi美元為獎金，Pi為其機率 ⇒ 新臺幣獎金的期望值 E′ = 30x1 × P1 + 30x2 × P2 + … + 30xk × Pk = 30(x1 × P1 + x2 × P2 + … + xk × Pk) = 30 × 5 = 150（元） 5. （ ）對於三位數 abc，定義|a − b| + |b − c|為此三位數的長度，例如：132 的長度為 3。將 1，2，3 三個數字隨機排成三位數（數字不重複），則此三位數長度的期望值為下列哪 一個數？ (A)2 (B)73 (C)83 (D)3 (E)103 【龍騰自命題】 解答 C 解析 123 2 132 3 213 3 231 3 312 3 321 2 三位數長度 所以 2 2 3 4 8 6 6 3 E 6. （ ）箱中有三顆紅球與三顆白球。一摸彩遊戲是從箱中隨機同時抽出兩顆球。如果抽出的 兩球顏色不同，則得獎金100元；如果兩球顏色相同，則無獎金。請問此遊戲獎金的期 望值為何﹖ (A)20元 (B)30元 (C)40元 (D)50元 (E)60元 【SUPER 講義，99 學測】 解答 E 解析 期望值 3 3 1 1 6 2 100 C C 60 E C （元）
7. （ ）袋中有 4 紅球 3 白球，一次取一球，取後不放回，今逐一取到紅球取完為止，則取球 次數的期望值為下列哪一個數？ (A)5.8 (B)6 (C)6.2 (D)6.4 (E)6.6 【龍騰自命題】 解答 D 解析 (I)RRRR ⇒P7 6 5 44 3 2 1 351 ， (II) R 3R1W ⇒ 4 3 3 1 7 5 4! 4 35 C C P P ， (III) R 3R2W ⇒ 5 3 3 2 7 6 4! 10 35 C P P P ， (IV) R 3R3W ⇒ 6 3 7 7 4! 3! 20 35 C P P ， 所以 4 1 5 4 6 10 7 20 4 20 60 140 224 6.4 35 35 35 35 35 35 E （次） 二、多選題 1. （ ）編號 1 的 2 個球，編號 2 的 2 個球，編號 3 的 2 個球置於同一袋內（這 6 個球大小相 同）。今自袋中一次任取 3 球，x 表取出的 3 球編號的和，下列何者正確？ (A)滿足 x = 3的機率為 0 (B)滿足 x = 4 的機率為 0.1 (C)滿足 x = 5 的機率與滿足 x = 7 的機率相等 (D)滿足 x = 8 的機率為 0.2 (E)x 的期望值為 6 【龍騰自命題】 解答 ABCE 解析 1，1，2，2，3，3 (A)無法取 3 次，號碼和 = 3，所以 P = 0 (B)x = 4：(1,1,2)， 2 2 2 1 6 3 2 1 0.1 20 10 C C P C (C)x = 5：(1,1,3)或(1,2,2)， 2 2 2 1 6 3 2 2 10 C C P C ， x = 7：(2,2,3)或(1,3,3)， 2 2 2 1 6 3 2 2 10 C C P C ， 所以機率相等 (D)x = 8：(2,3,3)， 2 2 1 2 6 3 2 1 0.1 20 10 C C P C (E)x = 6：(1,2,3)， 2 2 2 1 1 1 6 3 4 10 C C C P C 4 5 6 7 8 1 2 4 2 1 10 10 10 10 10 號碼和 機率 1 2 4 2 1 4 10 24 14 8 4 5 6 7 8 6 10 10 10 10 10 10 E
三、填充題 1. 一副 52 張的撲克牌中（共四種不同花色，每種花色有 13 張，點數分別是 A，2，3， …，10，J，Q，K）， (1)任意抽出 3 張，則此 3 張為同花色的機率為____________。 (2)若每次只抽一張，抽出後又放回去，如此抽了 5 次，則紅心抽出次數的期望值為____________ 次。 【龍騰自命題】 解答 (1)42522 (2)54 解析 (1) 機率 4 13 1 3 52 3 22 425 C C C 。 (2)每種花色機率都相等，為14， 所以期望值 5 1 5 4 4 。 2. 袋中有編號 1，2，3，…，20 號的球各 1 顆，共 20 顆，每一顆球被取出的機會均等，今自袋中 任取 2 球，則取出 2 球編號差之絕對值的期望值為____________。 【龍騰自命題】 解答 7 解析 20 20 20 20 2 2 2 2 1 2 3 19 19 18 17 1 P C C C C 差 差 差 差 差 20 20 20 20 2 2 2 2 19 18 17 1 1 2 3 19 E C C C C 又 1 × 19 + 2 × 18 + 3 × 17 + … + 19 × 1 = 1 × (20 − 1) + 2 × (20 − 2) + 3 × (20 − 3) + … + 19 × (20 − 19) = 20(1 + 2 + 3 + … + 19) − (12 + 22 + 32 + … + 192) 20 19 (1 19) 19 (19 1) (38 1) 3800 2470 1330 2 6 ， 所以 20 2 1330 1330 7 190 E C 。
單元 8
一、單選題 1. （ ）附圖為臺灣某年 SARS 疫情病例累計趨勢統計圖（3 月 31 日到 5 月 31 日）﹕ 從 4 月 22 日到 5 月 14 日共 23 天的每日平均新增病例數，最接近下列哪一個值﹖ (A)11 (B)14 (C)17 (D)20 (E)23 【SUPER 講義】 解答 C 解析 由表中資料看出，4月22日與5月14日累計病例數約為100與500（略少），共增加約 400 人。 因此每日平均增加病例數為400 17 23 2. （ ）有三組學生，各包括 4、3、2 人，其平均身高分別為 164、169、170 公分，則這三組 學生的平均身高為多少公分？ (A)166 (B)167 (C)168 (D)169 (E)170 【龍騰自命題】 解答 B 解析 4 164 3 169 2 170 656 507 340 167 4 3 2 9 （公分） 3. （ ）若有一組資料 x1、x2、x3、x4及 4，其 μ = 8，標準差 = 6。若將資料 4 除去，剩下四個 數的標準差為 σ，則下列哪一個選項是正確的？ (A)3 ≤ σ < 4 (B)4 ≤ σ < 5 (C)5 ≤ σ < 6 (D)6 ≤ σ < 7 (E)7 ≤ σ < 8 【龍騰自命題】 解答 D 解析 (I)x1 + x2 + x3 + x4 + 4 = 5 × 8 ⇒ x1 + x2 + x3 + x4 = 36， 所以 x1，x2，x3，x4的算術平均數 36 9 4 ， (II)x12 + x22 + x32 + x42 + 42 = 5(82 + 62) ⇒ x12 + x22 + x32 + x42 = 484， 由(I)(II) ⇒ x1，x2，x3，x4的標準差 2 484 4 9 160 40 4 4 ，4. （ ）有 8 個數的全距、算術平均數、中位數及唯一的眾數皆為 8，則下列何數不可能為此 8個數中最大的數？（全距為資料中最大數與最小數的差） (A)11 (B)12 (C)13 (D)14 (E)15 【龍騰自命題】 解答 E 解析 (A)舉例：3，7，8，8，8，9，10，11 (B)舉例：4，6，7，8，8，9，10，12 (C)舉例： 5，6，7，8，8，8，9，13 (D)舉例：6，6，6，8，8，8，8，14 (E)若最大數為 15， 則最小數為 7，又唯一的眾數為 8 ⇒ 8 至少有 2 個，所以 8 個數由小到大為 7，a，b，8，8，c，d，15，但 7 + a + b + 8 + 8 + c + d + 15 > 64，故算術平均數大於 8，不合 5. （ ）某班 41 位學生數學段考成績不佳，平均分數 48 分，標準差 8 分，老師決定將成績以 y = ax + b的方式加分（其中 x 為原分數，y 為加分後分數，a > 0），將成績提高到平均 分數 60 分，標準差 9 分，按照這個計算方式，該班學生小熹加分後分數將超過 100 分， 則小熹原分數至少為多少分？（原分數皆為整數） (A)76 (B)78 (C)82 (D)84 (E)88 【龍騰自命題】 解答 D 解析 設 Y X Y X a b y ax b a ，因為 σX = 8，σY = 9，所以9 a 8 a 98， 但 a > 0，所以a98， 又 μX = 48， 60 60 9 48 6 8 Y b b ，所以 9 6 8 y x ， 設原分數 x 分（x 為整數）， 依題意 9 6 100 8x 9 94 83.56 8x x ，取 x = 84 即為所求 6. （ ）某班 15 位同學某次小考的數學平均為 50 分，標準差為 20 分。數學老師決定每位同學 增加 20 分，但其中兩位同學的原始分數為 90 分及 100 分，調整後皆以 100 分計算，而 其餘同學調整後都未超過 100 分，則調整後的標準差 σ 滿足下列哪個選項？ (A)15 < σ ≤ 16 (B)16 < σ ≤ 17 (C)17 < σ ≤ 18 (D)18 < σ ≤ 19 (E)19 < σ ≤ 20 【龍騰自命題】 解答 A 解析 (I)15 × (50 + 20) − (10 + 20) = 1020， 所以調整後平均為 1020 ÷ 15 = 68， (II)因為 2 2 2 2 2 (x1 x2 xn ) n n ， 所以 x12 + x22 + … + xn2 = n(μ2 + σ2)， 故調整後 15 位同學分數的平方和為 15(702 + 202) − 1102 − 1202 + 1002 + 1002 = 73000， 故調整分數後 73000 15 682 3640 728 243 15 15 3 ， 即 15 < σ < 16
二、多選題
1. （ ）一組資料 x1，x2，…，xn的算術平均數為 μx，標準差為 σx，若 yi = axi + b，a ≠ 0，且資 料 y1，y2，…，yn的算術平均數為 μy，標準差為 σy，則下列敘述哪些是對的？ (A)x1 + x2
+ … + xn = n × μx (B)|x1 – μx| + |x2 – μx| + … + |xn – μx| = 0 (C)x12 + x22 + … + xn2 = n × (μx2 + σx2) (D)σy = |a| × σx (E)μy = a × μx + b 【龍騰自命題】 解答 ACDE 解析 (A) 1 2 1 ( ) x x x xn n ⇒ x1 + x2 + … + xn = n × μx (B)當 xi不全相等時 ⇒ |x1 – μx| + |x2 – μx| + … + |xn – μx| ≠ 0 (C) 2 2 2 2 2 ( 1 2 n ) x x x x x n n ⇒ x12 + x 22 + … + xn2 = n(μx2 + σx2)
(D)因為 yi = axi + b ⇒ σy = |a| × σx (E)因為 yi = axi + b ⇒ μy = aμx + b
三、填充題 1. 十位學生在罰球線上投籃 10 次，投中次數分別為 3，2，8，5，7，2，3，4，9，5，此組數據 的中位數為____________次。 【龍騰自命題】 解答 4.5 解析 由小到大依序排列為 2，2，3，3，4，5，5，7，8，9， 所以中位數 4 5 4.5 2 （次）。 2. 九位學生的抽考成績分別為 30，40，60，50，70，80，60，90，60， (1)這九個分數的中位數為____________。 (2)這九個分數的標準差為____________。 【龍騰自命題】 解答 (1)60 (2)20 73 解析 (1) 分數由小至大排列：30，40，50，60，60，60，70，80，90， 所以中位數 = 60。 (2)算術平均數 1 (30 40 60 50 70 80 60 90 60) 60 9 ， 所以標準差 1[(30 60)2 (40 60)2 (60 60) ]2 9 1 (900 400 0 100 100 400 0 900 0) 9 2800 20 7 9 3 。
3. 有一數列 10，2，5，2，17，2，x。若將此數列的算術平均數、中位數及眾數依照大小次序排 列，恰好形成一公差大於 0 的等差數列，試問所有可能的 x 之總和為____________。 【龍騰自命題】 解答 22 解析 數列：2，2，2，5，10，17，x， (I)x < 2 ⇒ 算術平均數 38 7 x ， 2 2 中位數 眾數 相等，所以不合， (II)2 ≤ x ≤ 5 ⇒ 算術平均數387x，中位數 = x，眾數 = 2， 所以 2，x，387x成等差數列 ⇒2 2 38 7 x x ⇒ x = 4， (III)x > 5 ⇒ 算術平均數387x，中位數 = 5，眾數 = 2， 所以 2，5，387x成等差數列 ⇒10 2 38 7 x ⇒ x = 18， 故由(I)(II)(III) ⇒ 所求 = 4 + 18 = 22。
單元 9
一、單選題 1. （ ）兩變量x與y的數據如下表： x 1 2 3 4 y 2 4 6 8 則x與y的相關係數為 (A)0 (B)0.8 (C)1 (D)0.8 (E)1 【SUPER 講義】 解答 E 解析 因為x與y的散布圖皆落在直線y 2x上，所以x與y的相關係數為1 2. （ ）全班 50 位同學的第一次月考與第二次月考數學分數的相關係數為 0.86。因為第二次 月考的分數普遍偏低，且最高分不超過 80 分，因此老師決定每人加 20 分，再重新計算 相關係數，則新的相關係數為 (A)0.86 + 20 (B)0.86 20 50 (C)0.86 × 20 (D)0.86 20 50 (E)0.86 【龍騰自命題】 解答 E 解析 設第一次月考成績為 x， 第二次月考原成績為 y，加分後為 z ⇒ z = y + 20， 所以 x xz y 20，故 rxz = rxy = 0.86 3. （ ）圖中去掉哪一點後，其相關係數會變大？ (A)A (B)B (C)C (D)D (E)E 【龍騰自命題】 解答 B 解析 去掉 B 點後，其餘 4 點比較接近一直線，則相關係數變大4. （ ）某飲料店根據過去的銷售紀錄，當每日最高氣溫在22 C 到39 C 時，該日飲料的銷售 量與當天的最高氣溫之相關係數為0.99，部分紀錄如下表： 最高氣溫C 25 27 29 31 33 35 銷售量（杯） 205 257 303 356 408 464 已知某日最高氣溫為38 C ，依據上述的資訊推測，試問該日飲料的銷售量應接近下列哪 個選項？ (A)490杯 (B)520杯 (C)542杯 (D)616杯 【SUPER 習作簿】 解答 C 解析 若以最高氣溫當橫軸，銷售量當縱軸，作散布圖時，因為相關係數為0.99，所以散布圖 的所有點會相當靠近一條斜率為正的直線L。觀察紀錄表中銷售量的變化： 最高氣溫C 25 27 29 31 33 35 銷售量（杯） 205 257 303 356 408 464 52 46 53 52 56 得知：最高氣溫每增加2 C ，銷售量約增加52杯。 因此，直線L的斜率約為52 26 2 。 令38 C 時的銷售量為x杯。由直線斜率的定義，得 464 26 38 35 x ， 解得x542 5. （ ）下圖為變數 X 與 Y 的散布圖，試問下列哪個選項的直線最有可能是依最小平方法所得 Y對 X 的迴歸直線？ (A) (B) (C) (D) (E) 【龍騰自命題】 解答 D
解析 由散布圖來看可知應是負相關，故迴歸直線的斜率應為負；再考慮滿足平方和最小的條 件 6. （ ）關於散布圖的敘述，選出正確的選項。 (A)若各數據點全落在一直線上，表示兩變 量呈現完全正相關或完全負相關 (B)若以
x, y
當作原點，各數據點多半集中在第一、 三象限，表示兩變量呈現正相關 (C)若各數據點散布上、下、左、右均成對稱，表示兩 變量為零相關 (D)若各數據點散布在一平行x軸的直線上，表示兩變量呈現完全正相關 (E)散布圖上各數據點的迴歸直線，其斜率恰等於相關係數 【SUPER 習作簿】 解答 C 解析 (A)錯誤：若為鉛直線或水平線，則為零相關 (B)錯誤：反例： x 1 2 1 2 10 10 y 2 1 2 1 10 10 0 x y ，第一、三象限的數據點比第二、四象限的數據點多，但是兩變量呈現負相 關 (C)正確 (D)錯誤：若平行x軸，表示兩變量為零相關 (E)錯誤：當兩變量的標準 差相等時方有此性質 二、多選題 1. （ ）某校高一共有500位學生，數學科與英文科的第一次段考成績分別以x，y表示，且 每位學生的成績用0至100評分。已知這兩科成績的相關係數為0.03，選出正確的選項。 (A)x與y的相關情形可以用散布圖表示 (B)這兩科成績適合用直線y ax b 表示x與y 的相關情形（a，b為常數，a0） (C)x5與y5的相關係數仍為0.03 (D)5x與5y 的相關係數仍為0.03 (E)若 x x x x ， y y y y ，其中 x ，y分別為x，y的平均數， x ，y分別為x，y的標準差，則x與y的相關係數仍為0.03 【SUPER 講義】 解答 ACDE 解析 (A)○ (B)╳：相關係數太低，∴不適合 (C)○：rx5,y5 rx y, 0.03 (D)○：r5 ,5x y rx y, 0.03 (E)○ 三、填充題 1. 若有一組(xi,yi)，i = 1，2，…，10，算出標準差 σ x = 1， σ y = 5，若 y 對 x 的迴歸直線方程式為 y = 3x + 5，則 x 與 y 的相關係數 r = ____________。解答 0.6 解析 因為 y 對 x 的迴歸直線為 y y ( x) x y r x 即 y = 3x + 5，所以 y 3 x r ， 又 σx = 1，σy = 5，所以 5 3 1 r ⇒ 3 0.6 5 r 。 2. 有 A，B，C，D 四位學生參加性向測驗與成就測驗，其成績如表，求 代 號 A B C D 性向測驗（x） 1 8 4 7 成就測驗（y） 2 4 2 8 (1)兩者的相關係數 r = ____________。（求到小數第二位） (2)y對於 x 的迴歸直線方程式為____________。 【龍騰自命題】 解答 (1)0.67 (2)y = 0.6x + 1 解析 (1) 1
1 8 4 7
5 4 x ， 1
2 4 2 8
4 4 y ， : 4 i x x ，3， − 1，2，yiy : 2 ，0， − 2，4， 8 0 2 8 18 xy S ，Sxx16 9 1 4 30 ，Syy 4 0 4 16 24 ， 所以r 3018 24 ≈ 0.67。 (2)設 y 對於 x 的迴歸直線方程式為 y = mx + k，其中 xy 1830 53 xx S m S ， 又ymxk⇒ 3 4 5 5 k ⇒k = 1，故 3 1 0.6 1 5 y x x 。 3. 一行銷顧問公司為了解各商店電視廣告是否對其營業有幫助，所以隨機抽取七家商店得到資料 如表，若廣告次數與營業額的相關係數b ca （a，b， c ，且(a,b,c) = 1），則 a + b + c = ____________。 商 店 一 二 三 四 五 六 七 廣 告 次 數 2 5 1 3 4 1 5 月營業額（萬 元） 24 28 22 26 25 24 26 【龍騰自命題】 解答 94 解析 令 x 表廣告次數，y 表月營業額， 2 5 1 3 4 1 5 3 7 x ， 24 28 22 26 25 24 26 25 7 y ， 2 2 2 2 2 2 2 (2 3) (5 3) (1 3) (3 3) (4 3) (1 3) (5 3) 18 xx S ， Syy = (24 − 25)2 + (28 − 25)2 + (22 − 25)2 + (26 − 25)2 + (25 − 25)2 + (24 − 25)2+ (26 − 25)2 = 22， (2 3)(24 25) (5 3)(28 25) (1 3)(22 25) (3 3)(26 25) xy S + (4 − 3)(25 − 25) + (1 − 3)(24 − 25) + (5 − 3)(26 − 25) = 17， 所以 xy 1817 22 6 1117 17 1166 xx yy S r S S ， 所以 a = 66，b = 17，c = 11，故 a + b + c = 94。
單元 10
一、單選題 1. （ ）設∠A 為銳角，tan 1 3 A ，則 sin 2cos 3sin 4cos A A A A (A)2 (B)152 (C)157 (D)507 (E)12 【龍騰自命題】 解答 C 解析 由圖 ⇒sinA 110，cosA 310 ， 所以所求 1 6 7 10 10 3 12 15 10 10 2. （ ）求 tan60°sin45° + cos60°的值為 (A) 32 2 (B) 3 12 (C) 2 12 (D) 6 12 (E)
6 2 2 【龍騰自命題】 解答 D 解析 原式 3 2 1 6 1 2 2 2 3. （ ）一直角三角形的斜邊長為 1，一內角為 40°，則其斜邊上的高為何？ (A)sin240°
(B)cos240° (C)tan240° (D)sin40° × cos40° (E)sin40° × tan40°
【龍騰自命題】
解析 設△ABC 中，∠A = 90°，∠B = 40°，且ADBC於 D 點
⇒ 斜邊上的高AD AB sin 40 (BCcos 40 ) sin 40 cos 40sin 40
A
B D C
4. （ ）如圖，AB5，∠BCA =∠CAD = 90°，且∠ABC = α，∠ADC = β，則CD之長為下列哪
一個選項？ (A)5sin cos (B) 5cos sin (C) 5 tan tan
(D)5sinsin (E)5coscos
【龍騰自命題】 解答 D 解析 (I) AC sin AB ⇒ACABsin 5sin， (II)AC sin CD ⇒ 5sin sin sin AC CD ， 故CD5sinsin
5. （ ）設 H 為△ABC 三高的交點，若以 b 表CA的長度，則線段 AH 的長度等於 (A)bcoscosBA (B)bcosA × cosB (C)bsincosBA (D)bcosA × tanB (E)bsinA × tanB
【龍騰自命題】 解答 C 解析 △ACD 中，cosA AD b ⇒ cos AD b A， △AHD中，∠AHD =∠B， sin( AHD) AD AH ⇒ cos sin b A AH B 6. （ ）△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 40°，CD垂直AB於 D，已知AB ，求CD
(A) α sin40°cos40° (B) α tan40°sin40° (C) α tan40°cos40° (D) α sin240° (E) α cos240°
【龍騰自命題】 A C B D 5
解答 A 解析 △ABC 中，sin 40 BC AB ⇒ sin 40 BC ， △BCD中，sin 50 CD BC ⇒
sin 50 sin 40 sin 50 sin 40 cos40
CD BC 二、多選題 1. （ ）設 θ 為銳角，則下列何者正確？ (A) 2 tan sin 1 tan (B) 2 tan cos 1 tan (C) 2 1 sin 1 tan (D) 2 1 cos 1 tan
(E)sincos 1 tan 2
【龍騰自命題】 解答 AD 解析 令 tan θ = t，則AB 1t2 ， 2 2 tan sin 1 1 tan BC t AB t ， 2 2 1 1 cos 1 1 tan AC AB t ， 2 1 tan sin cos 1 tan 三、填充題 1. 如圖，坐標平面上一點 P (2 , 3)，且PQx軸於 Q 點，分別求 (1)sin∠POQ = ____________。 (2)cos∠POQ = ____________。 (3)tan∠POQ = ____________。 【龍騰自命題】 解答 (1)3 1313 (2)2 13
(3)32 解析 OP2OQ2PQ2223213⇒OP 13 (1)sin 3 3 13 13 13 PQ POQ OP 。 (2)cos 2 2 13 13 13 OQ POQ OP 。 (3)tanPOQOQPQ32。 2. 如圖，梯形 ABCD 中，AD CD 5，BC10，θ 為銳角，且sin 4 5 ，求 cosθ = ____________。 【龍騰自命題】 解答 55 解析 如圖，作DEBC於E，作AFBC於F， 4 sin 5 ⇒ 4 DE AF，CE3， 所以BF10 5 3 2 ，AB 2242 2 5 ， 故cos 2 1 5 5 2 5 5 。 3. 長為 5 公尺的竹竿，斜靠在垂直地面而高為 3 公尺的牆頭，有部分伸出牆外。假設竹竿與地面 夾角為 θ ，竹竿伸出牆外部分（牆的厚度不計）於日正當中時，在地面的影長為 atan1 + bcos θ， 其中 a、b 為常數，則 (1)a = ____________。 (2)b = ____________。 【龍騰自命題】 解答 (1) − 3 (2)5
解析 所求DC FB ，
△AEC中，AC5sin，
所以AB AC BC 5sin3，
△AFB中，FBAB tan1 ，
所以 1 (5sin 3) 1 5cos 3 1
tan tan tan
FB AB DC ， (1)a = − 3。 (2)b = 5。
