期末考數學+解答(含數理班)

國 立 台 灣 師 範 大 學

九 十 七 學 年 度

附 屬 高 級 中 學

第 一 學 期

高

一

期

末

考

試

數

學

科

試

題

P. 0 1 範圍：第三章 2009/01/17

一、多重選擇題（每題 5 分，錯一個選項得 3 分，錯兩個選項得 1 分，錯三個選項以上得 0 分）

1. f(x),g(x)分別為 6, 4 次多項式， f(x)除以g(x)得商式Q(x)，餘式R x ，( ) Q x( )有(x−2)的因式，則下列選項何者正 確？ (A) f(2)=R(2) (B) 除以f(x) g(x)的餘式為R(2) (C) f(x)除以(x−2)g(x)的餘式為 ( )R x (D) 若 f(x)除以(x−2)g(x)的餘式為R(2)，則 f(x)除以g(x)的餘式為R(2) (E) 若 f(x)除以(x−2)g(x)的餘式為R x ，則( ) f(x)除以g(x)的餘式為R x ( ) 2. 若a a_n, _n−1,_L,a a₁, ₀為整數，a_n ≠0,n∈N， ( ) _n n _n n 1 1 1 0 x a x a₋ x − a x a f = + + +_L + ，且a b, 也是整數，試問下列哪些選項正確？ (A) 若 f( )b 0 a = ，則ax−b為 f x 的因式 ( ) (B) 若a an且b a0，則ax−b為 f x 的因式 ( ) (C) 若ax b− 為 f x 的因式，則( ) a a_n且b a₀ (D) 若對所有滿足( , )a b =1,a a_n,b a₀的a b, ，ax−b都不是 ( )f x 的因式，則 ( )f x 無一次因式 (E) 若a_n =1， f x( )=0有一有理根，則此一有理根為整數根 3. 若 a a_n, _n−₁,L,a a₁, 0 為 複 數 ， N ， ( ) n n n n 0, n a ≠ n∈ x a x a 1x 1 a x1 a0 − − p = + + +_L + ， 1 1 1 0 ( ) _n n _n n q x =a x +a ₋x − + +_L a x+a ， ，試問下列哪些選項正確　？ ( ) ( ) ( ) Q x = p x q x (A) Q x( )為一實係數多項式 (B) p x 為一實係數多項式 ( ) (C) Q x( )=0至少有一複數根 (D) 若α 為q x( )=0的一根，則α 為 ( ) 0p x = 的另一根 (E) 若α 為Q x( )=0的一根，則α 為 ( ) 0Q x = 的另一根 4. 已知 f( )x =a x_n n+a_n−1xn−1+ +_L a x₁ +a₀，a_n ≠0,n∈ ，若 ( ) 0N f x = 的 重根算 個根，試問下列哪些選項正確？ k k (A) 若a a_n, _n−1,_L,a a₁, ₀為實數，則 f x( )= 有 個複數根 0 n (B) 若a a_n, _n−1,_L,a a₁, ₀為實數且 為奇數，則n f x( )= 至少有一個實數根 0 (C) 若a a_n, _n−₁,L,a a₁, 0為有理數，則 f x( )= 有 個實數根 0 n (D) 若a a_n, _n−1,_L,a a₁, ₀為有理數且 為奇數，則n f x( )= 至少有一個有理根 0 (E) 若a a_n, _n−₁,L,a a₁, 0為複數，則 f x( )= 有 個複數根 0 n

二、填充題（每格 7 分，共 70 分）

1. 若將二次函數y= f(x)的Γ₁圖形向左平移 1 單位，再向下平移 2 單位，得二次函數Γ₂圖形的頂點為 (1,3)且過 (3,− ， 5) 則Γ₁的函數為 (A) 。Γ₂的函數為 (B) 。 2. 設 f(x)= x3 +2ax2 +12x+6與g(x)=x3+bx2 +14x+8的最低公倍式為四次式，求 (a,b) (C) 。 3. 設 為實數， ，若 與 的最高公因式為二次式， 求 的值 k f(x)= x3 −2x2 −5x+6,g(x)=x3+k2x2 +2kx−16 f(x) g(x) k (D) 。 4. 已知 3 2 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ( 2 ) ( 4 ) ( 6 ) ( ) (4 2 )(6 2 ) (6 4 )(2 4 ) (2 6 )(4 6 ) x x x f x = − + − + − − − − − − − ，求 (123)f = (E) 。（化為最簡） 5. 若a b c d, , , 為有理數， f x( )=ax3+bx2+ + 且cx d f(1+2i)=3+4i， f(2− 3)=4求 (1 2 )f − i + f(2+ 3)= (F) 。 6. 已知a,b,c為整數， f(x)= x3 +ax2 +bx+c， f(x)=0的三根為有理數，若 f(0)<0, f( 2)>0, f( 5)<0, f( 10)>0， 求b= (G) f ( )x 為一實係數多項式， deg ( )f x = ，且3 f x( )>0之解為1< <x 2或x<0，求 f(2x+ < 之解為 (H) 1) 0 7. 設 。 8. 若 _{f x( )}=_x3+ +_{x 1,} 為 的三個根； 為三次多項式， ， 為 , , a b c f x( )=0 g x( ) g(0)= −2 a b c2, 2, 2 g x( )= 的三個根，試求 0 (4) g = (I) 。 9. 已知 _{f x( )}=_x3+_x2− +_{x 2}，若 為實數， k f x( )= 有一個非實數的複數解，試求 的範圍k

k

(J) 。

三、計算題（共計 10 分）

1. 作函數 f x( )= −x x− +3 1 的圖形

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九 十 七 學 年 度

附 屬 高 級 中 學

第 一 學 期

高 一 期 末 考 試 數 學 科 答 案 卷

P. 02 範圍：第三章 2009/01/17

一、多重選擇題（每題 5 分，錯一個選項得 3 分，錯兩個選項得 1 分，錯三個選項以上得 0 分）

1. 2. 3. 4.

二、填充題（每格 7 分，共 70 分）

(A) (B) (C) (D) (E) (F) (G) (H) (I) (J)

三、計算題（共計 10 分）

1. 作函數 f x( )= −x x− +3 1 的圖形

國 立 台 灣 師 範 大 學

九 十 七 學 年 度

附 屬 高 級 中 學

第 一 學 期

高 一 期 末 考 試 數 學 科 參 考 答 案

P. 0 3

範圍：第三章 2009/01/17

一、多重選擇題（每題 5 分，錯一個選項得 3 分，錯兩個選項得 1 分，錯三個選項以上得 0 分）

1. 2. 3. 4.

ACD AE ACDE ABE

二、填充題（每格 7 分，共 70 分）

(A) (B) (C) (D) 2

( )

2(

2)

5

y

=

f x

= −

x

−

+

y

=

f x

( )

= −

2(

x

−

1)

2

+

3

(

7

,

22

)

3

2

3

(E) (F) (G) (H)

1

i i 4 7 4 4 3 f i f(1 2) (2 3) − = + − = + + −

11

3

2

3

1

2

1

⋅

+

⋅

+

⋅

=

x

>

1

2

或

1

0

x

2

− < <

(I) (J)

198

k

>

3

或

49

27

k

<

三、計算題（共計 10 分）

1. 作函數 f x( )= −x x− +3 1 的圖形

國 立 台 灣 師 範 大 學

九 十 七 學 年 度

附 屬 高 級 中 學

第 一 學 期

高 一 數 理 班 期 末 考 試 數 學 科 試 題

P. 0 1 範圍：第三章、初中教程 1, 2, 4, 5, 9 講 2009/01/17

一、多重選擇題（每題 5 分，錯一個選項得 3 分，錯兩個選項得 1 分，錯三個選項以上得 0 分）

1. f(x),g(x)分別為 6, 4 次多項式， f(x)除以g(x)得商式Q(x)，餘式R x ，( ) Q x( )有(x−2)的因式，則下列選項何者正 確？ (A) f(2)=R(2) (B) 除以f(x) g(x)的餘式為R(2) (C) f(x)除以(x−2)g(x)的餘式為 ( )R x (D) 若 f(x)除以(x−2)g(x)的餘式為R(2)，則 f(x)除以g(x)的餘式為R(2) (E) 若 f(x)除以(x−2)g(x)的餘式為R x ，則( ) f(x)除以g(x)的餘式為R x ( ) 2. 若a a_n, _n−1,_L,a a₁, ₀為整數，a_n ≠0,n∈N， ( ) _n n _n n 1 1 1 0 x a x +a ₋x − + +_L a x+a ，且a b, 也是整數，試問下列哪些選項正確？ f = (A) 若 f( )b 0 a = ，則ax b− 為 f x 的因式 ( ) (B) 若a an且b a0，則ax b− 為 f x 的因式 ( ) (C) 若ax b− 為 f x 的因式，則( ) a a_n且b a0 (D) 若對所有滿足( , )a b =1,a a_n,b a₀的a b, ，ax b− 都不是 ( )f x 的因式，則 ( )f x 無一次因式 (E) 若a_n =1， f x( )=0有一有理根，則此一有理根為整數根 3. 若 a a_n, _n−₁,L,a a₁, 0 為 複 數 ， N ， ( ) n n n n 0, n a ≠ n∈ x a x a 1x 1 a x1 a0 − − p = + + +_L + ， 1 1 1 0 ( ) _n n _n n q x =a x +a₋ x − + +_L a x+a ， ，試問下列哪些選項正確　？ ( ) ( ) ( ) Q x = p x q x (A) Q x( )為一實係數多項式 (B) p x 為一實係數多項式 ( ) (C) Q x( )=0至少有一複數根 (D) 若α 為 q x( )=0的一根，則α 為 ( ) 0p x = 的另一根 (E) 若α 為Q x( )=0的一根，則α 為Q x( )= 的另一根 0

二、填充題（(A)~(H)格每格 7 分，(I),(J)格每格 6 分，共 68 分）

1. 設 f(x)= x3 +2ax2 +12x+6與g(x)= x3 +bx2 +14x+8的最低公倍式為四次式，求(a,b) (A) 。 2. 設 為實數， ，若 與 的最高公因式為二次式， 求 的值 k f(x)=x3 −2x2 −5x+6,g(x)= x3 +k2x2 +2kx−16 f(x) g(x) k (B) 。 3. 已知 3 2 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ( 2 ) ( 4 ) ( 6 ) ( ) (4 2 )(6 2 ) (6 4 )(2 4 ) (2 6 )(4 6 ) x x x f x = − + − + − − − − − − − ，求 (123)f = (C) 。（化為最簡） 4. 若a b c d, , , 為有理數， f x( )=ax3+bx2+ + 且cx d f(1+2i)=3+4i， f(2− 3)=4求 (1 2 )f − i + f(2+ 3)= (D) 。 5. 已知a,b,c為整數， f(x)=x3 +ax2 +bx+c， f(x)=0的三根為有理數，若 f(0)<0, f( 2)>0, f( 5)<0, f( 10)>0， 求b= (E) 。 f ( )x 為一實係數多項式， deg ( )f x = ，且3 f x( )>0之解為1< <x 2或x<0，求 f(2x+ < 之解為 (F) 1) 0 6. 設 。 7. 若 f x( )=x3+ + ，x 1 a b c, , 為 f x( )=0的三個根； g x 為三次多項式， g( ) (0)= −2， a2,b c2, 2為g x( )= 的三個根，試求 0 (4) g = (G) 。 8. 已知 3 2 ，若 為實數， ( ) 2 f x =x +x − +x k f x( )= 有一個非實數的複數解，試求 的範圍k

k

(H) 。 9. 方程式(4x + 5)2(2x + 3)(x + 1) = 7 的解為 (I) 。 10. x為實數，設f (x) = 2 ₂ 1 ax b+ + 的最大值為 4，最小值為 −1，求數對(a, b) = (J) 。 x

三、計算證明題（共計 17 分）

1. 作函數 f x( )= −x x− +3 1 的圖形。(10 分) 2. 證明：實數32+ 3+3 2− 3為一個無理數。(7 分)

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九 十 七 學 年 度

附 屬 高 級 中 學

第 一 學 期

高 一 數 理 班 期 末 考 試 數 學 科 答 案 卷

P. 02 範圍：第三章、初中教程 1, 2, 4, 5, 9 講 2009/01/17

一、多重選擇題（每題 5 分，錯一個選項得 3 分，錯兩個選項得 1 分，錯三個選項以上得 0 分）

1. 2. 3.

二、填充題（(A)~(H)格每格 7 分，(I),(J)格每格 6 分，共 68 分）

(A) (B) (C) (D) (E) (F) (G) (H) (I) (J)

三、計算題（共計 17 分）

1. 作函數 f x( )= −x x− +3 1 的圖形。(10 分) 2. 證明：實數32+ 3+3 2− 3為一個無理數。(7 分)

國 立 台 灣 師 範 大 學

九 十 七 學 年 度

附 屬 高 級 中 學

第 一 學 期

高 一 數 理 班 期 末 考 試 數 學 科 參 考 答 案

P. 0 3 範圍：第三章、初中教程 1, 2, 4, 5, 9 講 2009/01/17

一、多重選擇題（每題 5 分，錯一個選項得 3 分，錯兩個選項得 1 分，錯三個選項以上得 0 分）

1. 2. 3. ACD AE ACDE

二、填充題（(A)~(H)格每格 7 分，(I),(J)格每格 6 分，共 68 分）

(A) (B) (C) (D)

)

22

,

7

(

3

2

3 1

7

−

4i

f (1 2 )− i +f(2+ 3)= − + = −3 4i 4 7 4i (E) (F) (G) (H)

11

1 2 1 3 2 3 11⋅ + ⋅ + ⋅ =

1

x

>

2

或

1

0

x

2

− < <

198

k

>

3

或

k

<

49

27

(I) (J)

5

2 2

4

− ±

或

5

7

4

i

− ±

_{(±2, 3)}

三、計算題（共計 17 分）

1. 作函數

f x

( )

= −

x x

− +

3

1

的圖形。(10 分) 2. 證明：實數32+ 3+3 2− 3為一個無理數。(7 分)