期末考數學

師大附中 98 學年度第二學期高三期末考音樂班數學科試題

一、是非題：（每題 3 分，共 18 分）

設A B C, , 為三階方陣，試判別下列各題的對錯： 1. ________ (AB)1 A B1 1 2. ________ 1 1 ( T) ( )T A   A 3. ________ 若AX  ，且 det( ) 0B A  ，則X BA1 4. ________ 若 det( )A 0且ABAC，則BC 5. ________ 若 det( )A det( )B ，則 A B 6. ________ 若AB ，則 BA II 

二、配合題：（每題 4 分，共 16 分）

右圖代表空間中三平面相交的情形，試將以下方程組所代表之平面相交圖形找出： 1.               0 2 1 2 4 z y x z y x z y x 2.                 2 8 3 1 4 8 2 0 2 4 z y x z y x z y x 3.          1 0 0 z x z x 4.               5 4 2 3 4 2 2 3 2 z y x z y x z y x

三、填充題：（每格 6 分，共 66 分）

1. 設 ， ，若 沒有反矩陣，則 2 3 1 1 5 1 2 8 A a a            0 a A a   。 2. 求 的反矩陣 1 3 2 2 1 4 1 2 3 A    _         A1 。 3. 設實係數二階方陣A 滿足 7 2 , 9 1 ，求 3 1 4 5 A   _{   } A   _{   }         A 。 4. 設 , 則 det(             2 5 1 1 2 4 1 3 1 M M1) 。 1

2 6. 若                  1 1 1 az y a x z ay x a z y ax 有兩組以上的解，則a 。 7. 三平面5x3yz0，2x y3za，x4ybz10交於一直線，則數對 ( , )a b  。

8. 設a  R，E1：(k+2) x  y  z  1，E2：x + ky  z  1，E3：x  y  kz  1，若E1，E2，E3兩兩相交於一直

線，而且三交線互相平行，則 a  。 9. 設k為一正數，且方程組 有異於 ( 之解，試求：               0 2 3 0 5 3 0 z y kx z ky x z y x ) 0 , 0 , 0 (1)k  。 (2)此三平面的幾何意義為 。 (3)x2y2 z2 8x2z2之最小值為 。

四、計算題：（每題 10 分，共 20 分）

1. , 1 ？ (2) _, 則       d c b a An         7 2 6 0 A _       3 2 2 1 P , BPAP , 試求：(1)B d ？ 2. 矩陣可以用來作秘密通訊﹐雙方先約定用二位數字 01﹐02﹐03﹐…﹐26 分別表示英文字母A﹐B﹐ ﹐…﹐C

Z﹐並用 00 表示空格﹐現在若要傳「I LOVE YOU」給朋友﹐先將英文化為數字的二列矩陣

文字 0 0 1 1 2 0 0 2 1 2   母即可﹐但是為了保密﹐先找矩陣 9 0 2 5 2 5 0 5 5 1     ﹐再把A傳去給朋友﹐朋友收到A後再把矩陣所代表的數值 3 4 X A 換回英 2 3       ﹐使 36 0 1 23 14 20 0 26 23 10 B XA 1 8 27 0 17 10 15 0 19 17 7    _{  }  ﹐再將B 傳給朋友﹐朋友收到B後﹐做個解密動作（即X B1 現在殷 ）即可還原得到A而得到訊息﹒ 老師傳送一個訊息 36 6 0 28 23 20 39 0 18 20 11 11 0 6 32 20 0 20 22 4 15 29 0 13 15 8 8 0 4 24 15 0 15 16 3 11    27 4 0 21 17 15  C  給 1181 的全體學生﹐請問殷老師給大家的訊息是？

字母代碼對照表》

c d e f g h i j k l m

《

字母 a b 代號 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 字母 n o p q r s t u v w x y z 代號 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

師大附中 98 學年度第二學期高三期末考音樂班數學科答案卷

班級：________ 座號： 姓名：

一、是非題：（每題 3 分，共 18 分）

1. 2. 3. 4. 5. 6.

二、配合題：（每題 4 分，共 16 分）

1. 2. 3. 4.

三、填充題：（每格 6 分，共 66 分）

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8.

9.(1)

9.(2) 9.(3)

師大附中 98 學年度第二學期高三期末考音樂班數學科答案卷

班級：________ 座號： 姓名：

一、是非題：（每題 3 分，共 18 分）

1. 2. 3. 4. 5. 6.

╳

○

╳

○

╳

○

二、配合題：（每題 4 分，共 16 分）

1. 2. 3. 4.

①

④

⑤

⑤

三、填充題：（每格 6 分，共 66 分）

1. 2. 3.

2  5 13 2 7 7 2 1 0 7 7 3 5 1 7 7 _{ }       _       _      5 11 11 26    _   

4. 5. 6.

1 8  ,15) 8 3 , 2 9 (  1

7. 8.

9.(1)

10 ( , 58 17   )

0 或

3

7

9.(2) 9.(3)

三平面共線

4

四、計算題：（每題 10 分，共 20 分）

1. (1)

4 0

(2)

0 3       n1 n1 4 3

2. It goes well the exam.

1. (1) 2 3 2 5 lim( ) 2 1 n n n n n n       (a) 。 (2) 2 2 lim( 4 5 4 2 1) n n   n n  n  (b) 。 2. (1) 3 2 1(2x 4x 5)dx    



(c) 。 (2) 4 2 4 16 x dx   



(d) 。 3. 已知對每一個正整數 ，數列n



a_n



恆滿足 5n2 3 (2n21)a_n 5n23，則 lim _n na  (e) 。 4. 設 4 3 ，則 ( ) 3 4 5 f x  x  x  f x( )的圖形之反曲點為 (f) ， f x( )的最小值為 (g) 。 5. 右圖為三次函數 3 2 ( ) f x ax bx cxd 0 c0 d0 的圖形，請選出正確的選項 (1)a0 (2)b (3) (4) (5)b23ac0 。答： (h) 。 6. 函數 3 2 ( ) 2 1 f x x  kx kx 沒有極值，則 的範圍為 k (i) 。 7. 將一個長 24 公分、寬 9 公分的矩形鐵片，四個角各截去一個面積相等的正方形，然後再將各邊摺起來，做成 一個無蓋的長方體容器，則長方體容器的最大容積為 (j) 立方公分。 8. 已知 3 2 ( ) 8 6 2 5 f x  x  x  x ，多項式F x( )恆滿足F x'( ) f x( )，且F(1)2，則F x( ) (k) 。 9. 函數 3 ( ) 4 f x x  x的圖形與x軸所圍成的面積為 (l) 。 10. 有一半徑為 3 的圓球，滾入桌面一個半徑為2 2的圓洞中，則這個球在桌面以上的部分之體積為 (m) 。 11. 如右圖，陰影部分為抛物線 2 與直線 4 4 y  x yx，及x軸所圍成的區域，以此 區域繞x軸旋轉，則旋轉體的體積為 (n) 。

二．計算題：( 20％每題 10 分 )

1. 如右圖，請依下列步驟求出函數 2 ( ) 1 f x  x 的圖形，與x軸、y軸所圍成之區域的面積： (1)將區間[ 0, 1]均分成 等分，求出上和n U_n與下和L_n；(6 分) (2)利用(1)的結果求出面積。 (4 分) 2. 設三次曲線 3 與直線 6 yx  x 2 ya x恰有 2 個交點，試回答下列問題： (1)求 的值。(5 分) (2)求此曲線與直線圍成的區域之面積。(5 分) a

國立台灣師範大學

附 屬 高 級 中 學

九十八年度

第 二 學 期

高 三 年 級

二、三類組

數學科 期末考 答案卷

05/11/2010

範圍：數學選修(Ⅱ)2-3～3-3 微分與積分 班級 座號 姓名

一．填充題：

( 80％ a~d 每格 5 分，e~n 每格 6 分

)

a b c d e

f g h i j

k l m n

二．計算題：

( 20％

每題 10 分

)

a b c d e

3

3 4 68 3 8 5 2

f g h i j

( 0 , 5 ) 及 (2 119, ) 3 27

4 4,5

3 0 k 4

200

k l m n

4 3 2 2x 2x x 5x6

8

80 3  2 3 

二．計算題：

( 20％

每題 10 分

)

1. (1) 2 2 1 1 1 1 ( 1) 1 lim 1 ( ) 1 n n n _n k k k k U f n n n  _{ }        _  _  _  _    





_n 2 3 3 1 1 ( 1) 1 1 1 ( 1)(2 1) 6 n k k n n n n n n n n      _  _       



2 2 2 3 1 6 n n n     1 (3 分) 2 2 1 1 1 1 lim 1 ( ) 1 n n n n k k k k L f n n n  _{ }      _  _  _  _    





_n 2 3 3 1 1 1 1 1 ( 1)(2 1 6 n k k n n n n n n n n     _  _       



) 2 2 2 3 1 6 n n n     1 (3 分) (2) 若面積為A，則 Ln  A Un，  n N 2 2 1 2 1 ₂   A 1 3₂n 1 n n   2 3 6 6 n  n n   ，  n N 2 2 2 (1 6 6 n  2 2 3 1 ) n n n   2 3 lim(1 m    1 ) li n n n n A   _   2 2 6 6 1 1   A  2 2 3 A 3    ∴ 面積 2 3 A (4 分) 2. (1)令 f x( )x36x ，2 f x'( )3x2 6 3(x 2)(x 2)， ''( ) 6 f x  x ∴當x  2時有極值，當x0時有反曲點。 且 f( 2) 2 4 2， (f  2) 2 4 2， f(0) 0 直線與曲線必相切，設原點 O(0, 0)，切點為 3 ( , 6 2 ) P t t  t 2 '( ) 3 6 f t  t  即為OP的斜率 3 2 3t 6    3 1 t    t (t 6t t     3 3 t tt 2) 0 P 0 3 6   , 3) 6t 2   ， ∴ 1 (1  直線斜率 (5 分)  a f '(1) 3 (2)求直線與曲線的交點，解 3 3 6 2 y x y x x         ( 2 , 6) 2 ,1 x    ∴直線與曲線的另一交點為 Q  ， 3 ( ) 6 f x x  x 2 令 ( )g x  3x 1 2 ( ) ，則所圍區域面積為



f x g( )



 



1 ₃ 2 ( 6 x dx 2) ( 3 ) x x x dx      



_   _ 1 ₃ 2(x 3x2)dx  



 1 4 2 2 1 3 2 4x 2x x _   _   _   3 27 ( 6) 4 4     (5 分)

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附 屬 高 級 中 學

九十八年度

第 二 學 期

高 三 年 級

二、三類組

數學科 期末考 答案卷

05/11/2010

範圍：數學選修(Ⅱ)2-3～3-3 微分與積分 班級 座號 姓名