Unit 21 二次函數

(1)

Unit21 二次函數 能力指標：◎（A-4-06）能以具體情境來理解二次函數的意義。 ◎（A-4-06）能理解二次函數的樣式並繪出其圖形。 ◎（A-4-06）能利用配方法繪出二次函數的圖形。 ◎（A-4-06）能計算二次函數的最大值與最小值。 ◎（A-4-06）能應用二次函數最大值與最小值的簡單性質。 ◎（A-4-06、A-4-07）能理解二次函數的圖形與拋物線的概念。 ◎（A-4-07）能理解拋物線的線對稱性質。 能力一：二次函數的圖形 一、二次函數的圖形二次函數型如 2

(

)

y=ax +bx+c a 0 的函數，稱為二次函數，其函數圖形為拋物線。二、二次函數各種圖形變化之歸納二次函數的標準式： 2

(

)

y=ax +bx+c a 0 類型一： 2

(

)

y=ax b=c=0 ，此時拋物線頂點在【原點】，對稱軸為【y 軸】。 ○1 _{當 a＞0 時，拋物線【開口向上】}，當 a 值愈大，開口愈小。 ○2 _{當 a＞0 時，拋物線【開口向下】}，當 a 值愈大，開口愈小。類型二： 2

(

)

y=ax +c b=0 ，此時拋物線的頂點為

( )

0, c ，對稱軸為【y 軸】；其圖形是將【類型一： 2 y=ax 】的圖形在 y 軸上，移動 c 個單位。 ○1 _{當 a＞0 時，拋物線【開口向上】}。 ○2 當 a＜0 時，拋物線【開口向下】。

(2)

類型三：將 2

(

)

y=ax +bx+c a 0 ，利用配方法化為y=a x-p

( )

2+q。 ○1 拋物線頂點座標為

(

_{p, q ； ○}

)

2 對稱軸為_x-p=0 ○3 圖形係將_{y=ax  圖形在 y 軸方向上下移動 q 個單位；}2 圖形在 x 軸方向左右移動 p 個單位。 ○1 _{當 a＞0 時，拋物線【開口向上】}。 ○2 當 a＜0 時，拋物線【開口向下】。【二次函數的圖形】講解一：（1）二次函數圖形的頂點為座標原點，對稱軸為 y 軸，且通過點（1,5），試求此二次函數為何呢？（2）已知有三點座標 A（0,-5）、B（1,-8）、C（4,-5）在二次函數圖形上，試求此圖形之頂點座標、及其與 x、y 軸的交點為何呢？ Sol)

( )

(

) ( ) (

)

(

)

( )

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 y=ax , 1,5

5=a 1 a=5 y=5x

2 y=ax +bx+c 0,-5 , 1,-8 , 4,-5 a=1, b=-4, c=5 y=x -4x-5 y=x -4x-5= x -4x+4 -9= x-2 -9 2,-9 x y=0 x -4x-5=0 x+            Q 設此二次函數為通過點二次函數為設此二次函數為將代入頂點座標頂點與軸交點座標令

(

)( )

( )

( ) (

)

(

)

1 x-5 =0 ,x=5 -1 5, 0 -1, 0 y x=0 y=-5 0, -5     或或與軸交點座標令練習一：（1）二次函數圖形通過（0, 3）、（1,4），且對稱於 y 軸，試求此二次函數為何呢？（2）如圖，拋物線與直線交於 A（2,-3）、C 兩點，且直線 L 交 x 軸於 B（4,0），請問 C 點座標為何呢？ Sol)

(3)

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( ) ( )

( )

(

)

( )

(

) (

)

2 2 2 2 2 2 ₂ 1 y=ax +b 3=a 0 +b 0, 3 , 1, 4 a=1, b=3 y=x +3 4=a 1 +b 2 , y , y=ax 3 3 A -2, 3 3=a -2 a= y= x 4 4 y=mx+n , -2, 3 , 4, 0 3=-2m+n -1 m= , n=2 0=4m+n 2    _          _    Q 設二次函數將代入拋物線頂點為原點並以軸為對稱軸令設直線方程式為將代入得

(

)(

)

( )

2 2 -1 y= x+2 2 3 y= x 4 4 3x +2x-8=0 3x-4 x+2 =0, x= -2 ! -1 3 y= x+2 2 4 -1 4 4 4 x= y= x+2 y= C , 3 2 3 3 3   _            或不合代入得【二次函數圖形的移動】講解二：（1）將二次函數 2 y=x +3x 之圖形向右平移 2 個單位，請問新圖形的二次函數為何呢？（2）將二次函數 2 y=-2x +4x+3 之圖形向左平移 3 個單位，再向下平移 2 個單位後，請問新圖形的二次函數為何呢？ Sol)

( )

2 2 2 2 2 2 3 9 -3 -9 1 y=x +3x= x+ - , , 2 4 2 4 -3 -9 1 -9 2 +2, = , 2 4 2 4 1 9 y= x- - y=x -x-2 2 4 2 y=-2x +4x+3=-2 x-1 +5 1, 5 3 , 2 , 1-3,   _                _ _{ } _        _ _      頂點座標圖形向右平移單位頂點座標新圖形二次函數頂點座標圖形向左平移個單位再向下平移個單位

(

) (

)

(

)

2 ₂ 5-2 -2, 3 y=-2 x+2 +3 y=-2x -8x-5   

(4)

練習二：（1）有一拋物線通過（2,-1）、（1,1），經過平移後與 2 y=-2x 的圖形重合，請問此拋物線之二次函數為何呢？（2）將 2 y=ax +bx+c的圖形，向左移 2 單位，再向上移 1 單位，得y=2x -9x+14 ，2 請問 a、b、c 之值為何呢？ Sol)

( )

( ) (

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 1 y=-2x +bx 1, 1 , 2, -1 1=-2+b+c b+c=3 b=4, c=-1 y=-2x +4x-1 -1=-8+2b+c 2b+c=7 2 a a=2 y-1=2 x+2 +b x+2 +c y-1=2 x +4x+4 +bx+2b+c y=2x + 8+b x+9+2b+c 8+b=-9 b=-17 , c=39 9+2b+c=14    _ _        設拋物線通過平移後值不變 a=2, b=-17, c=39     【十分鐘即時練習】 （A）1.下列那一個函數圖形的開口最大？

(A)y＝－ x2 (B)y＝－ x2 (C)y＝－ x2 (D)y＝ x2 Sol)∵在二次函數 y＝ax2_中，

_{| |}

_{a 值愈小，則其開口愈大，}

又∵｜－1_{3 ｜＝}1_{3 ，｜－}3_{4 ｜＝}_{4 ，｜－}3 1_{2 ｜＝}1_{2 ，｜－}3_{2 ｜＝}3_{2 ，其中} 最小者為1_{3 ∴y＝－}1_{3 x}2_{的開口最大。}

（A）2.坐標平面上，(2，3)這點會在下列那一個二次函數的圖形上？ (A)y＝ x2＋1 (B)y＝ x2－1 (C)y＝(x＋2)2＋3 (D)y＝2x2＋3 Sol)分別以(2，3)代入 y＝ 1 2 x2＋1、y＝ 1 3 x2－1、y＝(x＋2)2＋3、y＝2x2＋3 中，發現只有 3＝12 ×22＋1 是成立的 ∴點(2，3)在 y＝ 1 2 x2＋1 的圖形上。（C）3.下列那一個二次函數圖形會經過原點？

(A)y＝－5x2_{＋12 (B)y＝x}2_{－3 (C)y＝2x}2_{＋3x (D)y＝－2x}2_－4x－2

Sol) 若一函數之函數圖形通過原點，則其常數項為0，而在選項中，只有(C)y＝ 2x2_{＋3x的常數項為0。}

(5)

（A）4.二次函數y＝x2_{－1的對稱軸方程式為下列何者選項？}

(A)x＝0 (B)y＝－1 (C)y＝0 (D)x＝－1

Sol) y＝x2_{－1的圖形頂點為(0，－1)，對稱軸為y軸，故對稱軸方程式為x＝0。}

（C）5.二次函數y＝－2x2_{＋3圖形的頂點坐標為下列何者選項？} (A)(－2，3) (B)(3，－2) (C)(0，3) (D)(3，0) Sol) y＝－2x2_{＋3 的頂點坐標為(0，3)。} 能力二：二次函數的極值 一、配方法及公式法

( )

2 2 2 2 2 2 2 2 ₂ 2 ₂ 2 ₂ 2 2 y=ax +bx+c y=a x-p +q b b b b

y=ax +bx+c=a x + x +c=a x +2 x+ - +c

a 2a 2a 2a b b b b b 4ac-b =a x+ - +c=a x+ - +c=a x+ + 2a 4a 2a 4a 2a 4a -b 4ac-b p= , q= y 2a 4a           _ _ _  _ _{ } _ _   _     _ _ _  _ _ _ _ _ _  _ _ _ _ _ _  _ _ _ _     標準式令

( )

(

)

2 2 =a x-p +q -b 4ac-b p, q = , 2a 4a    _ _   拋物線頂點座標二、二次函數極值的歸納表

( )

2 2 y=ax +bx+c  y=a x-p +q 標準式 ○1 _{當 a＞0，x=p，y 有最小值 q。} y=a x-p

( )

2 +qq ○2 _{當 a＜0，x=p，y 有最小值 q。} y=a x-p

( )

2+qq

( )

2 -b 4ac-b2

(

)

-b 4ac-b2 y=a x-p +q p= , q= p, q = , 2a 4a 2a 4a     _ _   拋物線頂點座標 ○1 _{當 a＞0 時，} 2 -b 4ac-b x= y 2a  4a 若時有最小值 ○2 _{當 a＜0，} 2 -b 4ac-b x= y 2a  4a 若時有最大值【二次函數的極值】講解一：

(6)

（1）二次函數 2

y=2x -12x+15 ，當 2  時，試求 y 之最大值與最小值＝？ x 5

（2）二次函數 2

y=-3x +ax+b ，當 x=3 時有最大值 4，請問 a、b 為何呢？ Sol)

( )

(

)

( )

(

)

( )

2 2 2 2 2 1 y=2x -12x+15=2 x -6x+9 -18+15=2 x-3 -3 2 x 5 x=2 y=2 2-3 -3=-1 x=3 y=-3 x=5 y=2 5-3 -3=5 y 5, -3 2 x=3 4, y=- y=-      ∵ 當當最小值當的最大值為最小值為 ∵ 時有最大值

( )

2 2 2 3 x-3 +4=-3x +18x-23 與 y=-3x +ax+b比較得 a=18, b=-23

練習一：（1）設 0  ，且x 4 y=x -4x+5 之最大值為 M，最小值為 m，請問 M+m=？ 2 （2）設2x+y=100，試求 2 2 x +y 的最小值為何呢？ Sol)

( )

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 y= x-2 +1 m=1 =4 , M=4 -4 4+5=5 M+m=5+1=6 2 2x+y=100 y=100-2x x +y =x + 100-2x =5x -400x+10000 =5 x-40 +2000 2000 x +y 2000      ∵ 最小值當時最大值 ∵ ∴ 有最小值【二次函數極值的應用】講解二：如圖，Q 點是以AB為直徑的半圓上一點，O 是圓心， PQ⊥AB，OB=6，假設 OP=x，請問當 x 是多少時，△OPQ 的面積最大呢？ Sol)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1

OP=x, OQ=6, OPQ y, y= x 36-x 2 1 1 -1 y = x 36-x = - x -18 +324 = x -18 +81 4 4 4 x =18 , y 81, x=3 2 , OPQ   假設△ 面積為當時最大值為時 △ 的面積最大

(7)

練習二：雲林縣肉品交易市場每 1 公斤豬肉成本為 300 元，如果豬肉攤商將每 1 公斤豬肉定價為 400 元，則每日可賣 600 公斤，若每公斤價錢上漲（或下跌 x 元），則少賣（或多賣）2x 公斤，請問：（1）每公斤豬肉的定價為多少時，才可收入最大的金額呢？（2）每公斤豬肉的定價為多少時，才可得到最大的利潤呢？ Sol)

( )

(

)(

)

(

)

(

)

( )

(

)(

)

(

) (

)

2 2 2 1 x , y y= 400-x 600+2x =-2x +200x+240000 =-2 x -100x+2500 +245000 -2 x-50 +245000 245000 x=50, y =400-50=350 2 x , y y= 400+x 600-2x -300 600-2x = 100+x 60      設每公斤豬肉下跌元時其收入為元 ∴ 當有最大值每公斤的豬肉定價元設每公斤上漲元可得利潤元

(

)

(

)

(

)

( )

2 2 2 0-2x =-2x +400x+60000=-2 x -200x+10000 +80000 =-2 x-100 +80000 80000 x=100 , y =400+100=500   ∴ 當時有最大值每公斤的定價元 【十分鐘即時練習】 （C）1.二次函數y＝－2(x－1)2_{＋3，下列選項何者正確？} (A)有最小值3 (B)有最小值－3 (C)有最大值3 (D)有最大值－3 sol) y＝－2(x－1)2_{＋3 ∵－2(x－1)}2_{≦0 ∴y＝－2(x－1)}2_{＋3≦3，y 有最大值 3。}

（D）2.二次函數y＝(x＋2)2_{－3，當x＝a時，y有最小值，則a＝？}

(A)3 (B)－3 (C)2 (D)－2

Sol)∵y＝(x＋2)2_{－3≧－3 ∴當 x＝－2 時，y 有最小值－3，"a＝－2。}

（B）3.二次函數y＝－x2_{＋x＋3的最大值等於多少？} (A)3 (B) (C) (D) Sol) y＝－x2_{＋x＋3＝－(x}2_－x＋1 4 )＋ 1 4 ＋3＝－(x－ 1 2 )2＋ 13 4 ≦ 13 4 ，y 的最大值為13_{4 。} （A）4.若二次函數y＝ax2_{＋bx＋c有最小值，則下列選項何者正確？}

(A)a＞0 (B)a＜0 (C)a＝0 (D)無法確定a值的正負 Sol) ∵y＝ax2_{＋bx＋c 有最小值 ∴a＞0}

(8)

（C）5.設二次函數y＝x2_{－4x＋k的最小值為5，則k＝？} (A)4 (B)5 (C)9 (D)25 Sol) y＝x2－4x＋k＝(x2_{－4x＋4)－4＋k＝(x－2)}2_{＋(k－4)≧k－4"k－4＝5 ∴k} ＝9 【基本觀念題】 （B）1.二次函數y＝ax2_{＋bx＋c的圖形與x軸之交點為(6，0)與(－2，0)且與y軸交} 於正向上，則下列選項何者正確？

(A)a＞0 (B)a＜0 (C)c＜0 (D)無法判定a、c的正、負

Sol) 依題意二次函數的概略圖形如圖所示，∵圖形開口向下 ∴a＜0，又∵圖形與 y 軸交於正向 ∴c＞0。

（D）2.二次函數y＝ax2_{＋bx＋c的圖形交x軸於A(5，0)、B(1，0)，交y軸於C(0，}

5)，則其頂點在坐標平面上第幾象限？(A)一 (B)二 (C)三 (D)四 Sol) 設 y＝a(x－5)(x－1)以(0，5)代入得：5＝a(－5)(－1)，∴a＝1，故 y＝(x－

5)(x－1)＝x2_{－6x＋5＝(x}2_{－6x＋9)－9＋5＝(x－3)}2_－4

圖形的頂點坐標為(3，－4)，在第四象限內。

（B）3.若二次函數y＝ax2_{＋bx＋c的圖形完全在x軸的下方，則下列何者一定正}

確？(A)a＜0，b2_{－4ac＜0，c＞0 (B)a＜0，b}2_{－4ac＜0，c＜0 (C)a}

＞0，b2_{－4ac＞0，c＜0 (D)a＜0，b}2_{－4ac＜0，無法判斷c的正負}

Sol) ∵y＝ax2_{＋bx＋c 的圖形在 x 軸下方，∴圖形如圖所示，可知 a＜0，c＜0，}

b2_{－4ac＜0，但無法確定 b 的正負} （C）4.已知二次函數y＝ax2_{＋bx＋c的圖形通過(－1，1)、(4，1)、(m，4)、(n，} 4)，m_n，則m＋n＝？(A)－1 (B)2 (C)3 (D)5 Sol) y＝ax2_{＋bx＋c 的大略圖形如圖所示，對稱軸為 x＝}3 2 " m+n 2 ＝ 4+(－1) 2 ＝ 3 2 ∴m＋n＝3 （C）5.如圖，函數y＝ax2_{＋k之圖形，則(a，k)屬於第幾象限的點？(A)一 (B)} 二 (C)三 (D)四 Sol) y＝ax2_{＋k 頂點坐標為(0，k)在 y 軸下方，故 k＜0，而圖形開口向下，故 a} ＜0，∴(a，k)在第三象限。（D）6.二次函數y＝(x＋1)2_{＋2的圖形為下列何者？} (A) (B) (C) (D) Sol) y＝(x＋1)2_{＋2 圖形的頂點坐標為(－1，2)，且開口向上。} （B）7.拋物線y＝－x2_{－x＋2的頂點在第幾象限？(A)第一象限 (B)第二象限} (C)第三象限 (D)第四象限

(9)

(

)(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 令□=x, 50-x x+10 =-x +40x+500=- x -40x+20 +500+400 =- x-20 +900當x=20時, 可得最大值 Sol) y＝－x2_{－x＋2＝－(x}2_＋x＋1 4 )＋2＋ 1 4 ＝－(x+ 1 2 )2+ 9 4 ∴頂點(－ 1 2 ， 9 4 ) 在第二象限。（C）8.y＝x2_{－5x＋6的圖形不經過第幾象限？(A)一(B)二(C)三(D)四象限。} Sol) y＝x2_{－5x＋6＝( x}2_－5x＋25 4 )＋6－ 25 4 ＝(x－ 5 2 )2－ 1 4 ，∴頂點( 5 2 ，－ 1 4 )，開口向上，圖形不過第三象限（C）9.假設 2 y=-x +4x+1，請問其極大值為何呢？（A）無極大值（B）7（C）5 （D）3。 Sol) y=- x-2

( )

2+5 當 x=2時的極大值, y 5 （D）10.設二次函數在x=1 時有最小值2，且 x=0 則 y=3，請問此二次函數為何呢？（A） 2

y=-x +2x+3（B）y=-x -2x+3（C）2 y=x +2x+3（D）2 y=x -2x+3 。 2

Sol)

( )

2

2 2 ₂

y=a x-1 +2 a>0 y=3 x=0

a -1 +2=3 a=1 y= x-1 +2=x -2x+3     代入左式 【溫故歷屆基測試題】 （C）1.有一算式“（50－□）×（□＋10）”，其中兩個 □ 內規定皆填入相同的正整數。例如：當 □ 填入“ 1 ”時，“（50－1）（1＋10）＝539”，即此算式的值為 539。求此算式的最大值為何？ (Ａ) 700 (Ｂ) 800 (Ｃ) 900 (Ｄ) 1000。【93.基測一】 Sol) （D）2.下列哪一個二次函數，其圖形和 y＝4x2_{－8x 的圖形有相同的頂點？}

(Ａ)y＝2x2_{－4x (Ｂ) y＝－2（x＋1）}2_{(Ｃ) y＝2（x＋1）}2_{＋4 (Ｄ)y＝}

－2（x－1）2_{－4。【93.基測二】} Sol)

(

)

( )

2 2 2 2 y=4x -8x=4 x -2x =4 x-1 -4 圖形的頂點座標 1,-4 與之相同頂點的為y=-2 x-1 -4

（C）3.如圖，A、B 分別為 y＝x2_{上兩點，且}_AB_{⊥y 軸。若}_AB_{＝6，則直線 AB 的}

方程式為何？ (Ａ) y＝3 (Ｂ) y＝6 (Ｃ) y＝9 (Ｄ) y＝36。【91.基測 二】

Sol)

( )

(

)

( )

( ) ( )

2 2

∵ A,B兩點對稱y軸 ∴設B a, a , 則A -a, a ,

(10)

(

)

(

( )

)

( )

(

)

( )

2 2 2 2 2 2 -1 -1 -1 y= x +2x+c= x -6x +c= x -6x+ -3 +c+3 3 3 3 -1 = x-3 +c+3 頂點 3, c+3 3 -1 將A 0, 1 代入 1= -3 +c+3 c=1 頂點 3, 4 b=4 3      （D）4.如圖，將二次函數 y＝x2_{的圖形向右移動兩個單位長，則下列哪一個二} 次函數的圖形，可為虛線所表示的圖形？ (Ａ) y＝x2_{＋2 (Ｂ) y＝x}2_－ 2 (Ｃ) y＝（x＋2）2 (Ｄ) y＝（x－2）2_。_{【90.基測一】} Sol)y =x2 圖形往右移2個單位 =y

(

x- 2

)

2 （B）5.如圖，小智丟垃圾的路徑是一個二次函數 y＝－ 3 1 x2＋2x＋c 的圖形。已 知小智是在此二次函數圖形的頂點（即 B 點）將垃圾丟出，且從 A（0， 1）點進入筒內。若 B 點的坐標為（a，b），則 b＝？ (Ａ) 3 (Ｂ) 4 (Ｃ) 5 (Ｄ) 6。【90.基測二】 Sol) （D）6.已知二次函數 y＝ax2_{＋k，其中 a＜0，k＞0，下列哪一個選項可能是此二} 次函數的圖形？【91.基測一】 (Ａ) (Ｂ) (Ｃ) (Ｄ)

Sol)y=ax +k, ∵a<0 ∴圖形開口向下,又k>0 ∴頂點在y軸的正向 2

（A）7.若用配方法將二次函數 y＝－2x2_{－4x＋1 寫成 y＝－2（x－h）}2_{＋k 的形}

式，求 h＋k＝？ (Ａ) 2(Ｂ) 4(Ｃ)－4(Ｄ)－2。【91.基測一】 Sol)y =-2

(

x+1

)

2 + + =1 2 -2

(

x+1

)

2 +  =3 , h -1,k =3, h k+ = 2

（A）8.下列為四個二次函數的圖形，哪一個函數在 x＝2 時有最大值 3？【92. 基測一】

(11)

Sol)開口向下，頂點為（2,3）的圖形。 【模擬學力基測試題】

（D）1.設二次函數 2

y=-x +2bx+a 圖形的最高點座標為（2, 5），請問 a+b=？（A） 0（B）1（C）2（D）3。

Sol)y=- x-b

( )

2+a+b 2 最高點

(

b, a+b2

)

= 2,5 , b=2, a=1

( )

 a+b=3

（C）2.請問 2 y=x -2x+7 的圖形為下列何者呢？（A）與 y 軸相交於兩點的拋物線（B）與 x 軸相交之橢圓（C）與 x 軸不相交之拋物線（D）與 x 軸相切於一點的拋物線。 Sol)

( )

(

)

2 y= x-1 +6 1,6 , , a=1>0 x , y 可得圖形之最低點且開口向上 ∵ ∴圖形與軸無交點但與軸恰交於一點

（B）3.設矩形 ABCD 中，AB=4, AD=6，在 AB, AD 上各取一點 P、Q，使 AP=AQ，則四邊形 PQDC 之最大面積為何呢？（A）31 2（B） 33 2 （C） 35 2 （D） 37 2 （平方單位） Sol)

( )

(

)

( )

(

)

2 2 2 2 ₂

, AP=AQ=x, PQDC= ABCD- APQ- PBC

1 1 -1 -1 9 PQDC=6 4- x - 6 4-x = x +3x+12= x -6x+9 +12+ 2 2 2 2 2 -1 33 33 33 = x-3 + x=3 , PQDC 2 2 2 2     如圖設 □ □ △ △ □ ∴當時 □ 有最大面積單位（D）4.若二次函數 2 y=ax -12x+b ，在x=-3 2 ，有極大值 10，則數隊（a, b）為何呢？（A）（2,-3）（B）（-3,2）（C）（1,-4）（D）（-4,1）。 Sol) 2 2 2 3a=-12 3 9

y=ax -12x+b=a x+ +10=ax +3ax+ +10 ₉ a=-4, b=1

2 4 a+10=b 4      _{ } _          _

（D）5.如右圖， a ，0 y=f x =ax +bx+c ，請問下列何者為正確呢？（A）

( )

2

(

)

a a+b+c >0 （B）b a-b+c >0 （C）

(

)

c a-b+c >0 （D）

(

)

a b -4ac <0

(

2

)

Sol) a<0, y ab<0 b>0₂

y c>0, x b -4ac>0      圖形開口朝下頂點在軸右側圖形交軸於正向圖形與軸交相異兩點

(

( )

)

( )

(

)

( )

(

2

)

1, f 1 f 1 >0 a+b+c>0 -1,f -1 f -1 <0 a-b+c<0 a b -4ac <0     又在x軸上方而在x軸下方 ∴

(12)

（C）6.拋物線方程式為

( )

2 y= a-1 x +ax+a ，若使拋物線開口向上，且圖形均在 x 軸上方，請問 a 的範圍為何呢？（A）a>1（B）a>6 5（C）a> 4 3（D）a> 3 2。 Sol)

( )

(

)

2 2 a>1 a-1>0 a>1 ₄

y= a-1 x +ax+a , ₄ a>

a -4 a-1 a<0 a 3a-4 >0 a> a<0 3

3       _ _ _   _ _  恆為正或（B）7.有關於函數

( )

2

y=f x =ax +bx+c，ac 之圖形的敘述，下列何者錯誤呢？0

（A）為一拋物線（B）與 x 軸至少有一個交點（C）當 2 b =4ac時，與 x 軸僅有一個交點（D）當 b=0 時，與 x 軸的交點不可能只有一個。 Sol)當b -4ac<02 時圖形與軸無交點 , x （C）8.有關於函數

( )

2 y=f x =x -10x+24 的圖形，下列敘述何者正確呢？（A）圖形全部落在第一象限中（B）圖形有極小值出現在第二象限中（C）圖形不經過第三象限（D）圖形不經過第四象限。 Sol)

( )

( ) ( )

(

)

2 2 2 y=f x =x -10x+24= x-5 -1 x=5 , -1 y=0 x -10x+24=0 x=4 6, x 4,0 , 6,0 x=0 y=24 y 0,24       當時有極小值 ∴極小值出現在第四象限令或與軸交於令與軸交於圖形不經第三象限（B）9.在坐標平面上，若二次函數y＝－3x2_{＋6x的頂點A到原點O的距離為d，} 則下列選項何者正確？(A)2＜d＜3 (B)3＜d＜4 (C)4＜d＜5 (D)5 ＜d＜6

Sol) y＝－3x2_{＋6x＝－3(x}2_{－2x＋1)＋3＝－3(x－1)}2_{＋3，頂點 A(1，3)}

∴d＝12₊₃2_{＝10，而 3＜d＜4。}

（D）10.y＝(x－h)2_{之圖形與下列何函數之圖形對稱於x軸？(A)y＝(x＋h)}2_(B)y

＝x2_{＋h (C)y＝x}2_{－h (D)y＝－(x－h)}2

Sol) y＝(x－h)2，頂點(h，0)，開口向上，則與其對稱於 x 軸之圖形頂點亦為(h， 0)而開口向下，即為 y＝－(x－h)2。

【進階練習題】

（A）1.若二次函數y＝(a＋b)x2_{＋2cx－(a－b)，在x＝－時，y有最小值－，則}

(13)

Sol) y＝（a＋b）x2_{＋2cx－（a－b）＝（a＋b）（x＋}1 2 ）2－ a 2 ＝（a＋b）x2＋（a＋b）x＋a+b4 － a 2 ∴ a+b＝2c…………1 －a+b＝－a+b 4 …2  －4a＋4b＝－a＋b，3b＝3a ∴a＝b 代入 1，得 2a＝2c ∴a＝ｃ，則 a＝b＝c，a：b：c＝1：1：1

（C）2.二次函數y＝x（36－x）的最大值為何？(A)36 (B)320 (C)324 (D)234 Sol) y＝－x2_{＋36x＝－（x}2_－36x＋182_{）＋324＝－（x－18）}2_{＋324≦324，∴最} 大值 324 （C）3.蘋果園裡種了30棵蘋果樹，平均每棵年產400個蘋果，若在此果園中每加種一棵蘋果樹，平均每棵年產量減少10個，則應種多少棵蘋果樹才能使年產量最多？(A)5棵 (B)15棵 (C)35棵 (D)45棵 Sol) 設加種 x 棵，產量為 y 個，y＝（30＋x）（400－10x）＝12000＋100x－10x2 ＝－10（x2_{－10x＋25）＋12000＋250＝－10（x－5）}2_{＋12250≦12250} 當 x＝5 時產量最大，故應種 30＋5＝35（棵）（C）4.下列有關二次函數y＝─9(x─ )2_{＋45的敘述何者正確？(A)此函數圖形的}

開口向上 (B)y的最小值為45 (C)y的最大值為45 (D)y的最大值為 44 Sol) y＝－9（x－ 2 3 ）2＋45 ∵x2項係數為－9，故圖形開口向下，有最大值 45 （B）5.俊影老師要利用 100 公尺長的繩子圍出一個矩形的花園，其邊長各為多少公尺才能使得圍成的面積最大呢？（A）25、25 公尺（B）20、30 公尺（C）22、28 公尺（D）18、32 公尺。 Sol)設長為 x，寬為（50-x）時，面積=x(50-x)為最大

(

)

(

)

2 2 2 2 2 =-x +50x=- x -50x+25 +625=-x x-25 +625 x=25 , 625 25 25 100 a+b , a=b , a b , =25 25 4    _ _     _ _   _ _    面積當時有面積最大值 ∵ 為定值當時為最大值（B）6.東蔘旅行社招攬香港旅遊兩天一夜的旅行團，為避免影響品質，人數以不超過35人為限，每人收費5000元。若人數不足35人，每減少1人則旅費加收200元，試問此旅行社最多共可收到多少旅費？(A)175000元 (B)180000元 (C)190000元 (D)195000元 Sol)設減少 x 人，收入為 y y＝（35－x）（5000＋200x）＝175000＋2000x－200x2 ＝－200（x2_{－10x＋25）＋175000＋5000＝－200（x－5）}2_{＋180000≦180000，} 故最多收入 180000 元

(14)

（C）7.若二次函數y＝－x2_{＋2x＋k－4有最大值為2，則k＝？(A)7 (B)6 (C)5} (D)4 Sol)y＝－x2_{＋2x＋k－4＝－（x}2_{－2x＋1）＋k－4＋1，則 k－3＝2 ∴k＝5} （D）8.北港溪整治工桯中，水中汙泥深度為水深的，則整條溪長度與水深的總和為120公尺，若將整條溪視為長方形，而每處理1平方公尺的汙泥費用為5萬元，則此工程費用最高多少元？(A)3600萬元 (B)4200萬元 (C)5400萬元 (D)6000萬元 Sol)設水深 x 公尺，則溪長度（120－x）公尺，汙泥深 1 3 x 公尺，若費用為 y，y ＝1_{3 x（120－x）×5＝－}5_{3 （x}2_{－120x＋3600）＋6000＝－}5 3 （x－60）2＋ 6000≦6000，故最高 6000 萬元（D）9.已知二次函數y＝ax2_{＋k，其中a＜0，k＞0，則下列那一個選項可能是此} 二次函數的圖形？ (A) (B) (C) (D) Sol)∵y＝ax2_{＋k 中，a<0→拋物線開口向下，k＞0→拋物線與 y 軸交於 y 軸上方} （B）10如圖(a)，在長度為28的AB上取一點P。用AP圍成一個長方形PMNO，其中PM=3PO，再用BP圍成一個正方形PVUT，如圖(b)。已知PO＝t 時，長方形與正方形的面積和有最小值s，則s＝？ (A)14 (B)21 (C)28 (D)49 圖(a) 圖(b) Sol)S＝_MP．PO＋PV2＝3t．t＋〔 1 4 （28－8t）〕2＝3t2＋（7－2t）2 ＝3t2_{＋49－28t＋4t}2_＝7（t2_{－4t＋4）＋49－28＝7（t－2）}2_＋21≧21