Unit 21 二次函數

全文

(1)

Unit21 二次函數 能力指標:◎(A-4-06)能以具體情境來理解二次函數的意義。 ◎(A-4-06)能理解二次函數的樣式並繪出其圖形。 ◎(A-4-06)能利用配方法繪出二次函數的圖形。 ◎(A-4-06)能計算二次函數的最大值與最小值。 ◎(A-4-06)能應用二次函數最大值與最小值的簡單性質。 ◎(A-4-06、A-4-07)能理解二次函數的圖形與拋物線的概念。 ◎(A-4-07)能理解拋物線的線對稱性質。 能力一:二次函數的圖形 一、二次函數的圖形 二次函數型如 2

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y=ax +bx+c a 0 的函數,稱為二次函數,其函數圖形為拋 物線。 二、二次函數各種圖形變化之歸納 二次函數的標準式: 2

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y=ax +bx+c a 0 類型一: 2

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y=ax b=c=0 ,此時拋物線頂點在【原點】,對稱軸為【y 軸】。 ○1 當 a>0 時,拋物線【開口向上】, 當 a 值愈大,開口愈小。 ○2 當 a>0 時,拋物線【開口向下】, 當 a 值愈大,開口愈小。 類型二: 2

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y=ax +c b=0 ,此時拋物線的頂點為

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0, c ,對稱軸為【y 軸】;其 圖形是將【類型一: 2 y=ax 】的圖形在 y 軸上,移動 c 個單位。 ○1 當 a>0 時,拋物線【開口向上】。 ○2 當 a<0 時,拋物線【開口向下】。

(2)

類型三:將 2

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y=ax +bx+c a 0 ,利用配方法化為y=a x-p

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2+q。 ○1 拋物線頂點座標為

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p, q ; ○

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2 對稱軸為x-p=0 ○3 圖形係將y=ax  圖形在 y 軸方向上下移動 q 個單位; 2 圖形在 x 軸方向左右移動 p 個單位。 ○1 當 a>0 時,拋物線【開口向上】。 ○2 當 a<0 時,拋物線【開口向下】。 【二次函數的圖形】 講解一: (1)二次函數圖形的頂點為座標原點,對稱軸為 y 軸,且通過點(1,5),試求 此二次函數為何呢? (2)已知有三點座標 A(0,-5)、B(1,-8)、C(4,-5)在二次函數圖形上,試求 此圖形之頂點座標、及其與 x、y 軸的交點為何呢? Sol)

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2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 y=ax , 1,5

5=a 1 a=5 y=5x

2 y=ax +bx+c 0,-5 , 1,-8 , 4,-5 a=1, b=-4, c=5 y=x -4x-5 y=x -4x-5= x -4x+4 -9= x-2 -9 2,-9 x y=0 x -4x-5=0 x+            Q 設此二次函數為 通過點 二次函數為 設此二次函數為 將 代入 頂點座標 頂點 與 軸交點座標 令

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1 x-5 =0 ,x=5 -1 5, 0 -1, 0 y x=0 y=-5 0, -5     或 或 與 軸交點座標 令 練習一: (1)二次函數圖形通過(0, 3)、(1,4),且對稱於 y 軸,試求此二次函數為何呢? (2)如圖,拋物線與直線交於 A(2,-3)、C 兩點,且直線 L 交 x 軸於 B(4,0), 請問 C 點座標為何呢? Sol)

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2 2 2 2 2 2 2 1 y=ax +b 3=a 0 +b 0, 3 , 1, 4 a=1, b=3 y=x +3 4=a 1 +b 2 , y , y=ax 3 3 A -2, 3 3=a -2 a= y= x 4 4 y=mx+n , -2, 3 , 4, 0 3=-2m+n -1 m= , n=2 0=4m+n 2                  Q 設二次函數 將 代入 拋物線頂點為原點 並以 軸為對稱軸 令 設直線方程式為 將 代入 得

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2 2 -1 y= x+2 2 3 y= x 4 4 3x +2x-8=0 3x-4 x+2 =0, x= -2 ! -1 3 y= x+2 2 4 -1 4 4 4 x= y= x+2 y= C , 3 2 3 3 3               或 不合 代入 得 【二次函數圖形的移動】 講解二: (1)將二次函數 2 y=x +3x 之圖形向右平移 2 個單位,請問新圖形的二次函數為 何呢? (2)將二次函數 2 y=-2x +4x+3 之圖形向左平移 3 個單位,再向下平移 2 個單位 後,請問新圖形的二次函數為何呢? Sol)

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2 2 2 2 2 2 3 9 -3 -9 1 y=x +3x= x+ - , , 2 4 2 4 -3 -9 1 -9 2 +2, = , 2 4 2 4 1 9 y= x- - y=x -x-2 2 4 2 y=-2x +4x+3=-2 x-1 +5 1, 5 3 , 2 , 1-3,                                頂點座標 圖形向右平移 單位 頂點座標 新圖形二次函數 頂點座標 圖形向左平移 個單位 再向下平移 個單位

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2 2 5-2 -2, 3 y=-2 x+2 +3 y=-2x -8x-5   

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練習二: (1)有一拋物線通過(2,-1)、(1,1),經過平移後與 2 y=-2x 的圖形重合,請問此 拋物線之二次函數為何呢? (2)將 2 y=ax +bx+c的圖形,向左移 2 單位,再向上移 1 單位,得y=2x -9x+14 ,2 請問 a、b、c 之值為何呢? Sol)

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2 2 2 2 2 1 y=-2x +bx 1, 1 , 2, -1 1=-2+b+c b+c=3 b=4, c=-1 y=-2x +4x-1 -1=-8+2b+c 2b+c=7 2 a a=2 y-1=2 x+2 +b x+2 +c y-1=2 x +4x+4 +bx+2b+c y=2x + 8+b x+9+2b+c 8+b=-9 b=-17 , c=39 9+2b+c=14            設拋物線 通過 平移後 值不變 a=2, b=-17, c=39     【十分鐘即時練習】 (A)1.下列那一個函數圖形的開口最大?

(A)y=- x2 (B)y=- x2 (C)y=- x2 (D)y= x2 Sol)∵在二次函數 y=ax2中,

| |

a 值愈小,則其開口愈大,

又∵|-13 |=13 ,|-34 |=4 ,|-3 12 |=12 ,|-32 |=32 ,其中 最小者為13 ∴y=-13 x2的開口最大。

(A)2.坐標平面上,(2,3)這點會在下列那一個二次函數的圖形上? (A)y= x2+1 (B)y= x2-1 (C)y=(x+2)2+3 (D)y=2x2+3 Sol)分別以(2,3)代入 y= 1 2 x2+1、y= 1 3 x2-1、y=(x+2)2+3、y=2x2+3 中, 發現只有 3=12 ×22+1 是成立的 ∴點(2,3)在 y= 1 2 x2+1 的圖形上。 (C)3.下列那一個二次函數圖形會經過原點?

(A)y=-5x2+12 (B)y=x2-3 (C)y=2x2+3x (D)y=-2x2-4x-2

Sol) 若一函數之函數圖形通過原點,則其常數項為0,而在選項中,只有(C)y= 2x2+3x的常數項為0。

(5)

(A)4.二次函數y=x2-1的對稱軸方程式為下列何者選項?

(A)x=0 (B)y=-1 (C)y=0 (D)x=-1

Sol) y=x2-1的圖形頂點為(0,-1),對稱軸為y軸,故對稱軸方程式為x=0。

(C)5.二次函數y=-2x2+3圖形的頂點坐標為下列何者選項? (A)(-2,3) (B)(3,-2) (C)(0,3) (D)(3,0) Sol) y=-2x2+3 的頂點坐標為(0,3)。 能力二:二次函數的極值 一、配方法及公式法

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2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y=ax +bx+c y=a x-p +q b b b b

y=ax +bx+c=a x + x +c=a x +2 x+ - +c

a 2a 2a 2a b b b b b 4ac-b =a x+ - +c=a x+ - +c=a x+ + 2a 4a 2a 4a 2a 4a -b 4ac-b p= , q= y 2a 4a                       標準式 令

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2 2 =a x-p +q -b 4ac-b p, q = , 2a 4a      拋物線頂點座標 二、二次函數極值的歸納表

( )

2 2 y=ax +bx+c  y=a x-p +q 標準式 ○1 當 a>0,x=p,y 有最小值 q。 y=a x-p

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2 +qq ○2 當 a<0,x=p,y 有最小值 q。 y=a x-p

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2+qq

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2 -b 4ac-b2

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-b 4ac-b2 y=a x-p +q p= , q= p, q = , 2a 4a 2a 4a       拋物線頂點座標 ○1 當 a>0 時, 2 -b 4ac-b x= y 2a  4a 若 時 有最小值 ○2 當 a<0, 2 -b 4ac-b x= y 2a  4a 若 時 有最大值 【二次函數的極值】 講解一:

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(1)二次函數 2

y=2x -12x+15 ,當 2  時,試求 y 之最大值與最小值=? x 5

(2)二次函數 2

y=-3x +ax+b ,當 x=3 時有最大值 4,請問 a、b 為何呢? Sol)

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2 2 2 2 2 1 y=2x -12x+15=2 x -6x+9 -18+15=2 x-3 -3 2 x 5 x=2 y=2 2-3 -3=-1 x=3 y=-3 x=5 y=2 5-3 -3=5 y 5, -3 2 x=3 4, y=- y=-      ∵ 當 當 最小值 當 的最大值為 最小值為 ∵ 時有最大值

( )

2 2 2 3 x-3 +4=-3x +18x-23 與 y=-3x +ax+b比較得 a=18, b=-23

練習一: (1)設 0  ,且x 4 y=x -4x+5 之最大值為 M,最小值為 m,請問 M+m=? 2 (2)設2x+y=100,試求 2 2 x +y 的最小值為何呢? Sol)

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2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 y= x-2 +1 m=1 =4 , M=4 -4 4+5=5 M+m=5+1=6 2 2x+y=100 y=100-2x x +y =x + 100-2x =5x -400x+10000 =5 x-40 +2000 2000 x +y 2000      ∵ 最小值 當 時 最大值 ∵ ∴ 有最小值 【二次函數極值的應用】 講解二: 如圖,Q 點是以AB為直徑的半圓上一點,O 是圓心, PQ⊥AB,OB=6,假設 OP=x,請問當 x 是多少時,△OPQ 的面積最大呢? Sol)

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2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1

OP=x, OQ=6, OPQ y, y= x 36-x 2 1 1 -1 y = x 36-x = - x -18 +324 = x -18 +81 4 4 4 x =18 , y 81, x=3 2 , OPQ   假設△ 面積為 當 時 最大值為 時 △ 的面積最大

(7)

練習二: 雲林縣肉品交易市場每 1 公斤豬肉成本為 300 元,如果豬肉攤商將每 1 公斤豬肉 定價為 400 元,則每日可賣 600 公斤,若每公斤價錢上漲(或下跌 x 元),則少 賣(或多賣)2x 公斤,請問:(1)每公斤豬肉的定價為多少時,才可收入最大 的金額呢?(2)每公斤豬肉的定價為多少時,才可得到最大的利潤呢? Sol)

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2 2 2 1 x , y y= 400-x 600+2x =-2x +200x+240000 =-2 x -100x+2500 +245000 -2 x-50 +245000 245000 x=50, y =400-50=350 2 x , y y= 400+x 600-2x -300 600-2x = 100+x 60      設每公斤豬肉下跌 元時 其收入為 元 ∴ 當 有最大值 每公斤的豬肉定價 元 設每公斤上漲 元 可得利潤 元

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2 2 2 0-2x =-2x +400x+60000=-2 x -200x+10000 +80000 =-2 x-100 +80000 80000 x=100 , y =400+100=500   ∴ 當 時 有最大值 每公斤的定價 元 【十分鐘即時練習】 (C)1.二次函數y=-2(x-1)2+3,下列選項何者正確? (A)有最小值3 (B)有最小值-3 (C)有最大值3 (D)有最大值-3 sol) y=-2(x-1)2+3 ∵-2(x-1)2≦0 ∴y=-2(x-1)2+3≦3,y 有最大值 3。

(D)2.二次函數y=(x+2)2-3,當x=a時,y有最小值,則a=?

(A)3 (B)-3 (C)2 (D)-2

Sol)∵y=(x+2)2-3≧-3 ∴當 x=-2 時,y 有最小值-3,"a=-2。

(B)3.二次函數y=-x2+x+3的最大值等於多少? (A)3 (B) (C) (D) Sol) y=-x2+x+3=-(x2-x+1 4 )+ 1 4 +3=-(x- 1 2 )2+ 13 4 ≦ 13 4 ,y 的最大值 為134 。 (A)4.若二次函數y=ax2+bx+c有最小值,則下列選項何者正確?

(A)a>0 (B)a<0 (C)a=0 (D)無法確定a值的正負 Sol) ∵y=ax2+bx+c 有最小值 ∴a>0

(8)

(C)5.設二次函數y=x2-4x+k的最小值為5,則k=? (A)4 (B)5 (C)9 (D)25 Sol) y=x2-4x+k=(x2-4x+4)-4+k=(x-2)2+(k-4)≧k-4"k-4=5 ∴k =9 【基本觀念題】 (B)1.二次函數y=ax2+bx+c的圖形與x軸之交點為(6,0)與(-2,0)且與y軸交 於正向上,則下列選項何者正確?

(A)a>0 (B)a<0 (C)c<0 (D)無法判定a、c的正、負

Sol) 依題意二次函數的概略圖形如圖所示,∵圖形開口向下 ∴a<0,又∵圖 形與 y 軸交於正向 ∴c>0。

(D)2.二次函數y=ax2+bx+c的圖形交x軸於A(5,0)、B(1,0),交y軸於C(0,

5),則其頂點在坐標平面上第幾象限?(A)一 (B)二 (C)三 (D)四 Sol) 設 y=a(x-5)(x-1)以(0,5)代入得:5=a(-5)(-1),∴a=1,故 y=(x-

5)(x-1)=x2-6x+5=(x2-6x+9)-9+5=(x-3)2-4

圖形的頂點坐標為(3,-4),在第四象限內。

(B)3.若二次函數y=ax2+bx+c的圖形完全在x軸的下方,則下列何者一定正

確?(A)a<0,b2-4ac<0,c>0 (B)a<0,b2-4ac<0,c<0 (C)a

>0,b2-4ac>0,c<0 (D)a<0,b2-4ac<0,無法判斷c的正負

Sol) ∵y=ax2+bx+c 的圖形在 x 軸下方,∴圖形如圖所示,可知 a<0,c<0,

b2-4ac<0,但無法確定 b 的正負 (C)4.已知二次函數y=ax2+bx+c的圖形通過(-1,1)、(4,1)、(m,4)、(n, 4),m_n,則m+n=?(A)-1 (B)2 (C)3 (D)5 Sol) y=ax2+bx+c 的大略圖形如圖所示,對稱軸為 x=3 2 " m+n 2 = 4+(-1) 2 = 3 2 ∴m+n=3 (C)5.如圖,函數y=ax2+k之圖形,則(a,k)屬於第幾象限的點?(A)一 (B) 二 (C)三 (D)四 Sol) y=ax2+k 頂點坐標為(0,k)在 y 軸下方,故 k<0,而圖形開口向下,故 a <0,∴(a,k)在第三象限。 (D)6.二次函數y=(x+1)2+2的圖形為下列何者? (A) (B) (C) (D) Sol) y=(x+1)2+2 圖形的頂點坐標為(-1,2),且開口向上。 (B)7.拋物線y=-x2-x+2的頂點在第幾象限?(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

(9)

(

)(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 令□=x, 50-x x+10 =-x +40x+500=- x -40x+20 +500+400 =- x-20 +900當x=20時, 可得最大值 Sol) y=-x2-x+2=-(x2+x+1 4 )+2+ 1 4 =-(x+ 1 2 )2+ 9 4 ∴頂點(- 1 2 , 9 4 ) 在第二象限。 (C)8.y=x2-5x+6的圖形不經過第幾象限?(A)一(B)二(C)三(D)四 象限。 Sol) y=x2-5x+6=( x2-5x+25 4 )+6- 25 4 =(x- 5 2 )2- 1 4 ,∴頂點( 5 2 ,- 1 4 ), 開口向上,圖形不過第三象限 (C)9.假設 2 y=-x +4x+1,請問其極大值為何呢?(A)無極大值(B)7(C)5 (D)3。 Sol) y=- x-2

( )

2+5 當 x=2時 的極大值, y 5 (D)10.設二次函數在x=1 時有最小值2,且 x=0 則 y=3,請問此二次函數為何 呢?(A) 2

y=-x +2x+3(B)y=-x -2x+3(C)2 y=x +2x+3(D)2 y=x -2x+3 。 2

Sol)

( )

( )

( )

( )

2

2 2 2

y=a x-1 +2 a>0 y=3 x=0

a -1 +2=3 a=1 y= x-1 +2=x -2x+3     代入左式 【溫故歷屆基測試題】 (C)1.有一算式“(50-□)×(□+10)”,其中兩個 □ 內規定皆填入相同 的正整數。例如:當 □ 填入“ 1 ”時,“(50-1)(1+10)=539”, 即此算式的值為 539。求此算式的最大值為何? (A) 700 (B) 800 (C) 900 (D) 1000。【93.基測一】 Sol) (D)2.下列哪一個二次函數,其圖形和 y=4x2-8x 的圖形有相同的頂點?

(A)y=2x2-4x (B) y=-2(x+1)2 (C) y=2(x+1)2+4 (D)y=

-2(x-1)2-4。【93.基測二】 Sol)

(

)

( )

( )

( )

2 2 2 2 y=4x -8x=4 x -2x =4 x-1 -4 圖形的頂點座標 1,-4 與之相同頂點的為y=-2 x-1 -4

(C)3.如圖,A、B 分別為 y=x2上兩點,且AB⊥y 軸。若AB=6,則直線 AB 的

方程式為何? (A) y=3 (B) y=6 (C) y=9 (D) y=36。【91.基測 二】

Sol)

( )

(

)

( )

( ) ( )

2 2

∵ A,B兩點對稱y軸 ∴設B a, a , 則A -a, a ,

(10)

(

)

(

( )

)

( )

(

)

( )

( )

( )

2 2 2 2 2 2 -1 -1 -1 y= x +2x+c= x -6x +c= x -6x+ -3 +c+3 3 3 3 -1 = x-3 +c+3 頂點 3, c+3 3 -1 將A 0, 1 代入 1= -3 +c+3 c=1 頂點 3, 4 b=4 3      (D)4.如圖,將二次函數 y=x2 的圖形向右移動兩個單位長,則下列哪一個二 次函數的圖形,可為虛線所表示的圖形? (A) y=x2+2 (B) y=x2 2 (C) y=(x+2)2 (D) y=(x-2)2【90.基測一】 Sol)y =x2 圖形往右移2個單位 =y

(

x- 2

)

2 (B)5.如圖,小智丟垃圾的路徑是一個二次函數 y=- 3 1 x2+2x+c 的圖形。已 知小智是在此二次函數圖形的頂點(即 B 點)將垃圾丟出,且從 A(0, 1)點進入筒內。若 B 點的坐標為(a,b),則 b=? (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6。【90.基測二】 Sol) (D)6.已知二次函數 y=ax2+k,其中 a<0,k>0,下列哪一個選項可能是此二 次函數的圖形?【91.基測一】 (A) (B) (C) (D)

Sol)y=ax +k, ∵a<0 ∴圖形開口向下,又k>0 ∴頂點在y軸的正向 2

(A)7.若用配方法將二次函數 y=-2x2-4x+1 寫成 y=-2(x-h)2+k 的形

式,求 h+k=? (A) 2(B) 4(C)-4(D)-2。【91.基測一】 Sol)y =-2

(

x+1

)

2 + + =1 2 -2

(

x+1

)

2 +  =3 , h -1,k =3, h k+ = 2

(A)8.下列為四個二次函數的圖形,哪一個函數在 x=2 時有最大值 3?【92. 基測一】

(11)

Sol)開口向下,頂點為(2,3)的圖形。 【模擬學力基測試題】

(D)1.設二次函數 2

y=-x +2bx+a 圖形的最高點座標為(2, 5),請問 a+b=?(A) 0(B)1(C)2(D)3。

Sol)y=- x-b

( )

2+a+b 2 最高點

(

b, a+b2

)

= 2,5 , b=2, a=1

( )

 a+b=3

(C)2.請問 2 y=x -2x+7 的圖形為下列何者呢?(A)與 y 軸相交於兩點的拋物線 (B)與 x 軸相交之橢圓(C)與 x 軸不相交之拋物線(D)與 x 軸相切於 一點的拋物線。 Sol)

( )

( )

(

)

2 y= x-1 +6 1,6 , , a=1>0 x , y 可得圖形之最低點 且開口向上 ∵ ∴圖形與 軸無交點 但與 軸恰交於一點

(B)3.設矩形 ABCD 中,AB=4, AD=6,在 AB, AD 上各取一點 P、Q,使 AP=AQ, 則四邊形 PQDC 之最大面積為何呢?(A)31 2(B) 33 2 (C) 35 2 (D) 37 2 (平方單位) Sol)

( )

(

)

( )

(

)

2 2 2 2 2

, AP=AQ=x, PQDC= ABCD- APQ- PBC

1 1 -1 -1 9 PQDC=6 4- x - 6 4-x = x +3x+12= x -6x+9 +12+ 2 2 2 2 2 -1 33 33 33 = x-3 + x=3 , PQDC 2 2 2 2     如圖 設 □ □ △ △ □ ∴當 時 □ 有最大面積 單位 (D)4.若二次函數 2 y=ax -12x+b ,在x=-3 2 ,有極大值 10,則數隊(a, b)為何 呢?(A)(2,-3)(B)(-3,2)(C)(1,-4)(D)(-4,1)。 Sol) 2 2 2 3a=-12 3 9

y=ax -12x+b=a x+ +10=ax +3ax+ +10 9 a=-4, b=1

2 4 a+10=b 4                 

(D)5.如右圖, a ,0 y=f x =ax +bx+c ,請問下列何者為正確呢?(A)

( )

2

(

)

a a+b+c >0 (B)b a-b+c >0 (C)

(

)

c a-b+c >0 (D)

(

)

a b -4ac <0

(

2

)

Sol) a<0, y ab<0 b>02

y c>0, x b -4ac>0      圖形開口朝下 頂點在 軸右側 圖形交 軸於正向 圖形與 軸交相異兩點

(

( )

)

( )

( )

(

)

( )

(

2

)

1, f 1 f 1 >0 a+b+c>0 -1,f -1 f -1 <0 a-b+c<0 a b -4ac <0     又 在x軸上方 而 在x軸下方 ∴

(12)

(C)6.拋物線方程式為

( )

2 y= a-1 x +ax+a ,若使拋物線開口向上,且圖形均在 x 軸上方,請問 a 的範圍為何呢?(A)a>1(B)a>6 5(C)a> 4 3(D)a> 3 2。 Sol)

( )

( )

(

)

2 2 a>1 a-1>0 a>1 4

y= a-1 x +ax+a , 4 a>

a -4 a-1 a<0 a 3a-4 >0 a> a<0 3

3             恆為正 或 (B)7.有關於函數

( )

2

y=f x =ax +bx+c,ac 之圖形的敘述,下列何者錯誤呢?0

(A)為一拋物線(B)與 x 軸至少有一個交點(C)當 2 b =4ac時,與 x 軸僅有一個交點(D)當 b=0 時,與 x 軸的交點不可能只有一個。 Sol)當b -4ac<02 時 圖形與 軸無交點 , x (C)8.有關於函數

( )

2 y=f x =x -10x+24 的圖形,下列敘述何者正確呢?(A)圖 形全部落在第一象限中(B)圖形有極小值出現在第二象限中(C)圖形 不經過第三象限(D)圖形不經過第四象限。 Sol)

( )

( )

( )

( ) ( )

(

)

2 2 2 y=f x =x -10x+24= x-5 -1 x=5 , -1 y=0 x -10x+24=0 x=4 6, x 4,0 , 6,0 x=0 y=24 y 0,24       當 時 有極小值 ∴極小值出現在第四象限 令 或 與 軸交於 令 與 軸交於 圖形不經第三象限 (B)9.在坐標平面上,若二次函數y=-3x2+6x的頂點A到原點O的距離為d, 則下列選項何者正確?(A)2<d<3 (B)3<d<4 (C)4<d<5 (D)5 <d<6

Sol) y=-3x2+6x=-3(x2-2x+1)+3=-3(x-1)2+3,頂點 A(1,3)

∴d=12+32=10,而 3<d<4。

(D)10.y=(x-h)2之圖形與下列何函數之圖形對稱於x軸?(A)y=(x+h)2 (B)y

=x2+h (C)y=x2-h (D)y=-(x-h)2

Sol) y=(x-h)2,頂點(h,0),開口向上,則與其對稱於 x 軸之圖形頂點亦為(h, 0)而開口向下,即為 y=-(x-h)2。

【進階練習題】

(A)1.若二次函數y=(a+b)x2+2cx-(a-b),在x=- 時,y有最小值- ,則

(13)

Sol) y=(a+b)x2+2cx-(a-b)=(a+b)(x+1 2 )2- a 2 =(a+b)x2+ (a+b)x+a+b4 - a 2 ∴ a+b=2c…………1 -a+b= -a+b 4 …2  -4a+4b=-a+b,3b=3a ∴a=b 代入 1,得 2a=2c ∴a=c,則 a=b=c,a:b:c=1:1:1

(C)2.二次函數y=x(36-x)的最大值為何?(A)36 (B)320 (C)324 (D)234 Sol) y=-x2+36x=-(x2-36x+182)+324=-(x-18)2+324≦324,∴最 大值 324 (C)3.蘋果園裡種了30棵蘋果樹,平均每棵年產400個蘋果,若在此果園中每加 種一棵蘋果樹,平均每棵年產量減少10個,則應種多少棵蘋果樹才能使年 產量最多?(A)5棵 (B)15棵 (C)35棵 (D)45棵 Sol) 設加種 x 棵,產量為 y 個,y=(30+x)(400-10x)=12000+100x-10x2 =-10(x2-10x+25)+12000+250=-10(x-5)2+12250≦12250 當 x=5 時產量最大,故應種 30+5=35(棵) (C)4.下列有關二次函數y=─9(x─ )2+45的敘述何者正確?(A)此函數圖形的

開口向上 (B)y的最小值為45 (C)y的最大值為45 (D)y的最大值為 44 Sol) y=-9(x- 2 3 )2+45 ∵x2項係數為-9,故圖形開口向下,有最大值 45 (B)5.俊影老師要利用 100 公尺長的繩子圍出一個矩形的花園,其邊長各為多 少公尺才能使得圍成的面積最大呢?(A)25、25 公尺(B)20、30 公 尺(C)22、28 公尺(D)18、32 公尺。 Sol)設長為 x,寬為(50-x)時,面積=x(50-x)為最大

(

)

(

)

2 2 2 2 2 =-x +50x=- x -50x+25 +625=-x x-25 +625 x=25 , 625 25 25 100 a+b , a=b , a b , =25 25 4             面積 當 時 有面積最大值 ∵ 為定值 當 時 為最大值 (B)6.東蔘旅行社招攬香港旅遊兩天一夜的旅行團,為避免影響品質,人數以 不超過35人為限,每人收費5000元。若人數不足35人,每減少1人則旅費 加收200元,試問此旅行社最多共可收到多少旅費?(A)175000元 (B)180000元 (C)190000元 (D)195000元 Sol)設減少 x 人,收入為 y y=(35-x)(5000+200x)=175000+2000x-200x2 =-200(x2-10x+25)+175000+5000=-200(x-5)2+180000≦180000, 故最多收入 180000 元

(14)

(C)7.若二次函數y=-x2+2x+k-4有最大值為2,則k=?(A)7 (B)6 (C)5 (D)4 Sol)y=-x2+2x+k-4=-(x2-2x+1)+k-4+1,則 k-3=2 ∴k=5 (D)8.北港溪整治工桯中,水中汙泥深度為水深的 ,則整條溪長度與水深的 總和為120公尺,若將整條溪視為長方形,而每處理1平方公尺的汙泥費 用為5萬元,則此工程費用最高多少元?(A)3600萬元 (B)4200萬元 (C)5400萬元 (D)6000萬元 Sol)設水深 x 公尺,則溪長度(120-x)公尺,汙泥深 1 3 x 公尺,若費用為 y,y =13 x(120-x)×5=-53 (x2-120x+3600)+6000=-5 3 (x-60)2+ 6000≦6000,故最高 6000 萬元 (D)9.已知二次函數y=ax2+k,其中a<0,k>0,則下列那一個選項可能是此 二次函數的圖形? (A) (B) (C) (D) Sol)∵y=ax2+k 中,a<0→拋物線開口向下,k>0→拋物線與 y 軸交於 y 軸上方 (B)10如圖(a),在長度為28的AB上取一點P。用AP圍成一個長方形PMNO, 其中PM=3PO,再用BP圍成一個正方形PVUT,如圖(b)。已知PO=t 時,長方形與正方形的面積和有最小值s,則s=? (A)14 (B)21 (C)28 (D)49 圖(a) 圖(b) Sol)S=MP.PO+PV2=3t.t+〔 1 4 (28-8t)〕2=3t2+(7-2t)2 =3t2+49-28t+4t2=7(t2-4t+4)+49-28=7(t-2)2+21≧21

數據

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參考文獻

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