1213 第一二冊解答

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1213 第一二冊 姓名 座號

一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)

( )1.已知△ABC 三頂點為 A(  1,3)、B(2,1)、C(  3,  1), 若直線 AD 平分△ABC 的面積,則直線 AD 之方程式 為何? (A)3x  y  0 (B)3x  y  6  0 (C)6x  y  9  0 (D)6x  y  3  0 【091 年歷屆試題.】 解答 D 解析 由題目中,AD平分△ABC 的面積 AD通過 B(2,1)、C(  3,  1)的中點 2 ( 3) 1 ( 1) ( , ) 2 2     ,即( 1, 0) 2  再由 A(  1,3)得AD: 0 3 0 ( ( 1)) 1 2 1 ( ) 2 y   x     3 1 ( ) 1 2 1 ( ) 2 y x      3 1 ( ) 1 2 2 y x     1 6( ) 2 y x      y  6x  3  6x y  3  0 ( )2.已知 x、y 均為實數且滿足不等式 x  0,y  0,4x  3y  18,x  3y  9,則 x  y 的最小值為何? (A)4 (B)5 (C)6 (D)9 【091 年歷屆試題.】 解答 B 解析 由題目中,不等式組: 0, 0 4 3 18 3 9 x y x y x y          畫出可行解區域 (1)4x 3y  18… 9 0 2 6 0 x y (2)x 3y  9… 0 9 3 0 x y 由、解聯立:  得 3x  9  x  3  y  2 ∴ B(3,2) 頂點 A(9,0)、B(3,2)、C(0,6) A(9,0) x y  9  0  9 B(3,2) x y  3  2  5(最小) C(0,6) x y  0  6  6 故得 x y 最小值 5 ( )3.已知i 1,且 a、b 為實數,若1 3 1 i a bi i     ,則 a  b  (A)  3 (B)  1 (C)1 (D)3 【091 年歷屆試題.】 解答 A 解析 由題目中 2 2 2 1 3 (1 3 )(1 ) 1 3 3 1 4 3 2 4 1 2 1 (1 )(1 ) 1 1 1 2 i i i i i i i i i a bi i i i i                    ∴ a  1,b  2 故得 a b  3 ( )4.若、 均為實數,且3 2 5,3 2 5,則     (A)  1 (B)1 (C)2 (D)4 【098 年歷屆試題.】 解答 B 解析  3 3(2 5)(2 5)22( 5)2 1   1 3 3 ( )(2 2)  ( )(2 2 )  ( )[( )2 2 ]  ( )[(  )2 3 ]  ( )[( )2 3  (  1)]  ( )3 3(  ) 設 x,則3 3 x3 3x,而 3 3 (2 5) (2 5) 4        因此 x3 3x 4 x3 3x 4 0 (x 1)(x2 x  4)  0  x  1  0 或 x2 x 4 0 而 x2 x 4 0 無實數解 故 x  1,即 1( )5.若 1 2 1 2 4 0 2 4 7 x x x    , 則 x  (A)  1 (B)0 (C)1 (D)2 【092 年歷屆試題.】 解答 A 解析

(2)

1 2 1 0 1 2 4 0 1 2 0 0 2 4 7 2 4 1 x x x x x x         (依第三行降階) ( 2)   1 ( 1) 0 ( 1) [2 ( 1)] 0 1 2 x x x x            ∴ x  1 《註》本題亦可由三階行列式直接展開來求 x 值 ( )6.已知i 1,則(1  i)6  (A)  8i (B)8i (C)12  8i (D)12  8i 【092 年歷屆試題.】 解答 B 解析 (1  i)6 [(1  i)2]3 (  2i)3 8i3 8i 《另解》 6 1 1 6 7 7 6 (1 ) [ 2( )] [ 2(cos sin )] 4 4 2 2 i ii       3 21 21

2 (cos sin ) 8(cos sin ) 8(0 1) 8

2 i 2 2 i 2 i i             ( )7.設 2 2 2 5 2 4 ( 1)( 1) 1 1 x x A Bx C x x x x x x          ,則 A  B  C  (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 【098 年歷屆試題.】 解答 D 解析 原式兩側乘以(x 1)(x2 x 1) 5x2 2x  4  A(x2 x  1)  (Bx C)(x  1)  (A B)x2 (A B C)x  (  A C) 5 2 4 A B A B C A C               由   2A C  7… 由   A  3,代回  B  2,代回  C  1 故 A B C  3  2  1  6 ( )8.設 0  x  2,試問函數 f(x)  sin2x  2cosx  2 之最大 值為何? (A)1 (B)2 (C)4 (D)5 【095 年歷屆試題.】 解答 C

解析 f(x)  sin2x 2cosx  2  1  cos2x 2cosx  2  (cos2x

2cosx  1)  4  (cosx  1)2 4 但 0  x  2  |cosx|  1 ∴ 當 cosx  1 時 f(x)有最大值  (  1  1)2 4 4 ( )9.試問在坐標平面上原點至點(sin15,sin75)的距離為 何? (A)1 2 (B) 2 2 (C) 3 2 (D)1 【096 年歷屆試題.】 解答 D

解析 d  (sin15 0)2(sin 75 0)2  sin 152  sin 752 

2 2 sin 15 cos 15 1      ( )10.在坐標平面上,滿足不等式|x|  y  8 的區域面積為 何? (A)16 (B)32 (C)64 (D)128 【094 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ |x| y  8 0 | | 0 8 8 8 x y x y y x y x y y y y                     不等式所成區域如圖所示 (為△OAB): ∴ 所成區域面積(即△OAB 面積) 1 16 8 64 2    

( )11.設i 1且 a 與 b 為兩實數,若(a  bi)(1  3i)  8  4i,則(a  bi)2  (A)8i (B)  8i (C)8  8i (D)8  8i

【094 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ∵ (a bi)(1 3i)  8  4i 8 4 (8 4 )(1 3 ) 20 20 2 2 1 3 (1 3 )(1 3 ) 10 i i i i a bi i i i i               ∴ (a bi)2 (2  2i)2 4  8i 4i2 8i ( )12.設 為實數,若sin 2 1 3

 ,則(sin  cos )2  (A)2 3 (B)1 (C)4 3 (D) 5 3 【094 年歷屆試題.】 解答 A 解析 2 2 2 1 2

(sin cos ) sin 2sin cos cos 1 sin 2 1 3 3           

( )13.下列二元一次聯立不等式中,何者代表圖中所示之三 角區域?

(3)

(A) 4 1 0 2 3 3 0 9 0 x y x y x y              (B) 4 1 0 2 3 3 0 9 0 x y x y x y              (C) 4 1 0 2 3 3 0 9 0 x y x y x y              (D) 4 1 0 2 3 3 0 9 0 x y x y x y              【100 年歷屆試題.】 解答 A 解析 對於三角區域, 在直線 x 4y  1  0 及其左側  x 4y  1  0 在直線 2x 3y  3  0 及其右側  2x 3y  3  0 在直線 x y  9  0 及其左側  x y  9  0 ( )14.下列各三角函數值,何者數值最小? (A)sin885 (B)cos(  430) (C)tan131 (D)sin(  2010)

【099 年歷屆試題.】 解答 C

解析 sin885 sin(2  360 165)  sin165 sin(180 15)  sin15 0

cos(  430)  cos430 cos(360 70)  cos70 0 tan131 tan(180 49)  tan49 0

sin(  2010)  sin(  6  360 150)  sin150 sin(180 30)  sin30 0 由上可知 tan131的值最小 故選(C) ( )15.設 a、b、c、d 為實數,若 x2  1 為 f (x)  ax3  bx2  cx  d 之因式,且 f (x)除以 x  2 餘 6,則 2a  b  (A)  4 (B)  2 (C)2 (D)4 【099 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ x2 1 為 f (x)的因式且 x2 1  (x 1)(x  1) ∴ x 1 與 x 1 皆為 f (x)的因式 f (  1)  0,f (1)  0 即 f (  1)  a b c d  0… f (1) a b c d  0… ∵ f (x)除以 x 2 餘 6 ∴ f (2)  6 即 f (2) 8a 4b 2c d  6…    2b 2d  0  d  b    2a 2c  0  c  a 以 d  b,c  a 代入得 8a 4b  2(  a)  (  b)  6 3 6a 3b 6  2a b 2       故選(C) ( )16.在坐標平面上,若△ABC 之三頂點坐標分別為 A(2,0)、 B(4,0)與 C(4,3),則△ABC 之三邊上共有多少點與原點 的距離恰為整數值? (A)2 個 (B)4 個 (C)6 個 (D)8 個 【099 年歷屆試題.】 解答 C 解析 以原點為圓心,作出半徑為 2、3、4、5 的圓 這些圓與△ABC 的邊長共有 6 個交點, 也就是△ABC 之三邊上共有 6 個點與原點的距離恰為 整數值 故選(C) ( )17.試問下列哪一個三角函數值與 sec250°相等? (A)  csc70° (B)  sec110° (C)  sec340° (D)  csc160° 【101 年歷屆試題.】 解答 D

解析 sec250°  sec(180°  70°)  sec70° (A)  csc70°  csc(90°  20°)  sec20°

(B)  sec110°  sec(180°  70°)  (  sec70°)  sec70° (C)  sec340°  sec(360°  20°)  sec20°

(D)  csc160°  csc(180°  20°)  csc20°  csc(90°  70°)  sec70° ( )18.在坐標平面上,設 a,b 為實數,若 A、B 兩點的坐標 分別為(a,1)、(b,3),且線段 AB 的垂直平分線為 2x  y  4,則 2a  b  ? (A)1 (B)2 (C)  1 (D)  2 【097 年歷屆試題.】 解答 A 解析 作簡略圖形如下: 設 A(a,1)、B(b,3)的中點為 ( ,1 3) ( , 2) 2 2 2 a b a b M     (1)M 為直線 L:2x y  4 上一點 2 ( ) 2 4 2 2 a b a b         (2)又mAB 3 1 b a    ,mL 2 ∵ ABLmABmL  1

(4)

3 1 ( 2) 1 a b 4 b a            由解聯立得 a  1,b 3 ∴ 2a b  2  (  1)  3  1 ( )19.設 P(  2 , 4)與 Q(2 ,  2),若直線 L:ax  3y  b  0 為 PQ 的垂直平分線,求 a  b 之值為何? (A) 15 2  (B)  5 (C)  1 (D)3 2 【101 年歷屆試題.】 解答 B 解析 PQ的中點 ( 2 2 4, ( 2)) (0,1) 2 2 M      直線 PQ 的斜率 4 ( 2) 3 2 2 2 PQ m        直線 L 的斜率 3 a m  ∵ PQL ∴ mPQ m  1  3 ( ) 1 2 3 a       a  2 則直線 L: 2x 3y b  0 ∵ M(0 , 1)在直線 L 上 ∴  2  0  3  1  b  0  b  3 故 a b  2  (  3)  5 ( )20.有一繩子的長度是 24 公分,若圍成正三角形的面積 為 a 平方公分;圍成正方形的面積為 b 平方公分;圍 成正六邊形的面積為 c 平方公分,則下列何者正確? (A)a  b  c (B)a  c  b (C)c  a  b (D)c  b  a 【095 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ 繩子的長度為 24 公分  正三角形、正方形、正六邊形的邊長分別為 8 公 分、6 公分、4 公分  正三角形面積為 3 82 16 3 4 a   (平方公分) 正方形面積為 b  62 36(平方公分) 正六邊形面積為 3 2 6 4 24 3 4 c    (平方公分) ∴ a b c

( )21.在△ABC 中,設A、B﹑C 之對應邊長分別為 a、 b、c,若B  120,a  5,c  3,則△ABC 的外接圓面 積為何? (A) 7 3 (B) 49 3 (C) 7 3 (D) 49 3  【095 年歷屆試題.】 解答 D 解析 b2 c2 a2 2cacosB  32 52 2  3  5  cos120 9  25  (  15)  49 49 7 b    又 2 sin b R B 7 2 sin120 R    7 2 3 2 R   7 3 R   ∴ △ABC 的外接圓面積為 2 7 2 49 ( ) 3 3 R      ( )22.在△ABC 中,若 D 點在線段 AC 上且 AD :DC1: 2,又∠BAD  30,∠BDC  60,則∠DCB 的角度 為何? (A)30 (B)45 (C)60 (D)75 【099 年歷屆試題.】 解答 A 解析 令ADtDC2t,其中 t  0 ∵ ∠BDC  60  ∠BDA  120  ∠ABD  30 ∴ △DAB 為等腰三角形 DBt 由餘弦定理知,在△BCD 中, 2 2 2 2 cos ( ) BCDBDCDB DC  BDC t2 (2t)2 2  t 2t  cos60 3t2  3 BCt 由正弦定理,在△BCD 中 3 sin 60 sin t t C    sinC12  ∠C  30或 150(不合) 故∠DCB  30 故選(A) ( )23.下列方程式所對應的圖形中,何者恆在x軸的上方? (A)y5x23x1 (B) 2 3 5 1    y x x (C)yx25x3 (D) 2 3 5    y x x 【104 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ 四個選項的x2項係數均為正數 ∴ 皆為開口向上的拋物線 (A)( 3) 2     4 5 1 11 0→符合 (B)52    4 3 ( 1) 370

(5)

(C)( 5) 2   4 1 3 130 (D)12    4 3 ( 5) 610 ( )24.已知 a 1, b  5, ab  2。若

 

1 t a  t b 和 ab 垂直,其中 t 為實數,則 t (A) 7 10 (B) 5 3 (C) 3 4 (D) 5 2 【106 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ t a  

 

1 t bab 垂直 ∴ t a  

1 t b

  ab0      t aat ab  

 

1 t ba  

 

1 t bb 0  2 t at ab  

1 t

ab    

2 1 t b 0     2 t a

1 2t

ab  

2 1 t b 0     2

   

 

2 1 1 2 2 1 5 0 t   t     t   10t 7 0  7 10 t( )25.若△ABC 中,AB5,BC9,CA10,則 cos(A  B)  (A) 13 15  (B) 7 15  (C) 7 15 (D) 13 15 【102 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ A B C  180 ∴ cos(A B)  cos(180C)  cosC 2 2 2 9 10 5 13 2 9 10 15        

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