1213 第一二冊 姓名 座號
一、單選題 (25 題 每題 4 分 共 100 分)
( )1.已知△ABC 三頂點為 A( 1,3)、B(2,1)、C( 3, 1), 若直線 AD 平分△ABC 的面積,則直線 AD 之方程式 為何? (A)3x y 0 (B)3x y 6 0 (C)6x y 9 0 (D)6x y 3 0 【091 年歷屆試題.】 解答 D 解析 由題目中,AD平分△ABC 的面積 AD 通過 B(2,1)、C( 3, 1)的中點 2 ( 3) 1 ( 1) ( , ) 2 2 ,即( 1, 0) 2 再由 A( 1,3)得AD: 0 3 0 ( ( 1)) 1 2 1 ( ) 2 y x 3 1 ( ) 1 2 1 ( ) 2 y x 3 1 ( ) 1 2 2 y x 1 6( ) 2 y x y 6x 3 6x y 3 0 ( )2.已知 x、y 均為實數且滿足不等式 x 0,y 0,4x 3y 18,x 3y 9,則 x y 的最小值為何? (A)4 (B)5 (C)6 (D)9 【091 年歷屆試題.】 解答 B 解析 由題目中,不等式組: 0, 0 4 3 18 3 9 x y x y x y 畫出可行解區域 (1)4x 3y 18… 9 0 2 6 0 x y (2)x 3y 9… 0 9 3 0 x y 由、解聯立: 得 3x 9 x 3 y 2 ∴ B(3,2) 頂點 A(9,0)、B(3,2)、C(0,6) A(9,0) x y 9 0 9 B(3,2) x y 3 2 5(最小) C(0,6) x y 0 6 6 故得 x y 最小值 5 ( )3.已知i 1,且 a、b 為實數,若1 3 1 i a bi i ,則 a b (A) 3 (B) 1 (C)1 (D)3 【091 年歷屆試題.】 解答 A 解析 由題目中 2 2 2 1 3 (1 3 )(1 ) 1 3 3 1 4 3 2 4 1 2 1 (1 )(1 ) 1 1 1 2 i i i i i i i i i a bi i i i i ∴ a 1,b 2 故得 a b 3 ( )4.若、 均為實數,且3 2 5,3 2 5,則 (A) 1 (B)1 (C)2 (D)4 【098 年歷屆試題.】 解答 B 解析 3 3(2 5)(2 5)22( 5)2 1 1 3 3 ( )(2 2) ( )(2 2 ) ( )[( )2 2 ] ( )[( )2 3 ] ( )[( )2 3 ( 1)] ( )3 3( ) 設 x,則3 3 x3 3x,而 3 3 (2 5) (2 5) 4 因此 x3 3x 4 x3 3x 4 0 (x 1)(x2 x 4) 0 x 1 0 或 x2 x 4 0 而 x2 x 4 0 無實數解 故 x 1,即 1( )5.若 1 2 1 2 4 0 2 4 7 x x x , 則 x (A) 1 (B)0 (C)1 (D)2 【092 年歷屆試題.】 解答 A 解析1 2 1 0 1 2 4 0 1 2 0 0 2 4 7 2 4 1 x x x x x x (依第三行降階) ( 2) 1 ( 1) 0 ( 1) [2 ( 1)] 0 1 2 x x x x ∴ x 1 《註》本題亦可由三階行列式直接展開來求 x 值 ( )6.已知i 1,則(1 i)6 (A) 8i (B)8i (C)12 8i (D)12 8i 【092 年歷屆試題.】 解答 B 解析 (1 i)6 [(1 i)2]3 ( 2i)3 8i3 8i 《另解》 6 1 1 6 7 7 6 (1 ) [ 2( )] [ 2(cos sin )] 4 4 2 2 i i i 3 21 21
2 (cos sin ) 8(cos sin ) 8(0 1) 8
2 i 2 2 i 2 i i ( )7.設 2 2 2 5 2 4 ( 1)( 1) 1 1 x x A Bx C x x x x x x ,則 A B C (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 【098 年歷屆試題.】 解答 D 解析 原式兩側乘以(x 1)(x2 x 1) 5x2 2x 4 A(x2 x 1) (Bx C)(x 1) (A B)x2 (A B C)x ( A C) 5 2 4 A B A B C A C 由 2A C 7… 由 A 3,代回 B 2,代回 C 1 故 A B C 3 2 1 6 ( )8.設 0 x 2,試問函數 f(x) sin2x 2cosx 2 之最大 值為何? (A)1 (B)2 (C)4 (D)5 【095 年歷屆試題.】 解答 C
解析 f(x) sin2x 2cosx 2 1 cos2x 2cosx 2 (cos2x
2cosx 1) 4 (cosx 1)2 4 但 0 x 2 |cosx| 1 ∴ 當 cosx 1 時 f(x)有最大值 ( 1 1)2 4 4 ( )9.試問在坐標平面上原點至點(sin15,sin75)的距離為 何? (A)1 2 (B) 2 2 (C) 3 2 (D)1 【096 年歷屆試題.】 解答 D
解析 d (sin15 0)2(sin 75 0)2 sin 152 sin 752
2 2 sin 15 cos 15 1 ( )10.在坐標平面上,滿足不等式|x| y 8 的區域面積為 何? (A)16 (B)32 (C)64 (D)128 【094 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ |x| y 8 0 | | 0 8 8 8 x y x y y x y x y y y y 不等式所成區域如圖所示 (為△OAB): ∴ 所成區域面積(即△OAB 面積) 1 16 8 64 2
( )11.設i 1且 a 與 b 為兩實數,若(a bi)(1 3i) 8 4i,則(a bi)2 (A)8i (B) 8i (C)8 8i (D)8 8i
【094 年歷屆試題.】 解答 B 解析 ∵ (a bi)(1 3i) 8 4i 8 4 (8 4 )(1 3 ) 20 20 2 2 1 3 (1 3 )(1 3 ) 10 i i i i a bi i i i i ∴ (a bi)2 (2 2i)2 4 8i 4i2 8i ( )12.設 為實數,若sin 2 1 3
,則(sin cos )2 (A)2 3 (B)1 (C)4 3 (D) 5 3 【094 年歷屆試題.】 解答 A 解析 2 2 2 1 2
(sin cos ) sin 2sin cos cos 1 sin 2 1 3 3
( )13.下列二元一次聯立不等式中,何者代表圖中所示之三 角區域?
(A) 4 1 0 2 3 3 0 9 0 x y x y x y (B) 4 1 0 2 3 3 0 9 0 x y x y x y (C) 4 1 0 2 3 3 0 9 0 x y x y x y (D) 4 1 0 2 3 3 0 9 0 x y x y x y 【100 年歷屆試題.】 解答 A 解析 對於三角區域, 在直線 x 4y 1 0 及其左側 x 4y 1 0 在直線 2x 3y 3 0 及其右側 2x 3y 3 0 在直線 x y 9 0 及其左側 x y 9 0 ( )14.下列各三角函數值,何者數值最小? (A)sin885 (B)cos( 430) (C)tan131 (D)sin( 2010)
【099 年歷屆試題.】 解答 C
解析 sin885 sin(2 360 165) sin165 sin(180 15) sin15 0
cos( 430) cos430 cos(360 70) cos70 0 tan131 tan(180 49) tan49 0
sin( 2010) sin( 6 360 150) sin150 sin(180 30) sin30 0 由上可知 tan131的值最小 故選(C) ( )15.設 a、b、c、d 為實數,若 x2 1 為 f (x) ax3 bx2 cx d 之因式,且 f (x)除以 x 2 餘 6,則 2a b (A) 4 (B) 2 (C)2 (D)4 【099 年歷屆試題.】 解答 C 解析 ∵ x2 1 為 f (x)的因式且 x2 1 (x 1)(x 1) ∴ x 1 與 x 1 皆為 f (x)的因式 f ( 1) 0,f (1) 0 即 f ( 1) a b c d 0… f (1) a b c d 0… ∵ f (x)除以 x 2 餘 6 ∴ f (2) 6 即 f (2) 8a 4b 2c d 6… 2b 2d 0 d b 2a 2c 0 c a 以 d b,c a 代入得 8a 4b 2( a) ( b) 6 3 6a 3b 6 2a b 2 故選(C) ( )16.在坐標平面上,若△ABC 之三頂點坐標分別為 A(2,0)、 B(4,0)與 C(4,3),則△ABC 之三邊上共有多少點與原點 的距離恰為整數值? (A)2 個 (B)4 個 (C)6 個 (D)8 個 【099 年歷屆試題.】 解答 C 解析 以原點為圓心,作出半徑為 2、3、4、5 的圓 這些圓與△ABC 的邊長共有 6 個交點, 也就是△ABC 之三邊上共有 6 個點與原點的距離恰為 整數值 故選(C) ( )17.試問下列哪一個三角函數值與 sec250°相等? (A) csc70° (B) sec110° (C) sec340° (D) csc160° 【101 年歷屆試題.】 解答 D
解析 sec250° sec(180° 70°) sec70° (A) csc70° csc(90° 20°) sec20°
(B) sec110° sec(180° 70°) ( sec70°) sec70° (C) sec340° sec(360° 20°) sec20°
(D) csc160° csc(180° 20°) csc20° csc(90° 70°) sec70° ( )18.在坐標平面上,設 a,b 為實數,若 A、B 兩點的坐標 分別為(a,1)、(b,3),且線段 AB 的垂直平分線為 2x y 4,則 2a b ? (A)1 (B)2 (C) 1 (D) 2 【097 年歷屆試題.】 解答 A 解析 作簡略圖形如下: 設 A(a,1)、B(b,3)的中點為 ( ,1 3) ( , 2) 2 2 2 a b a b M (1)M 為直線 L:2x y 4 上一點 2 ( ) 2 4 2 2 a b a b (2)又mAB 3 1 b a ,mL 2 ∵ ABL mABmL 1
3 1 ( 2) 1 a b 4 b a 由解聯立得 a 1,b 3 ∴ 2a b 2 ( 1) 3 1 ( )19.設 P( 2 , 4)與 Q(2 , 2),若直線 L:ax 3y b 0 為 PQ 的垂直平分線,求 a b 之值為何? (A) 15 2 (B) 5 (C) 1 (D)3 2 【101 年歷屆試題.】 解答 B 解析 PQ的中點 ( 2 2 4, ( 2)) (0,1) 2 2 M 直線 PQ 的斜率 4 ( 2) 3 2 2 2 PQ m 直線 L 的斜率 3 a m ∵ PQL ∴ mPQ m 1 3 ( ) 1 2 3 a a 2 則直線 L: 2x 3y b 0 ∵ M(0 , 1)在直線 L 上 ∴ 2 0 3 1 b 0 b 3 故 a b 2 ( 3) 5 ( )20.有一繩子的長度是 24 公分,若圍成正三角形的面積 為 a 平方公分;圍成正方形的面積為 b 平方公分;圍 成正六邊形的面積為 c 平方公分,則下列何者正確? (A)a b c (B)a c b (C)c a b (D)c b a 【095 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ 繩子的長度為 24 公分 正三角形、正方形、正六邊形的邊長分別為 8 公 分、6 公分、4 公分 正三角形面積為 3 82 16 3 4 a (平方公分) 正方形面積為 b 62 36(平方公分) 正六邊形面積為 3 2 6 4 24 3 4 c (平方公分) ∴ a b c
( )21.在△ABC 中,設A、B﹑C 之對應邊長分別為 a、 b、c,若B 120,a 5,c 3,則△ABC 的外接圓面 積為何? (A) 7 3 (B) 49 3 (C) 7 3 (D) 49 3 【095 年歷屆試題.】 解答 D 解析 b2 c2 a2 2cacosB 32 52 2 3 5 cos120 9 25 ( 15) 49 49 7 b 又 2 sin b R B 7 2 sin120 R 7 2 3 2 R 7 3 R ∴ △ABC 的外接圓面積為 2 7 2 49 ( ) 3 3 R ( )22.在△ABC 中,若 D 點在線段 AC 上且 AD :DC1: 2,又∠BAD 30,∠BDC 60,則∠DCB 的角度 為何? (A)30 (B)45 (C)60 (D)75 【099 年歷屆試題.】 解答 A 解析 令ADt、DC2t,其中 t 0 ∵ ∠BDC 60 ∠BDA 120 ∠ABD 30 ∴ △DAB 為等腰三角形 DBt 由餘弦定理知,在△BCD 中, 2 2 2 2 cos ( ) BC DB DC DB DC BDC t2 (2t)2 2 t 2t cos60 3t2 3 BC t 由正弦定理,在△BCD 中 3 sin 60 sin t t C sinC12 ∠C 30或 150(不合) 故∠DCB 30 故選(A) ( )23.下列方程式所對應的圖形中,何者恆在x軸的上方? (A)y5x23x1 (B) 2 3 5 1 y x x (C)yx25x3 (D) 2 3 5 y x x 【104 年歷屆試題.】 解答 A 解析 ∵ 四個選項的x2項係數均為正數 ∴ 皆為開口向上的拋物線 (A)( 3) 2 4 5 1 11 0→符合 (B)52 4 3 ( 1) 370
(C)( 5) 2 4 1 3 130 (D)12 4 3 ( 5) 610 ( )24.已知 a 1, b 5, a b 2。若