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淺述高中三角之功用與教材之變革
賴敦
生
壹、 前言
高中三角教材經歷多次修改,
內容、
領域、 方法已有顯著的差異, 本文僅將近
數十年來的變化分四階段 (范氏大代數時
期、S.M.S.G 時期、 實驗教本時期及現行教
本期間) 述說, 由各階段所強調的理念回顧
教材編寫的特徵, 驅動方式, 領域之拓展與刪
減是本文淺述的架構, 藉以探討教學原理, 體
會“為何而學, 學而何用”是最終的祈求。
本文淺述高中三角的功用, 在教本之訴
求, 習題之引領下, 從邊角關係、 餘弦律、. . . 、
積分工具到數值方法舉例說明三角學在教材
變革中所扮演之角色遷移, 在突顯功能價值
的潮流中, 依循教本旨意教學、 研習, 可拋棄
無效的解題, 減輕課業負擔, 尊重生命, 珍惜
人生!
教材演變中, 三角學領域業已拓展, 功力
更為強勁、 鮮明。 筆者大膽記述了這豐厚的成
果, 在新課程標準下編定的新教材裹, 相信就
在這雄厚的基礎上更進一步的發揚光大, 三
角學教學更形有趣, 熱烈歡迎這項新教材之
變革。
貳、 教材之變革
I、 簡述三角學的源起:
1
◦
三角學創始於西元約 150年, 為當時天文
學家希伯諸斯 (Hipparchus of Nicaea)
用以作為研究天文的工具。 至十五世紀中
葉, 三角學突飛猛進, 有關平面三角及球
面三角之解法均曾詳細論及, 故三角學從
開始長足的進展至目前的規模, 不過四百
餘年而己。
2
◦
三角學之英文名稱 trigonometry, 約
定名於西元 1600 年, 實際導源於希臘文
trigono (三角) 和“metrein”(測量), 其
原義為三角形測量 (解法)。
3
◦
希臘 Hipparchus (180∼ 125 B.C.) 製
作“弦表”, 埃及 ptolemy (85∼ 165) 製
作三角函數表, 歐拉著作: “無窮小分析引
論”將討論三角形的三角學進一步演變成
研究三角函數的工具, 並以分析之姿態述
說三角, 形成分析學的一支。
4
◦
明崇貞四年
(1631 年) 徐光啟編“大
測”是三角學輸入我國的開始。 (引自: 谷
超
豪著 「數學辭典」(以上述說對下段之說
明有所助益)
II、 高中三角教材之變革:
72
1
◦
民國 54 年以前的高中三角–簡記為范氏
大代數時期, 國內三角教學是以直角形內
任意兩邊之比, 是一銳角的函數起始述
說。 講授內容以恆等運算, 擴充為廣義三
角函數, 認真的解一三角形的邊或角的求
法, 還引入對數函數表, 強化三角測量的
教學, 同時反三角函數、 三角方程式等等
皆有相當豐富的解題訓練。 此時是高中一
年級學生每週三小時, 期限長達一年的必
修課程。
2
◦
民國 55年至民國61年的 S.M.S.G 時期,
以函數觀點描述三角學, 重要的是標示三
角函數是週期函數圖形的描繪, 在定義
域
、 值域的層層限制下, 透過 1 對 1 且映
成的函數特徵寫出了反三角函數的定義、
圖形、 演算, 相當細緻, 加重和差化積、 三
角級數, 三角方程式解集合的求解演練,
比之前期教材, 規則, 限制超多, 師生負
擔沉重 ! 此時授課年級為高一第二學期,
每週五小時。(約十八週)
3
◦
實驗教本時期 (民國 61年至民國 73年)
1
∗
認定三角函數乃是數學, 甚至是代數
演算之一記號。 將細緻的 S.M.S.G
教材精簡, 使雄霸教壇數十年的三角
學蛻變成為代數演算的“工具”。
2
∗
懷著邊角的關係去解釋實體世界之測
量問題, 處理簡易幾何 (平面幾何) 的
證明題、 計算題。
3
∗
藉由轉化的題材, 將變數變量轉化成
(函數) 圖形與簡諧運動–彈簧振動–
圓週運動交錯描述, 顯示: 三角函數
事實的實體世界。
4
∗
教授年級: 高二自然組, 第一學期每
週 6 小時共四週。
4 現行教本編輯概況
1
∗
從直角三角形定義三角函數起步, 再
由廣義角與座標幾何結合探討三角形
解法, 幾何圖形與測量問題交錯描述,
體會“三角運算”是求解的工具。
2
∗
函數圖形描繪側重連續函數、 分析函
數之演算意味, 為後續微積分教學、
數值處理埋伏佈局。
3
∗
除了加強實驗教本代數函數教學外,
強烈的表明三角函數應納入可微函數
分析, 強化讀者的數值處理能力, 步
驟
如下:
1
∗∗
內插法 —比例增值求函數值—
高一下教學。
2
∗∗
托勒密函數值表的建立過程(幾
何比值, 三角公式演算)。
3
∗∗
泰勒展
開式—n 次近似求三角函
數值的近似值。 (三角函數的微分
法)
4
∗
使用導函數、 遞增函數證明不等關係
是本期教材的特色, 如下例: 多項函
數與三角函數的不等關係證明: 設
x >
0, 求證 cos x + sin x > 1 +
x
− x
2
成立。
早 期 學 生 所 慣 用 的“加 法
律”、“平均數”. . . 等等老代數的證明
方法是艱困的, 今日的高三理科生已
可使用遞增函數的特質證明這不等式
是成立的, 這是三角函數邁入分析函
數教學的成果, 拓展“解題”之領域、
智
能, 學生的幸福, 我們引以為傲!
5
∗
本期教本對公式、 定理的處理方式:
1
∗∗
基
於說明的必要, 當然是建立名
詞、 定義來溝通, 為欲演算的便捷
形成定理是自然的趨勢, 經常講
求功用的教程, 促請讀者檢視全
程教義, 終於感受餘弦律是三角
函數的明星
定理, 為後續學程—
向量解析、 座標幾何—鋪出一條
高經濟價值的航道, 以此檢測, 終
讓讀者辨別老三角習題何者值得
學習, 何者不值得推演, 課業負擔
終於減輕, 教學之幸!
2
∗∗
公式教學之驅動程式是功用為主
體的描述, 公式組群之記憶法則
不若往昔的誇張, 往往是為著克
服演算上的障礙, 很自然的推出
公式讓讀者珍惜, 緊接著促成讀
者進一步推演公式去處理新的演
算困頓, 享受新工具, 高效率的喜
悅和幸福 ! 讀者若能順勢推理,
明白動機與目標, 不必強記整批
公式群組即可快樂, 甜蜜的學好
三角函數。
參、
三角函數的功用
從教本的訴求, 練習題的焦點, 歸納出三
角函數的功用, 我們研習動機仍然是體會數
學的方法, 檢測三角函數究竟扮演何種角色,
課程已經拓寬, 路程拉長, 從基礎的學習起動,
路要怎麼走, 學習如何開展方能不浪費心智,
有效的達到目標, 下述是以功能為主體, 扼要
說明並反映高中三角基礎教育所能牽涉的功
能表達出來, 分述如下:
1
◦
計算兩星球間之距離
說例
: 於下圖中, 一觀察者在 D 點看見
月亮正好在頭頂上, 同時另一觀察者在 C
點看見月亮落在地平線上, 因在地表 C
點和 D 點的距離可以知道, 今已知求得
∠
A
= 89
◦
3
′
=
4000
AB
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...A
C
4000
哩
89
◦3
′D
地球
. . ... . ... . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
′B
E
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .月球
...(1)
∗
兩星球間之距離:
AB
=
4000
cos 89
◦
3
′
+
4000
0.0166
+
241000哩
(2)
∗
後一天文學家用一精確的裝置測出月
球中心和月球邊緣所構成的角為 15
′
,
則月球半徑:
BE=BD sin 15
′
=(241000−4000)×0.0044
+
10.43(哩)
1
∗
本例說明在直角三角形內邊角關係比
取得兩星球間的距離, 月球的半徑,
其中邊指邊長, 角指三角函數值。
2
∗
早期的教材, 甚至今日教本的基礎數
學對三角函數值的使用, 非常當然的
藉由“三角函數值表” 查出的近似值
一筆帶過, 沒有思量這誤差如何控制。
今日的高三理科生就有能力理解, 注
意: cos 89
◦
3
′
, sin 15
′
的函數值求法
原理, 誤差控制, 精確度的引用 ! 這
是教材的變革, 更進一步的說明在本
文的第10
◦
,
11
◦
述說。
2 測量山高:
說例
: 某人測得一山峰之仰角為 30
◦
後,
他向山前進 200公尺, 再測得山峰之仰角
為 45
◦
, 可依直角三角形邊角關係求得山
高為 100(
√
3 + 1)公尺。
1
∗
本例由練習題中取得, 旨在理解“淺
淺的
三角函數即有莫大的功力, 推測
人力所不能丈量的大自然!
2
∗
這是傳統的教材, 經歷數十年而不衰
的例題, 至今仍為基礎數學的熱門教
材。
3 餘弦律的功用:
(1) 解三角形: 求頂角、 邊長、 中線長、 投
影律。 從測量知: 已知二邊與夾角, 第三
邊長可由餘弦律求取。
如: 已知 △ABC 中,a =
√
2 , b =
1 +
√
3,
∠
c
= 45
◦
, 則第三邊c可由餘
弦
律求得 c = 2。
透
過餘弦律亦可求得一△ 的中線
長。
如下圖△ABC 之中線AD = m
a
。
. . . . . . . . . . . . ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...A
B
D
C
E
a/2
b
b
c
c
m
aφ
θ
依圖形所設, 由餘弦律:
cos θ = cos(π − φ) = − cos φ
(
a
2
)
2
+m
2
a
−c
2
2 ·
a
2
· m
a
=−
(
a
2
)
2
+m
2
a
−b
2
2 ·
a
2
· m
a
∴
m
a
=
1
2
√
2b
2
+ 2c
2
− a
2
· · · 求得中線長。
1
∗
三角幾何間的互述在實驗本特為加
強, 當時的觀點為將三角視為一演算
的符號, 從事幾何的運算—量、 值的
求取工具。
2
∗
現行教本因為教程長遠, 對於這方面
的述說似有疲於奔命之苦, 不能加重
細說, 僅展示功能而已。
(2) 測量氣球高度
說例
: 兩人相距500公尺, 同視一氣球, 一
人在氣球的 45
◦
西測得仰角是 60
◦
, 另
一在氣球的正面測得仰角 45
◦
, 則氣球高
。
... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . .
C
B
A
500
公尺
45
◦60
◦ ...45
...◦...解:(略)。 答: 50
q
120 + 30
√
6
1
∗
生活上的實例, 促成人們運用習得的
三角能力, 應用於日常生活中。
2
∗
早期高中生不修立體幾何, 在
S.M.S.G 時期引進“空間幾何”, 建
立空間圖形的幾何教學, 實驗本時期
則非常強調以三角、 向量、 坐標幾何
將傳統的歐氏幾何化解, 改變了三角、
代數、 幾何的生態, 現行教本亦在此
基
線上發揮!
(3) 求交角—二直線, 向量的交角, 光學
原理。
1
∗
自從實驗本以三角、 向量為工具聯合
破解“歐氏幾何”, 促使雄霸教壇數十
年的三角學這獨門學科轉化成一種演
算工具, 從此簡化教材, 這種理念改
變了國內數學教材編寫的生態 ! 現行
教本就是循此理念更進一步以功能原
則, 堅守實用, 狹窄的經濟航道, 解說
了有關交角的基礎數學, 簡述如次:
1
∗∗
由餘弦律推導: 當
⇀
a
=(x
1
, x
2
),
⇀
b
= (y
1
, y
2
) 則
⇀
a
·
⇀
b
= x
1
x
2
+ y
1
y
2
.
∗∗二向量交角由定義:
⇀
a
·
⇀
b
= |
⇀
a
||
⇀
b
| cos θ 求取。
2
∗∗
二直線
∠
1 : a
1
x
+ b
1
y
= c
1
∠
2 : a
2
x
+ b
2
y
= c
2
之交角:cos θ =
±(a
1a
2+b
1b
2)
√
a
2 1+b
2 1√
a
2 2+b
2 2。
3
∗∗
空間二直線:
L
1
:
x
− a
1
l
2
=
y
−b
1
m
1
=
3−c
n
1
,
L
2
:
x
−a
2
l
2
=
y
−b
2
m
2
=
z
−c
2
n
2
之交角:
cos θ =
q
±(l
1
l
2
+ m
1
m
2
+ n
1
n
2
)
l
2
1
m
2
1
+n
2
1
q
l
2
2
+m
2
2
+n
2
2
4
∗∗
空間二平面之交角。(略)
5
∗∗
維線之光學性學性質。
在橢圓:
x
2a
2+
y
2b
2= 1 上之一點
P
(x
0
, y
0
) 過點 P 之切線:L :
b
2
x
0
x
+ a
2
y
0
y
= a
2
b
2
。 其
法向量:
N
⇀
= (b
2
x
0
, a
2
y
0
),
取 F
1
(c, 0), F
2
(−c, 0) 如右圖:
cos θ
1
=
⇀N
·
−→
P F
1|
⇀N
||
−→
P F
1|
,
0 < θ
1
, θ
2
< π
⇒ θ
1
= θ
2
, 即入射角
=反射角。
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .F
1F
2 ⇀N
P (x
0, y
0)
θ
1θ
22
∗
在這一系列的緊密教程, 可以感受主
體教材挺進的航道, 三角是如何扮演
這項述說的角色, 從此辨別前後期三
角“韻味”的不同, 所謂“簡化教材”的
意義已可體會—三角是講“功用”的。
**註: 歐氏幾何至今已被簡化成普通
常識或由座標幾何、 三角、 向量求解,
教材份量減輕。
4
◦
解釋分量: 力量
“三角、 向量間之互述”被引入進高
中教材是 S.M.S.G 時期開始, 三角的實
用化已然成為教本編寫的體材, 數理本是
一家, 即藉由力學的向量表示、 三角演算,
充分顯現 ! 實驗本如此, 現行教本更見發
揮。
說例
: 如右圖, 一物重 20kg, 用繩子懸掛
之, 則: 繩子 P A, P B, P C作用於 P 之
力量多力?
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...A
B
C
P
20Kg
60
◦45
◦75
◦135
◦解
: 正弦律之引用
|
−→
P C
|
sin 105
◦
=
|
−−→
P B
|
sin 30
◦
=
|
−→
P A
|
sin 45
◦
可求解 P A, P B, P C 之力量!
5
◦
扮演參數, 尋求極值
1
∗
三角的功用在於它的幾何背景以及數
值
運算的威力, 能將一般代數式透過
三角媒體, 處理幾何問題, 這樣的處
置乃是實驗本之強力“訴求”, 成為後
日教學的熱門體材!
說例
: 橢圓:
x
22
2+
y
21
2= 1 上之一點 P
至直線, 3x + 4y = 12 之最短距離
。
解
: 取橢圓上之點
P
(x, y) = (2 cos θ, sin θ)
代入3x + 4y = 12 中求解。
2
∗
轉化雙變數為單變數的計算, 三角函
數功能最為神勇!
說例
: 設 x, y ∈
R
, x
2
+ 6xy +
10y
2
= 4, 求 3x
2
+ 2xy + y
2
的
最大值, 最小值。
解: 可化解成 (x + 3y)
2
+ y
2
= 4 在
三角恆等式 sin
2
θ
+ cos
2
θ
= 1 的
特殊功能裏; 取:
x
+ 3xy = 2 cos θ,
y
= 2 sin θ
化:
3x
2
+ 2xy + y
2
= · · ·=10−6 cos 2θ−2sin2θ
≤ 10 + 2
√
10
可取得: 最大值: 10 + 2
√
10, 最小
值: −(10 + 2
√
10)。
3
∗
高中三角在教材不斷的變革中, 觀念
上已經把“幾何”“數值”濃烈的韻味
溶入成為代數演算的工具, 這是本國
教材編寫芬芳的成果, 足可公諸於世。
6
◦
以複數之極式解複數a+bi的n次方根
1
∗
將複數 a + bi 表為極式:
√
a
2
+ b
2
(cos θ + i sin θ)
透過笛莫夫定理:
[r(cos θ + sin θ)]
n
= r
n
(cos nθ + i sin nθ), n ∈
Z
而可將複數 x + yi 的 n 次方根求得:
z
= x + yi
=
q
x
2
+ y
2
(cos θ + i sin θ)
z
k
=
2nq
x
2
+ y
2
(cos
2kπ + θ
n
+i sin
2kπ + θ
n
)
k
= 0, 1, 2, . . . , n − 1
為所求 n 個 n 次方根。
1
∗∗
這道明: 複數的 n 次方根仍為複
數。
2
∗∗
複係數 n 次方程式兩根仍為複
數。[代數基本定理], 我們不再擔
心是否有超過複數的數是 n 次方
程式的根。
2
∗
複數的加法在數平面的意義是與向量
加法同構, 複數的乘法在複平面意義
是點的旋轉、 伸張。
如:
... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . ... ... . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . ...z
= a + bi
zw
φ
θ
z
= a + bi
= r(cos φ + i sin φ)
w
= cos θ + i sin θ
zw
= r(cos(θ + φ) + i sin(θ + φ))
(將點 z 以原點為心逆轉 θ 而得)
遠在五十四年代的 S.M.S.G 教材已
經對此有詳細的說明, 幾乎是複變函
數。
w
= az + b → a, b 為複常
數, w, z 複變量
的前奏, 當時的讀者已是現今的老師
皆已知悉這個函數相當於對一個圖形
施行旋轉、 伸張、 平移三種變換。
實驗教本以黎曼球面—球面映射述
說。
1
∗∗
黎曼球
面: x
2
+ y
2
− z
2
− z = 0
2
∗∗
複平面: x, y 平面。
3
∗∗
複數 P (x + yi) 繞原點 O(S) 轉
動 θ 角之映射:
... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . ... . ... . . . ... . . . ... . . . . . . . . . . . . . . .z
y
x
P
Q
P
∗Q
∗S
θ
N (0, 0, 1)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... .... . ...z
= x + yi → e
iθ
z
即(x, y) → (x cos θ − y sin θ, x sin θ
+y cos θ) · · · 三角之功用。
點P
→
點P
∗
↓
(X, Y, Z) → (Z cos θ − Y sin θ
, X
sin θ + Y sin, Z)
Q
Q
∗
黎曼球
面Q點旋轉至Q
∗
以SN為軸。 其中 N−
Q
−P 共線, N−Q
∗
−P
∗
共線, 而 (X, Y, Z) =
(
x
1+x
2+y
2,
z
1+x
2+y
2,
x
2+y
21+x
2+y
2). . . 球面映射。
(x, y) = (
X
1 − z
,
Y
1 − z
)
三角函數表達複變函數:w=e
iθ
z 之旋轉
意義。
7
◦
於積分之用途:
1
∗
恆
等式之應用: 如
Z
dx
√
x
2
− 4
=
Z
2 sec θ tan θdθ
√
4 sec
2
θ
− 4
=
Z
2 sec θ tan θ
2 tan θ
dθ
=
Z
sec θdθ
= ln | sec θ + tan θ| + C
= ln |x +
√
x
2
− 4| + C
這是令 x = 2 sec θ, dx = 2 sec θ
· tan θdθ
將代數式化做三角等式演算, 可知三
角函數真的是代數式演算的一記號,
媒體。
2
∗
積化和差公式在此亦宣示用途:
Z
2 cos x cos 2xdx
=
Z
(cos 3x + cos x)dx
=
1
3
sin x + sin x + C。
8
◦
反三角函數在微積分的貢獻。
1
∗
反函數之規定, 使微分、 導數更為簡
捷。
如: 若y = sin
−1
x
(定義: sin y=x,
但 −
π
2
≤ y ≤
π
2
), 則
d
dx
y
=
d
dx
sin
−1
x
=
1
√
1−x
2。
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . .1
x
y
√
1 − x
2說明
:
sin y = x
d
dx
sin y =
dx
dx
= 1
∵
cos y ·
dy
dx
= 1
∴
dy
dx
=
1
cos y
=
1
√
1 − x
2
。
2
∗
反函數之積分表示:
d
dx
(sin
−1
u
a
)
=
q
1
1−(
u
a
)
2
·
1
a
·
du
dx
∴
Z
1
√
a
2
−u
2
du
= sin
−1
u
a
+C
如:
R
dx
√
2x−x
2=
R
√
dx
1−(x−1)
2=
sin
−1
(x − 1) + C。
反三角函數非本期教本題材, 不
過只要對反三角函數定義下達, 本期
教本學生亦能順勢推理得知, 三角函
數、 反三角函數的介入, 使積分更形
方便!
9
◦
極坐標平面展式曲線方程式之圖形, 它的
作用在於積分使面積更易求得。
1
∗
極坐標表示:
點 P 之極坐標 (r, θ) → P 之直坐
標 (x, y) 關係式:
x
= r cos θ, y = r sin θ,
r
=
q
x
2
+ y
2
(r > 0)
... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . ...P (r, θ) ∼ (x, y)
x
y
θ
r
. . . . . . . . .2
∗
r
= f (θ) 於 θ = α, θ = β
所圍區域面積: A =
R
β
α
1
2
r
2
dθ
3
∗
求心臟線 r = 1 + sinθ 之外部與圓
r
= 3sinθ 內部之面積。
解
:
r
= 1+sin θ
r
= 3 sin θ
之交點(
3
2
,
π
6
)(
3
2
,
5π
6
)
A
=
1
2
Z
5x6 x 6[(3 sin θ)
2
−(1+sin θ)
2
]dθ
=
1
2
Z
5x6 x 6(4−4 cos 2θ−2 sin θ−1)dθ
∴
A
=
1
2
(3θ−2 sin 2θ+2 cos θ)|
5x 6 x 6= π
以本期教本之學生而言, 理解此段敘述並
不困難, 許是因為教學時數的限制, 極坐
標、 柱面坐標並未列入本期教材範圍, 本
文提出此段敘述僅在加強“三角函數”之
功能之報導– 對積分之重要性, 促使我們
對三角函數的學習掌握主旨, 不要偏離航
道做無效的演算。
10
◦
托勒密三角函數值表建立的方法:
1
∗
托勒密 (C. Ptolemy 西元二世紀)
不用微積分製成間隔 30
′
的正弦函數
值表, 其過程如下:
1
∗∗
由平面幾何, 求得 sin 60
◦
,
sin 72
◦
的近似值 (如下述說例)
2
∗∗
使用差角公式求 sin 12
◦
。
即 sin 12
◦
= sin(72
◦
− 60
◦
) =
sin 72
◦
cos 60
◦
−sin 60
◦
cos 72
◦
3
∗∗
從半角公式推得 sin 6
◦
, sin 3
◦
,
sin 1
◦
30
′
, sin 45
′
,
即 sin 6
◦
=
q
1−cos 12
◦2
(cos 12
◦
由 sin 12
◦
開方求得)
4
∗∗
內插計算 sin 1
◦
先知: sin 1
◦
30
′
+
0.02618
sin 45
′
+
0.01309。
由 1
◦
30
′
−1
◦
=
2
3
(1
◦
30
′
−4.5
′
)
sin 1
◦
+
sin 1
◦
30
′
−
2
3
(sin 1
◦
30
′
−
sin 45
′
)
+
0.01745。
5
∗∗
半角公式求 sin 30
′
sin 30
′
=
s
1 − cos 1
◦
2
+
0.00873
6
∗∗
其他角之正弦函數值如:
sin 2
◦
= sin(1
◦
+ 1
◦
)
= sin 1
◦
cos 1
◦
+sin 1
◦
cos 1
◦
= 2 cos 1
◦
sin 1
◦
7
∗∗
間隔 30
′
之正弦函數值表— 靠
和差角, 倍角公式計算求得。
註
∗∗∗
sin 72
◦
之幾何求法:
(i) 如下圖建立 △ABC,
△ABC ∼ △CBD
... . ...A
B
C
D
72
◦72
◦36
◦36
◦36
◦(ii)
BC
AB
=
BD
BC
=
AB
−BC
BC
=
1
BC AB− 1
(iii) 化簡:
BC
2AB
2+
BC
AB
− 1 = 0
(iv)
BC
AB
=
−1+
√
5
2
⇒ cos 72
◦
=
cos B =
1
2
BC
AB
=
−1+
4
√
5
(V) sin 72
◦
=
√
1 − cos 72
◦
2
∗
至此理解三角函數公式群中倍角、 半
角、 和差角、 和差化積的學習動機, 原
來托勒密是靠這樣的機智, 運用公式
耐心的建立三角函數正弦值表, 古人
的求值方法真是令人欽佩!
11
◦
泰勒展開式求函數值的近以值
1
∗
原理: 先尋求 f (x) = sin x 正弦函
數的展勒展開式
f
(x) =x−
x
3
3!
+
x
5
5!
−
x
7
7!
+· · ·
+(−1)
k
−1
·
x
2k−1
(2k − 1)!
+(−1)
k
·
x
2k+1
(2k + 1)!
+ · · ·
2
∗
其 n 次近似:
p
n
(x)=x−
x
3
3!
+
x
5
5!
−
x
7
7!
+· · ·
+(−1)
k
−1
·
x
2k−1
(2k − 1)!
,
取 n = 2k or 2k − 1
3
∗
誤差估計:
| sin x−p
n
(x)|=|f(x)−p
n
(x)|
<
1
(2k + 1)!
· |x|
2k+1
, 取n
= 2k。
4
∗
說例
: 試由 p
1
(x) 求 sin 1
◦
的近似
值, 並估計誤差。
1
∗∗
1
◦
=
π
180
弧
度, p
1
(x) = x ⇒
p
1
(
π
180
) =
π
180
= 0.017452 · · ·
2
∗∗
誤差: | sin 1
◦
− P
1
(
180
π
)| <
1
3!
(
π
180
)
2
= 0.000000886 · · ·
3
∗∗
P
(
π
180
) − 誤差 < sin 1
◦
<
P
1
(
180
π
)。
即 0.017452 · · · − 0.000000886
· · · < sin 1
◦
<
0.017452 · · ·。
0.017451 · · · < sin 1
◦
<
0.017452 · · ·。
4
∗∗
取 sin 1
◦
+
0.01745 (足可證
明這近似值的小數點後有五位正
確)
∗∗∗
(托勒密古典求法亦求得 0.01745 的
近似值)
計算函數值本非易事, 以近似值取
代真確值, 讓後續的演算更加精密, 是函
數求值研究的主因。 教本將可微函數化做
多項函數的 n 次近似, 藉由誤差的挾擠,
肯定近似值小數點後的正確位數, 表達數
值
處理方式, 這樣的耐心, 智慧顯示數
學嚴肅的修養, 讓我們看到了“數學的方
法”領悟了為何而學, 學而何用的道理。
肆、
結語
於固有“解題教學”的基礎上, 仔細體會
三角函數的實質功能, 後此領悟研習數學的
動機與目的, 儲存了熱切的研究能力, 今後順
從教本的航道, 拓展更高層次的數學領域, 尤
其注重欣賞數學記述的技巧, 證實現象的威
力, 並以落實“工具”用途為使命, 這有效的學
習是對生命的尊重, 人生的珍惜!
伍、
展望
我們的課程編寫:
從三角形解法、 簡
易測量、 幾何求解、 三角方程式 · · · , 拓展
成三角函數—週期函數, 圖形描繪至圖形的
轉化—物理波動, 到擴充為可微函數的分析,
數值處理, 這是一段長程之“數學方法”之記
述, 猶如修出了一條標準的跑道, 足供巨型飛
機安全起降。 我們的學生順著教材航道起航,
運用習得的“數學方法”必可航向自我的航天,
如何學習, 如何運用非常的清楚, 對未來科技
發展、 貢獻已可期待 ! 新課程標準即將訂
定, 我們亦知道三角應如何學習, 如何使用新
的跑道, 今後不再迷失, 新教材會是更有效的
新境界、 新航天, 熱烈歡迎新時代的來臨。
附表
:
三角函數教材編寫演進圖
...
