淺述高中三角之功用與教材之變革

全文

(1)

淺述高中三角之功用與教材之變革

賴敦

壹、 前言

高中三角教材經歷多次修改,

內容、

領域、 方法已有顯著的差異, 本文僅將近

數十年來的變化分四階段 (范氏大代數時

期、S.M.S.G 時期、 實驗教本時期及現行教

本期間) 述說, 由各階段所強調的理念回顧

教材編寫的特徵, 驅動方式, 領域之拓展與刪

減是本文淺述的架構, 藉以探討教學原理, 體

會“為何而學, 學而何用”是最終的祈求。

本文淺述高中三角的功用, 在教本之訴

求, 習題之引領下, 從邊角關係、 餘弦律、. . . 、

積分工具到數值方法舉例說明三角學在教材

變革中所扮演之角色遷移, 在突顯功能價值

的潮流中, 依循教本旨意教學、 研習, 可拋棄

無效的解題, 減輕課業負擔, 尊重生命, 珍惜

人生!

教材演變中, 三角學領域業已拓展, 功力

更為強勁、 鮮明。 筆者大膽記述了這豐厚的成

果, 在新課程標準下編定的新教材裹, 相信就

在這雄厚的基礎上更進一步的發揚光大, 三

角學教學更形有趣, 熱烈歡迎這項新教材之

變革。

貳、 教材之變革

I、 簡述三角學的源起:

1

三角學創始於西元約 150年, 為當時天文

學家希伯諸斯 (Hipparchus of Nicaea)

用以作為研究天文的工具。 至十五世紀中

葉, 三角學突飛猛進, 有關平面三角及球

面三角之解法均曾詳細論及, 故三角學從

開始長足的進展至目前的規模, 不過四百

餘年而己。

2

三角學之英文名稱 trigonometry, 約

定名於西元 1600 年, 實際導源於希臘文

trigono (三角) 和“metrein”(測量), 其

原義為三角形測量 (解法)。

3

希臘 Hipparchus (180∼ 125 B.C.) 製

作“弦表”, 埃及 ptolemy (85∼ 165) 製

作三角函數表, 歐拉著作: “無窮小分析引

論”將討論三角形的三角學進一步演變成

研究三角函數的工具, 並以分析之姿態述

說三角, 形成分析學的一支。

4

明崇貞四年

(1631 年) 徐光啟編“大

測”是三角學輸入我國的開始。 (引自: 谷

豪著 「數學辭典」(以上述說對下段之說

明有所助益)

II、 高中三角教材之變革:

72

(2)

1

民國 54 年以前的高中三角–簡記為范氏

大代數時期, 國內三角教學是以直角形內

任意兩邊之比, 是一銳角的函數起始述

說。 講授內容以恆等運算, 擴充為廣義三

角函數, 認真的解一三角形的邊或角的求

法, 還引入對數函數表, 強化三角測量的

教學, 同時反三角函數、 三角方程式等等

皆有相當豐富的解題訓練。 此時是高中一

年級學生每週三小時, 期限長達一年的必

修課程。

2

民國 55年至民國61年的 S.M.S.G 時期,

以函數觀點描述三角學, 重要的是標示三

角函數是週期函數圖形的描繪, 在定義

、 值域的層層限制下, 透過 1 對 1 且映

成的函數特徵寫出了反三角函數的定義、

圖形、 演算, 相當細緻, 加重和差化積、 三

角級數, 三角方程式解集合的求解演練,

比之前期教材, 規則, 限制超多, 師生負

擔沉重 ! 此時授課年級為高一第二學期,

每週五小時。(約十八週)

3

實驗教本時期 (民國 61年至民國 73年)

1

認定三角函數乃是數學, 甚至是代數

演算之一記號。 將細緻的 S.M.S.G

教材精簡, 使雄霸教壇數十年的三角

學蛻變成為代數演算的“工具”。

2

懷著邊角的關係去解釋實體世界之測

量問題, 處理簡易幾何 (平面幾何) 的

證明題、 計算題。

3

藉由轉化的題材, 將變數變量轉化成

(函數) 圖形與簡諧運動–彈簧振動–

圓週運動交錯描述, 顯示: 三角函數

事實的實體世界。

4

教授年級: 高二自然組, 第一學期每

週 6 小時共四週。

4 現行教本編輯概況

1

從直角三角形定義三角函數起步, 再

由廣義角與座標幾何結合探討三角形

解法, 幾何圖形與測量問題交錯描述,

體會“三角運算”是求解的工具。

2

函數圖形描繪側重連續函數、 分析函

數之演算意味, 為後續微積分教學、

數值處理埋伏佈局。

3

除了加強實驗教本代數函數教學外,

強烈的表明三角函數應納入可微函數

分析, 強化讀者的數值處理能力, 步

如下:

1

∗∗

內插法 —比例增值求函數值—

高一下教學。

2

∗∗

托勒密函數值表的建立過程(幾

何比值, 三角公式演算)。

3

∗∗

泰勒展

開式—n 次近似求三角函

數值的近似值。 (三角函數的微分

法)

4

使用導函數、 遞增函數證明不等關係

是本期教材的特色, 如下例: 多項函

數與三角函數的不等關係證明: 設

x >

0, 求證 cos x + sin x > 1 +

x

− x

2

成立。

早 期 學 生 所 慣 用 的“加 法

律”、“平均數”. . . 等等老代數的證明

方法是艱困的, 今日的高三理科生已

可使用遞增函數的特質證明這不等式

是成立的, 這是三角函數邁入分析函

數教學的成果, 拓展“解題”之領域、

能, 學生的幸福, 我們引以為傲!

(3)

5

本期教本對公式、 定理的處理方式:

1

∗∗

於說明的必要, 當然是建立名

詞、 定義來溝通, 為欲演算的便捷

形成定理是自然的趨勢, 經常講

求功用的教程, 促請讀者檢視全

程教義, 終於感受餘弦律是三角

函數的明星

定理, 為後續學程—

向量解析、 座標幾何—鋪出一條

高經濟價值的航道, 以此檢測, 終

讓讀者辨別老三角習題何者值得

學習, 何者不值得推演, 課業負擔

終於減輕, 教學之幸!

2

∗∗

公式教學之驅動程式是功用為主

體的描述, 公式組群之記憶法則

不若往昔的誇張, 往往是為著克

服演算上的障礙, 很自然的推出

公式讓讀者珍惜, 緊接著促成讀

者進一步推演公式去處理新的演

算困頓, 享受新工具, 高效率的喜

悅和幸福 ! 讀者若能順勢推理,

明白動機與目標, 不必強記整批

公式群組即可快樂, 甜蜜的學好

三角函數。

參、

三角函數的功用

從教本的訴求, 練習題的焦點, 歸納出三

角函數的功用, 我們研習動機仍然是體會數

學的方法, 檢測三角函數究竟扮演何種角色,

課程已經拓寬, 路程拉長, 從基礎的學習起動,

路要怎麼走, 學習如何開展方能不浪費心智,

有效的達到目標, 下述是以功能為主體, 扼要

說明並反映高中三角基礎教育所能牽涉的功

能表達出來, 分述如下:

1

計算兩星球間之距離

說例

: 於下圖中, 一觀察者在 D 點看見

月亮正好在頭頂上, 同時另一觀察者在 C

點看見月亮落在地平線上, 因在地表 C

點和 D 點的距離可以知道, 今已知求得

A

= 89

3

=

4000

AB

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...

A

C

4000

89

3

D

地球

. . ... . ... . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

B

E

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

月球

...

(1)

兩星球間之距離:

AB

=

4000

cos 89

3

+

4000

0.0166

+

241000哩

(2)

後一天文學家用一精確的裝置測出月

球中心和月球邊緣所構成的角為 15

,

則月球半徑:

BE=BD sin 15

=(241000−4000)×0.0044

+

10.43(哩)

1

本例說明在直角三角形內邊角關係比

取得兩星球間的距離, 月球的半徑,

其中邊指邊長, 角指三角函數值。

2

早期的教材, 甚至今日教本的基礎數

學對三角函數值的使用, 非常當然的

藉由“三角函數值表” 查出的近似值

一筆帶過, 沒有思量這誤差如何控制。

(4)

今日的高三理科生就有能力理解, 注

意: cos 89

3

, sin 15

的函數值求法

原理, 誤差控制, 精確度的引用 ! 這

是教材的變革, 更進一步的說明在本

文的第10

,

11

述說。

2 測量山高:

說例

: 某人測得一山峰之仰角為 30

後,

他向山前進 200公尺, 再測得山峰之仰角

為 45

, 可依直角三角形邊角關係求得山

高為 100(

3 + 1)公尺。

1

本例由練習題中取得, 旨在理解“淺

淺的

三角函數即有莫大的功力, 推測

人力所不能丈量的大自然!

2

這是傳統的教材, 經歷數十年而不衰

的例題, 至今仍為基礎數學的熱門教

材。

3 餘弦律的功用:

(1) 解三角形: 求頂角、 邊長、 中線長、 投

影律。 從測量知: 已知二邊與夾角, 第三

邊長可由餘弦律求取。

如: 已知 △ABC 中,a =

2 , b =

1 +

3,

c

= 45

, 則第三邊c可由餘

律求得 c = 2。

過餘弦律亦可求得一△ 的中線

長。

如下圖△ABC 之中線AD = m

a

. . . . . . . . . . . . ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...

A

B

D

C

E

a/2

b

b

c

c

m

a

φ

θ

依圖形所設, 由餘弦律:

cos θ = cos(π − φ) = − cos φ

(

a

2

)

2

+m

2

a

−c

2

2 ·

a

2

· m

a

=−

(

a

2

)

2

+m

2

a

−b

2

2 ·

a

2

· m

a

m

a

=

1

2

2b

2

+ 2c

2

− a

2

· · · 求得中線長。

1

三角幾何間的互述在實驗本特為加

強, 當時的觀點為將三角視為一演算

的符號, 從事幾何的運算—量、 值的

求取工具。

2

現行教本因為教程長遠, 對於這方面

的述說似有疲於奔命之苦, 不能加重

細說, 僅展示功能而已。

(2) 測量氣球高度

說例

: 兩人相距500公尺, 同視一氣球, 一

人在氣球的 45

西測得仰角是 60

, 另

一在氣球的正面測得仰角 45

, 則氣球高

(5)

... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . .

C

B

A

500

公尺

45

60

◦ ...

45

...◦...

解:(略)。 答: 50

q

120 + 30

6

1

生活上的實例, 促成人們運用習得的

三角能力, 應用於日常生活中。

2

早期高中生不修立體幾何, 在

S.M.S.G 時期引進“空間幾何”, 建

立空間圖形的幾何教學, 實驗本時期

則非常強調以三角、 向量、 坐標幾何

將傳統的歐氏幾何化解, 改變了三角、

代數、 幾何的生態, 現行教本亦在此

線上發揮!

(3) 求交角—二直線, 向量的交角, 光學

原理。

1

自從實驗本以三角、 向量為工具聯合

破解“歐氏幾何”, 促使雄霸教壇數十

年的三角學這獨門學科轉化成一種演

算工具, 從此簡化教材, 這種理念改

變了國內數學教材編寫的生態 ! 現行

教本就是循此理念更進一步以功能原

則, 堅守實用, 狹窄的經濟航道, 解說

了有關交角的基礎數學, 簡述如次:

1

∗∗

由餘弦律推導: 當

a

=(x

1

, x

2

),

b

= (y

1

, y

2

) 則

a

·

b

= x

1

x

2

+ y

1

y

2

.

∗∗二向量交角由定義:

a

·

b

= |

a

||

b

| cos θ 求取。

2

∗∗

二直線

1 : a

1

x

+ b

1

y

= c

1

2 : a

2

x

+ b

2

y

= c

2

之交角:cos θ =

±(a

1

a

2

+b

1

b

2

)

a

2 1

+b

2 1

a

2 2

+b

2 2

3

∗∗

空間二直線:

L

1

:

x

− a

1

l

2

=

y

−b

1

m

1

=

3−c

n

1

,

L

2

:

x

−a

2

l

2

=

y

−b

2

m

2

=

z

−c

2

n

2

之交角:

cos θ =

q

±(l

1

l

2

+ m

1

m

2

+ n

1

n

2

)

l

2

1

m

2

1

+n

2

1

q

l

2

2

+m

2

2

+n

2

2

4

∗∗

空間二平面之交角。(略)

5

∗∗

維線之光學性學性質。

在橢圓:

x

2

a

2

+

y

2

b

2

= 1 上之一點

P

(x

0

, y

0

) 過點 P 之切線:L :

b

2

x

0

x

+ a

2

y

0

y

= a

2

b

2

。 其

法向量:

N

= (b

2

x

0

, a

2

y

0

),

取 F

1

(c, 0), F

2

(−c, 0) 如右圖:

cos θ

1

=

N

·

−→

P F

1

|

N

||

−→

P F

1

|

,

0 < θ

1

, θ

2

< π

⇒ θ

1

= θ

2

, 即入射角

=反射角。

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

F

1

F

2 ⇀

N

P (x

0

, y

0

)

θ

1

θ

2

(6)

2

在這一系列的緊密教程, 可以感受主

體教材挺進的航道, 三角是如何扮演

這項述說的角色, 從此辨別前後期三

角“韻味”的不同, 所謂“簡化教材”的

意義已可體會—三角是講“功用”的。

**註: 歐氏幾何至今已被簡化成普通

常識或由座標幾何、 三角、 向量求解,

教材份量減輕。

4

解釋分量: 力量

“三角、 向量間之互述”被引入進高

中教材是 S.M.S.G 時期開始, 三角的實

用化已然成為教本編寫的體材, 數理本是

一家, 即藉由力學的向量表示、 三角演算,

充分顯現 ! 實驗本如此, 現行教本更見發

揮。

說例

: 如右圖, 一物重 20kg, 用繩子懸掛

之, 則: 繩子 P A, P B, P C作用於 P 之

力量多力?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...

A

B

C

P

20Kg

60

45

75

135

: 正弦律之引用

|

−→

P C

|

sin 105

=

|

−−→

P B

|

sin 30

=

|

−→

P A

|

sin 45

可求解 P A, P B, P C 之力量!

5

扮演參數, 尋求極值

1

三角的功用在於它的幾何背景以及數

運算的威力, 能將一般代數式透過

三角媒體, 處理幾何問題, 這樣的處

置乃是實驗本之強力“訴求”, 成為後

日教學的熱門體材!

說例

: 橢圓:

x

2

2

2

+

y

2

1

2

= 1 上之一點 P

至直線, 3x + 4y = 12 之最短距離

: 取橢圓上之點

P

(x, y) = (2 cos θ, sin θ)

代入3x + 4y = 12 中求解。

2

轉化雙變數為單變數的計算, 三角函

數功能最為神勇!

說例

: 設 x, y ∈

R

, x

2

+ 6xy +

10y

2

= 4, 求 3x

2

+ 2xy + y

2

最大值, 最小值。

解: 可化解成 (x + 3y)

2

+ y

2

= 4 在

三角恆等式 sin

2

θ

+ cos

2

θ

= 1 的

特殊功能裏; 取:

x

+ 3xy = 2 cos θ,

y

= 2 sin θ

化:

3x

2

+ 2xy + y

2

= · · ·=10−6 cos 2θ−2sin2θ

≤ 10 + 2

10

可取得: 最大值: 10 + 2

10, 最小

值: −(10 + 2

10)。

3

高中三角在教材不斷的變革中, 觀念

上已經把“幾何”“數值”濃烈的韻味

溶入成為代數演算的工具, 這是本國

教材編寫芬芳的成果, 足可公諸於世。

6

以複數之極式解複數a+bi的n次方根

(7)

1

將複數 a + bi 表為極式:

a

2

+ b

2

(cos θ + i sin θ)

透過笛莫夫定理:

[r(cos θ + sin θ)]

n

= r

n

(cos nθ + i sin nθ), n ∈

Z

而可將複數 x + yi 的 n 次方根求得:

z

= x + yi

=

q

x

2

+ y

2

(cos θ + i sin θ)

z

k

=

2n

q

x

2

+ y

2

(cos

2kπ + θ

n

+i sin

2kπ + θ

n

)

k

= 0, 1, 2, . . . , n − 1

為所求 n 個 n 次方根。

1

∗∗

這道明: 複數的 n 次方根仍為複

數。

2

∗∗

複係數 n 次方程式兩根仍為複

數。[代數基本定理], 我們不再擔

心是否有超過複數的數是 n 次方

程式的根。

2

複數的加法在數平面的意義是與向量

加法同構, 複數的乘法在複平面意義

是點的旋轉、 伸張。

如:

... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . ... ... . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . ...

z

= a + bi

zw

φ

θ

z

= a + bi

= r(cos φ + i sin φ)

w

= cos θ + i sin θ

zw

= r(cos(θ + φ) + i sin(θ + φ))

(將點 z 以原點為心逆轉 θ 而得)

遠在五十四年代的 S.M.S.G 教材已

經對此有詳細的說明, 幾乎是複變函

數。

w

= az + b → a, b 為複常

數, w, z 複變量

的前奏, 當時的讀者已是現今的老師

皆已知悉這個函數相當於對一個圖形

施行旋轉、 伸張、 平移三種變換。

實驗教本以黎曼球面—球面映射述

說。

1

∗∗

黎曼球

面: x

2

+ y

2

− z

2

− z = 0

2

∗∗

複平面: x, y 平面。

3

∗∗

複數 P (x + yi) 繞原點 O(S) 轉

動 θ 角之映射:

... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . ... . ... . . . ... . . . ... . . . . . . . . . . . . . . .

z

y

x

P

Q

P

Q

S

θ

N (0, 0, 1)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... .... . ...

z

= x + yi → e

z

(8)

即(x, y) → (x cos θ − y sin θ, x sin θ

+y cos θ) · · · 三角之功用。

點P

點P

(X, Y, Z) → (Z cos θ − Y sin θ

, X

sin θ + Y sin, Z)

Q

Q

黎曼球

面Q點旋轉至Q

以SN為軸。 其中 N−

Q

−P 共線, N−Q

−P

共線, 而 (X, Y, Z) =

(

x

1+x

2

+y

2

,

z

1+x

2

+y

2

,

x

2

+y

2

1+x

2

+y

2

). . . 球面映射。

(x, y) = (

X

1 − z

,

Y

1 − z

)

三角函數表達複變函數:w=e

z 之旋轉

意義。

7

於積分之用途:

1

等式之應用: 如

Z

dx

x

2

− 4

=

Z

2 sec θ tan θdθ

4 sec

2

θ

− 4

=

Z

2 sec θ tan θ

2 tan θ

=

Z

sec θdθ

= ln | sec θ + tan θ| + C

= ln |x +

x

2

− 4| + C

這是令 x = 2 sec θ, dx = 2 sec θ

· tan θdθ

將代數式化做三角等式演算, 可知三

角函數真的是代數式演算的一記號,

媒體。

2

積化和差公式在此亦宣示用途:

Z

2 cos x cos 2xdx

=

Z

(cos 3x + cos x)dx

=

1

3

sin x + sin x + C。

8

反三角函數在微積分的貢獻。

1

反函數之規定, 使微分、 導數更為簡

捷。

如: 若y = sin

−1

x

(定義: sin y=x,

但 −

π

2

≤ y ≤

π

2

), 則

d

dx

y

=

d

dx

sin

−1

x

=

1

1−x

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

x

y

1 − x

2

說明

:

sin y = x

d

dx

sin y =

dx

dx

= 1

cos y ·

dy

dx

= 1

dy

dx

=

1

cos y

=

1

1 − x

2

2

反函數之積分表示:

d

dx

(sin

−1

u

a

)

=

q

1

1−(

u

a

)

2

·

1

a

·

du

dx

Z

1

a

2

−u

2

du

= sin

−1

u

a

+C

(9)

如:

R

dx

2x−x

2

=

R

dx

1−(x−1)

2

=

sin

−1

(x − 1) + C。

反三角函數非本期教本題材, 不

過只要對反三角函數定義下達, 本期

教本學生亦能順勢推理得知, 三角函

數、 反三角函數的介入, 使積分更形

方便!

9

極坐標平面展式曲線方程式之圖形, 它的

作用在於積分使面積更易求得。

1

極坐標表示:

點 P 之極坐標 (r, θ) → P 之直坐

標 (x, y) 關係式:

x

= r cos θ, y = r sin θ,

r

=

q

x

2

+ y

2

(r > 0)

... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . . . . ...

P (r, θ) ∼ (x, y)

x

y

θ

r

. . . . . . . . .

2

r

= f (θ) 於 θ = α, θ = β

所圍區域面積: A =

R

β

α

1

2

r

2

3

求心臟線 r = 1 + sinθ 之外部與圓

r

= 3sinθ 內部之面積。

:

r

= 1+sin θ

r

= 3 sin θ

之交點(

3

2

,

π

6

)(

3

2

,

6

)

A

=

1

2

Z

5x6 x 6

[(3 sin θ)

2

−(1+sin θ)

2

]dθ

=

1

2

Z

5x6 x 6

(4−4 cos 2θ−2 sin θ−1)dθ

A

=

1

2

(3θ−2 sin 2θ+2 cos θ)|

5x 6 x 6

= π

以本期教本之學生而言, 理解此段敘述並

不困難, 許是因為教學時數的限制, 極坐

標、 柱面坐標並未列入本期教材範圍, 本

文提出此段敘述僅在加強“三角函數”之

功能之報導– 對積分之重要性, 促使我們

對三角函數的學習掌握主旨, 不要偏離航

道做無效的演算。

10

托勒密三角函數值表建立的方法:

1

托勒密 (C. Ptolemy 西元二世紀)

不用微積分製成間隔 30

的正弦函數

值表, 其過程如下:

1

∗∗

由平面幾何, 求得 sin 60

,

sin 72

的近似值 (如下述說例)

2

∗∗

使用差角公式求 sin 12

即 sin 12

= sin(72

− 60

) =

sin 72

cos 60

−sin 60

cos 72

(10)

3

∗∗

從半角公式推得 sin 6

, sin 3

,

sin 1

30

, sin 45

,

即 sin 6

=

q

1−cos 12

2

(cos 12

由 sin 12

開方求得)

4

∗∗

內插計算 sin 1

先知: sin 1

30

+

0.02618

sin 45

+

0.01309。

由 1

30

−1

=

2

3

(1

30

−4.5

)

sin 1

+

sin 1

30

2

3

(sin 1

30

sin 45

)

+

0.01745。

5

∗∗

半角公式求 sin 30

sin 30

=

s

1 − cos 1

2

+

0.00873

6

∗∗

其他角之正弦函數值如:

sin 2

= sin(1

+ 1

)

= sin 1

cos 1

+sin 1

cos 1

= 2 cos 1

sin 1

7

∗∗

間隔 30

之正弦函數值表— 靠

和差角, 倍角公式計算求得。

∗∗∗

sin 72

之幾何求法:

(i) 如下圖建立 △ABC,

△ABC ∼ △CBD

... . ...

A

B

C

D

72

72

36

36

36

(ii)

BC

AB

=

BD

BC

=

AB

−BC

BC

=

1

BC AB

− 1

(iii) 化簡:

BC

2

AB

2

+

BC

AB

− 1 = 0

(iv)

BC

AB

=

−1+

5

2

⇒ cos 72

=

cos B =

1

2

BC

AB

=

−1+

4

5

(V) sin 72

=

1 − cos 72

2

至此理解三角函數公式群中倍角、 半

角、 和差角、 和差化積的學習動機, 原

來托勒密是靠這樣的機智, 運用公式

耐心的建立三角函數正弦值表, 古人

的求值方法真是令人欽佩!

11

泰勒展開式求函數值的近以值

1

原理: 先尋求 f (x) = sin x 正弦函

數的展勒展開式

f

(x) =x−

x

3

3!

+

x

5

5!

x

7

7!

+· · ·

+(−1)

k

−1

·

x

2k−1

(2k − 1)!

+(−1)

k

·

x

2k+1

(2k + 1)!

+ · · ·

2

其 n 次近似:

p

n

(x)=x−

x

3

3!

+

x

5

5!

x

7

7!

+· · ·

+(−1)

k

−1

·

x

2k−1

(2k − 1)!

,

取 n = 2k or 2k − 1

3

誤差估計:

| sin x−p

n

(x)|=|f(x)−p

n

(x)|

<

1

(2k + 1)!

· |x|

2k+1

, 取n

= 2k。

4

說例

: 試由 p

1

(x) 求 sin 1

的近似

值, 並估計誤差。

1

∗∗

1

=

π

180

度, p

1

(x) = x ⇒

p

1

(

π

180

) =

π

180

= 0.017452 · · ·

(11)

2

∗∗

誤差: | sin 1

− P

1

(

180

π

)| <

1

3!

(

π

180

)

2

= 0.000000886 · · ·

3

∗∗

P

(

π

180

) − 誤差 < sin 1

<

P

1

(

180

π

)。

即 0.017452 · · · − 0.000000886

· · · < sin 1

<

0.017452 · · ·。

0.017451 · · · < sin 1

<

0.017452 · · ·。

4

∗∗

取 sin 1

+

0.01745 (足可證

明這近似值的小數點後有五位正

確)

∗∗∗

(托勒密古典求法亦求得 0.01745 的

近似值)

計算函數值本非易事, 以近似值取

代真確值, 讓後續的演算更加精密, 是函

數求值研究的主因。 教本將可微函數化做

多項函數的 n 次近似, 藉由誤差的挾擠,

肯定近似值小數點後的正確位數, 表達數

處理方式, 這樣的耐心, 智慧顯示數

學嚴肅的修養, 讓我們看到了“數學的方

法”領悟了為何而學, 學而何用的道理。

肆、

結語

於固有“解題教學”的基礎上, 仔細體會

三角函數的實質功能, 後此領悟研習數學的

動機與目的, 儲存了熱切的研究能力, 今後順

從教本的航道, 拓展更高層次的數學領域, 尤

其注重欣賞數學記述的技巧, 證實現象的威

力, 並以落實“工具”用途為使命, 這有效的學

習是對生命的尊重, 人生的珍惜!

伍、

展望

我們的課程編寫:

從三角形解法、 簡

易測量、 幾何求解、 三角方程式 · · · , 拓展

成三角函數—週期函數, 圖形描繪至圖形的

轉化—物理波動, 到擴充為可微函數的分析,

數值處理, 這是一段長程之“數學方法”之記

述, 猶如修出了一條標準的跑道, 足供巨型飛

機安全起降。 我們的學生順著教材航道起航,

運用習得的“數學方法”必可航向自我的航天,

如何學習, 如何運用非常的清楚, 對未來科技

發展、 貢獻已可期待 ! 新課程標準即將訂

定, 我們亦知道三角應如何學習, 如何使用新

的跑道, 今後不再迷失, 新教材會是更有效的

新境界、 新航天, 熱烈歡迎新時代的來臨。

附表

:

三角函數教材編寫演進圖

(12)

...

民國54年以前

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ...

55

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ...

62

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ...

75

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . ...

87

三角形解法

測量問題

三角方程式

· · ·

... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

三角函數圖形

週期函數

. ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

圖形與物理波動

圖形之轉化(平移)

. ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

可微函數分析

數值處理

... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

—本文作者任教於建國中學—

數據

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參考文獻

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