在99課綱中談相關係數─1

(1)

數學傳播 36卷4期, pp. 39-41

在

99

課綱中談相關係數

−1 ≤ r ≤ 1

唐柏寧

筆者任教於高中幾年, 經歷教科書種種變革, 自舊課綱、95暫綱、99課綱, 而數學科的內容變化幅度以99課綱最為明顯, 主因是在單元順序的調整, 以致教學現場面臨一些以往沒有的問題, 例如: 自編教材的數學歸納法單元中, 例題「試以數學歸納法證明 Pn k=1 k2₌n(n+1)(2n+1) 6 」。因單元調整使得 P的介紹出現在歸納法之後, 這樣的題目因缺乏P先備知識, 而必須移除或修改。在不同單元性質的證明, 也面臨這樣的問題, 教學上的證明方法或補充給學生的知識也必 須進行修改或刪除, 如相關係數的性質 −1 ≤ r ≤ 1 在新課綱中有提到, 但來源與證明課本往 往省略不談, 學生對此提出疑問時, 站在第一線的教師仍不得不面對如此問題, 因此筆者提供高 一下相關係數的性質 −1 ≤ r ≤ 1 如何說明給高一學生, 供各位先進做為參考。 以下兩點為課本中已提到, 高一生之先備知識

1. 數據標準化:

令 xi 表第 i 筆原數據, µ 表原數據的平均數, σ 表原數據的標準差, 則 x0i = xi− µ σ , x 0 i 即第 i 筆標準化後新數據, 此時 x0 i = 1 σxi− µ σ, 故新的平均數 µ 0 ₌ 1 σ · µ − µ σ = 0, 由定義 σ2 ₌ n P i=1 (xi− µ)2 n 可知 n P i=1 (xi−µ)2 = n·σ2故 n P i=1 (x0)2 ₌ 1 σ2 n P i=1 (xi−µ)2 = 1 σ2·n·σ 2 _{= n} 得新的標準差 σ0 ₌ v u u t n P i=1 (x0)2 n = r n n = 1。 39

(2)

40 數學傳播 36卷4期民101年12月

2. 相關係數:

設有 n 對 (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn) 數據, 若將數據標準化為 (x0i; yi0), 則相關係數 r = n P i=1 x0_iy0_i n 若數據未標準化, 以變數 x, y 直接計算相關係數 則 r = n P i=1 x0_iy_i0 n = n P i=1 ³_x i− ux σx × yi− uy σy ´ n = 1 nσxσy n X i=1 (xi− µx)(yi− uy) 且 σxσy = v u u t n P i=1 (xi− µx)2 n v u u t n P i=1 (yi− µy)2 n = 1 n v u u tXn i=1 (xi− µx)2 v u u tXn i=1 (yi− µy)2 故相關係數可表成 r = n P i=1 (xi− ux)(yi − uy) r_P_n i=1 (xi− µx)2 r_P_n i=1 (yi− µy)2 下面針對不同課綱說明 −1 ≤ r ≤ 1。 (1) 利用科西不等式證明 (適用舊課綱) n X i=1 (x0_i)2· n X i=1 (y_i0)2 ≥ ³Xn i=1 x0_iy_i0 ´2 ³Pn i=1 x0_iy0_i ´2 n P i=1 (x0_i)2· n P i=1 (y_i0)2 ≤ 1 ⇒ −1 ≤ n P i=1 x0_iy_i0 r_P_n i=1 (x0_i)2· r_P_n i=1 (y_i0)2 ≤ 1 ⇒ −1 ≤ n P i=1 x0_iy_i0 n ≤ 1 證明過程相當簡潔, 也容易理解, 因此在舊課綱教學中是慣用的證明方式。

(3)

在99課綱中談相關係數 −1 ≤ r ≤ 1 41 (2) 新課綱可使用的證明可利用 n X i=1 (x0_i± y0_i)2 ≥ 0 ⇒ n X i=1 (x0_i)2± n X i=1 2x0_iy_i0+ n X i=1 (y_i0)2 ≥ 0 ⇒ −³ n X i=1 (x0_i)2+ n X i=1 (y0_i)2 ´ ≤ n X i=1 2x0_iy_i0 ≤ n X i=1 (x0_i)2+ n X i=1 (y_i0)2 ⇒ −2n ≤ 2 n X i=1 x0_iy_i0 ≤ 2n ⇒ −1 ≤ n P i=1 x0_iy0_i n ≤ 1 當 r = 1 等號成立時 Pn i=1 (x0_i− y_i0)2 _{= 0} ⇒ y0 i = x0i,即 yi− µy σy = xi− µx σx ,得 (yi− µy) = σy σx (xi − µx) 則原數據 xi, yi 皆在同一直線 (y − µy) = σy σx (x− µx) 上, 斜率 σy σx 為正, 當 r = −1 等號成立時 Pn i=1 (x0_i + y_i0)2 _{= 0} ⇒ y0 i = −x0i, 即 yi− µy σy = − ³_x i− µx σx ´ , 得 (yi− µy) = − σy σx (xi− µx) 則原數據 xi, yi 皆在同一直線 (y − µy) = − σy σx (x− µx) 上, 斜率 σy σx 為負。 99課綱的內容對教師仍有許多教學現場必須克服的問題, 筆者拋轉引玉, 以期科內彼此交流, 增進教學技巧, 對內容不完善的部分, 亦希望各位先進不吝指教。 —本文作者任教台南市立南寧高中—