重點一、絕對值的不等式 1. 不等式的性質： (1) a >b⇒a±c≥b±c (2) a b a c b c ( ) c 0 c c a b a b a c b c ( ) c 0 c c ⋅ > ⋅ > > > ⇒ ⋅ < ⋅ < < 或， 時 或， 時 2. 含有絕對值的不等式： (1) 一般解法：分段去掉絕對值。 | x | x x 0 x x 0 ≥ = − < ， 時 ， 時 (2) 公式法： 設 a > 0，若| x |≤ ，則a −a≤x≤a 設 a > 0，若| x | a≥ ，則x≥ 或 xa ≤ − a 設 a > b > 0，若 b | x | a≤ ≤ ，則b≤x≤a或 b x− ≥ ≥ − a 若 2 2 | a | | b |≥ ，則a ≥b 重點二、二次不等式 二次不等式 ⇒ (xα)(xβ) 0 , 其中 α < β 1. (xα) (xβ) > 0 ⇒ x < α 或 x > β 2. (xα) (xβ) < 0 ⇒ α < x < β 重點三、線性規劃 解法：目標函數 f (x，y) = ax + by + c 1. 先求可行解區域之頂點坐標。 2. 將頂點坐標逐一代入 f (x，y)，其值最大⇒Max，最小⇒min
精選歷屆試題
1. 下列何者正確？ (A)若 a b> 則 ca cb> (B) 2 2 a + b = + (C)若a b 2 3 x− < ，則 1− < < (D)若x 5 b d a > 則 bc adc > 。 2. .滿足不等式 (x−1)(x+2)(x− < ， x 的範圍為 (A) 13) 0 − < < 或x 1 x> 3 (B)x> (C)3 x< − 或12 < < (D) 2x 3 − < < 。 x 1 3. 不等式知 5 3 1 x x − ≤ − 之解為 (A){
x|1< ≤ 或x 2 x≥4}
(B){
x| 2≤ ≤ 或x 4}
1 x< (C){
x| 2≤ < 或x 4 x< (D)1}
{
x x| ≥ 或4 x≤2}
。 4. 不等式 2 3 2 (x−2) (x+2) (x − −x 12)< 之解為 (A)0 x< − 或 23 − < < x 4 (B)x< − 或 23 − < < 或 2x 2 < < (C) 3x 4 − < < − 或 2x 2 < < (D) 3x 4 − < < −x 2 或x> 。 4 5. 不等式 2 4x+ <5 x < − −2 3x之解為 (A)x> 或5 x< − (B) 21 − < < − x 1 (C) 1− ≤ ≤ (D) 1x 5 − < < 。 x 5 6. 設二次方程式 2 ( 1) 0 ax + −a x+ = 有兩實根，其中 a 為一實數，則 a 的範圍為a (A)a< − 或1 1 3 a> (B) 1 1 3 a − < < (C)a≤ − 或1 1 3 a≥ (D) 1 1 3 a − ≤ ≤ Ⓔ 1 a 0 − < < 或0 1 3 a < < 。 7. 若不等式ax2 + bx+<0之解為 1<x<2，則不等式為bx2 +cx+a≥0等整數解有 幾個? (A)1 (B)2 (C)3 (D)4。 8. 不等式 2x− ≤ 的解集合為 (A)3 5{
x| 1− ≤ ≤x 4}
(B){
x| 2− ≤ ≤x 3}
(C){
x| 3− ≤ ≤x 2}
(D){
x| 4− ≤ ≤ Ⓔx 1}
{
x| 5− ≤ ≤x 0}
。 9. 不等式 2≤ + < 的解為整數者，共有 (A)7 個 (B)8 個 (C)9 個 (D)10 個。 x 1 6 10.設 x− + + 的最小值等於 (A)8 (B)4 (C)2 (D)6。 2 x 6 11.下列何者為不等式 x+ ≥ −5 2 x 的解？ (A) 3 2 2 x − ≤ ≤ (B) 3 2 x≥ − (C)− ≤ ≤5 x 0 (D)x≥ −5。 12.若 f x( )=4 x+ +1 3 2x−1 ，則 f x( )的最小值為何？ (A)3 (B)4 (C)6 (D)9。14.若x> − ，2 ( ) 4 1 2 g x x x = + + + ，則 ( )g x 的最小值為 (A) 6 (B) 4 (C) 2 (D)1。 15.設 a 、 b 、 c 為實數，且 2 2 2 33 a +b +c = ，則 2a−3b+3c之最大值為 (A) 66 (B) 33 (C)11 3 (D)11 6 。 16.設xy> ，則0 x2 42 y2 12 y x + + 之最小值為 (A) 8 (B)10 (C) 8.5 (D) 9 。 17.在座標平面上，滿足不等式 x ≤ y ≤8的區域面積為何? (A)16 (B)32 (C)64 (D)128。 18.在座標平面上，不等式組 2 4 0 0 2 x y x y + − ≤ ≥ ≥ − 所圍的區域面積等於 (A) 6 (B) 9 (C)12 (D)15 。 19.目標函數 ( , )f x y = +x 2y在限制條件 2 7 20 5 8 2 16 0 0 x y x y x y x y + ≥ + ≥ + ≥ ≥ ≥ 的極小值為 (A) 3 (B) 5 (C)7 (D)9。 20.某工廠製造甲、乙兩種產品，均需使用 A、 B 、C 三種原料，製造1噸的甲產 品需 A 、 B 、 C 三種原料分別為 2 噸、 3 噸、1噸，且可獲得 2 萬元的利潤； 製造1噸的乙產品需 A 、 B 、C 三種原料分別為 4 噸、1噸、5 噸，且可獲得 3 萬元的利潤。現工廠內 A、B、C 三種原料均有 30 噸的庫存，該工廠製造x噸 甲產品、 y 噸乙產品將可獲得最大利潤 P 萬元，則 (A)x= (B)3 y= 5 (C)P=27 (D)P=25。
(
)(
)
(
)
(
)(
)
有兩組解 ， 為整數 代入 ， ， 1 0 x 1 x 3 1 -0 1 -x 1 3x 0 1 -2x -3x 0 k 2kx 3kx -0 a cx bx 0 k 2k c -3k b 0 2 3 0 2 1 2 2 2 2 = ∴ ≤ ≤ ≤ + ≤ ≥ + + ≥ + + > = = = ∴ < + − < − − k a x x x x試題解析：
1. x− < ⇒ − < − < ⇒ − < < 2 3 3 x 2 3 1 x 5 2. ∴原式⇒ < − 或1x 2 < < x 3 3.原式 2 3 ( 5)( 1) 3 6 8 ( 2)( 4) 5 0 0 0 0 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x − − + − + − − ⇒ − − ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ ⇒ ≤ − − − − (x 2)(x 4)(x 1) 0 ⇒ − − − ≤ 且x≠ ⇒ < 或 21 x 1 ≤ ≤ x 4 4.原式 2 3 (x 2) (x 2) (x 4)(x 3) 0 (x 2)(x 4)(x 3) 0 ⇒ − + − + < ⇒ + − + < ，且x≠ 2 ⇒ x< − 或 23 − < < ，且x 4 x≠ ⇒ < − 或 22 x 3 − < < 或 2x 2 < < x 4 5.依題意 2 2 ( 1)( 5) 0 1 5 4 5 0 2 1 ( 1)( 2) 0 2 1 3 2 0 x x x or x x x x x x x x x + − > < − > − − > ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ − < < − + + < − < < − + + < 6.依題意得知：判別式(
)
2 2 2 2 1 4 0 3 2 1 0 3 2 1 0 D= a− − a ≥ ⇒ − a − a+ ≥ ⇒ a + a− ≤(
)(
)
1 1 3 1 0 1 3 a a a ⇒ + − ≤ ⇒ − ≤ ≤ 7. 8. 2x− ≤ ⇒ − ≤3 5 5 2x− ≤ ⇒ − ≤3 5 2 2x≤ ⇒ − ≤ ≤ ⇒8 1 x 4{
x| 1− ≤ ≤x 4}
9. 2≤ + < ⇒ − < + ≤ − 或 2x 1 6 6 x 1 2 ≤ + < ⇒ − < ≤ − 或1x 1 6 7 x 3 ≤ < x 5 ∴符合條件的整數有 6− ， 5− ，−4， 3− ，1，2， 3 ，4共 8 個 10.原式= − + + ≥2 x x 6(
2−x) (
+ x+6)
=8 11.∵ x+ ≥ −5 2 x⇒
(
x+ + −5) (
2 x) (
x+ − −5) (
2 x)
≥0 ⇒ 7 2(
x+ ≥3)
0 ∴ 3 2 x≥ − 12. ( )f x =4 x+ +1 3 2x− 1 ∵ f( )
− = × + × = 1 4 0 3 3 9 1 4 3 3 0 6 2 2 f = × + × = ∴ f x 的最小值為 6 ( ) 13.由算幾不等式得知：2 5 2 5 10 10 25 10 5 2 2 2 x y x y xy xy xy + ≥ ⋅ ⇒ ≥ ⇒ ≥ ⇒ ≤ 14.x> − ⇒ + > ，2 x 2 0 ( )(
2)
1 2 2(
2)
1 2 4 2 2 g x x x x x = + + + ≥ + + = + + 15.由柯西不等式得知：(
2 2 2)
(
2( )
2 2)
(
)
2 2 3 3 2 3 3 a +b +c + − + ≥ a− b+ c ，(
)
2 33 22 2a 3b 3c 11 6 2a 3b 3c 11 6 ∴ ⋅ ≥ − + ⇒ − ≤ − + ≤ 16.由柯西不等式得知： 2 2(
)
2 2 2 2 2 2 2 4 1 4 1 1 2 9 x y x y y x y x + + ≥ + ⇒ + + ≥ 17.y≥ x ⇒-y≤x≤y ,y≤8 y 8 y 0 y -x = = x x+y=0 64 2 8 16 A= × =∴所求面積為1 3 6 9 2× × = 19.可行解區域如右圖所示： 由圖形可知，當 ( , ) (3, 2)x y = ， 目標函數 ( , )f x y = +x 2y有極小值 3 2 2 3 4 7 = + × = + = 20.限制函數為 2 4 30 3 30 5 30 0, 0 x y x y x y x y + ≤ + ≤ + ≤ ≥ ≥ ，可行解區域 如右圖所示，目標函數為 ( , ) 2 3 f x y = x+ y，由圖形可知：當 ( , )x y = (9,3) 時， ( , )f x y 有最大值 27 P= (萬元)
