使用快速GPB-2演算法的即時機器人致動器錯誤偵測與識別
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(2) 使用快速 GPB-2 演算法的即時機器人致動器錯誤偵測與識別. Real-Time Detection and Identification of Robot Actuator Failures with Fast GPB-2 Algorithm. 研 究 生: 黃暉鈞. Student: Huei-jyun Haung. 指導教授: 蕭得聖 博士. Advisor: Dr. Te-Sheng Hsiao. 國立交通大學 電機學院 電機與控制工程學系 碩士論文. A Thesis Submitted to College of Electrical Engineering National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of Master in Electrical and Control Engineering July 2008 Hsinchu， Taiwan， Republic of China 中華民國 九十七 年 七月.
(3) 使用快速 GPB-2 演算法的即時機器人致動器 錯誤偵測與識別. 研究生：黃暉鈞. 指導教授：蕭得聖 博士. 國立交通大學電機與控制工程學系碩士班. 摘要. 自 1970 年 代 始 ， 機 器 人 即 大 量 運 用 於 工 業 製 造 生 產 上 ， 例 如 汽 車、機 械 與 半 導 體 等 產 業。當 時 的 機 器 人 只 能 執 行 反 覆 單 調 的 生 產 裝 配 等 任 務。 隨 著 時 間 的 流 逝， 科 技 日 新 月 異，機 器 人 也 開 始 擁 有 更 多 的 功 能，甚 至 準 備 進 入 人 類 的 生 活 之 中。使 機 器 人 進 入 人 類 生 活 的 障 礙，並 非 機 器 人 的 功 能 或 可 提 供 的 服 務 而 在 於 其 運 作 時 的 可 靠 度、安 全 性 與 成 本。可 靠 度 是 指 機 器 人 自 身 能 夠 長 期 於 妥 善 的 狀 況 下 運 作 ， 而 安 全 性 乃 指 機 器 人 運 作 時 不 應 對 人 類 以 及 週 遭 環 境 造 成 傷 害，成 本 則是指該機器人製造與後續維修所需的費用。 本論文的貢獻在於對機械臂僅裝置角度編碼器以降低成本的情 況 下，發 展 應 用 於 機 械 臂 的 即 時 錯 誤 偵 測 與 辨 識 演 算 法，以 期 能 對 機 械 臂 的 運 作 狀 態 進 行 良 好 估 測，增 加 機 器 人 運 作 的 安 全 性。文 中 將 使 用 非 追 蹤 型 卡 曼 濾 波 器 進 行 機 械 臂 角 度 和 角 速 度 的 估 測，使 用 期 望 值 最 大 化 演 算 法 估 測 摩 擦 力 ， 利 用 濾 波 扭 力 計 算 與 多 模 型 組 態 GPB-2 演 算 法 來 判 斷 錯 誤 模 型 的 種 類，由 模 擬 結 果 可 看 到 該 即 時 演 算 法 的 確 比 原 始 的 多 模 型 組 態 GPB-2 演 算 法 更 為 精 確 與 有 效 率 。 I.
(4) Real-Time Detection and Identification of Robot Actuator Failures with Fast GPB-2 Algorithm Student: Huei-jyun Haung. Advisor:Dr.Te-Sheng Hsiao. Institute of Electrical and Control Engineering Nation Chiao-Tung University. Abstract. Since 1970, robots have been widely used in manufacturing industries, such as automotive, mechanical, and semiconductor industries. But robots were limited to perform simple and repetitive tasks at that time until recently. Due to the advances in modern technologies, as well as the requirements for social and economic aspects, inspiring innovations in robotic technologies are emerging during the past decade. Furthermore, it is expected that robot technologies will be integrated into human’s daily life in the near future. However, the obstacles for robots to enter human’s daily life are not only the services they can provide, but the reliability, safety and cost of the robots. Reliability means that the robot can operate well for a long time. Safety means the robot should not hurt human or cause damage to the environment. This thesis has a great contribution on detection and identification of the robot's actuator failures by combining UKF(Unscented Kalman Filter), GPB-2 algorithm, EM algorithm and pre-classification of fault models. Simulation results show that the proposed FDI(fault detection and identification) algorithm is better than conventional GPB-2 algorithm in terms of computational efficiency and accuracy of fault detection. II.
(5) 誌. 謝. 首 先 誠 摯 的 感 謝 指 導 教 授 蕭 得 聖 博 士，老 師 悉 心 的 指 導 使 得 我 得 以 一 窺 錯 誤 偵 測 與 辨 識 領 域 的 深 奧，不 時 地 與 我 討 論 並 指 點 我 正 確 的 方 向，使 我 在 碩 士 班 的 這 兩 年 獲 益 匪 淺，收 穫 頗 豐。老 師 對 作 學 問 的 要求與嚴謹，更是我學習的典範。 此外，我也要感謝幫我口試的楊谷洋老師、徐保羅老師與陳宗 麟 老 師。各 位 老 師 在 口 試 中 對 我 的 研 究 與 初 稿 給 了 許 多 寶 貴 的 方 向 與 建 議，讓 我 得 以 將 初 稿 的 缺 點 加 以 修 正，並 讓 我 對 錯 誤 偵 測 與 識 別 的 領域有更深的體會。 兩 年 的 日 子 裡， 實 驗 室 裡 共 同 的 生 活 點 滴 、 學 術 上 的 討 論 、 言 不 及 義 的 閒 聊 瞎 扯、趕 作 業 的 革 命 情 感 等，都 令 人 難 忘。感 謝 眾 位 學 長、 同 學、學 弟 的 共 同 砥 礪，你 們 的 陪 伴 讓 兩 年 的 研 究 生 活 變 的 多 彩 多 姿。 感 謝 永 州 學 長 不 厭 其 煩 的 指 導 我 研 究 上 的 缺 失，且 總 能 在 我 迷 網 時 幫 我 解 惑，也 感 謝 毅 泓、宗 明、昭 明 陪 我 解 悶，在 研 究 上 互 相 打 氣，也 感謝東欣、茂橋的幫忙，最後僅以此文現給我摯愛的雙親。. 黃暉鈞. 僅識. 中華民國九十七年七月 新竹. III. 交大.
(6) 目錄 中 文 摘 要 ------------------------------------------------ Ⅰ 英 文 摘 要 ------------------------------------------------ Ⅱ 誌 謝 ---------------------------------------------------- Ⅲ 目 錄 ---------------------------------------------------- Ⅳ 圖 目 錄 -------------------------------------------------- Ⅵ 表 目 錄 -------------------------------------------------- Ⅸ. 第 一 章 緒 論 --------------------------------------------1.1 研 究 動 機 與 目 的 --------------------------------------1.1.1 背 景 知 識 與 回 顧 ---------------------------------1.1.2 研 究 動 機 與 目 的 ---------------------------------1.2 系 統 發 生 錯 誤 的 情 形 ----------------------------------1.3 論 文 貢 獻 --------------------------------------------1.4 論 文 架 構 ---------------------------------------------. 1 1 2 3 4 5 5. 第二章 機 器 人 系 統 -------------------------------------- 6 2.1 機 器 人 系 統 簡 介 --------------------------------------- 6 2.2 機 器 人 錯 誤 偵 測 與 識 別 相 關 研 究 ------------------------- 8. 第三章 錯 誤 偵 測 與 識 別 技 術 ----------------------------3.1 基 於 模 型 的 錯 誤 偵 測 和 識 別 技 術 -----------------------3.1.1 錯 誤 系 統 的 模 型 建 立 ----------------------------3.1.2 剩 餘 值 產 生 器 ----------------------------------3.1.3 剩 餘 值 評 估 ------------------------------------3.2 觀 察 器 設 計 ----------------------------------------3.2.1 觀 察 器 架 構 -----------------------------------3.2.2 卡 曼 濾 波 器 -----------------------------------3.2.3 應 用 卡 曼 濾 波 器 於 非 線 性 系 統 -------------------3.3 多 模 型 架 構 ----------------------------------------3.4 期 望 值 最 大 化 ---------------------------------------. IV. 11 12 14 17 19 21 21 23 25 30 42.
(7) 第四章 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5. 系 統 計 算 減 量 與 參 數 估 測 ------------------------引 入 運 動 學 方 程 式 進 行 計 算 減 量 -------------------應 用 期 望 值 最 大 化 於 摩 擦 力 估 測 -------------------濾 波 扭 力 計 算 -----------------------------------分 群 估 測 ---------------------------------------演 算 法 架 構 圖 ------------------------------------. 44 44 49 58 61 64. 第五章 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5. 模 擬 分 析 與 探 討 ---------------------------------單 一 模 型 狀 態 估 測 -------------------------------摩 擦 力 估 測 -------------------------------------扭 力 差 值 估 測 模 擬 -------------------------------動 力 學 模 型 與 運 動 學 模 型 切 換 模 擬 -----------------應 用 於 機 械 臂 之 即 時 演 算 法 模 擬 --------------------. 66 67 72 80 86 90. 第 六 章 結 論 與 未 來 工 作 ---------------------------------- 107 6.1 結 論 ------------------------------------------- 107 6.2 未 來 工 作 --------------------------------------- 108 附 錄 --------------------------------------------------- 109 參 考 文 獻 ----------------------------------------------- 112. V.
(8) 圖目錄 圖 2.1 達 文 西 手 術 系 統 操 作 示 意 圖 -------------------------- 7 圖 3.1. 錯 誤 偵 測 架 構 圖 ---------------------------------- 12. 圖 3.2. 閉 迴 路 系 統 中 的 錯 誤 偵 測 -------------------------- 14. 圖 3.3. 簡 化 後 的 系 統 錯 誤 模 型 圖 -------------------------- 15. 圖 3.4. 剩 餘 值 產 生 器 的 通 用 架 構 (M. Basseville)----------- 17. 圖 3.5. 剩 餘 值 產 生 器 的 通 用 架 構 (Patton and Chen)--------- 18. 圖 3.6. 觀 察 器 作 用 示 意 圖 -------------------------------- 21. 圖 3.7. 蒙地卡羅、拓展型卡曼濾波器與非追蹤型卡曼濾波器估測 比 較 -------------------------------------------- 27. 圖 3.8. 靜 態 模 型 下 估 測 流 程 方 塊 圖 ------------------------ 33. 圖 3.9. GPB-1 流 程 方 塊 圖 --------------------------------- 38. 圖 3.10 GPB-2 估 測 流 程 方 塊 圖 ---------------------------- 41 圖 4.1. 機 械 臂 示 意 圖 ------------------------------------ 44. 圖 4.2. 狀 態 空 間 模 型 圖 ---------------------------------- 50. 圖 4.3. 二 軸 機 械 臂 錯 誤 模 型 分 群 估 測 說 明 圖 ----------------- 63. 圖 4.4. 演 算 法 架 構 圖 ------------------------------------ 64. 圖 5.1. 估 測 二 軸 機 械 臂 單 一 狀 態 架 構 圖 -------------------- 68. 圖 5.2. 高 斯 雜 訊 下 模 型 一 狀 態 估 測 ------------------------ 69. 圖 5.3. 高 斯 雜 訊 下 模 型 五 狀 態 估 測 ------------------------ 69. 圖 5.4. 大 軸 慣 量 為 原 來 的 1.5 倍 下 模 型 一 狀 態 估 測 結 果 ------ 70. 圖 5.5. 大 軸 慣 量 為 原 來 的 1.5 倍 下 模 型 六 狀 態 估 測 結 果 ------ 71. 圖 5.6. 摩 擦 力 估 測 架 構 圖 -------------------------------- 72. 圖 5.7. 模 擬 (五 )的 黏 滯 摩 擦 力 係 數 估 測 -------------------- 73 VI.
(9) 圖 5.8. 模 擬 (五 )的 角 度 與 角 速 度 估 測 ---------------------- 74. 圖 5.9. 模 擬 (六 )的 黏 滯 摩 擦 力 係 數 估 測 -------------------- 74. 圖 5.10. 模 擬 (六 )的 角 度 與 角 速 度 估 測 ---------------------- 75. 圖 5.11. 模 擬 (七 )的 黏 滯 摩 擦 力 估 測 ------------------------ 76. 圖 5.12. 模 擬 (七 )的 角 度 與 角 速 度 估 測 ---------------------- 76. 圖 5.13. 模 擬 (八 )的 黏 滯 摩 擦 力 估 測 ------------------------ 77. 圖 5.14. 模 擬 (八 )的 角 度 與 角 速 度 估 測 ---------------------- 77. 圖 5.15. 模 擬 (九 )的 黏 滯 摩 擦 力 係 數 估 測 -------------------- 78. 圖 5.16. 模 擬 (九 )的 角 度 與 角 速 度 估 測 ---------------------- 79. 圖 5.17. 模 擬 (十 )的 黏 滯 摩 擦 力 係 數 估 測 -------------------- 79. 圖 5.18. 模 擬 (十 )的 角 度 與 角 速 度 估 測 ---------------------- 80. 圖 5.19. 力 矩 差 值 估 測 架 構 圖 ------------------------------ 81. 圖 5.20. 模 擬 (十 一 )的 力 矩 差 值 模 擬 估 測 -------------------- 82. 圖 5.21. 模 擬 (十 一 )的 角 度 與 角 速 度 估 測 -------------------- 83. 圖 5.22. 模 擬 (十 二 )的 力 矩 差 值 模 擬 估 測 -------------------- 83. 圖 5.23. 模 擬 (十 二 )的 角 度 與 角 速 度 估 測 -------------------- 84. 圖 5.24. 模 擬 (十 三 )的 力 矩 差 值 模 擬 估 測 -------------------- 85. 圖 5.25. 模 擬 (十 三 )的 角 度 與 角 速 度 估 測 -------------------- 85. 圖 5.26. 動 力 學 模 型 與 運 動 學 模 型 機 率 估 測 架 構 圖 ------------ 87. 圖 5.27. 模 擬 (十 四 )的 動 力 學 模 型 與 運 動 學 模 型 機 率 估 測 ------ 88. 圖 5.28. 模 擬 (十 四 )的 動 力 學 模 型 與 運 動 學 模 型 狀 態 估 測 ------ 88. 圖 5.29. 模 擬 (十 五 )的 動 力 學 模 型 與 運 動 學 模 型 機 率 估 測 ------ 89. 圖 5.30. 模 擬 (十 五 )的 動 力 學 模 型 與 運 動 學 模 型 狀 態 估 測 ------ 89. 圖 5.31. 應 用 於 機 械 臂 之 即 時 演 算 法 模 擬 架 構 圖 -------------- 91. 圖 5.32. 模 擬 (十 六 )的 機 率 估 測 ---------------------------- 92. 圖 5.33. 模 擬 (十 六 )的 模 型 一 與 模 型 二 機 率 估 測 -------------- 92 VII.
(10) 圖 5.34. 模 擬 (十 六 )的 模 型 估 測 ---------------------------- 93. 圖 5.35. 模 擬 (十 六 )的 狀 態 估 測 ---------------------------- 93. 圖 5.36. 模 擬 (十 七 )的 機 率 估 測 ---------------------------- 94. 圖 5.37. 模 擬 (十 七 )的 模 型 一 與 模 型 八 機 率 估 測 -------------- 94. 圖 5.38. 模 擬 (十 七 )的 模 型 估 測 ---------------------------- 95. 圖 5.39. 模 擬 (十 七 )的 狀 態 估 測 ---------------------------- 95. 圖 5.40. 模 擬 (十 八 )的 群 組 選 取 估 測 ------------------------ 96. 圖 5.41. 模 擬 (十 八 )的 力 矩 差 值 與 模 型 選 取 估 測 -------------- 97. 圖 5.42. 模 擬 (十 八 )的 摩 擦 力 估 測 -------------------------- 97. 圖 5.43. 模 擬 (十 八 )的 狀 態 估 測 ---------------------------- 98. 圖 5.44. 模 擬 (十 九 )的 群 組 選 取 估 測 ------------------------ 98. 圖 5.45. 模 擬 (十 九 )的 力 矩 差 值 與 模 型 選 取 估 測 -------------- 99. 圖 5.46. 模 擬 (十 九 )的 摩 擦 力 估 測 -------------------------- 99. 圖 5.47. 模 擬 (十 九 )的 狀 態 估 測 --------------------------- 100. 圖 5.48. 模 擬 (二 十 )的 群 組 選 取 估 測 ----------------------- 102. 圖 5.49. 模 擬 (二 十 )的 力 矩 差 值 與 模 型 選 取 估 測 ------------- 102. 圖 5.50. 模 擬 (二 十 )的 摩 擦 力 估 測 ------------------------- 103. 圖 5.51. 模 擬 (二 十 )的 狀 態 估 測 --------------------------- 103. 圖 5.52. 模 擬 (二 十 一 )的 群 組 選 取 估 測 --------------------- 104. 圖 5.53. 模 擬 (二 十 一 )的 力 矩 差 值 與 模 型 選 取 估 測 ----------- 104. 圖 5.54. 模 擬 (二 十 一 )的 摩 擦 力 估 測 ----------------------- 105. 圖 5.55. 模 擬 (二 十 一 )的 狀 態 估 測 ------------------------- 105. VIII.
(11) 表目錄 表 一 ： 二 軸 機 械 臂 相 關 參 數 ------------------------------- 109 表 二 ： 非 追 蹤 型 卡 曼 濾 波 器 強 健 度 測 試 表 ------------------- 110 表 三 ： 模 型 切 換 強 健 度 測 試 ------------------------------- 111. IX.
(12) 第一章 緒論. 1.1 研 究 動 機 與 目 的. 自 1970 年 代 始 ， 機 器 人 即 大 量 運 用 於 工 業 製 造 生 產 上 ， 當 時 的 機 器 人 只 能 執 行 反 覆 單 調 的 生 產 裝 配 等 任 務。自 1990 年 開 始，隨 著個人電腦的普及，感測、通訊、控制等技術日新月異，製造智慧 型機器人漸漸不再是個夢想。另外由於人口老化與少子化的情形日 趨嚴重，作為照顧老人生活的智慧型機器人的相關研究終於如火如 荼的展開。 各項研究報告均指出，智慧型機器人將成為下一世代的明星產 業。以機器人製造與研發大國的日本為例，日本政府已將智慧型機 器人列入「新產業創造戰略」七大領域之一，其鄰近的韓國也將智 慧型機器人列為「十大新世代成長動力產業」之一。至於台灣的智 慧 型 機 器 人 產 業 預 估 2005 至 2008 年 的 產 值 為 新 台 幣 300 億 元 ， 而 2009 至 2013 年 的 產 值 預 估 將 達 新 台 幣 900 億 元 以 上 。 目前的機器人的研究多著重於機器人的功能的設計，而較少專 注於機器人運作時的可靠度與安全性。可靠度是指機器人自身能夠 長期於妥善的狀況下運作，而安全性乃指機器人運作時不應對人類 以及週遭環境造成傷害。這被忽略的部份，卻是智慧型機器人能否 商品化的最重要關鍵，因為一個不安全不可靠的產品絕對不可能為 公司帶來利潤，反而是一種累贅與商譽的損壞。 本 論 文 的 目 的 就 是 討 論 機 器 人 錯 誤 偵 測 與 識 別 (Fault Detection and Identification)的 能 力。藉 由 二 軸 機 械 臂 進 行 錯 誤 偵 測 (fault detection)，利 用 角 度 量 測 進 行 速 度 的 估 測 再 用 其 計 算 力 矩 與 各 種錯誤模式下的機率進行比較，以確定錯誤發生的原因。. 1.
(13) 1.1.1 相 關 背 景 知 識 與 回 顧. 所 謂 的 錯 誤 偵 測 與 識 別 在 一 般 文 獻 研 究 上 稱 為 FDI(Fault Detection and Identification)。 顧 名 思 義 ， FDI 分 為 兩 個 部 份 : 1. fault detection:利 用 已 知 系 統 的 狀 態 方 程 式 ， 配 合 感 測 器 輸 出 ， 計 算出系統是否有錯誤發生。 2. fault identification:明 確 指 出 系 統 發 生 錯 誤 的 元 件 。. Fault Detection 主 要 可 分 為 兩 主 要 步 驟 [1] ， 產 生 剩 餘 值 (Residuals Generation)和 判 斷 法 則 (Decision Making)， 又 可 細 分 如 下 :. 1. 產 生 剩 餘 值 (Residuals Generation) a. 觀 察 器 法 (Observer-based):由 感 測 器 量 測 得 到 的 輸 出 與 觀 察 器 估 測 之 輸 出 的 差 值 為 觀 察 器 法 的 剩 餘 值 (Residuals)。 b. 參 數 估 測 法 (Parameter estimation): 定 義 的 系 統 參 數 和 估 測 出 的 系 統 參 數 的 差 值 即 為 剩 餘 值 (Residuals)。 c. 等 值 關 係 (Parity relation):同 位 元 檢 查 法 是 在 時 域 上 取 一 固 定 長 度 的 視 窗，記 錄 在 此 視 窗 內 的 輸 入 與 輸 出 訊 號，經 過 適 當 的 投 影，使 得 系 統 動 態 與 錯 誤 訊 號 處 於 互 相 垂 直 的 子 空 間，然 後 判別錯誤是否在這段時間內發生。. 2. 判 斷 法 則 (Decision Making) a. 基 於 模 型 (Model-based):利 用 理 論 系 統 與 實 際 系 統 的 誤 差 判 定 系 統 是 否 有 錯 誤 發 生，此 方 法 是 由 Jones 於 文 獻 [1]中 提 出 的 。 其 優 點 在 於 當 能 夠 精 準 的 獲 得 理 論 系 統 的 參 數 時，也 就 能 精 確 得 計 算 剩 餘 值 (Residuals)， 此 方 法 的 抗 雜 訊 能 力 較 高 ； 反 之 ， 若 理 論 系 統 的 參 數 不 夠 精 準 時 ， 剩 餘 值 (Residuals)計 算 的 誤 差 將導致系統錯誤有可能難以判斷。. 2.
(14) b. 不 基 於 模 型 (Model-free) : 顧 名 思 義 ， 此 方 法 僅 由 感 測 器 的 輸 出 作 為 判 斷 系 統 是 否 發 生 故 障 的 依 據 。 此 方 法 於 文 獻 [14] 由 A.Ray 和 R.Luck 提 出，此 方 法 是 先 設 定 剩 餘 值 (Residuals)的 範 數 (Norm)大 小，來 定 義 系 統 發 生 錯 誤 的 邊 界；優 點 是 可 即 時 的 運 算 和 判 斷，缺 點 則 是 抗 雜 訊 能 力 低，剩 餘 值 邊 界 範 圍 不 好 設 定。. 產 生 剩 餘 值 (Residuals Generation)和 判 斷 法 則 (Decision Making) 主要可能碰到的問題有以下四種: a. 系 統 發 生 錯 誤 的 種 類 會 隨 時 間 改 變 b. 理 論 系 統 的 參 數 不 準 確 。 c. 系 統 雜 訊 和 量 測 雜 訊 影 響 系 統 響 應 。 d. 必 須 在 特 別 要 求 的 時 間 內 運 算 完 成 本 論 文 將 重 心 放 在 d 部 分 的 探 討，至 於 ａ ,ｂ 與 ｃ 的 部 份 雖 然 不 是 本 論 文 的 重 心，但 仍 將 在 第 五 章 進 行 模 擬，以 確 保 實 際 運 作 上 該 偵 錯 系統有一定的可靠度。. 1.1.2 研 究 動 機 與 改 良. 由 於 使 用 多 模 型 組 態 [18]的 錯 誤 偵 測 與 識 別 的 即 時 (real time)計 算 量 太 大 了，所 以 本 論 文 主 要 是 著 重 在 利 用 一 些 方 法 將 計 算 量 降 低 ， 以 其 可 以 達 到 即 時 運 算。本 論 文 中 採 用 分 群 的 原 理，將 各 種 系 統 錯 誤 發 生 的 可 能，依 照 機 率 高 低 加 以 排 序，使 得 事 前 機 率 (prior probability) 的 功 能 發 揮 到 最 大 。 並 運 用 動 力 學 模 型 (Dynamic Model)和 運 動 學 模 型 (Kinematics Model)， 減 少 所 需 估 測 時 間 。 另一方面，利用估測到的系統輸出配合濾波器的設計，重新計 算 系 統 的 輸 入 並 與 經 過 濾 波 器 的 系 統 輸 入 進 行 比 較，將 可 在 計 算 量 降 低 的 情 況 下 準 確 地 分 辨 此 時 的 錯 誤 狀 況 ， 增 加 錯 誤 偵 測 (Fault Detection)的 準 確 度 。 3.
(15) 當 確 定 錯 誤 後 ， 將 進 行 錯 誤 識 別 (fault identification)， 也 就 是 切 換 到 決 定 的 錯 誤 模 型 分 群 中。在 分 群 中，我 們 仍 然 將 經 由 觀 測 器 作 再 次的確定，以避免誤判造成的系統響應。. 1.2 系 統 發 生 錯 誤 的 情 形. 在 研 究 錯 誤 偵 測 和 隔 離 (Fault Detection and Identification)常 見 的 文 獻 裡 ， 依 照 系 統 錯 誤 發 生 的 情 況 分 成 四 大 類 [2]： 1. 感 測 器 錯 誤 (Sensor faults) 2. 致 動 器 錯 誤 (Actuator faults) 3. 系 統 處 理 程 序 錯 誤 (Process faults) 4. 閉 迴 路 或 控 制 器 錯 誤 (Close loop or controller faults). 若 依 系 統 錯 誤 訊 號 發 生 的 狀 況 分 類 [1]， 則 可 分 成 以 下 兩 類 ： 1. 突 發 性 錯 誤 訊 號 (Abrupt or Sudden faults):顧 名 思 義 ， 此 為 系 統輸出訊號產生大幅的跳動或是脈衝性的訊號，這代表著系 統極有可能已經出錯或即將發生錯誤，必須儘快地做出相對 應的措施，以排除錯誤。 2. 緩 慢 發 生 錯 誤 訊 號 (incipient or slowly developing faults):由 字 面 上 的 意 思 ， 這 是 與 突 發 性 錯 誤 訊 號 (Abrupt or Sudden faults) 相對的訊號。此種訊號代表系統慢慢變化，比方說，示波器 使用一段時間後需要歸零。若該訊號不隨時間變化，則稱為 定 值 偏 差 錯 誤 訊 號 (dc-offset or bias signal)； 若 訊 號 隨 時 間 變 化 ， 則 稱 為 漂 移 偏 差 錯 誤 訊 號 (time-varying or drift signal)。. 由於本論文以機械臂馬達發生故障的情形，作為電腦模擬的依 據，所 以 此 篇 論 文 裡 的 錯 誤 指 的 是 致 動 器 錯 誤 (Actuator faults)與 突 發 性 錯 誤 訊 號 (Abrupt or Sudden faults)。. 4.
(16) 1.3 論 文 貢 獻 經由前人的努力，線性系統的偵測與識別系統已經相當完善。 但 相 對 的 機 械 臂 為 一 非 線 性 系 統，其 在 理 論 與 實 用 必 然 不 能 直 接 套 用 許多前人的理論，例如極小的力矩誤差及有可能造成不可預料的後 果，因 此 研 究 上 必 然 也 會 碰 到 許 多 挑 戰。本 論 文 的 貢 獻 就 在 於 改 進「 錯 誤 偵 測 與 識 別 演 算 法 」， 使 能 夠 更 快 地 偵 測 機 械 臂 系 統 上 的 錯 誤 並 進 行 識 別。在 第 五 章 中，將 可 藉 由 模 擬 結 果 看 到 改 良 後 的 演 算 法 在 系 統 識別上比原有的演算法效果更精準，效率也更提高。. 1.4 論 文 架 構 本篇論文共分為六個章節：第一章為序論，主要說明研究動機 與目的；第二章介紹機器人系統與文獻，對近期發表的論文進行整 理；第 三 章 介 紹 錯 誤 偵 測 相 關 與 識 別 相 關 技 術，針 對 估 測 器、錯 誤 模 型，期 望 值 最 大 化 等 演 算 法 等 作 進 一 步 的 介 紹；第 四 章 進 入 設 定 的 目 標 「 計 算 減 量 」， 闡 述 各 種 方 法 為 達 到 此 目 標 的 各 種 方 法 ； 第 五 章 將 之 前 的 模 擬 和 推 導 在 二 軸 機 械 臂 的 平 台 上 進 行 模 擬，探 討 模 擬 的 結 果 與 該 結 果 形 成 的 原 因；最 後，第 六 章 對 兩 年 來 的 結 果 做 一 結 論 並 展 望 未 來 可 以 進 行 的 研 究 方 向，希 望 後 進 能 在 此 一 基 礎 上 更 上 一 層 樓，造 福世界人類。. 5.
(17) 第二章. 機器人系統. 廣 義 的 來 說 ，機 器 人 (Robot)是 一 個 模 仿 人 類 行 為 的 機 器 裝 置 。 機 器 人 可 接 受 人 類 指 揮，也 可 執 行 預 先 編 排 的 程 式，也 可 根 據 以 人 工 智 慧技術制定的法則行動。機器人的用途在於取代或是協助人類的工 作，例 如 製 造 業、建 築 業，或 是 危 險 的 工 作。機 器 人 一 詞，最 早 出 現 在 西 元 1920 年 傑 克 科 幻 小 說 家 卡 雷 爾 .恰 佩 克 (Karel Čapek)「 羅 索 姆 的 萬 能 機 器 人 」(Rossum's Universal Robots)一 書 中，原 文 為「 Robota」 為 捷 克 語 的 「 苦 工 、 勞 動 者 」 的 意 思 ， 後 來 成 為 通 行 的「 Robot」。 本 章 分 為 兩 小 節，第 一 小 節 介 紹 機 器 人 系 統，第 二 小 節 簡 介 機 器 人 錯 誤 偵測與辨識的相關研究。. 2.1 機 器 人 系 統 簡 介. 機器人系統種類非常多，因為論文模擬平台為機械臂系統，故 只針對機械臂系統進行簡介。. 機 械 臂 系 統 由 動 力 來 分，可 分 為 液 壓 式 和 電 動 式；由 用 途 可 區 分 為 工 業 機 器 人、玩 具 機 器 人、仿 生 機 器 人 等。由 於 本 篇 論 文 主 要 是 針 對致動器的錯誤偵測與識別進行討論，故就動力加以區分。. 6.
(18) 1. 液 壓 式 機 器 人 液壓式機器人一般為大型機器人，因為液壓驅動之力量較大，但 相 對 來 說 其 作 業 要 求 往 往 較 不 精 確。大 家 熟 知 的 液 壓 機 械 臂 系 統 為 挖 土 機 ， 也 就 是 俗 稱 的 「 怪 手 」。 怪 手 的 正 式 名 稱 為 液 壓 挖 土 機 ， 其 挖 掘 方 式 為 反 鏟 和 正 鏟。挖 土 機 的 挖 掘 臂 設 計 以 人 的 手 臂 為 樣 本，但 其 主 臂 相 當 長 以 使 力 矩 增 加，其 有 三 個 關 節，以 適 應 各 種 角 度 挖 掘。其 大 臂 與 車 相 連 處 如 肩 關 節；大 臂 與 副 臂 相 接 處 如 肘 關 節；副 臂 與 挖 斗 相接處如腕關節，挖斗如拱起之手掌，破壞齒如手指。. 2. 電 動 式 機 器 人 電 動 式 機 器 人 其 驅 動 方 式 為 電 動 馬 達，因 其 機 構 易 於 設 計，動 力 來 源 容 易 取 得 ， 故 運 用 非 常 廣 泛 。 其 位 置 控 制 精 確 度 可 達 1μ m 以 下 ， 常 用 於 半 導 體 製 程 或 精 密 加 工 等 範 圍。最 新 的 應 用 則 為 醫 療 用 途，舉 達 文 西 手 術 系 統 (Da Vinci Surgical System) 為 例 ：. 圖 2.1. 達文西手術系統操作示意圖. 這 是 一 款 由 美 國 Intutive Surgial 公 司 研 發 的 手 術 機 器 人 ， 可 用 於 開 心、開 腎、開 肺 等 多 種 開 刀 用 途，更 可 進 行 遠 距 醫 療 與 同 時 接 續 四 條 血管，同時由於可以讓醫生坐著開刀，故可延長醫生的開刀壽命。. 7.
(19) 2.2. 機器人錯誤偵測與識別相關研究. 1. Fabrizio Caccavale 與 D.Walker[3] 文 中 發 表 一 套 建 構 於 離 散 時 間 的 自 我 診 斷 錯 誤 系 統，該 系 統 將 觀 察 器 與 實 際 量 測 的 誤 差 值 進 行 線性回授，再利用延遲非線性補償的方式，來提高機器人對於未 知系統參數的強健度，而非將臨界門檻調高使得感測錯誤的靈敏 度降低。另一方面，該系統在觀察器的設計上考慮系統離散化時 的誤差，使觀察器能夠更確實地反應出系統狀況。 雖然延遲架構能增加系統的強健度，但因為其特性類似低通 濾波器，能夠濾掉突變的訊號，但同時也會犧牲錯誤診斷的敏銳 度。至於將觀察器設計考慮系統離散的誤差，雖然看似可行，但 是在現實中，系統模型不可能完全與理論模型相同的情況下，未 能完全解決系統離散化誤差的問題。. 2. M.L. McIntyre ,W.E. Dixon ,D.M. Dawson 和 I.D. Walker 於 [4] 將 機 械 臂 錯 誤 情 形 分 為 致 動 器 卡 住 (locked-joint fault) 、 不 受 力 甩 動 (free-swing fault) 、 階 梯 錯 誤 (ramp fault) 或 是 飽 和 錯 誤 (saturated. fault) 。 文 中 發 表 如 何 經 由 預 測 值 與 實 際 值 誤 差 和 非 線 性 觀 測 器 與 來進行轉軸致動器的錯誤偵測和識別，其主要貢獻在於利用濾波 器使計算力矩不需使用到角加速度，因為若由角度作兩次差分或 角速度作一次差分往往會因為雜訊的干擾而失真，造成力矩計算 的極大誤差，因此利用濾波器濾掉角加速度來進行力矩計算與比 較。此外由於觀察器不會受到控制器影響，故強健度較好，不容 易受到雜訊干擾。. 8.
(20) 3. Jin-Ho Shin 與 Ju-Jang Lee 於 [5]中 提 出 適 用 於 機 器 人 致 動 器 的 錯 誤偵測與強健的錯誤矯正控制，其討論錯誤發生為致動器錯誤並 僅討論馬達自由甩動的情況，馬達卡住或飽和不在討論範圍內。 該論文首先將偵測與識別各別分為一個平台，兩個平台的方 法都很直接。. 錯誤偵測 由 計 算 力 矩 控 制 器 (Computed Torque Controller) 事 先 給 定 軌 道 qc0 ， 再 用 感 測 器 去 獲 得 實 際 的 軌 道 q ， 若 兩 者 相 差 ec0 大 於 臨 界 值則錯誤發生。. 錯誤識別 錯 誤 識 別 的 平 台 也 是 檢 測 事 先 給 定 的 系 統 錯 誤 的 軌 道 qci 是 否 與感測器量測值相同，來確定哪個軸的致動器故障。若一 n 軸機 械 臂 有 p 個 軸 故 障 ， 則 事 先 給 定 的 參 考 訊 號 須 C pn 個 。 以 3 軸 機 械 臂 且 有 1 軸 故 障 為 例 ， 需 要 給 定 3 個 ( C13 =. 3! ) (3 − 1)!× 1!. 錯誤軌道。. q：量測軌道 qci ： 給 定 軌 道 eci = q − qci. i = 1, 2,3. (2.27). 分成以下三種者情形：. ec1 = 0 ， 第 一 軸 錯 誤 發 生 。 ec2 = 0 ， 第 二 軸 錯 誤 發 生 。 ec3 = 0 ， 第 三 軸 錯 誤 發 生 。. 9.
(21) 4. De Luca, A.Mattone,R.. 於. [7]. 中 提 出 一 種 基 於 廣 義 慣 量. (generalized momenta) 與 經 由 H ∞ 理 論 設 計 狀 態 觀 測 器 的 機 械 臂 轉 軸錯誤偵測方法。該論文先將致動器發生錯誤的問題重新改寫為 一針對線性系統設計觀察器的問題。因此設計一組識別器. (identifier) 代 表 一 種 錯 誤 狀 況 ， 每 一 個 識 別 器 由 皆 為 線 性 濾 波 器，並 會 產 生 一 個 相 對 應 的 剩 餘 值 訊 號，來 決 定 該 錯 誤 發 生 與 否 。 雖然該論文最後進行實驗，的確可以決定系統錯誤的種類， 但 作 者 仍 有 提 到 這 是 依 據 量 測 雜 訊 (measurement noise) 事 先 設 定 門 檻 (threshold) 的 結 果，也 就 是 門 檻 的 設 定 將 會 影 響 錯 誤 偵 測 的 結 果。. 5. Alexander B. Trunov 與 Marios M. Polycarpou 於 [8] 提 出 一 個 應 用 於 非 線 性 多 輸 入 多 輸 出 系 統 (non-linear multi-input multi-output ) 的 強健非線性錯誤診斷架構。這個錯誤診斷架構裡使用一組線上的 近 似 器 (on-line approximator) 和 適 應 性 非 線 性 濾 波 技 術 來 估 測 錯 誤 的 形 式 ， 整 個 架 構 先 對 非 線 性 系 統 作 一 非 線 性 近 似 (例 如 使 用 類 神 經 網 路 )來 估 測 系 統 錯 誤 發 生 並 近 似 錯 誤 的 種 類 ， 再 對 該 錯 誤 進 行 識 別 和 容 忍 (accommodation) 。 有 以 上 的 論 述 ， 可 見 該 架 構 可 同 時 且獨立的估測系統狀態和出錯種類，且由於對系統做近似的關 係，其計算量也比原始非線性系統觀察器來的小。. 第 二 章 大 略 介 紹 機 器 人 相 關 的 錯 誤 偵 測 相 關 研 究 後，在 第 三 章 將 更 深 入 地 闡 述 各 種 錯 誤 偵 測 與 識 別 技 術，作 為 後 續 本 論 文 演 算 法 推 導 的 基礎。. 10.
(22) 第三章 錯誤偵測與識別技術. 基 於 模 型 的 錯 誤 偵 測 和 識 別 (Model-based FDI) 廣 泛 運 用 於 各 類 型 的 動 態 系 統，舉 凡：航 太、車 輛、交 通 運 輸、工 業 用 機 械 臂 等 都 可 見 其 身 影。基 於 模 型 的 錯 誤 偵 測 和 識 別 (Model-based FDI) 利 用 理 論 系 統 和 實 際 系 統 間 的 輸 出 不 同 來 計 算 其 剩 餘 值 (Residuals) ， 以 指 出 系 統 是 否 出 錯。本 章 節 會 對 其 相 關 演 變 和 背 景 知 識 作 清 楚 的 介 紹，順 序 是 先 將 整 個 的 估 測 系 統 做 一 概 略 性 的 介 紹，再 分 別 對 其 各 個 區 塊 進 行 詳細的介紹。 第一小節介紹錯誤估測和識別系統的三大區塊，分別是：建立 錯 誤 系 統 模 型、剩 餘 值 產 生 和 剩 餘 值 評 估。建 立 錯 誤 系 統 模 型 是 基 於 模 型 的 錯 誤 偵 測 和 識 別 (Model-based FDI) 最 重 要 的 部 份，在 精 確 的 數 學 模 型 下，系 統 錯 誤 才 容 易 偵 測 和 識 別。剩 餘 值 產 生 和 評 估 則 是 一 般 論 文 主 要 專 注 的 課 題，這 部 份 設 計 的 好，將 可 補 足 模 型 精 確 度 上 的 不 足。第 二 小 節 專 注 於 觀 察 器 的 設 計，其 對 應 到 錯 誤 偵 測 與 識 別 三 大 區 塊 的 剩 餘 值 產 生 的 部 份，觀 察 器 的 種 類 非 常 多，因 為 模 擬 對 象 為 在 高 斯 雜 訊 下 的 非 線 性 系 統 ， 故 選 用 非 追 蹤 型 卡 曼 濾 波 器 (UKF,Unscented. Kalamn Filter )。 第 三 小 節 將 介 紹 多 模 型 組 態 ， 這 部 分 對 應 到 剩 餘 值 的 評 估 ， 本 小 節 介 紹 的 多 模 型 組 態 演 算 法 為 GPB-1(General Pseudo. Bayesian 1) 與 GPB-2(General Pseudo Bayesian 2) 演 算 法 ， 這 兩 種 演 算 法的原理是相同的，但是考量到模型估測的準確度，故本論文採用. GPB-2 演 算 法。最 後 一 小 節 就 如 何 增 進 模 型 的 準 確 度，介 紹 期 望 值 最 大 化 演 算 法。在 錯 誤 偵 測 與 識 別 三 大 區 塊 中，最 重 要 的 就 是 模 型 的 精 確 度，期 望 值 最 大 化 演 算 法 將 用 於 估 測 摩 擦 力 係 數，補 償 模 型 不 精 確 的部份，因而增加錯誤偵測與識別的準確率。 11.
(23) 3.1 基 於 模 型 的 錯 誤 偵 測 和 識 別 技 術 基 於 1.1.1 節 的 敘 述 ， 大 概 可 以 了 解 到 基 於 模 型 的 錯 誤 偵 測 和 識 別 (Model-based FDI) 是 一 個 具 有 回 授 的 技 術，此 技 術 比 不 基 於 模 型 的 錯 誤 偵 測 和 識 別 (Model-free FDI) 有 更 好 的 效 果。在 這 章 節 裡，將 會 對該種技術作更深入的探討。 基 於 模 型 的 錯 誤 偵 測 和 識 別 技 術 (Model-based FDI)，大 致 可 用 一 句 話 來 做 完 整 的 描 述 ：「 事 先 給 定 系 統 錯 誤 的 描 述 以 及 系 統 的 數 學 模 型，藉 由 萃 取 感 測 器 量 測 之 系 統 輸 入 與 輸 出，利 用 系 統 之 數 學 模 型 來 進 行 系 統 狀 態 的 確 認。」做 法 為 將 感 測 器 量 測 之 實 際 訊 號 和 經 過 數 學 模 型 的 估 測 訊 號 相 減 產 生 剩 餘 值 (Residual Generation)，再 經 由 事 先 設 定 錯 誤 門 檻 (fault threshold) 進 行 剩 餘 值 評 估 (Residual Evaluation) ， 確 定是否有錯誤發生。. 本論文採用的架構圖如下：. 圖 3.1 錯 誤 偵 測 架 構 圖 [10] 該 流 程 圖 是 由 chow 和 willsky [10] 於 1980 年 提 出 的 ， 目 前 已 被 廣 泛 12.
(24) 地 用 於 錯 誤 診 斷 的 領 域 。 圖 3.1 可 分 為 兩 個 主 要 步 驟 ： 剩 餘 值 產 生. (Residual Generation) 與 剩 餘 值 評 估 (Residual Evaluation) 。. 1. 剩 餘 值 產 生 (Residual Generation) ： 這 個 區 塊 利 用 待 估 測 系 統 的 輸 入和輸出負責產生剩餘值，所計算出的剩餘值必須能夠某種程度 的代表系統是否出錯。因此，剩餘值必須在正常運作的時候為零 或接近零，而在系統出錯時遠大於零。理想的情況下，剩餘值的 大小和系統的輸入和輸出呈獨立關係，只跟系統的狀態有關。. 2. 剩 餘 值 評 估 (Residual Evaluation) ： 這 個 區 塊 對 產 生 的 剩 餘 值 利 用 相 似 值 (Likelihood) 或 決 定 法 則 (Decision Rule) 進 行 評 估，以 確 定 系 統 是 否 真 有 錯 誤 發 生。一 般 的 作 法 是 設 定 一 個 門 檻 (threshold) 對 即 時 產 生 的 剩 餘 值 進 行 測 試 ， 也 可 對 剩 餘 值 進 行 移 動 平 均 (Moving. Averages) 再 進 行 測 試 。 此 外 ， 也 有 一 些 利 用 統 計 方 法 的 測 試 ， 例 如 ： 通 用 相 似 值 比 率 測 試 (generalized likelihood ratio testing)[19] 和 序 列 機 率 值 比 率 測 試 (sequential probability ratio testing)[20] 。. 在 基 於 模 型 的 錯 誤 偵 測 和 識 別 (model-based FDI) 的 領 域 裡 的 重 要 的 貢 獻 大 都 分 布 在 剩 餘 值 產 生 (Residual Generation) 的 部 份，因 為 若 產 生 的 剩 餘 值 能 夠 明 確 地 表 現 系 統 的 狀 態 ， 剩 餘 值 評 估 (Residual. Evaluation) 的 部 份 將 容 易 設 計 。. 13.
(25) 3.1.1 錯 誤 系 統 模 型 的 建 立. 大 略 地 了 解 架 構 後 ， 此 小 節 開 始 進 行 錯 誤 偵 測 的 第 一 步 ：「 建 立 錯誤系統模型。」. 圖 3.2. 閉 迴 路 系 統 中 的 錯 誤 偵 測 [2]. 圖 3.2 是 一 個 結 合 錯 誤 偵 測 的 閉 迴 路 系 統 控 制 方 塊 圖，可 見 到 受 控 廠 的 輸 入 u* (k ) 和 輸 出 y* (k ) 分 別 經 由 輸 入 感 測 器 (input sensor) 和 輸 出 感 測 器 (output sensor) 輸 入 錯 誤 偵 測 和 識 別 (FDI) 區 塊 進 行 處 理 。 值 得 注 意 的 是，控 制 器 的 設 計 對 錯 誤 偵 測 有 相 當 的 影 響，故 做 錯 誤 偵 測 時 也 必 須 考 慮 控 制 器 的 響 應，過 於 強 健 的 控 制 器 有 可 能 忽 略 系 統 的 錯 誤而使得錯誤診斷愈加困難。 假設控制器不會有錯誤發生且受控廠有錯誤發生的情況下，將 圖 3.2 改 畫 為 圖 3.3 以 便 將 探 討 錯 誤 發 生 的 範 圍 縮 小 。. 14.
(26) 圖 3.3 簡 化 後 的 系 統 錯 誤 模 型 圖 [2]. 圖 3.3 是 一 個 簡 易 的 系 統 錯 誤 模 型 圖，可 見 到 假 設 的 錯 誤 包 括 致 動 器 錯 誤、受 控 廠 錯 誤 與 感 測 器 錯 誤。假 設 此 受 控 廠 為 一 線 性 非 時 變. (LTI) 的 離 散 系 統 ， 則 其 狀 態 方 程 式 可 以 表 示 為 (3.1),(3.2) 。. ⎧⎪ x(k + 1) = Ax(k ) + Bu * (k ) ⎨ * ⎪⎩ y (k ) = Cx(k ). ( 3. 1) ( 3. 2). 其 中 x(k ) ∈ R n 為 系 統 狀 態， y* (k ) ∈ R m 為 系 統 輸 出， u* ∈ R r 為 系 統 輸 入 ，. A ∈ R n×n 為 狀 態 轉 移 矩 陣 ， B ∈ R n×r 為 系 統 輸 入 矩 陣 ， C ∈ R m×n 為 系 統 輸 出矩陣。 將 受 控 廠 錯 誤 f c (k ) 列 入 考 慮，並 假 設 其 可 用 疊 加 訊 號 表 示，則 狀 態 方 程 式 為 x(k + 1) = Ax(k ) + Bu * (k ) + f c (k ) 其中. f c (k ) = ⎡⎣ f c1 (k ) f c2 (k ) ...... f cn (k ) ⎤⎦. (3.3). T. 若不考慮感測器的動態響應，也可將感測器的量測誤差寫為疊 加 訊 號 ， 如 (3.4),(3.5) 。 (3.4) 與 (3.5) 這 種 表 示 有 其 實 質 上 的 好 處 ， 不 但 可 以 在 處 理 訊 號 的 時 候 統 一 進 行 處 理，也 可 藉 由 等 量 加 減 消 去 的 方 式來推估錯誤的種類。. 15.
(27) ⎧⎪u (k ) = u * (k ) + fu (k ) ⎨ * ⎪⎩ y (k ) = y (k ) + f y (k ). ( 3. 4 ) ( 3. 5 ). 其 中 fu (k ) = ⎡⎣ fu1 (k ) fu2 (k ) ...... f ur (k ) ⎤⎦ T f y (k )= ⎡⎣ f y1 (k ) f y2 (k ) ...... f yn (k ) ⎤⎦. T. 舉 兩 個 藉 由 (3.4),(3.5) 描 述 錯 誤 的 例 子 ： 例一、 若 輸 入 感 測 器 的 輸 出 因 故 障 而 固 定 在 某 個 輸 出 值 u ， 則 錯 誤 可 描 述 為 fu (k ) = −u * (k ) + u (k ) 。 例二、 若 輸 入 感 測 器 的 輸 出 受 到 震 動 的 影 響 使 輸 出 值 更 動 為 (1 + δ )u * (k ) ， 錯 誤 可 描 述 為 fu (k ) = −u * (k ) + (1 + δ )u * (k ). = δ u * (k ) 。 此 外 ， 致 動 器 (actuator) 的 錯 誤 亦 可 以 用 疊 加 訊 號 表 示 為. u * (k ) = uR (k ) + f a (k ). f a (k ) = ⎡⎣ f a1 (k ) f a2 (k ) ...... f an (k ) ⎤⎦ T. (3.6). 一 般 所 有 的 量 測 都 會 有 量 測 誤 差 v，這 個 誤 差 同 樣 也 可 以 用 疊 加 訊號來表示，故最後感測器的完整錯誤模型描述為. ⎧⎪u (k ) = u * ( k ) + vu (k ) + fu (k ) ⎨ * ⎪⎩ y (k ) = y (k ) + v y (k ) + f y (k ). ( 3. 7 ) ( 3. 8 ). 其 中 fu (k ) = ⎡⎣ fu1 (k ) fu2 (k ) ...... fur (k ) ⎤⎦ T. f y (k ) = ⎡⎣ f y1 (k ) f y2 (k ) ...... f yn (k ) ⎤⎦. T. T. v y (k ) = ⎡⎣v y1 (k ) v y2 (k ) ...... v yn (k ) ⎤⎦. T. vu (k ) = ⎡⎣ vu1 (k ) vu2 (k ) ...... vur (k ) ⎤⎦. 整 理 (3.1) 、 (3.2) 、 (3.3) 、 (3.4) 、 (3.5) 、 (3.6) 、 (3.7 )、 (3.8) 得 到 一 組 完 整 描 述 系 統 ( 圖 3.3) 之 方 程 式 (3.9) 、 (3.10) 、 (3.11 )、 (3.12) 。 ⎧ x(k + 1) = Ax(k ) + Bu * (k ) + f u (t ) ⎪ ⎪ y (k ) = Cx(k ) + f y (k ) + v y (k ) ⎨ * ⎪u (k ) = u (k ) + fu (k ) + vu (k ) ⎪u * (k ) = u ( k ) + f (k ) R a ⎩. ( 3. 9 ) ( 3. 10) ( 3. 11) ( 3. 12 ). 16.
(28) 3.1.2. 剩餘值產生器. 讀 過 3.1.1 了 解 如 何 建 立 模 型 後，在 錯 誤 偵 測 和 識 別 架 構 中 的 下 個 要 了 解 的 區 塊 是 剩 餘 值 產 生 器 (Residual Generator) 。. M. Basseville [11] 於 1988 年 提 出 一 連 續 時 間 的 剩 餘 值 產 生 器 的 通 用 架 構 (Residuals Generator General Structure) 如 圖 3.4 所 示 。. 圖 3.4 剩 餘 值 產 生 器 的 通 用 架 構 (M. Basseville) [11]. Fig 3.4 描 述 剩 餘 值 z (t ) 的 產 生 方 式 為. u (t ) : input y (t ) : output r (t ) : residuals ⎧ z (t ) = W1 ( u ( ⋅ ), y ( ⋅ ) ) ⎨ ⎩r (t ) = W2 ( z ( ⋅ ), y ( ⋅ )). 當系統沒有錯誤發生的時候. ( 3. 13 ) ( 3. 14). r (t ) = 0 ， 反 之 r (t ) ≠ 0 。. 圖 3.4 中 W1 (t ) 的 最 簡 單 的 設 計 方 法 是 將 其 用 受 控 廠 (plant) 取 代，也 就 是 z (t ) = W1 ( u ( ⋅ ))，此 時 的 z (t ) 與. y (t ) 無 關；我 們 可 將 W1 ( u ( ⋅ )). 視 為 待 估 測 系 統 的 模 擬 器 (simulator) ， 此 時 設 計 r (t ) = z (t ) − y (t ) 即 可 。. 17.
(29) 由 於 此 為 一 個 開 迴 路 (open-loop) 系 統 ， 故 r (t ) 可 能 發 散 。 為 了 避 免發散的情形，比較好的設計方法是將. y (t ) 列 入 考 慮 ， 例 如 ： 使 用. 卡 曼 濾 波 器 (Kalman Filter) 等 觀 察 器 進 行 狀 態 估 測 。. 圖 3.5 剩 餘 值 產 生 器 的 通 用 架 構 (Patton and Chen) [12]. 另 外 一 個 通 用 的 離 散 剩 餘 值 產 生 器 設 計 方 法 如 Fig 3.5 所 示 ， 這 是 一 個 由 Patton 和 Chen [12] 於 1991 年 提 出 的 通 用 的 剩 餘 值 產 生 器. (Residuals Generator) ， 此 剩 餘 值 產 生 器 把 錯 誤 對 系 統 的 響 應 用 G y f ( z ) 表 示 ， 並 設 計 H u* ( z ) 和 H y ( z ) 來 產 生 剩 餘 值 。. 方程式如下：. ⎧ y ( z ) = G yu* ( z )u * ( z ) + G yf ( z ) f ( z ) ⎪⎪ ⎨ ⎡u * ( z ) ⎤ * ⎡ ⎤ ⎪ r ( z ) = ⎣ H u* ( z ) H y ( z ) ⎦ ⎢ ⎥ = H u* ( z )u ( z ) + H y ( z ) y ( z ) ⎣ y( z) ⎦ ⎩⎪. (3.15) (3.16). 基 於 剩 餘 值 的 物 理 意 義，必 須 設 計 f ( z ) = 0 時 r ( z ) = 0 為 充 分 必 要 條 件 ， 18.
(30) 推導其充分必要條件如下： r ( z ) = H u* ( z )u * ( z ) + H y ( z ) y ( z ). = H u* ( z )u * ( z ) + H y ( z )G yu* ( z )u * ( z ) = ⎡ H u* ( z ) + H y ( z )G yu* ( z ) ⎤ u * ( z ) ⎣ ⎦. =0. (3.17). 要 讓 (3.17) 成 立 則 H u* ( z ) + H y ( z )G yu* ( z ) = 0. (3.18). 方 程 式 (3.18) 可 利 用 參 數 誤 差 設 計 的，相 關 的 文 獻 可 以 參 考 Patton and. Chen[12] 以 及 Chen and Patton 1999[13] 。. 3.1.3. 剩餘值評估. 在 3.1.1節 了 解 了 系 統 錯 誤 模 型 的 建 立 ， 在 3.1.2節 了 解 了 剩 餘 值 產 生 器 的 大 致 流 程，接 著 就 是 剩 餘 值 評 估 的 部 份。一 般 用 於 判 斷 錯 誤 與 否 最 簡 單 和 廣 泛 使 用 的 方 法 是 建 立 一 個 錯 誤 門 檻 (fault. threshold) ， 當 剩 餘 值 超 過 門 檻 的 話 就 是 有 錯 誤 發 生 ， 反 之 則 否 。 在 某 些 情 況 下，甚 至 會 對 剩 餘 值 再 進 行 處 理，使 得 錯 誤 偵 測 與 識 別 的 效 果更好，以下舉「時間平均判定法」為例。 由 於 實 際 系 統 的 輸 出 參 雜 有 雜 訊 的 部 份，因 此 而 使 得 產 生 的 剩 餘 值 不 會 為 0， 而 為 了 去 除 雜 訊 最 簡 單 的 做 法 就 是 將 剩 餘 值 取 平 均 值 ， 此 即 為 「 時 間 平 均 判 定 法 」。 若 雜 訊 為 具 有 平 均 值 為 0的 白 雜 訊 (white. noise) 就 可 藉 由 時 間 平 均 (time average) 濾 掉 雜 訊 而 使 錯 誤 偵 測 變 得 更 準 確 ； 若 平 均 值 不 為 0， 則 需 設 定 一 個 比 此 平 均 值 大 的 臨 界 門 檻 來 判 定 是 否 有 錯 誤 發 生。此 外，如 果 直 接 設 定 錯 誤 門 檻，將 剩 餘 值 取 範 數 比 較 ， 則 為 「 直 接 比 較 判 定 法 」。. 19.
(31) 直接比較判定法 在 文 獻 [14] 中 提 到 將 剩 餘 值 取 範 數 (norm) ， 再 藉 由 臨 界 門 檻 進 行 判定錯誤發生與否。 :範 數. ⎧≥ threshold , fault occurs r(t) ⎨ ⎩ < threshold , no fault. (3.19). 這種方法雖然可即時的進行錯誤檢測，但在檢測度較為不準， 其 臨 界 門 檻 設 定 至 少 必 須 比 雜 訊 的 標 準 差 來 的 大，以 避 免 將 雜 訊 判 定 成系統錯誤發生。但是如此一來，當有比雜訊標準差小的錯誤發生 時，就會發生誤判的情形。. 時間平均判定法 E{. }：平均值. r (k)+r (k-1)+...+r (k-m+1) m ⎧ ≥ threshold , fault occurs E {r (k)} ⎨ ⎩ < threshold , no fault E {r (k)} =. (3.20) (3.21). 將 剩 餘 值 作 時 間 平 均 ， 再 與 錯 誤 門 檻 進 行 比 較 。 (3.20) 為 設 定 一 個 長 度 為 m 的 取 樣 窗 戶 (sampling window) ， 對 時 間 k 至 時 間 k-m+1 的 m 個 剩 餘 值 取 平 均 ， (3.21) 則 是 將 該 平 均 值 與 錯 誤 門 檻 比 較 評 估 是 否 有 錯誤發生。. 20.
(32) 3.2. 觀察器設計 在 控 制 系 統 上 ， 觀 察 器 與 受 控 廠 的 架 構 如 圖 3.6 ， 其 目 的 在 於 藉. 由給予實際系統的輸出和輸入來模擬實際系統而計算出實際系統的 內 部 狀 態。當 獲 得 系 統 的 內 部 狀 態，則 可 進 行 控 制 器 的 設 計，已 達 到 我們希望的效果。. 圖 3.6. 3.2.1. 觀察器作用示意圖. 觀察器架構. 假 設 控 制 廠 為 一 線 性 系 統 狀 態 方 程 式 如 下，進 行 簡 易 的 觀 察 器 設 計 ：. ⎧ x(k + 1) = Ax(k ) + Bu (k ) ⎨ ⎩ y (k ) = Cx(k ) + Du (k ). ( 3. 22 ) ( 3. 23 ). x(k ) : 實 際 系 統 時 間 k的 內 部 狀 態 u (k ) : 實 際 系 統 時 間 k的 輸 入 y (k ) : 實 際 系 統 時 間 k的 輸 出 A, B, C , D : 線 性 矩 陣. 21.
(33) 最 早 的 觀 察 器 架 構 與 想 法 為 盧 納 柏 格 [15] 提 出 的 ， 故 稱 為 盧 納 柏 格 觀 察 器 (Luenberger observer)，其 方 法 是 設 計 一 個 矩 陣 L ，以 適 應 性 的 方 式漸漸將估測器與實際輸出誤差值降低，其方程式如下： ⎧ xˆ (k + 1) = Axˆ (k ) + Bu (k ) + L [ y (k ) − yˆ (k ) ] ⎨ yˆ (k ) = Cxˆ (k ) + Du (k ) ⎩. ( 3. 24 ) ( 3. 25 ). 將 (3.24) 與 (3.22) 相 減 ， 得 到 估 測 與 實 際 之 間 的 誤 差 值 e ， (3.26) 。. e(k + 1) = xˆ (k + 1) − x(k ) = { Axˆ (k ) + Bu (k ) + L [ y (k ) − yˆ (k )]} − { Ax(k ) + Bu (k )}. (3.2 6 ). 將 (3.23),(3.25) 代 入 (3.26). e(k + 1) = xˆ (k + 1) − x(k ) = A [ xˆ (k ) − x( k ) ] − L [ yˆ ( k ) − y ( k ) ]. = Ae(k ) − L ⎡⎣C ( xˆ (k ) − x(k ) ) ⎤⎦ = ( A − LC ) e(k ). (3.27). 由 (3.27) ， 若 矩 陣 A − LC 的 特 徵 值 的 絕 對 值 皆 小 於 1， 則 此 觀 測 器 會 收 斂並穩定，可由此設計 L矩陣。. 22.
(34) 3.2.2. 卡曼濾波器. 於 1960年 ， 卡 曼 (R.E. Kalman) 發 表 了 一 篇 探 討 線 性 濾 波 與 估 測 問 題 的 論 文，在 這 篇 論 文 中 卡 曼 (R.E. Kalman) 利 用 遞 迴 的 方 式 來 解 決 運 算 量 過 大 的 問 題，並 證 明 這 是 線 性 系 統 在 高 斯 雜 訊 下 的 最 佳 解。由 於 正 逢 美 蘇 軍 備 競 賽，因 此 卡 曼 濾 波 器 在 控 制 與 導 航 領 域 中 被 大 量 研 究與運用。 卡 曼 濾 波 器 是 線 性 系 統 在 高 斯 雜 訊 (Gaussian noise) 下 的 最 小 誤 差 平 均 平 方 (minimum mean square error) 解 。. 考慮線性系統與加成型高斯雜訊如下：. ⎧ x(k + 1) = Ax(k ) + Bu (k ) + Gv(k ) ⎨ ⎩ y (k ) = Cx(k ) + Du (k ) + w(k ). ( 3. 28 ) ( 3. 29). A, B, C , D, E ： 線 性 轉 移 矩 陣 u (k ) ： 時 間 ｋ 時 的 系 統 輸 入 x(k ) ： 時 間 ｋ 時 的 系 統 狀 態 y (k ) ： 時 間 ｋ 時 的 系 統 輸 出 v(k ) ： 時 間 ｋ 時 的 處 理 雜 訊 w(k ) ： 時 間 ｋ 時 的 量 測 雜 訊. 卡曼濾波器主要分為兩個主要步驟： 1. 狀 態 的 預 測 :利 用 系 統 轉 移 矩 陣 與 輸 入，從 此 刻 的 狀 態 預 測 下 個 時 間 的 狀 態，也 就 是 從 xˆ (k | k ) 預 測 xˆ (k + 1| k )，從 P(k | k ) 預 測 P (k + 1| k ) 。 2. 狀 態 的 修 正 :利 用 系 統 輸 出 量 測 值 修 正 之 前 的 預 測 值，已 得 到 更 精 確 的 估 測 ， 也 就 是 將 xˆ (k + 1| k ) 修 正 為 xˆ (k + 1| k + 1) ， 將 P (k + 1| k ) 修 正 為 P(k + 1| k + 1) 。 23.
(35) 其 中 xˆ (k | k ) 為 經 由 k時 間 點 的 量 測 值 估 測 得 到 的 系 統 狀 態 估 測 值 ， P 為 狀 態 估 測 值 協 方 差 矩 陣 (state covariance matrix) ， 定 義 為. {. P (k | k ) = E [ xˆ (k | k ) − x (k ) ][ xˆ (k | k ) − x(k ) ]. T. } ， 並 定 義 z(k ) 為 在 k點 的 資 訊. ( u (k ) , y (k ) ) ， Z k 為 到 第 k點 為 止 的 資 訊 z (k) 。. 整理卡曼濾波器演算法如下：. 狀態估測 xˆ (k + 1| k ) = Axˆ (k | k ) + Bu (k ). (3.30). {. P (k + 1| k ) = E [ xˆ (k + 1| k ) − x(k + 1) ][ xˆ ( k + 1| k ) − x( k + 1) ]. T. {. }. = E A [ xˆ (k | k ) − x(k ) ][ xˆ (k | k ) − x( k ) ] AT + Gv( k )vT ( k )GT T. = AP(k | k ) AT + GQ(k )G T. } (3.31). 狀態修正 P (k + 1| k + 1) = ⎡⎣ P(k + 1| k ) + C T R(k ) −1 C ⎤⎦. −1. −1. = P(k + 1| k ) − P (k + 1| k )C T ⎡⎣ R(k ) + CP(k + 1| k )C T ⎤⎦ CP(k + 1| k ). (3.32). L(k + 1) = P(k + 1| k + 1)C T R(k ) −1. (3.33). xˆ (k + 1| k + 1) = xˆ ( k + 1| k ) + L( k + 1) [ y ( k ) − Cxˆ ( k + 1| k ) + Du (k ) ]. (3.34). Q(k ) = E ⎡⎣ v(k )vT (k ) ⎤⎦ 為 處 理 雜 訊 的 協 方 差 矩 陣 R (k ) = E ⎡⎣ w(k ) wT (k ) ⎤⎦ 為 量 測 雜 訊 的 協 方 差 矩 陣 24.
(36) 3.2.3. 應用卡曼濾波器於非線性系統. 基於卡曼濾波器的簡單、強健度與最佳化等性能，故其廣泛使 用 於 線 性 系 統 的 狀 態 追 蹤 或 系 統 參 數 的 估 測，但 是 如 果 要 將 卡 曼 濾 波 器 應 用 在 非 線 性 領 域 則 相 當 的 困 難。一 般 常 用 的 作 法 是 將 非 線 性 系 統 做 一 階 線 性 化 ， 再 套 入 卡 曼 濾 波 器 的 步 驟 執 行， 也 就 是 所 謂 的「 拓 展 型 卡 曼 濾 波 器 」 (Extended Kalman filter) 。 另 一 種 作 法 ， 則 是 對 系 統 進 行 「 非 蹤 跡 型 轉 換 」 (Unscented Transform) ， 這 是 一 種 類 似 蒙 地 卡 羅 (Monte-Carlo) 取 樣 與 質 點 濾 波 器 (Particle Filter) 的 方 法 ， 將 其 套 入 卡 曼 濾 波 器 則 稱 為 「 非 蹤 跡 型 卡 曼 濾 波 器 」 (Unscented Kalman. filter) 。. 考慮非線性系統如下：. ⎧⎪ x(k + 1) = f [ x(k ), u (k ), v(k ), k ] ⎨ ⎪⎩ y (k ) = h [ x(k ), u (k ), k ] + w(k ). ( 3. 35 ) ( 3. 36 ). 其 中 f ,h 皆 為 非 線 性 轉 換. Q = E ⎡⎣v(k )vT (k ) ⎤⎦ 為 處 理 雜 訊 的 協 方 差 矩 陣 R = E ⎡⎣ w(k ) wT (k ) ⎤⎦ 為 量 測 雜 訊 的 協 方 差 矩 陣. 25.
(37) 拓 展 型 卡 曼 濾 波 器 (Extended Kalman Filter). 拓 展 型 卡 曼 濾 波 器 是 做 一 階 線 性 化， 故 將 (3.35) 式 的 非 線 性 系 統. f 作泰勒展開得到 f [ x] = f [ x + δ x]. 1 1 1 = f [ x ] + ∇f δ x + ∇ 2 f δ x 2 + ∇3 f δ x3 + ∇ 4 f δ x 4 + ... 2 3! 4!. (3.37). 故. 1 1 y = f [ x ] + ∇ 2 f Pxx + ∇ 4 f E ⎡⎣δ x 4 ⎤⎦ + ... 2 2 Pyy = ∇f Pxx (∇f )T + +. (3.38). 1 ∇ 2 f E[δ x 4 ] − E[δ x 2 Pyy ] − E[Pyyδ x 2 ] + Pyy2 (∇ 2 f )T 2 × 4!. (. ). 1 3 ∇ f E[δ x 4 ](∇3 f )T + ... 3!. (3.39). 由 (3.38) 取 y = f [ x ] 作 線 性 近 似 ， 由 (3.39) 取 Pyy = ∇f Pxx (∇f )T 作 線 性 近 似，接 下 來 就 是 套 入 (3.30)、 (3.31)、 (3.32)、 (3.33) 與 (3.34) 進 行 計 算 。. 非 追 蹤 型 卡 曼 濾 波 器 (Unscented Kalman Filter). 讓 我 們 先 來 了 解 非 追 蹤 型 轉 換 (Unscented Transform) ， 這 是 由. Simon J. Julier 與 Jeffrey K. Uhlmann[16]於1997年提出的。 非 追 蹤 型 轉 換 (Unscented Transform) 是 一 種 計 算 隨 機 變 數 因 非 線 性 轉 換 時 所 產 生 的 統 計 變 化 的 方 法，其 最 基 本 的 概 念 在 於「 對 輸 入 訊 號 作 高 斯 轉 換 的 近 似 比 對 待 處 理 的 非 線 性 系 統 作 近 似 來 的 容 易 」。 由 圖 3.7[17] 將 可 了 解 其與「拓展型卡曼濾波器」的差別。. 26.
(38) 圖 3.7 蒙 地 卡 羅、拓 展 型 卡 曼 濾 波 器 與 非 追 蹤 型 卡 曼 濾 波 器 估 測 比 較. 圖 3.7 左 邊 代 表 當 取 點 很 多 的 時 候 ， 可 以 準 確 的 算 出 準 確 的 平 均 和 代 表 協 方 差 的 圓 圈 範 圍 ； 中 間 的 圖 則 代 表 「 拓 展 型 卡 曼 濾 波 器 」， 也 就 是 對 非 線 性 系 統 進 行 一 階 線 性 化，這 時 所 算 出 來 的 平 均 和 協 方 差 的 圓 圈 則 大 幅 偏 離 真 實 的 平 均 和 協 方 差 圓 圈；右 邊 的 圖 為「 非 追 蹤 型 卡 曼 濾 波 器 」， 這 個 方 法 是 在 原 來 的 數 值 域 取 特 定 數 量 的 點 ， 在 將 其 經 過 非 線 性 轉 換，並 利 用 轉 換 後 的 點 計 算 平 均 值 和 協 方 差，可 發 現 其 平 均 與協方差與實際的值相差不多。. 公式整理. 初始化 將待估測值狀態 x與處理雜訊 v和量測雜訊 w組合成為一新的狀態. (3.40) 與 新 的 協 方 差 (3.41) 。. 27.
(39) xˆ (0 | 0) = E [ x(0 | 0) ]. (. P (0 | 0) = E [ x(0 | 0) − xˆ (0 | 0) ][ x(0 | 0) − xˆ (0 | 0) ]. T. xˆ a (0 | 0) = E ⎡⎣ x a (0 | 0) ⎤⎦ = ⎡⎣ xˆ T (0 | 0) 0 0 ⎤⎦. (. ). T. (3.40). P (0 | 0) = E ⎡⎣ x (0 | 0) − xˆ (0 | 0) ⎤⎦ ⎡⎣ x (0 | 0) − xˆ (0 | 0) ⎤⎦ a. a. a. a. a. T. ). ⎡ P0 = ⎢⎢ 0 ⎢⎣ 0. 0 Pv. 0. 0⎤ 0 ⎥⎥ Pw ⎥⎦. (3.41). 其 中 Pv 為 (3.35) 中 的 v(k ) 的 協 方 差 矩 陣 , Pw 為 (3.36) 中 的 w(k ) 的 協 方 差 矩陣. 取點與計算對應的權重. ( L + λ ) P a (k − 1| k − 1) 可 參 照 [17]使 用 Cholesky 分 解. x (k − 1| k − 1) = ⎡⎣ xˆ (k − 1| k − 1) a. W0( m ) = λ. W0( c ) = λ. a. xˆ a (k − 1| k − 1) ± ( ( L + λ ) P a (k − 1| k − 1) )i ⎤ (3.42) ⎦. (3.43). (L + λ ). (3.44). ( ( L + λ ) + (1 − α + β ) ). Wi ( m ) = Wi ( c ) + 1. 2. (3.45). 2( L + λ ). 其 中 i = 0,1,..., 2 L + 1 ， L 為 P a 的 行 或 列 的 長 度 。. λ = α 2 ( L + κ ) − L 為 可 調 參 數， α 通 常 設 為 極 小 的 正 數，其 代 表 所 取 的 點 與 xˆ 的 分 佈 距 離； β 用 於 合 併 之 前 關 於 x 的 資 訊 (若 x 為 高 斯 分 佈， β 為 2最 佳 )； κ 則 為 次 要 的 調 整 參 數 ， 其 值 通 常 設 為 0。 詳 細 的 調 整 方 式 可 參 照 [16],[17]。. 28.
(40) 預測. 將 取 樣 的 點 (3.42) 輸 入 非 線 性 系 統 (3.35),(3.36) 得 到 (3.46),(3.47 )。. x. x. (k | k − 1) = f ⎡ x x (k − 1| k − 1), x v (k − 1| k − 1), u (k − 1), k ⎤ ⎣ ⎦. y(k | k − 1) = h ⎡⎣ x (k | k − 1), u(k − 1), k ⎤⎦ + x x. w. (3.46). (k − 1| k − 1). (3.47). 使 用 (3.43),(3.44),(3.45),(3.46),(3.47) 計 算 預 測 的 狀 態 (3.48) 和 協 方 差. (3.49) 以 及 預 測 的 輸 出 (3.50 )。 2L. xˆ (k | k -1) = ∑ Wi ( m ) xix (k | k − 1). (3.48). i =0. 2L. P (k | k -1) = ∑ Wi ( c ) ⎣⎡ xix (k | k − 1) − xˆ (k | k -1) ⎤⎦ ⎡⎣ xix (k | k − 1) − xˆ (k | k − 1) ⎤⎦. T. (3.49). i =0. 2L. yˆ (k | k − 1) = ∑ Wi ( m ) y (k | k − 1) i =0. (3.50). i. 修正. 使 用 權 重 (3.43),(3.44),(3.45) 與 預 測 值 (3.48),(3.49 ) ,(3.50) 計 算 (3.51) 和 (3.52) 。 2L. Pyk yk = ∑ Wi ( c ) ⎡⎣ yi (k | k − 1) − yˆ (k | k − 1) ⎤⎦ ⎡⎣ yi (k | k − 1) − yˆ (k | k − 1) ⎤⎦. T. (3.51). i =0 2L. Pxk yk = ∑ Wi ( c ) ⎣⎡ xix (k | k − 1) − xˆ (k | k − 1) ⎦⎤ ⎡⎣ yi (k | k − 1) − yˆ (k | k − 1) ⎤⎦. T. (3.52). i =0. 使 用 (3.51),(3.52) 計 算 改 變 的 比 例 κ (3.53 )，並 將 (3.48) 修 正 為 (3.54) ，. (3.50) 修 正 為 (3.55) 。. κ =P. xk yk. Py−k 1yk. (3.53). xˆ (k | k ) = xˆ (k | k − 1) + κ [ y (k ) − yˆ ( k | k − 1) ]. (3.54). P (k ) = P (k | k − 1) − κ Pyk yk κ T. (3.55). 29.
(41) 3.3. 多模型組態估測. 多模型組態估測的大體方法是先將系統依其特性分類為數個模 型，這 數 個 模 型 是 互 斥 的 且 其 機 率 和 值 為 １，因 此 在 任 意 時 間 下，系 統 可 用 其 某 一 模 型 加 以 描 述。多 模 型 估 測 的 方 式 就 是 同 時 運 行 這 數 個 模 型，藉 此 比 較 其 與 實 際 系 統 輸 出 的 差 別，來 分 辨 系 統 現 在 是 由 哪 個 模型描述的。. 首 先 對 各 種 多 重 模 型 (Multiple Model) 下 的 名 詞 下 定 義 。. 定義: 多重模型 當一個系統的行為是由超過一個且有限數量的模型來加以描述的 話，這個系統就是一個多重模型系統。. 多重模型又分成兩類: 第 一 類 為 靜 態 多 重 模 型 (Static Multiple Model) ， 第 二 類 為 動 態 多 重 模 型 (Dynamic Multiple Model) ， 定 義 如 下 ：. 定義: 靜態多重模型 當進行估測時，模型之間沒有進行切換，則該系統為「靜態多重模 型 」。. 定義: 動態多重模型 當 進 行 估 測 時，模 型 之 間 有 進 行 切 換，則 該 系 統 為「 動 態 多 重 模 型 」。. 30.
(42) 以下再定義幾個變數，方便接下來的推導。. M j :第 j 個 模 型 ， j =1,2,… ,r z (k ) :第 k 個 時 間 點 時 的 資 訊 ， 在 本 論 文 中 指 的 是 受 控 場 輸 入 量 測 與輸出量測. Z k :到 第 k 個 時 間 點 時 為 止 的 所 有 資 訊 ( z (0) , z (1) ,…, z (k ) ). μ j (k ) :第 k 個 時 間 點 時，系 統 在 第 j 個 模 型 下 的 機 率，故 其 為 P{M j | Z k } xˆ j (k | k ) :由 z (k ) 估測第 k 個 時 間 點 估 測 到 的 第 j 個 模 型 的 狀 態 P j (k | k ) :由 z (k ) 估測第 k 個 時 間 點 估 測 到 的 第 j 個 模 型 的 協 方 差. 有了以上準備，接著開始進行推導。. 靜 態 多 重 模 型 下 的 估 測 (Static Multiple Model Estimator): 將 第 ｋ 個 時 間 時 ， 系 統 為 模 型 ｊ 的 機 率 μ j (k ) ， 利 用 貝 氏 定 理. (Bayes’ theorem) 與 條 件 機 率 化 簡 如 下 :. μ j (k ) ≡ P{M j | Z k } = P{M j | z (k ), Z k −1} = =. =. p[ z (k ) | Z k −1 , M j ]P{M j | Z k −1} p[ z (k ) | Z k −1 ] p[ z (k ) | Z k −1 , M j ]P{M j | Z k −1}. ∑. r i =1. p[ z (k ) | Z k −1 , M i ]P{M i | Z k −1}. p[ z (k ) | Z k −1 , M j ]μ j (k − 1). ∑. p[ z (k ) | Z k −1 , M i ]μi (k − 1) i =1 r. j = 1,..., r. 31. (3.56).
(43) 由 最 後 的 式 子 可 看 出 μ j (k ) 同 時 受 到 條 件 機 率 p[ z (k ) | Z k −1 , M j ] 、 μi (k − 1) 與 μ j (k − 1) ，i, j = 1, 2,..., r 的 影 響。其 中 條 件 機 率 p[ z (k ) | Z k −1 , M j ] 是 我 們 關 心的，也是多模型組態偵測的重點。. p[ z (k ) | Z k −1 , M j ] 代表到 第 k-1 的 時 間 點 時 為 止 的 所 有 資 訊 Z k −1 和經. 過第 k 個時間的第 j 個模型 M j (k ) 下，第 ｋ 個 時 間 點 所 得 到 的 輸出資 訊 為. z (k ) 的 機 率。尤 其 字 面 上 來 看 其 值 越 高 代 表 系 統 在 ｋ 時 間 是 M j 的機率 越高，因此其專有名詞為相似度(Likelihood)。. 因 為 UKF 是 對 該 點 進 行 高 斯 近 似 (Gaussian approximation) ， 令 其 相 似 值 為 Λ j (k ) ≡ p[ z (k ) | Z k −1 , M j ] = p[v j (k )]. = N [v j (k );0, S j (k )] 其 中 v j (k ) : innovation. (3.57). S j (k ) : covariance of innovation. 看 完 了 以 上 的 名 詞 定 義 欲 推 導 敘 述，可 以 看 出 第 k 個 時 間 點 的 狀 態 的 機 率 分 布 函 數 為 一 Gaussian Mixture 的 形 式 ， 其 狀 態 估 測 值 為 個 別 模 型的的輸出乘上個別模型的機率如下: r. p[ x(k ) | Z k ] = ∑ μ j (k ) N [ x(k ); xˆ j (k | k ), P j (k | k )] j =1. r. ⇒ xˆ (k | k ) = ∑ μ j (k ) xˆ j (k | k ). (3.58). i =1 r. P (k | k ) = ∑ μ j ( k ){P j ( k | k ) + [ xˆ j ( k | k ) − xˆ (k | k )][ xˆ j ( k | k ) − xˆ ( k | k )]T } j =1. 32. (3.59).
(44) 流程方塊圖如下:. 圖 3.8. 靜 態 模 型 下 估 測 流 程 方 塊 圖 [18]. 動 態 多 重 模 型 下 的 估 測 (Dynamic Multiple Model Estimator):. 簡 單 來 說，動 態 模 型 跟 靜 態 模 型 的 不 同 的 地 方 只 在 於 估 測 時，系 統有進行模型之間的切換，因此這類型的系統又稱為跳躍線性系統. (jump-linear systems) ， 建 立 動 態 模 型 方 程 式 如 (3.60),(3.61) 。. x(k ) = F [ M (k )]x(k − 1) + v[k − 1, M (k )]. (3.60). z (k ) = H [ M (k )]x(k ) + w[k , M (k )]. (3.61). F [ M (k )] , H [ M (k )] 為 在 k 時 間 點 的 模 型 的 系 統 轉 移 函 數 ， 若 M (k ) ∈ {M j }rj =1 ， 則 F [ M (k ) ] = F j. 其 中 Fj , H j. j = 1, 2,..., r ， H [ M (k ) ] = H j. j = 1, 2,..., r 皆 為 轉 移 函 數 33. j = 1, 2,..., r.
(45) v [ k − 1, M (k ) ] , w [ k , M (k ) ] 為 因 為 時 間 變 動 與 不 同 模 型 下 的 處 理 雜 訊 和. 量測雜訊。. 為 了 要 套 用 靜 態 多 重 模 型 (Static Multiple Model) 的 公 式 ， 必 須 記 錄 每 一 個 model 在 時 間 上 的 切 換 順 序 ( l th mode history through time. k) ， 以 作 為 推 導 的 依 據 。. 將到時間ｋ的第 l 個模型歷史紀錄表示為. M k ,l = {M i l ,l , . . . , M i k ,l }. l = 1 , . . . , r k ， ik ,l 為 第 l 個 模 型 歷 史 紀 錄 在 第 k 個 時. 間 點 對 應 的 模 型 索 引 ， 其 值 為 1~r。. 舉兩個例子:. r=2, k=2 ; 則 l =1,2,3,4. r=2, k=3 ; 則 l =1,2,…,8. 為 了 使 推 導 簡 化 ， 假 設 模 型 切 換 過 程 為 馬 可 夫 鏈 (Markov Chain) ， 其 中 每 一 個 模 型 之 間 切 換 的 機 率 是 已 知，且 只 與 上 個 時 間 的 狀 態 有 關 ， 如 (3.62) 。. 34.
(46) 事 前 機 率 ： P{M j (k ) | M k −1, s } = P{M j (k ) | M i (k − 1)} = pij. (3.62). 其中 i為母數列 s的最後一個模型. 可 以 仿 照 靜 態 多 重 模 型 估 測 器 (Static Multiple Model Estimator) 的 寫 法，將 給 定 k 時 間 點 之 前 的 資 訊 估 測 x(k) 的 機 率 化 為 每 一 個 模 型 歷 史 紀 錄 的 機 率 乘 上 其 對 應 的 相 似 值 (Likelihood) ， 如 (3.63) 。 rk. p[ x(k ) | Z ] = ∑ p[ x(k ) | M k ,l , Z k ] p{M k ,l | Z k } k. (3.63). l =1. 接 下 來 就 是 分 別 計 算 p{M k ,l | Z k } 與 p[ x(k ) | M k ,l , Z k ] 。. p{M k ,l | Z k } 為 第 k 個 時 間 點，系 統 在 第 l 個 模 型 歷 史 下 的 機 率，仿 照 之 前 Static Model 下 即 為 μ k ,l 。. μ k ,l = P{M k ,l | Z k } = P{M k ,l | z (k ), Z k −1} =. 1 p[ z (k ) | M k ,l , Z k −1 ]P{M k ,l | Z k −1} c. =. 1 p[ z (k ) | M k ,l , Z k −1 ]P{M j (k ), M k −1, s | Z k −1} c. =. 1 p[ z (k ) | M k ,l , Z k −1 ]P{M j (k ) | M k −1, s , Z k −1}μ k −1, s c. =. 1 p[ z (k ) | M k ,l , Z k −1 ]P{M j (k ) | M k −1, s }μ k −1, s c. =. 1 p[ z (k ) | M k ,l , Z k −1 ]P{M j (k ) | M i (k − 1)}μ k −1, s c. =. 1 p[ z (k ) | M k ,l , Z k −1 ] pij μ k −1, s c. i, j = 1, 2,..., r. c : normilization factor 35. (3.64).
(47) 令 p[ x(k ) | M k ,l , Z k ] 為 高 斯 分 佈 p[ x(k ) | M k ,l , Z k ] = N [v j (k );0, S j (k )]. 其 中 v j (k ) : innovation , S j (k ) : covariance of innovation. 引 入 (3.64) ， 重 寫 (3.63) 為 (3.65) rk. p[ x(k ) | Z ] = ∑ p[ x(k ) | M k ,l , Z k ]P{M k ,l | Z k } k. l =1. rk. = ∑ p[ x(k ) | M k ,l , Z k ]μ k ,l. (3.65). l =1. 由 (3.65) 可 看 動 態 模 型 的 估 測 會 因 為 模 型 的 歷 史 數 量 不 停 的 增 加 ， 造 成 濾 波 器 數 量 無 止 境 的 增 加，因 此 演 算 法 需 要 改 進，才 能 進 行 實 際 的 應用.. 以下就是兩種改進後的演算法，其想法也都是基於把估測到的 資 訊 統 合 起 來 做 近 似，使 得 估 測 計 算 量 不 會 隨 著 時 間 指 數 增 長，以 便 實際應用。. GPB-1(General Pseudo-Bayesian 1). GPB-1 的 方 法 是 使 用 一 層 的 濾 波 器 ， 因 此 將 其 母 數 列 用 當 時 估 測的平均值和協方差代替，使得歷史模型不會無限地增長。 配 合 這 個 概 念 ,用 k 時 間 點 之 前 的 資 訊 估 測 x(k)可 近 似 如 下 ： r. {. p ⎡⎣ x(k ) | Z k ⎤⎦ = ∑ p ⎡⎣ x(k ) | M j (k ), Z k ⎤⎦ P M j (k ) | Z k j =1. 36. }.
(48) r. = ∑ p ⎡⎣ x(k ) | M j (k ), z (k ), Z k −1 ⎤⎦ μ j (k ) j =1 r. ≈ ∑ p ⎡⎣ x(k ) | M j (k ), z (k ), x(k − 1| k − 1), P(k − 1| k − 1) ⎤⎦ μ j (k ). (3.66). j =1. 上 式 的 最 後 一 行 就 是 把 Z k 用 xˆ (k − 1| k − 1) 和 P (k − 1| k − 1) 的 高 斯 模 型 進 行 取代 ， 也 就 有 達 到 降 低 資 料 量 的 目 的 。. 每 一 個 model 的 估 測 值 如 下 : xˆ j (k | k ) = xˆ[k | k ; z (k ), M j (k ), xˆ (k − 1| k − 1), P(k − 1| k − 1)] P j (k | k ) = P[k | k ; M j (k ), P (k − 1| k − 1)]. j = 1,...r. (3.67). j = 1,...r. (3.68). 接著計算模型機率. μ j ( k ) P {M j ( k ) | Z k }. {. = P M j (k ) | z (k ), Z k −1 =. }. 1 p ⎡⎣ z (k ) | M j (k ), Z k −1 ⎤⎦ P M j (k ) | Z k −1 c. {. }. r 1 = Λ j (k )∑ P M j (k ) | M i (k − 1), Z k −1 P M i (k − 1) | Z k −1 c i =1. {. } {. }. r 1 = Λ j (k )∑ pij μi (k − 1) c i =1. (3.69). c : normilization factor. 將(3.66),(3.67),(3.68)和(3.69)套入(3.58),(3.59)得到(3.70),(3.71) r. xˆ (k | k ) = ∑ xˆ j (k | k ) μ j (k ) j =1 r. (3.70). {. P (k | k ) = ∑ μ j (k ) P j (k | k ) + ⎣⎡ xˆ j ( k | k ) − xˆ ( k | k ) ⎤⎦ ⎡⎣ xˆ j ( k | k ) − xˆ ( k | k ) ⎤⎦ j =1. 37. T. }. (3.71).
(49) 流程方塊圖如下:. 圖 3.9. GPB-1 流 程 方 塊 圖 [18]. GPB-2(General Pseudo-Bayesian 2). 原 理 與 GPB-1 是 一 樣 的 ， 只 是 現 在 訊 號 經 過 兩 層 的 濾 波 器 來 進 行 估 測 。 由 於 兩 層 濾 波 器 的 架 構 ， 所 以 算 出 來 的 估 測 值 會 比 GPB-1 來 的 好 。 相 對 的 ， 計 算 量 也 比 GPB-1 來 的 大 。. r. r. p ⎡⎣ x(k ) | Z k ⎤⎦ = ∑∑ p ⎡⎣ x(k ) | M j (k ), M i (k − 1), Z k ⎤⎦ P ⎡⎣ M i (k − 1) | M j (k ), Z k ⎤⎦ j =1 i =1. ⋅ P ⎡⎣ M j (k ) | Z k ⎤⎦ r. r. = ∑∑ p ⎡⎣ x(k ) | M j (k ), M i (k − 1), Z k ⎤⎦ μi| j (k − 1| k )μ j ( k ) j =1 i =1 r. r. ≈ ∑∑ p ⎡⎣ x(k ) | M j (k ), M i (k − 1), xˆ i (k − 1| k − 1), P i ( k − 1| k − 1) ⎤⎦ j =1 i =1. ⋅ μi| j (k − 1| k ) μ j (k ). (3.72). 38.
(50) 觀 察 (3.66),(3.72) ， 發 現 GBP-2 有 兩 個 連 加 符 號 ， GBP-1 只 有 一 個 連 加 符 號 ， 故 其 所 需 計 算 量 是 GBP-1 的 平 方 倍 。. 每 一 個 模 型 流 (Model Sequence) 中 的 每 一 個 模 型 的 估 測 :. xˆ ij (k | k ) xˆ ⎡⎣ k | k ; M j (k ), xˆ i (k − 1| k − 1), P i (k − 1| k − 1) ⎤⎦. (3.73). P ij (k | k ) P ⎡⎣ k | k ; M i (k ), P i (k − 1| k − 1) ⎤⎦. (3.74). i, j = 1, 2,..., r. 模 型 流 整 合 機 率 (Mode Sequence Merging Probability) 如 下 :. μi| j (k − 1| k ) P {M i (k − 1) | M j (k ), Z k }. {. = P M i (k − 1) | z (k ), M j (k ), Z k −1. }. =. 1 P ⎡⎣ z (k ), M j (k ) | M i (k − 1), Z k −1 ⎤⎦ P M i (k − 1) | Z k −1 cj. =. 1 p ⎡⎣ z (k ) | M j (k ), M i (k − 1), Z k −1 ⎤⎦ P M j (k ) | M i (k − 1), Z k −1 cj. {. {. {. ⋅ P M i (k − 1) | Z k −1 =. 1 Λ ij pij μi (k − 1) cj. } }. } i, j = 1, 2,..., r. (3.75). r. c j = ∑ Λ ij (k ) pij μi (k − 1) i =1. 算出每一個模型的估測值如下: r. xˆ j (k ) = ∑ xˆ ij (k | k ) μi| j (k − 1| k ) i =1. r. j = 1, 2,..., r. {. (3.76). P j (k | k ) = ∑ μi| j (k − 1| k ) P ij (k | k ) + ⎡⎣ xˆ ij ( k | k ) − xˆ j (k | k ) ⎤⎦ ⎡⎣ xˆ ij (k | k ) − xˆ j ( k | k ) ⎤⎦ i =1. j = 1, 2,..., r. T. }. (3.77). 39.
(51) 模 型 機 率 更 新 (Mode Probability Update). μ j (k ) P {M j (k ) | z (k ), Z k −1} =. 1 P ⎡⎣ z (k ), M j (k ) | Z k −1 ⎤⎦ c. =. 1 r P ⎡⎣ z (k ), M j (k ) | M i (k − 1), Z k −1 ⎤⎦ P M i (k − 1) | Z k −1 ∑ c i =1. =. 1 r p ⎡⎣ z (k ) | M j (k ), M i (k − 1), Z k −1 ⎤⎦ P M j (k ) | M i (k − 1), Z k −1 μi (k − 1) ∑ c i =1. {. {. } }. j = 1, 2,...r 整 理 為 μ j (k ) =. cj 1 r Λ ij pij μi (k − 1) = ∑ c i =1 c. j = 1, 2,..., r. (3.78). r. c = ∑cj. (3.79). j =1. 最 後 計 算 新 的 狀 態 (State) 和 協 方 差 (Covariance) r. xˆ (k | k ) = ∑ xˆ j (k | k ) μ j (k ) j =1 r. (3.80). {. P (k | k ) = ∑ μ j (k ) P j (k | k ) + ⎣⎡ xˆ j ( k | k ) − xˆ ( k | k ) ⎤⎦ ⎡⎣ xˆ j ( k | k ) − xˆ ( k | k ) ⎤⎦ j =1. 40. T. }. (3.81).
(52) GPB-2 流 程 方 塊 圖 如 下 :. 圖 3.10. GPB-2 估 測 流 程 方 塊 圖 [18]. 41.
(53) 3.4. 期望值最大化. 期 望 值 最 大 化 演 算 法 (Expectation-Maximization algorithm) 是 在 機 率 （ probabilistic ） 模 型 中 尋 找 參 數 最 大 似 然 估 測 (Maximum. Likelihood Estimates) 的 演 算 法，其 中 機 率 模 型 依 賴 於 無 法 觀 測 的 隱 藏 參數 θ 。最大期望演算法經過兩個步驟交替進行計算，第一步是計算 期 望 值（ E ） ，方 法 是 假 設 隱 藏 參 數 θ 已 知，然 後 計 算 相 似 值 (Likelihood) 的 期 望 值 ； 另 外 一 步 是 最 大 化（ M ）， 也 就 是 計 算 會 使 E 步 上 找 到 的 相 似 值 (Likelihood) 的 期 望 值 最 大 的 隱 藏 變 數 θ 。接 著 再 將 M 步 上 找 到的隱藏參數 θ 用於下一個 E 步計算，這兩個步驟不斷交替進行， 即可求得該機率模型下的準確參數。. 令以下變數進行數學推導. z ：不完整的量測資訊 x ： 無 法 獲 得 的 資 訊 (隱 藏 參 數 ). θ :隱 藏 變 數. E-Step (估 測 無 法 獲 得 的 資 訊 z) 先利用貝氏定理計算給定不完整量測資訊 z 和隱藏變數 θ 時的 機 率 密 度 函 數 p( x | z,θ ) p( x | z,θ ) =. p( z, x | θ ) = p( z | θ ). p ( z | x, θ ) p ( x | θ ). ∫ p( z | x,θ ) p( x | θ )dx. 42. (3.82).
(54) 注 意 (3.82) 的 計 算 必 須 先 知 道 p ( x | θ ) 和 p( z | x, θ ) 的 機 率 函 數，這 代 表 我 們必須先對系統的機率模型有一定的了解或假設。 接 著 估 測 xˆ ， xˆ 為 在 p( x | z , θ ) 下 的 期 望 值. xˆ = E [ x | z ,θ ] = ∫ x ⋅ p( x | z,θ )dx. (3.83). x. Ｍ -Step 定 義 在 θ 已 知 的 情 況 下 ， 使 完 整 資 訊 x 、 z 最 大 化 的 函 數 Q(θ ) 。. Q(θ ) = Ez [ log p( z , xˆ | θ ) | z ]. (3.84). ∞. = ∫ p( xˆ | z, θ n ) log p( z , xˆ | θ )dxˆ −∞. 由 於 E-step 已 經 估 測 到 xˆ ， 代 入 (3.90) 求 得 θ n +1 = arg max Q(θ ) 。 θ. 再 將 θ n +1 代 回 (3.82),(3.83) 執 行 E-Step ， 彼 此 互 相 疊 代 ， 及 為 期 望 值 最 大化演算法。. 43.
(55) 第四章. 系統計算減量. 4.1 引 入 運 動 學 方 程 式 進 行 計 算 減 量. 待 估 測 的 機 械 臂 系 統 如 圖 4.1 ， 其 連 續 時 間 動 力 學 方 程 式 為. (4.1 )， 相 關 參 數 對 照 表 (一 )。. 圖 4.1. 機 械 臂 示 意 圖 [22]. 機 械 臂 動 力 學 方 程 式 (Dynamic Model) ⎤ θ d ⎡θ ⎤ ⎡ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ − 1 dt ⎣θ ⎦ ⎣ M (θ ) × (−V (θ ,θ ) − G (θ ) + τ ) ⎦. (4.1). 將 (4.1) 作 離 算 化 得 到 離 散 時 間 方 程 式 (4.2) 與 (4.3 )。. 44.
數據
![圖 3.3 簡 化 後 的 系 統 錯 誤 模 型 圖 [2] 圖 3.3 是 一 個 簡 易 的 系 統 錯 誤 模 型 圖，可 見 到 假 設 的 錯 誤 包 括 致 動 器 錯 誤、受 控 廠 錯 誤 與 感 測 器 錯 誤。假 設 此 受 控 廠 為 一 線 性 非 時 變 (LTI)的 離 散 系 統 ， 則 其 狀 態 方 程 式 可 以 表 示 為 (3.1),(3.2)。 * *( 1) ( ) ( ) ( ) ( )x k Ax k Buy kC](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/9libinfo/8148733.167004/26.892.140.632.141.371/錯誤受控廠錯誤與感測器錯誤假設受表.webp)
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