85 年 自然組聯考試題
第一部分 : 單一選擇題(共佔 20 分)
(1~2) 今有兩圓x2 y2 2x4y950及x2 y2 8x12y480，則 1.此兩圓的圓心距離為 (A) 0 (B) 2 (C) 3 (D) 5 (E) 8 2.此兩圓的關係為 (A)內離 (B)內切 (C)相交於兩點 (D)外切 (E)外離 (3~6) 適當選取數對(h,k)可使拋物線y x2hx h k 2與 x 軸相切或無交點。設 D 為所有此種數對(h,k) 在平面上所對應的點所構成的區域。試問： 3.區域 D 的邊界是何種圖形? (A)圓 (B)橢圓 (C)拋物線 (D)雙曲線 (E)兩條直線 4.在區域 D 中，使得 2h3k 之值最大的點之坐標 (h,k)為何? (A)( 2, ) 5 3 5 (B)(2,1) (C)( 18, ) 5 3 5 (D)( ,2 1) (E)( ,0 4 ) 5. 2h3k 在區域 D 上的最大值為何? (A)1 (B)9 (C)7 (D)13 5 (E)12 6. 2h3k 在區域 D 上的最小值為何? (A)2 (B)1 (C)0 (D) 1 (E) 2 (7~10) 在下圖中，OA A0 1是一底角為 30 ，而腰長為 1 的等腰三角形。已 知 OA A1 2 30，線段A A0 1 , A A2 3 , A A4 5,….互相平行，且線段 A A1 2 , A A3 4 , A A5 6,….也互相平行。試問： 7.比值A A1 2 : A A0 1等於多少? (A) 3 4 (B) 1 2 (C) 3 2 (D) 3 3 (E) 2 2 8.線段A A0 1 , A A1 2 , A A2 3 ,An1An ,的長度之和等於多少? (A)3 3 2 (B) 2 2 3 (C)2 (D) 2 2 2 (E) 4 4 3 9. A A A1 2 3的面積為何? (A) 1 16 (B) 3 3 16 (C) 2 8 (D) 9 3 2 (E) 3 18 l0.三角形 A A A1 2 3 ,A A A3 4 5 ,A A A5 6 7 ,...,A2n1A A2n 2n1 , ………. P - 5 A0 A1 A2 A3 A4 A5 O的 面積之和等於多少? (A) 3 16 (B) 3 12 (C) 3 3 7 (D) 2 6 (E) 3 3 16
第二部分 : 非選擇題(四大題，共佔 80 分)
一、填充題
1. 若多項式 f x( )滿足f( )1 0, f ( )1 15 則lim ( ) h f h h 0 1 3 = 。 2. 若g x( )ln 2cos3x 則 g ( ) 3 = . 3. 高中某班學生數學月考的成績皆為 10 的倍數。採用組距為 10 並且組中點 是各組上、下限之平均數，將該班數學成績做成如下直方圖。 則該班數學月考成績之標準差為 (求至個位數)， 變異係數為 % (求至個位數)。 4. 用 0,1,2,3,4,5 等六個數字所排成的三位數中，數字不重複者共有 個，其中可被 3 整除的共有 個。 5. 設 z1 2 ai z, 2 2b (2 b i) ，其中 a、b 為實數，i 1。 若 z1 2 z2 ，且 z z 1 2 的輻角為 4 ，則數對 (a , b)= 。 6. 若齊次方程組 x y z t x y z t x y z t x y a z a t 2 4 2 0 3 5 10 4 0 2 0 2 0 ( ) 有不為零的解，則 a = 。 7. 設ABC 的三邊長為AB 8,BC2 13, AC4，且 H 為ABC 的垂心。 若AH x AB y AC ，則數對 (x , y) = 。 P - 6 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10 9 8 7 6 5 4 3 2 18. 設二次多項式 f x( )滿足5f ( )1 2f( )2 及 ( ) 0 1 0 f x dx 。若 f x( )=0 的兩 個根為 , ，而 ，則數對( , ) = 二、試利用數學歸納法證明棣美弗定理:
『 [ (cosr isin ) ] n rn(cosnisinn) 』 其中 r 為正數，n 為正整數。 三、設拋物線ya x2b x c ，與直線7x y 8 0 相切於點 (2,6)，而且與直 線x y 1 0相切。試求 a , b , c 之值。 四、設函數 f x( )為一可微分函數，P 為 y = f x( )圖形上距離原點 O 最近的點。 (1)若 P 點的坐標為( , ( ) )a f a ，試證 a f a f a( ) ( ) 0 。 (2)若 y = f x( )之圖形不通過原點，試利用第(1)小題之結果， 證明直線 OP 為 y = f x( )之圖形上過 P 點的法線。
