ok312

o

o

o

k

k

k

3

3

3

1

1

1

2

2

2

廣

廣

廣

義

義

義

角

角

角

與

與

與

極

極

極

座

座

座

標

標

標

主題一、廣義角

1. 廣義角﹕平面上﹐將射線OA繞著O點旋轉到射線OB所成的角﹐ 其中射線OA稱為角的始邊﹐射線OB稱為終邊﹐並規定﹕ 逆時針方向旋轉出的角為正向角﹐順時針方向旋轉出的角為負向角﹒ 2. 當兩個角的始邊和終邊完全相同的時候﹐我們稱這樣的角為同界角﹒ 3. 當有向角與是同界角會有一整數 n ﹐ 使得  360n（ n 是整數）﹒ 4. 標準位置角﹕將廣義角放在坐標平面上﹐使角的頂點與原點重合﹐ 角的始邊在 x 軸正向上﹐這樣的角稱為標準位置角﹒當角的終邊落在 第一、二、三或四象限時﹐我們分別稱這個角為第一、二、三或四 象限角﹒當角的終邊落在 x 軸或y軸上時﹐我們稱它為象限角﹒ 150與210互為同界角﹐也都是第二象限角﹒

http://114.34.204.87 室高 【例題 1】 下列何者是123的同界角﹖ (1) 483﹒ (2) 123﹒ (3) 57﹒ (4) 237﹒ Ans：(1)(4) 【詳解】 因為 483 123 360﹐ 237 123 360      ﹐ 所以答案為(1)(4)﹒ 【類題 1】 下列何者是255的同界角﹖ (1) 615﹒ (2) 975﹒ (3) 75﹒ (4) 105﹒ (5) 465﹒ Ans：(1)(2)(4)(5) 【詳解】 因為 615 255 360﹐ 975 255 3602﹐ 105 255 360      ﹐ 465 255 360 2       ﹐ 答案為(1)(2)(4)(5)﹒

主題二、廣義角的三角函數值

1. 設是一個標準位置角﹐在的終邊上任意取一點P x y （

 

, P不是原點）﹐ 令 2 2 OP r x y ﹒規定角的三角函數值為﹕ sin y r   ﹐ cos x r   ﹐ tan y x   ﹒ 2. 各象限中三角函數值的正負符號整理如下﹕ 

 

x y, s i n c o s t a n 第 一 象 限



 ,



   第 二 象 限



 ,



   第 三 象 限



 ,



   第 四 象 限



 ,



   3. 值域： 1≦sinθ≦1，1≦cosθ≦1，tanθR.

http://114.34.204.87 室高 【例題 2】

已知P



3, 4



為標準位置角終邊上的一點﹐ 求sin﹐cos和tan的值﹒

Ans：sin 4 5   ﹐cos 3 5   ﹐tan 4 3   【詳解】 因為x3﹐y 4﹐ 所以 2

 

2 3 4 5 r    ﹐得 4 sin 5 y r     ﹐ 3 cos 5 x r    _﹐ 4 tan 3 y x    ﹒ 【類題 2】

設P



5,y



為之終邊的一點﹐又tan 2﹐試求sin﹐cos的值﹒

Ans：sin 2 5 5    ﹐cos 5 5    【詳解】 tan 2 10 5 y y        ﹐ 故P



 5, 10



﹐OP5 5﹐ 10 2 2 5 sin 5 5 5 5        _﹐ 5 1 5 cos 5 5 5 5        _﹒ 【例題 3】

Ans：見詳解 【詳解】 在 150角的終邊上取一點 P﹐ 設 P 在 x 軸的垂足為 Q﹐ 則POQ 30 ﹒若設OP2﹐ 則OQ 3﹐PQ1﹐ 故點 P 的坐標為



 3,1



_﹒得 1 sin150 2   ﹐ 3 cos150 2    _﹐ 1 3 tan150 3 3      ﹒ 因為210為 150的同界角（210 360 150）﹐ 與 150有相同的終邊﹐所以





1 sin 210 2    _﹐





3 cos 210 2     _﹐





1 3 tan 210 3 3       ﹒ 【類題 3】 求下列各值﹕ (1) sin 225﹒ (2) cos



 60



﹒ Ans：(1) 2 2  ，(2) 1 2 【詳解】 (1) 作圖﹐POQ 45 ﹒若設OP 2﹐則 1 OQPQ ﹐故點 P 的坐標為



 1, 1



﹒

http://114.34.204.87 室高 得sin 225 1 2 2 2      _﹒ (2) 作圖﹐POQ  60 ﹒若設OP2﹐則 1 OQ ﹐PQ 3﹐故點 P 的坐標為



1, 3



_﹒ 得cos



60



1 2    ﹒ 【例題 4】

求sin 90﹐cos 90﹐tan 90的值﹒

Ans：見詳解 【詳解】 如圖﹐當＝90﹐可取 P 點坐標為(0，1)﹐ 如此OP1﹐即 x＝0﹐y＝1﹐r＝1﹒得 1 sin 90 1 1 y r     _﹐cos90 0 0 1 x r     _﹐ 因為tan 90 y x   的分母 x 是 0﹐我們說 tan90沒有定義﹒ 【類題 4】

求下列象限角的sin﹐cos﹐tan值﹕

 sin cos tan

0

90 1 0 

180 270

【詳解】

 sin cos tan

0 0 1 0 90 1 0  180 0  1 0 270  1 0  【例題 5】 根據下列各條件﹐分別指出各角是第幾象限角﹖ (1) sin 0﹐cos 0﹒ (2) tan0﹐sin 0﹒ Ans：(1) 二，(2) 三 【詳解】 (1) 由 sin＞0 知為第一或第二象限角﹐又因為 cos＜0﹐ 所以為第二象限角﹒ (2) 由 tan知為第一或第三象限角﹐又因為 sin＜0﹐ 所以為第三象限角﹒ 【類題 5-1】 設sin0﹐cos 0﹐試問是第幾象限角﹖ Ans：四 【詳解】 由 sin＜0 知為第三或第四象限角﹐ 又因為 cos＞0﹐所以為第四象限角﹒ 【類題 5-2】 已知costan 0﹐試判斷為第幾象限角﹖ Ans：第三象限角或第四象限角 【詳解】 因為 costan＜0﹐

http://114.34.204.87 室高 所以 cos 0, tan 0.      _  或 cos 0, tan 0.      _  cos與 tan在第三象限一負一正﹐在第四象限一正一負﹒ 故為第三象限角或第四象限角﹒ 【例題 6】 已知sin 5 13   且是第二象限角﹐求cos和tan的值﹒ Ans：cos＝ 12 13  ，tan＝ 5 12  【詳解】 由 2 2 sin cos  1可得 2 cos   1 sin  ﹐ 因為是第二象限角﹐cos＜0﹐所以 2 2 5 12 cos 1 sin 1 13 13        _ _     ﹐ 再由商數關係式得 5 sin ₁₃ 5 tan 12 cos 12 13         ﹒ 【類題 6】 已知cos 1 4    ﹐且是第三象限角﹐求sin與tan之值﹒ Ans：sin＝ 15 4  ，tan＝ 15 【詳解】 由 2 2 sin cos  1可得 2 sin   1 cos  ﹐ 因為是第三象限角﹐sin＜0﹐所以 2 2 1 15 sin 1 cos 1 4 4         _ _     ﹐ 再由商數關係式得 6 4 2 -2 -4 -10 -5 B: (-12.00, 5.00)  C B A 1 -1 -2 -3 -4 -2 C A B

15 sin ₄ tan 15 1 cos 4         ﹒

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主題三、換算公式

1.



180 



關係式﹕





sin 180   sin﹐cos 180



 



 cos﹐tan 180



 



 tan﹒ 2.



180 



關係式﹕





sin 180   sin﹐cos 180



 



 cos﹐tan 180



 



 tan﹒ 3.

 

 關係式﹕

 

sin    sin﹐cos

 

   cos﹐tan

 

   tan﹒ 4.



90 



與



90 



關係式﹕





sin 90  cos﹐cos 90



 



sin﹒





sin 90   cos﹐cos 90



 



 sin﹒ 5.



270 



與



270 



關係式﹕





sin 270   cos﹐cos 270



 



sin﹒





【例題 7】

求下列各三角函數值﹕

(1) sin120﹒ (2) cos135﹒ (3) tan



210



﹒

Ans：(1) 3 2 ，(2) 2 2  ，(3) 3 3  【詳解】 (1) 因為120 180  60 ﹐所以





3

sin120 sin 180 60 sin 60 2

        _﹒

(2) 因為135 180  45 ﹐所以





2

cos135 cos 180 45 cos45

2

          _﹒

(3) tan



210



tan 210 tan 180



30



tan 30 3 3

               _﹒

【類題 7-1】

求下列各三角函數值﹕

(1) sin150﹒ (2) cos 330﹒ (3) tan 240﹒

Ans：(1) 1

2，(2)

3

2 ，(3) 3

【詳解】

(1) sin150 sin 180



30



sin 30 1 2

        ﹒

(2) cos330 cos 360



30



cos30 3 2         ﹒ (3) tan 240 tan 180



   60



tan60  3﹒

【類題 7-2】

求cos150 sin 240 cos315 sin 225 的值﹒

Ans：1

http://114.34.204.87 室高 【詳解】

cos150 sin240  cos315 sin225 



 





 



cos 180 30 sin 180 60 cos 45 sin 180 45

            



cos30



sin60



cos45



sin 45



         3 3 2 2 1 2 2 2 2 4      ﹒ 【例題 8】 化簡﹕

 





















sin sin 90 sin 180

sin 180 cos 360 cos 270

                   ﹒ Ans：1 【詳解】

原式 sin cos sin 1 1 1 1

sin cos sin

                ﹒ 【類題 8】

化簡﹕sin 90



 

 

cos 180 



cos 90



 

 

sin 180 



﹒

Ans：1

【詳解】

原式     



2 2



cos cos sin sin cos  sin  1

         ﹒ 【例題 9】 設cos



110 



k﹐試以k表示tan 250的值﹒ Ans： 2 1 k k   【詳解】

因為cos



110 



cos110 cos 180



    70



cos70_﹐ 所以cos70  k﹒

因此﹐

 

2 2

sin 70  1 k  1k ﹒

2 2 sin 70 1 1 tan 250 tan 70 cos70 k k k k             ﹒ 【類題 9】 設sin 793 k﹐試以k表示cos



107



﹒ Ans： 1 k2 【詳解】





sin793 sin 360   2 73 sin73﹐ 故sin73 k﹒ 因此﹐ 2 cos73  1 k





cos 107 cos107





2 cos 180 73 cos73 1 k           ﹒

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主題四、直角坐標與極坐標的變換

1. 對於平面上異於O的任一點 P ﹐令 r OP ﹔ 為以 x 軸為始邊﹐射線OP為終邊的廣義角﹐ 我們可以用符號

 

r, 來表示點P的位置﹐ 這種坐標稱為極坐標﹐記作P r

 

, ﹒ 2. 若平面上一點 P 的直角坐標為

 

x y ﹐極坐標為,

 

r, ﹐則有 cos xr ﹐yrsin﹐ 2 2 r  x y ﹒ 【例題 10】 寫出下圖中點A﹐B﹐C﹐D的極坐標﹒ Ans：A



3,45



，B



2, 45 



﹐C



2,90



﹐D



3,225



【詳解】 A 的極坐標為 A



3,45



（或



3,405



﹐



3, 315 



﹐…等）﹐



2, 45



B   ﹐C



2,90



﹐D



3,225



﹒ 【類題 10】 寫出下圖中點A﹐B﹐C﹐D的極坐標﹒ Ans：A



2,0



﹐B



3, 45 



﹐C



1,135



﹐D



3,180



【詳解】 極坐標為 A



2,0



﹐B



3, 45 



﹐C



1,135



﹐D



3,180



﹒ 【例題 11】 (1) 已知點P的極坐標為



4, 60 



﹐求其直角坐標﹒ (2) 已知點 P 的直角坐標為



2 3, 2



﹐求其極坐標﹒ Ans：(1)



2, 2 3



_，(2)



4,150



【詳解】 (1) 因為r4﹐   60 ﹐所以直角坐標



x y,







4cos



 60 ,4sin





 60









1 3 4 ,4 2, 2 3 2 2  _{ }   _{   } __        ﹒ (2) 因為





 

2 ₂ 2 3 2 16 4 r     _﹐ 且 P 在第二象限﹐ 2 3 3 cos cos150 4 2      _﹐ 所以極坐標為



4,150



﹒ 【類題 11】 (1) 已知點 P 的極坐標為 4 2,135_ _﹐求其直角坐標﹒ (2) 已知點P的直角坐標為



 3, 3 3



﹐求其極坐標﹒ Ans：(1)



4,4



，(2)



6,240



【詳解】 (1) 因為r4 2 ﹐ 135﹐所以直角坐標

http://114.34.204.87 室高



x y,







4 2 cos135 ,4 2 sin135 







1 1 4 2 ,4 2 4,4 2 2      _{ } _{  }        ﹒ (2) 因為

 





2 2 3 3 3 6 r     ﹐ 且 P 在第三象限﹐cos 3 1 cos240 6 2      _﹐ 所以極坐標為



6,240



﹒

o

o

o

k

k

k

3

3

3

1

1

1

2

2

2

e

e

e

x

x

x

1. 坐標平面上﹐O為原點﹐為第二象限角﹐P x

 

,1 是角終邊上的一點﹐ 已知OP2﹐求cos之值﹒ Ans： 3 2  【詳解】 2 1 2 OP x    x2＋1＝4  x＝ 3， 為第二象限角﹐ 故取 x＝ 3 2  .

2. 設為第三象限角﹐則點



sincos , tan sin  



在第幾象限﹖

Ans：第三象限

【詳解】

為第三象限角﹐

 sin＜0，cos＜0，tan＞0，  sin＋cos＜0，tansin＜0， 



sincos , tan sin  



在第三象限.

3. 求cos135 tan



300



sin 225 cos 210   _   的值﹒ Ans：1 【詳解】





tan 300 cos135 sin 225 cos 210   _   2 1 -1 -2 -2 O 2 P

http://114.34.204.87 室高 ＝ 2 3 2 2 3 2 2     ＝1－2 ＝1. 4. 設為第四象限角﹐且cos 3 5   ﹐求下列各式的值﹕ (1) cos



 90



﹒ (2) tan 540



 



﹒ Ans：(1) 4 5  ，(2) 4 3  【詳解】 (1) cos



 90



﹒ ＝cos(90－) ＝sin ＝ 4 5  . (2) tan 540



 



＝tan(180＋) ＝tan ＝ 4 3  ﹒ 5. 若點



cos , tan 



在第三象限﹐則在第幾象限﹖ Ans：第二象限 【詳解】 點



cos , tan 



在第三象限﹐  cos＜0，tan＜0  (在二、三象限)且(在二、四象限) 在第二象限． 1 -1 -2 -3 -4 2 4  5 4 3

6. 設1 tan 5 1 tan       ﹐且180   270﹐求cos﹒ Ans： 2 13 13  【詳解】 1 tan 5 1 tan        1＋tan＝5＋5tan  tan＝3 2． 因180   270 故 cos＝ 2 13  ．

7. 如右圖BAC﹐ABD ACD 90 ﹐ AB a ﹐ BD b ﹒ 下列選項何者可以表示 CD ﹖

(1) asinbcos﹒ (2) asinbcos﹒ (3) acosbsin﹒

(4) acosbsin﹒ (5) asinbtan﹒

Ans：(2) 【詳解】 如右圖， CD ＝EF ＝EBBF

＝asin(180－)＋bcos(180－) ＝asin－bcos．

8. 設180   270﹐求





2





2

2 2

sin   1 sin   cos   cos1 之值﹒

Ans：2 2 1 -1 -2 -3 -4 -2 2 A: (-2.00, -3.00)  A D 180- 180-  b a C F E B A

http://114.34.204.87 室高 【詳解】

180   270，





2





2

2 2

sin   1 sin   cos   cos1 ＝sin＋(1＋sin)－(cos)＋(1－cos) ＝2. 9. 若270   360﹐且sin cos 1 5    ﹐求cos﹒ Ans：4 5 【詳解】 1 sin cos 5     5sin＝1－5cos，兩邊平方

 25(1－cos2)＝(1－5cos)2＝1－10cos＋25cos2

 50cos2－10cos－24＝0  25cos2－5cos－12＝0  (5cos＋3)(5cos－4)＝0  cos＝4 5或 cos＝ 3 5  ． 因270   360，故取 cos＝4 5．

10. 求cos1cos 2cos3 cos180的值﹒

Ans：1

【詳解】

利用 cos(180－)＝cos，

cos179＝cos1，cos178＝cos2，……，cos91＝cos89， cos1cos 2cos3 cos180

＝cos1＋cos2＋……＋cos90＋……＋cos178＋cos179＋cos180 ＝cos90＋cos180

11. 若之終邊落在第三象限﹐則 3  之終邊可能落在哪裡﹖ (1) 第一象限 (2) 第二象限 (3) 第三象限 (4) 第四象限 (5) x 軸上﹒ Ans：(1)(3)(4) 【詳解】 之終邊落在第三象限﹐  180＋360n＜＜270＋360n  60＋120n＜ 3  ＜90＋120n， n＝3k＋1  180＜ 3  ＜210， n＝3k＋2  300＜ 3  ＜330， n＝3k＋3  60＜ 3  ＜90． 故 3  的終邊可能落在第三、四、一象限． 12. 設直角三角形ABC之三邊長為AB3﹐BC5﹐CA4﹐以斜邊 BC 為一邊向外作出正方形BCDE﹐如右圖所示﹒ 令ACD﹐試求sincos之值﹒

Ans：1

5

【詳解】

sin＝sin(90＋)＝cos＝4 5，

cos＝cos(90＋)＝sin＝ 3 5  ， sincos＝4 3 1 5 5 5． 1 -1 _300 330 210 180 90 60

http://114.34.204.87 室高 13. 已知O為原點﹐ A ﹐ B 兩點的極坐標為



3,12



﹐



5,132



﹐求 (1) AB的長﹒ (2) △OAB的面積﹒ Ans：(1) 7，(2)15 3 4 【詳解】 將 A，B 各旋轉 12，則 A[3，0]＝(3，0)， B(5，120)＝(5cos120，5sin120)＝( 5 2  ，5 3 2 )。 (1) AB＝ (3 5)2 (0 5 3)2 2 2    ＝ 196 49 4  ＝7， (2) △ OAB 的面積( BC 為高) ＝1 23 5 3 2 ＝ 15 3 4 ． 【另解】

A＝[3，12]＝(3cos12，3sin12)， B＝[5，132]＝(5cos132，5sin132)， (1) AB2

＝(3cos12－5cos132)2＋(3sin12－5sin132)2 ＝9cos2₁₂_－30cos12_cos132_＋25cos2₁₃₂

＋9sin212－30sin12sin132＋25sin2₁₃₂

＝9＋25－30(cos12cos132＋sin132sin132) ＝34－30cos120 (和角公式，第四節才學到) ＝34－30( 1 2  )＝49， 故AB＝7． (2) △OAB 的面積 ＝1 2OA OB sin120 (面積公式，第三節才學到) 4 3 2 1 1 2 2 120 5 3 B: (5.00, 132.00) A: (3.00, 12.00) B A O 4 3 2 1 -1 -2 2 60 5 3 120 C B A O

＝1 235 3 2 ＝15 3 4 ．