拼圖與摺紙學配方法
李祐宗
澎 湖 縣 立 文 光 國 民 中 學 配 方 法 是 許 多 國 中 八 年 級 學 生 學 習 的 困 擾 點 之 一 ， 配 方 法 是 解 決 一 元 二 次 方 程 式 重 要 的 方 式 ， 公 式 解 也 是 從 配 方 法 得 到 的 。 筆 者 先 前 發 表 過 拼 圖 以 及 利 用 摺 紙 法 來 學 因 式 分 解(詳 見 科 學 教 育 月 刊 第 348 及370 期)，然 而在 最 近 的 教學 中，發 現這 兩 種 方 式 亦 可 以 幫 助 教 師 教 學 及 學 生 學 習 。 以 下 是 一 元 二 次 式 的 配 方 過 程 ： 2 ax +bx
+c=a(x2+ a b x)+c = a[x2+ a b x+( a b 2 ) 2]+c-a
b
4
2 ， 配 方 法 的 關 鍵 首 先 在 於 將 二 次 項 的 係 數 變 為1 的 情 況下，藉 由 一次 項 的 係 數 a b 來 決 定 要 搭 配 的 常 數 項( a b 2 ) 2， 加 上 本 文 是 以 摺 紙 與 拼 圖 等 方 式 來 教 導 學 生 ， 所 以 底 下 討 論 的 題 目 中 ， 二 次 項 係 數 均 為 1、 一 次 項 的 係 數 均 為 正 數 。 Ex1 2 _____ ______ 在 之 前 拼 圖 法 學 因 式 分 解 中 ， 我 們 知 道 完 全 平 方 式(一 元 二 次 方 程 式 )拚 出 來 的 圖 形 是 正 方 形 。 因 此 要 將 此 題 配 成 完 全 平 方 ， 先 準 備 一 個 二 次 項 及 兩 個 一 次 項 ， 然 後 一 次 項 對 分 ， 也 就 是 將2 分成 及 。 圖 1 圖 2圖 3 接 著 問 學 生 ， 右 下 角 還 缺 多 少 可 以 拼 成 正 方 形?學 生 答 ： 1。 因 此 再 加 上 一 塊 便 可 拼 成 正 方 形 ， 也 就 是 2 1 1 。(如圖 2 及圖 3) 摺 紙 的 方 式 則 參 考 圖 1， 將 紅 色 框 以 外 的 部 分 往 後 摺 即 可 。 * 比較 ： 2 1 1 。 Ex2 4 要 將 此 題 配 成 完 全 平 方 ， 先 準 備 一 個 二 次 項 及 四 個 一 次 項 ， 然 後 一 次 項 對 分 ， 也 就 是 將4 分成2 及2 。接著問學生，右 下 角 還 缺 多 少 可 以 拼 成 正 方 形?學 生 答 ： 4(也就 是 22 )。因 此 再加 上 一塊 便 可 拼 成正 方 形，也 就 是 4 2 2 ， 摺 紙 的 方 式 參 考 圖 6。 * 比較 ： 4 2 2 。 圖 4 圖 5 圖 6 Ex3 7
只 要 各 項 係 數 為 正 數 ， 理 論 上 都 可 以 用 拼 圖 法 來 完 成 ， 甚 至 一 次 項 的 係 數 為 奇 數 時 也 可 以 使 用 。 不 過 此 題 筆 者 建 議 用 摺 紙 法 來 作 較 為 合 適(如 圖 8，最 右 側 及最 下 側 各 摺 一 半 的 寬 度) 。 首 先 將7 分 成 3.5 及3.5 ，接著請學生算出常數的部分 。 因 此 得 到 7 7 2 7 2 * 比較 ： 7 圖 7 圖 8 Ex4 8 16 4 * 比較 ： 8 16 1 4 圖 9 圖 10 圖 11
Ex5 1 如 遇 到 填 充 題 為 填 一 次 項 的 係 數 時 ， 方 法 是 類 似 的 ， 此 題 先 準 備 一 個 二 次 項 及 一 個1，就 可 以知 道 還 缺2 。因此 2 1 1 圖 12 圖 13 Ex6 16 此 題 先 準 備 一 個 二 次 項 及 16 個 1，就 可 以 知 道 還 缺8 。因此 8 16 4 圖 14 圖 15 配 方 法 的 核 心 觀 念 就 是 和 的 乘 法 公 式 與 差 的 乘 法 公 式 的 運 用 ， 在 國 中 階 段 能 有 多 一 點 的 方 式 與 教 具 ， 可 以 讓 多 一 點 的 學 生 更 加 了 解 。
