高中生關於向量內積的概念心像之探究

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(1)國立臺灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文. 指導教授：謝豐瑞博士. 高中生關於向量內積的概念心像之探究. 研究生：洪志瑋. 中華民國一0二年一月.

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(3) 謝誌從十八歲那年進入師大數學系就讀，彷彿一切都已經命中注定似的，大一遭遇到求學路上最大的困難，經歷了人生中求學路上最嚴重的低潮時，我遇到了生命中的貴人：謝豐瑞老師。真的是千言萬語都無法真切的表達我的感謝。老師可說是我的再造父母，您總是可以知道我的內心想著什麼，而且總是默默的看顧著我，在關建的時刻拉我一把，讓我找到人生的方向；在大五那一年，您叫我參加學長們的 meeting，豐富的討論、紮實的學術內容給我莫大的衝擊！在我心中埋下了念碩士作研究這個念頭的種子。畢業後，因為兵役以及工作原因沒能直接念研究所，但最後還是很幸運地順利通過師大在職進修專班的考試，終於能夠正式跟著老師作研究。研究所這段期間，因為老師的教導，讓我獲得更多的學術知識，讓我在各方面進步良多，真的很謝謝老師。沒有老師您，就沒有今天的志瑋！感謝口試委員邱守榕教授、羅昭強教授、施皓耀教授，感謝您在百忙之中撥冗前來給予學生指導與提供寶貴的建議，讓我能夠看到不足之處，讓我能夠思考更多，使這本論文能更加充實、完整。謝謝一路走來一起努力的伙伴們—昭慧學長、書志學長、佳叡學長、春男學長、姿玟學姐、嘉聲學長、俊麟學長、婷瑩、國亨、阿辛、政業、丞瑋、晞安、宜蓁、玉惇、世偉、嵐婷、筱芸、桂銘、旻怡、鈺傑、韋樺、啟台、佩蓁、宜寶、文婉、長民這些日子以來的幫忙以及協助。謝謝其他一路上鼓勵我、協助我的同事與朋友們，讓我在課業、工作以及總總事務之間能夠持續奮戰、克服難關。最後，感謝我的家人，以及在我念研究所期間從女友身份變成老婆大人身份的秦綺，謝謝在這些日子以來的包容與體諒，並且讓我在最關建的時刻，可以沒有後顧之憂、全心全力的去完成論文，有你們的支持我才能完成碩士學位。.

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(5) 摘要本研究探討高中生關於「向量內積」的概念心像。研究採問卷調查法，收集質與量的資料。研究抽樣採立意取樣，包括高程度、中程度學校之文組與理組四個班級一共 149 位高中三年級學生。本研究的研究結果主要有： 1.學生對於相關的向量概念都有相當程度的理解，但仍有 26％的學生無法分辨向量與純量的不同，有 12％的學生對於向量絕對值的概念是不正確的。 2.學生對於「內積」的心像，其比較核心的主要有向量、偏代數型內積定義以及內積符號等概念，其次為圖形、投影、偏坐標型內積定義以及偏圖像型內積定義等概念。 3.發現高達四成的學生對於起點不同的兩向量不具備皆可作內積的概念心像，僅有約四成的學生其任意兩向量皆可作內積的心像穩固，不會隨著題目所給刺激而有所改變；同時學生的概念心像受到向量、角度、內積定義等相關概念心像的影響。 4.學生對於內積定義三種類型的具備情形，最高的是「偏代數型內積定義」心像，有 95％；其次是「偏坐標型內積定義」的心像，有 82％；最少的是「偏圖像型內積定義」的心像，只有 38％。 5.代數型的心像受到典範例或圖像型定義的影響而有不同的樣貌。圖像型的心像也會有代數型心像的影響，除此之外受到投影概念影響很大。具備坐標型心像的同學中概念完全正確的只有 24％。. 關鍵字：向量、內積、概念心像、概念定義 I.

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(7) 目錄第壹章緒論..................................................................... 1 第一節. 研究動機.................................................................................................... 1 . 第二節. 研究目的與名詞解釋................................................................................ 2 . 第貳章文獻探討 ............................................................. 5 第一節. 解題............................................................................................................ 5 . 第二節. 概念............................................................................................................ 8 . 第三節. 概念定義與概念心像.............................................................................. 11 . 第四節. 向量內積的相關研究.............................................................................. 14 . 第參章研究方法 ........................................................... 16 第一節. 研究架構.................................................................................................. 16 . 第二節. 研究設計.................................................................................................. 19 . 第三節. 研究樣本.................................................................................................. 20 . 第四節. 研究工具.................................................................................................. 21 . 第五節. 研究過程.................................................................................................. 23 . 第六節. 研究限制.................................................................................................. 25 . 第肆章研究結果 ........................................................... 26 第一節. 研究結果報導之架構.............................................................................. 26 . 第二節. 與向量相關之概念.................................................................................. 28 . Vd.向量定義 ...................................................................................................... 28 II.

(8) Vl.向量長度(絕對值) ........................................................................................ 30 第三節. 與內積特徵相關之概念.......................................................................... 32 . Ic.內積特徵_名稱 .............................................................................................. 32 Ic.內積特徵_符號 .............................................................................................. 40 Ic.內積特徵_內積的結果為純量 ...................................................................... 45 第四節. 與內積定義相關之概念.......................................................................... 50 . Id.內積定義 ........................................................................................................ 50 Id.內積定義_偏代數型的概念心像 .................................................................. 59 Id.內積定義_偏圖像型的概念心像 .................................................................. 65 Id.內積定義_偏坐標型的概念心像 .................................................................. 71 第五節. 與內積操作相關之概念.......................................................................... 73 . Io.內積操作_任兩向量可作內積 ...................................................................... 74 Io.內積操作_交換律 .......................................................................................... 87 . 第伍章結論與建議 ........................................................ 91 第一節. 結論.......................................................................................................... 91 . 第二節. 建議.......................................................................................................... 96 . 參考文獻 .......................................................................... 99 . III.

(9) 表次目錄表 3-3-1. 研究樣本之分佈狀況 ................................................................................. 20 表 4-1-1. 向量內積之報導架構 ................................................................................. 26 表 4-2-1. 向量不是純量與符號影響之施測結果 ..................................................... 29 表 4-2-3. 向量長度(絕對值)之施測結果 .................................................................. 31 表 4-3-1. 「內積」名稱所引動的概念心像之結果 ................................................. 36 表 4-3-2. 內積符號之施測結果 ................................................................................. 42 表 4-3-3. 內積結果為純量之施測結果 ..................................................................... 46 表 4-4-1. 三種「內積定義」類型的學生比例 ......................................................... 58 表 4-4-2. 代數型 VS 圖像型之答題情形 .................................................................. 59 表 4-4-3. 「偏圖像型」的分佈狀況 ......................................................................... 65 表 4-4-4. 具備「偏代數型」與「偏圖像型」的分佈情況與展現情形 ................. 69 表 4-4-5. 「偏坐標型」的概念心像 ......................................................................... 72 表 4-5-1. 向量起點相同與否搭配夾角大小的題目分布情形 ................................. 76 表 4-5-2. 向量平行時方向相同與否的題目分布情形 ............................................. 76 表 4-5-3. 平面向量可作內積各小題勾選百分比 ..................................................... 77 表 4-5-4. 向量起點相同與否搭配夾角大小題目之勾選百分比 ............................. 79 表 4-5-5. 兩向量平行題目之勾選百分比 ................................................................. 79 表 4-5-6. 第二部分三維空間及任意向量可作內積各題勾選百分比 ..................... 80 表 4-5-7. 任意向量可作內積與第一部分各題可作內積勾選一致性百分比 ......... 82 表 4-5-8. 內積交換律的施測結果 ............................................................................. 89 表 4-5-9. 第 6.Ⅱ題的勾選情形 ................................................................................. 89 . IV.

(10) 圖次目錄圖 3-1-1. 研究架構圖 ................................................................................................. 16 圖 3-5-1. 研究過程流程圖 ......................................................................................... 24 圖 4-2-1. 向量不是純量與符號影響之施測題目 ..................................................... 28 圖 4-2-2. 向量長度(絕對值)之施測題目 .................................................................. 30 圖 4-3-1. 內積名稱所引動的概念心像之施測題目 ................................................. 32 圖 4-3-2. 內積符號之學生例 1 .................................................................................. 33 圖 4-3-3. 內積符號之學生例 2 .................................................................................. 33 圖 4-3-4. 內積符號之學生例 3 .................................................................................. 33 圖 4-3-5. 向量之學生例 ............................................................................................. 34 圖 4-3-6. 純量之學生例 ............................................................................................. 35 圖 4-3-7. 「內積」名稱所引動的概念心像之結果百分比折線圖 ......................... 37 圖 4-3-8. 內積符號之施測題目 1 .............................................................................. 40 圖 4-3-9. 內積符號之施測題目 2 .............................................................................. 40 圖 4-3-10. 內積結果為純量之施測題目 ................................................................... 45 圖 4-3-11. 內積結果為純量之應用題目 ................................................................... 48 圖 4-4-1. 內積定義之施測題目 1 .............................................................................. 52 圖 4-4-2. 內積定義之施測題目 2 .............................................................................. 52 圖 4-4-3. 內積定義之施測題目 3 .............................................................................. 53 圖 4-4-4. 內積定義之施測題目 4 .............................................................................. 53 圖 4-4-5. 無代數型學生例 1 ...................................................................................... 55 圖 4-4-6. 無代數型學生例 2 ...................................................................................... 55 圖 4-4-7. 無代數型學生例 3 ...................................................................................... 56 圖 4-4-8. 代數型 VS 圖像型之施測題目 .................................................................. 59 圖 4-4-9. 具備「代數型」與「圖像型」心像的學生例 ......................................... 61 圖 4-4-10. 具備「代數型」心像且「圖像型」心像薄弱的學生例 ....................... 62 圖 4-4-11. 認為角度越小，內積越大的學生例 ....................................................... 63 圖 4-4-12. 認為角度越大，內積越大的學生例 1 .................................................... 63 圖 4-4-13. 認為角度越大，內積越大的學生例 2 .................................................... 64 V.

(11) 圖 4-4-14. 認為垂直時內積最大的學生例 ............................................................... 65 圖 4-4-15. 圖像型內積定義之學生例 1 .................................................................... 66 圖 4-4-16. 圖像型內積定義之學生例 2 .................................................................... 66 圖 4-4-17. 內積是投影量之學生例 1 ........................................................................ 67 圖 4-4-18. 內積是投影量之學生例 2 ........................................................................ 67 圖 4-4-19. 圖像型-注意投影之學生例...................................................................... 68 圖 4-4-20. 圖像型-注意角度之學生例 1................................................................... 68 圖 4-4-21. 圖像型–注意角度之學生例 2 .................................................................. 68 圖 4-5-1. 任兩向量可做內積之施測題目 1 .............................................................. 74 圖 4-5-2. 任兩向量可做內積之施測題目 2 .............................................................. 75 圖 4-5-3. 平面向量可作內積各題勾選百分比折線圖 ............................................. 78 圖 4-5-4. 三維空間及任意兩向量是否可作內積各題勾選百分比折線圖 ............. 81 圖 4-5-5. 內積交換律之施測題目 1 .......................................................................... 87 圖 4-5-6. 內積交換律之施測題目 2 .......................................................................... 88 . VI.

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(13) 第壹章. 緒論. 第一節研究動機在數學教學中，教師往往發現，許多概念自己講解清楚且重複多次，但學生在解題時，卻不斷重複使用相同的迷思概念。顯然學生在解題時，腦中的數學概念或思考與教師所教的有所差異，學生究竟是如何思考的，連結與應用的數學概念與教師所教的差異何在等等，都是數學教育界亟須瞭解的問題。對於這樣的問題，Tall 和 Vinner (1981)提出之概念定義（concept definition）與概念心像（concept image）提供了一個解釋的方向。Tall 和 Vinner 認為，多數學生在解題時，連結的是與題目相關、學生自我具有的概念心像，他們使用連結到的概念心像來思考題目，而非使用課堂上所教的概念定義進行思考。然而，學生的概念心像是什麼？學生的概念心像與課堂上所教的概念定義有何異同？這些問題都是我們所感興趣的。向量是高中數學中一個重要的單元，相較於三角函數、對數等單元，學生對於向量似乎不那麼的恐懼，但在向量內積概念出現之後，學生的學習狀態出現急遽的變化，困難因應而生。國內許多研究因而致力於探討學生在向量內積的錯誤類型（e.g.,李永貞，2008 ; 林進發，2001），研究結果顯示向量內積對於學生來說不是一個簡單易懂的概念。有經驗的教師都知道學生在背出「長度×長度× cos  」這樣的內積定義上並沒有很大的困難，部分學生也知道內積與「投影量」相關，但學生在面臨題目中需要作內積時，卻出現感知不到題目中有兩向量即可應用內積定義求算內積的現象。上述現象顯示，學生所具有之向量內積概念心像為何乃數學教育界亟須探討的課題。 1.

(14) 第二節研究目的與名詞解釋研究目的：本研究的研究目的在於探討高中生關於「向量內積」的概念心像。. 根據上述研究目的，擬訂具體研究問題如下： 1. 學生關於「向量定義」與「向量長度」之概念心像的具備情形與樣貌為何？ 2. 學生關於「內積特徵」相關概念之概念心像的具備情形與樣貌為何？ 3. 學生關於「內積定義」相關概念之概念心像的具備情形與樣貌為何？ 4. 學生關於「內積操作」相關概念之概念心像的具備情形與樣貌為何？. 名詞解釋：概念定義：由文字構成，是用來界定某個數學概念的敘述。在本研究中的概念定義可界定為「課本上對於某個數學概念所給的文字定義或教師在教學中對某個數學概念所講述的定義。」概念心像：學生腦中關於某個數學概念的所有心靈影像(mental pictures)，包括圖像[picture]、符號形式[symbolic form]、圖表[diagram]、圖形[graph]等等。本研究中所指的概念心像即是學生面對外在刺激而浮現的任何型式的表徵。內積之概念定義：關於「向量內積」之概念定義，一般課本上主要有三種類型。     代數型：兩個非零向量 a 與 b 的夾角為  時，我們規定向量 a 與 b 的內    積為| a || b | cos  ，並以 a ． b 表示。. 2.

(15)     圖像型：設兩個非零向量 a 與 b 的夾角為  ，我們把| b | cos  稱為向量 b  在 a 方向上的投影量。下圖中，(1)(2)(3)分別顯示  為銳角、鈍角與直角的投影情形： (1). (2) B. B. B.  b.  b.  O. (3).  a. A H. O. H.  b.  A.  a.  a. O.  | b | cos   OH  0.  | b | cos   OH  0.   90 A.  | b | cos   0.        於是，非零向量 a 與 b 的內積 a ． b ，可視為 a 的長度| a |與 b   在 a 方向上的投影量| b | cos  的乘積，即      a ． b  | a || b | cos   | a |(| b | cos  )  .  . 坐標型：設 a  OA  ( x1 , y1 ) , b  OB  ( x2 , y2 ) 是坐標平面上任意兩個非零向量，且  為此兩個向量的夾角，如圖所示： y. B( x2 , y2 ).   ab.  b. . A( x1 , y1 ).  a x. O 2. 2. 2. 在 OAB 中，利用餘弦定理 AB  OA  OB  2OA  OB  cos  ，得       | a  b |2  | a |2  | b |2 2 | a || b | cos  .  . . 因為 | a  b |2  ( x1  x2 ) 2  ( y1  y2 )2 , | a |2  x12  y12 , 3.

(16)  | b |2  x2 2  y2 2 ，所以上式可以改寫成   ( x1  x2 ) 2  ( y1  y2 ) 2  x12  x2 2  y12  y2 2 2 | a || b | cos   . 經化簡，得 | a || b | cos   x1 x2  y1 y2 ，又根據向量內積定義知       a ． b  | a || b | cos  ，故 a ． b  x1 x2  y1 y2. 偏代數型內積定義：學生浮現的內積定義之心像，且其心像偏向代數型   定義，即「| a || b |cosθ」。偏圖像型內積定義：學生浮現的內積定義之心像，且其心像偏向圖像型    定義，即「 a 在 b 上的投影量 × b 的長度」。偏坐標型內積定義：學生浮現的內積定義之心像，且其心像偏向坐標型定義，即「 (a1 , a2 ) ． (b1 , b2 )  a1b1  a2b2 」。. 4.

(17) 第貳章. 文獻探討. 學生解題失敗來向老師尋求協助，老師究竟應該提供什麼樣的協助呢？替他再重新講解一次題目？在進行一次解題給他看？還是把定義講清楚？還是講解更基本的概念？以上都是可能的作法。如果我們知道學生的問題到底出在哪裡，我們就能夠提供一個比較恰當的協助。. 第一節解題解題本身是一件非常複雜的事情，所謂解題就是解決問題，如何解決問題？很多專家都對這樣的問題提出了很多看法與理論，如下：一、Polya（1945）將解題分成4個階段： 1.理解問題(understanding the problem)：理解問題的敘述，並指出問題的主要部分，包括題目中的已知條件與未知條件。 2.擬定計畫(devising a plan)：找出已知條件與未知條件之間的關連，根據條件擬定出解決問題的計畫。 3.執行計畫(carrying out the plan)：執行所擬定的解題計畫。 4.回顧解題(looking back)：檢查所得的答案是否正確，嘗試使用不同方法檢查答案。二、Schoenfeld（1985）認為數學解題應該考慮4個變項： 1.資源(resources)：解題者所擁有與解題相關的數學知識。 2.捷思(heuristics)：解題者的解題策略。 3.控制(control)：解題時決定計畫、選擇目標、採用策略以及監控、評估結果的歷程。 5.

(18) 4.信念系統(beliefs)：解題者對於數學的看法，解題者對數學的看法將會影響其解題行為。三、Lester（1980）將解題分為下面6個階段： 1.問題的知覺(problem awareness)：解題者感覺到問題的存在。 2.問題的理解(problem comprehension)：解題者將問題轉譯及內化 3.目標分析(goal analysis)：解題者將問題變形並分析其結構，是否有任何子目標可幫助達成目標。。 4.計畫的發展(plan development)：解題者擬定出解題計畫，其中包含解題策略及解題進行的程序、方法。 5.計畫的執行(plan implementation)：解題者依照所擬定的解題計畫加以執行，並注意是否正確。 6.程序和解答評估(procedures and solution evaluation)：檢查答案的合理性及正確性，並回顧整個解題過程。孫子兵法云：「謀定而後動」，我認為解決問題就是如此，但謀從何而來？難道會有錦囊裡面裝著妙法，當然不是，這些謀就藏在每個人的腦海之中，而每個人所擁有的謀略或高或低、或巧或妙，就看每個人對整體情況的瞭解與掌握度如何？就看每個人所能想到的策略有多少，有多適合問題情境。而這樣的想法，其實跟上面這些專家提出的看法不謀而和。這些看法都有一個共通的根本部分，不論是解題計畫、解題策略還是謀略，都必須來自於解題者的腦袋中。就如Polya（1945）提到：解題必須從你現有知識中找出與問題有關之處。試想過去在類似的情況下有什麼曾幫過你的忙。在你所考慮的內容中，設法找出熟悉的東西，在你所熟悉的東西中，努力找出有用的東西。Bledsoe, Karen E.和Flick, Lawrence（2012） 6.

(19) 認為：解題過程中，主體(如：學生)會將概念進行連結而產生概念地圖 (concept maps)。本研究基於以上的論點，認為學生在面臨解題時，學生會去搜找尋他腦袋中現有相關的、可能有用的概念，並將它們串連起來以進行解題。 Wilson（1990）表示，教學常發現，有些能合理敘述出概念定義的學生，不見得能正確指出合於此概念的例子，而能指出合於此概念例子的學生，不一定能說出正確的定義。所以我們必須釐清何謂「概念」。並且更進一步地，對於學生關於某概念的解釋、說明甚至定義(學生自有的)與「概念定義」之間，也必須加以釐清。本研究採取 Tall 和 Vinner (1981)提出之概念定義（concept definition）與概念心像（concept image）作為一個解釋的方向。. 7.

(20) 第二節概念自希臘時代開始，人類如何認識這個世界，如何獲取知識，一直都是哲學談論的重要問題。康德認為人對萬物的認識，其實是從一種先於經驗而存在（即所謂的先驗）的綜合活動中得來。舉例來說：當你進入到一間蛋糕店，你看到架子上有著一盤薑餅人，你會認為那些是長的同一個模樣的餅乾人，就算其中有一個手斷了，還有另一個少了一隻腳，還有一些大一點，有一些小一點，每一個其實都有著一些差異，你就是會認為它們是同樣的餅乾人，這表示我們已經知道薑餅人的形狀就是那個樣子。那是因為在我們認識薑餅人之前，薑餅人的模子就躺在麵包師傅的工作台上，早已經存在那裡了。這就是理性主義的想法，他們認為存在著一個理形世界，所有的知識都存在於理形世界中。以這樣的想法來看，概念似乎是客體存在的。而經驗主義的主張恰恰相反，洛克認為人類所有的思想和觀念都來自人類的感官經驗。亞理斯多德認為，我們所擁有的每一種想法或意念都是透過我們看到、聽到的事物而進入我們的意識。也就是說他們不認為有著理形世界的存在。以這樣的角度來看，概念又應該只存在於主體的。張春興（民 95）在張氏心理學辭典裡這樣說：概念是對具有相關共同屬性一類事物獲得的概括性的認識。此一超越具體事物的認識即為概念。這樣的說法並未說明概念是存在於客體還是存在於主體。不過他在書中說了一個例子：「例如，幼兒吃過、看過、拿過不同形狀、顏色、大小的蘋果之後，在他的意識中將形成一種概括此類水果屬性的認識(蘋果)。」依照這個例子來看，這樣的說法說明了概念是存在於主體（幼兒）的。而後他又提出另一個狹義一點的定義：「以單一概括性的名稱或符號，代表具 8.

(21) 有共同屬性的一類事物的全體時，此名稱或符號所代表者即為概念。」他以”書”字代表所有不同種類不同性質的書籍、數字 8 代表量的概念以及 X 代表變數的概念來解釋文字、符號如何用來表示概念，以這樣的說法，又顯示概念存在於客體的想法。在數學概念方面，Skemp（1987)表示，要形成數學概念，必須先有實際經驗且這些經驗須有某些相似性或共通性。他認為數學是一種抽象概念，這種概念的形成，是需要經過學習的，而且必須透過「經驗」抽象而得。然而我們的教科書中，對於所要教的數學概念，往往都是從定義出發，尤其是高中數學，其數學內容幾乎都是高度發展的數學概念，似乎從定義、定理出發教學是最為輕鬆、簡便的方法了。但對於學生的學習來說，會是輕鬆、方便的學習之路嗎？這樣的問題就相當 Skemp 拋出的一個問題：如果我們直接將一個概念以文字型式定義好，那麼是否一定能縮短形成概念的時間與程序呢？回答這個問題之前，我們先探討一下概念的特性。Skemp 認為概念具有層次的特性，他將感官對外在世界經驗後而得的概念稱為初級概念 (primary concept)，例如：紅色、重、甜等等。而由數各概念再抽象之後得到的概念稱為二級概念(secondary concept)。例如：顏色就是一個自綠色、紅色、黑色等所形成的一個次級概念。如果概念 A 只是概念 B 的一個特例，我們就說 B 比 A 高階，而 B 又是 C 的特例，那麼 C 比 B 跟 A 都高階。那麼我們再回過頭來看看剛剛的問題，我將以一個例子來回答。今天有一個剛上幼稚園的小朋友，他從來沒有看過牛，他問你說：「牛是什麼？」，而你回答：「牛是哺乳類動物的一種」，先不論這樣定義的夠不夠精準，但相信這樣的說法對這個小朋友來說，是沒有幫助的，因為哺乳類動物這個概念對這個小朋友來說太過高階了。那怎麼樣會是好一點的方 9.

(22) 法，一個大家都想得到的方法，就是舉很多的實際例子。這也就是 Skemp 的論點，即超過一個人已有概念階級的高級概念不能用定義方式來溝通，只能蒐集有關的例子供其經驗，使其自我透過抽象來形成概念。所以我們從定義出發來教學生學習數學概念會是好的方法嗎？我想答案顯而易見。Skemp 認為在數學中，定義是概念發展末端的產物。也就是說定義是非常高階的概念，所以我們看到學生從定義出發去學習數學概念，常常搞到灰頭土臉，到頭來還是搞不清楚概念到底是什麼，最後就是胡亂記了一堆公式。所以我們應該儘可能的提供給學生多一點的例子，讓學生去經驗，讓他自己透過抽象而形成概念才是比較好的作法。另外還有一點得注意，Skemp 提到在數學中，有關的例子多少又含有其他概念，我們在提供例子時必須確定學生已經形成這些預先概念。. 10.

(23) 第三節概念定義與概念心像 (concept definition 和 concept image) 由上一節對概念的探討，我們可以看出概念可能存在於客體，也可能是主體的認識。而課堂中所要教授的概念，可能是存在於課本上的客體，也可能是老師本身所具備的概念。Tall（1988）認為概念定義是由文字構成，是用來界定某個概念的敘述。Vinner（1983）強調：「概念定義是以一種不會循環的方式精確解釋概念的文字定義。」這樣的說法被廣泛的接受。所以對於學習者也就是學生來說，所要學習的概念，不論是課本上寫的，還是老師所表達出來的概念，可能是用講的或是寫在黑板上的，都是概念定義。綜合以上，我們可以將本研究中的概念定義界定為：課本上對於某概念所給的文字定義或教師在教學中所講述的定義。相較於教師本身所具有的或課本上所呈現的概念定義，以學生這個主體來看，他自己本身所具備的又是什麼呢？當學生看到或聽到某個概念的名稱時，它會刺激學生的記憶，在學生記憶中的某些東西會被它喚醒，被喚起的不一定是概念定義，而這個被喚起的東西，Vinner（1991）稱之為「概念心像」。什麼是概念心像呢？根據 Vinner 與 Dreyfus（1989）的說法，概念心像乃指學生心中關於某個特定的概念所產生的圖像所成的集合，以及表現它們特性的全部性質。（而心靈影像我們指的是任何型式的表徵，如圖像[picture]、符號形式[symbolic form]、圖表[diagram]、圖形[graph]等等）Tall 和 Vinner（1981）認為概念心像就是描述那些跟某個概念關連到的所有認知結構，包含所有的心靈影像(mental picture)及相關的性質與過程。Vinner（1983）強調：「在此使用的影像（picture）是十分廣義的，它包含這個概念的任何視覺表徵（甚至符號）。……除了一個概念的心靈影 11.

(24) 像，也包含與這個概念相關的性質。……這些性質連同心靈影像的集合就稱為概念心像。」綜合以上，我們可以將本研究中的概念心像界定為：學生面對題目刺激而浮現的任何型式的表徵。 Vinner 與 Dreyfus（1989）都認為學生在解題時常用概念心像來思考而非概念定義。對老師教學來說，當然是希望學生學習之後，面對題目時能夠使用概念定義來解題，這理所當然地是我們的教學目標，那學生的概念心像與概念定義如何才會一致呢？學者專家認為其是否一致取決於概念心像形成的歷程，學生的概念心像是由該概念的例子與非例子的經驗所成的結果（Vinner & Dreyfus，1989），例子接觸的越多，其概念心像發展的越接近概念定義。除此，概念心像的發展並非一夕可成，是經年累月透過各種經驗建構而來，並隨著個體受到新的刺激或新的經驗越趨成熟而產生變化（Tall & Vinner，1981）。 Tall（1988）的研究發現，學生透過舊經驗與新經驗的結合建立屬於他們自己的概念心像，這些概念心像不一定與概念定義一致。譬如當一個小朋友，剛開始學到兩個正數的減法的時候，他會注意到「減」這個動作通常會讓答案變少，此時這樣的注意就成為他概念心像的一部份，但後來遇到負數的減法時，就產生了問題。更甚者，概念心像也不一定是本身前後一致、脈絡相連的，這個結果呼應了 Tall 與 Vinner（1981）的觀點，他們認為：「在特定的時間，只有某部分的概念心像會被喚起（evoked）。不同的時間，被喚起的概念心像可能是會彼此衝突的」，學生不見得會意識到其概念心像是彼此衝突的，「只有當這些相互衝突的概念心像被同時喚起，個體才會感覺到它們之間的衝突。」例如學生認為 0.9  0.999999 永遠比 1 小一點，此時要求他們利用循環小數化成分數的方法去計算出 0.9  1 時，這樣兩個互相衝突的概念心像同時被喚醒了，他們才會感覺到這兩個 12.

(25) 心像之間的衝突，才會產生認知衝突。這正說明了對任何概念而言，學生須在不同的情境與刺激下，都能喚起相同且正確（與概念定義一致）的概念心像，方能順利解題。因而，探討學生在不同的情境與刺激下，是否能夠喚起正確且一致的概念心像顯得格外重要。此外，我們也必須留意每個學生的概念心像可能是不同的。Bingolbali 與 Monaghan（2008）在概念心像的研究結果中提到，不同學習背景(該研究指的是科系)的學生展現出來的概念心像是不同的，因此我們不應該忽視學生的學習背景。這也呼應了 Tall（1988）的觀點，學生透過舊經驗與新經驗的結合建立屬於他們自己的概念心像。每個學生的經驗勢必會因人而異，而且每個人習慣思考的方式也必定有所不同，Skemp（1987）表示，早在 1880 年代，Galton 就發現每個人心智結構中的意向(imagery)程度強落不同，有些人有很強的視覺意向，而有些人什麼意向也沒有，只能憑文字思考，所以每個人的概念心像也因此而有所異同。綜合以上，我們知道概念心像與概念名稱之間的連結經常因人而異。也就是同一個概念名稱對不同的人而言，很可能會喚起完全不同的概念心像。Vinner（1991）提到：如果你想知道某個人是否知道某個特定的概念定義，你只要要求他寫下來。然而要研究某個人的概念心像，研究者必須問不直接的問題(indirect questions)，這樣才能讓首訪者的概念心像真正呈現出來。也就是說想要判斷一個人是否具備某個概念時，光指出名稱是不夠的，必須要給予不同問題情境的刺激，並加以探討觀察其反應，才能真正知道他的概念心像，本研究立足於這樣的看法，所以設計許多並不直接的問題來探測學生的心像。. 13.

(26) 第四節向量內積的相關研究在國內曾有研究者針對高中生進行向量內積之運算及應用的研究，在本節將對國內與向量內積相關的研究進行探討。林進發（2001）曾對桃園地區三所國立高中之高二、高三學生進行向量內積之運算及應用的研究。他的研究在探討高中生在向量內積的運算及應用的錯誤類型及造成學生犯錯的原因。他有以下幾點發現：一、學生的錯誤原因主要有： 1. 因概念不清產生的錯誤。 2. 對圖形的錯覺。 3. 受先前學習過的知識或本單元學習經驗影響做錯誤的推論。 4. 受舊知識相似概念與線索的引導，形成運算上的錯誤或不當的推論。 5. 符號使用不當，未能注意符號實質的表徵意義。 6. 忽視題目中的已知條件或答案的隱藏條件所產生的錯誤。 7. 受題目中情境設計與文字敘述的影響。 8. 無據的推論與多餘的證明。 9. 粗心計算錯誤。二、在同樣的錯誤答案與錯誤類型中，發現其造成錯誤的原因是不相同的。. 而國內針對內積所做的研究其實非常的少，其他比較相關的研究還有李永貞（2008）針對高二學生探討學生在學習向量概念與基本運算上有哪些主要錯誤類型及成因。他的研究發現高二學生在向量概念與基本運算上的主要錯誤類型有以下九種： 14.

(27) 1.認為向量記號可以表示向量的大小。 2.把方向相反的向量當成負值。 3.把向量大小記號當成絕對值記號。 4.在三角形法兩向量相加時，把和向量的起點與終點位置寫相反。 5.在平行四邊形法兩向量相加時，使用錯誤的對角線表示它的和向量。 6.認為向量記號相加或相減就是長度相加或相減。 7.認為向量的內積運算符號就是數的乘法運算符號。 8.不了解向量夾角的定義。 9.認為兩組向量內積中，可以利用「向量大小」或「兩向量夾角」其中一個條件的大小來判斷內積大小，或當向量大小和向量夾角都不相同時，則無法比較內積的大小。. 從以上的結果，我們可以看到其實絕大部分的錯誤原因都是因為學生的概念出現了某些問題。可能是受舊有概念的影響，可能對符號所代表的概念內涵不清楚，可能無法瞭解題目所要表達的概念，或者是對某個概念的認識還沒發展到足夠成熟。而向量內積有哪些獨特的概念？這些概念在學生心中又會形成什麼樣的概念心像呢？目前並沒有相關的研究在探討這些問題，沒有相關的研究去探討學生腦袋中到底是怎麼樣去看待向量內積的，這些是數學教育界亟須探討的課題。. 15.

(28) 第參章. 研究方法. 第一節研究架構本研究的研究架構圖是根據研究目的：『探討高中生關於「向量內積」的概念心像』並配合各研究問題，所發展的研究架構，其研究架構圖如下：. 向量定義內積特徵向量長度. 內積相關概念之概念心像內積定義. 內積操作. 回植. 喚起. 反應. 刺激. 外在輸出. 題目解題歷程圖 3-1-1. 研究架構圖 16.

(29) 關於圖 3-1-1 的研究架構圖說明如下：學生在解題時，首先會接受到題目的刺激，然後去腦中搜索相關的概念以進行解題，於是某些概念心像就會被喚起。被喚起的心像會回植到腦中思考工作區作為解題的參考，然後學生思考後做出反應，得到形式化的外在輸出。而被喚起的概念心像，會因為題目的不同、刺激的不同甚至時間點的不同，每次都可能是不同樣貌的概念心像，而且概念心像是存在於主體的，理所當然地每個人的概念心像也會有所不一樣。本研究的研究目的是探討學生關於「向量內積」的概念心像。學生腦中概念心像的發展必定與學習過程有著緊密的關連性。而學生學習向量內積的過程，主要就是學習老師所教的(或是教材上的)「內積的概念定義」。換句話說，對於「向量內積」的學習，其實我們已經有了一個既定目標希望學生能夠達到，希望學生面對題目時，能夠使用內積的概念定義去解題，也就是我們希望學生的概念心像能夠發展的越接近概念定義越好。因而本研究規劃了五個類別的相關概念：向量定義、向量長度(絕對值)、內積特徵、內積操作與內積定義，藉由探討學生腦中對這些與內積相關之概念的具備情形，以及學生對這些概念的心像模樣為何，來探討學生關於「向量內積」的概念心像。這五個類別的規劃想法說明如後：探討內積概念，勢必要先探討更基礎的「向量」概念，如果一個學生連內積的先備概念-「向量」是什麼都不曉得，那遑論他對「內積」的瞭解會有多正確。而「向量」概念本身也相當的複雜，為使本研究能夠聚焦在「內積」上，故在向量部分，本研究選取了最基礎的「向量定義」(能區分出向量與純量是不同的)以及內積會用到的「向量長度(絕對值)」。再回到「內積」概念上來討論，一般談論 17.

(30) 到某概念時，其名稱與概念本身是密不可分的，也就是外顯的表徵，而談論表徵就不應該不提到符號，研究者將內積名稱、內積符號歸到「內積特徵」這一類別，而內積有一個很特別的特徵就是「內積結果為純量」也將在這一類別作探討。討論完了內積的特徵之後，接下來我們回到「到底內積是什麼？」這個根本的問題上來，於是我們將探討「內積定義」。最後，我們將切到另一個角度來談論「內積」。內積是兩向量之間的「運算」，在這裡我採取另一種比較貼近學生的說法：「把兩向量拿來〝作〞內積」，也就是內積是一種「操作」，我們在「內積操作」這個部分將討論哪些向量可以做這個操作？操作的順序有沒有差？另外要注意的是，並非除了這五個類別的相關概念外，內積就沒有其他的相關概念了，只是本研究規劃了這五個類別作為對『學生關於「向量內積」的概念心像』的初探目標。. 18.

(31) 第二節研究設計本研究的研究目的乃探討高中生關於「向量內積」之概念心像。本研究定位為基礎性研究(basic research)，因本研究同時可使教師更加瞭解學生學習後形成之概念心像，據以改善教學，故也具有應用性。本研究利用問卷調查，蒐集質與量的資料，針對所蒐集到的資料，進行歸納分析(inductive analysis)。在歸納分析時，不做任何預設的限制、假設，所有的發現均來自於學生的反應。根據研究目的，本研究設計許多不同情況的問題，透過問卷調查法，調查學生是否具備「向量內積」相關概念的概念心像，並透過質的資料之收集，進一步瞭解其概念心像的樣貌。研究過程包括：問卷編制、施測、回收、質與量的資料分析，其中資料分析以質的分析為主，量的分析為輔。問卷測驗時間並未限制，只要學生願意填答都會給予足夠的時間完成作答。本研究研究對象為高三學生，選擇這個階段學生之主要原因為高三學生已至複習概念階段，相較於剛學完向量內積概念的高二學生來說，高三學生的概念發展時間較長、接觸概念的經驗較多，概念心像發展趨於尾聲，較為固定，探討這個階段學生的概念心像，較能顯示出高中階段概念學習完成後的概念心像狀況，可供高中教師參考，進行概念教學前後連貫的整體思考。施測時間為高三第二次模擬考後一至兩週，因班級不同有些許差異，而向量內積為該次模擬考所包含的範圍。. 19.

(32) 第三節研究樣本本研究採立意取樣，為了能收集到豐富的質性資料，研究樣本的數學程度以高程度及中程度為主（相對於高中生）。研究樣本來自於四個大台北地區高三班級的學生，其中兩個班級來自於一所學生程度較高的高中，該校高一學生入學時之國中基本能力測驗 PR 值約為 97，另兩個班級來自於一所學生程度中等的高中，學生入學 PR 值約為 70。兩校樣本都包含一個高三文組班級，一個高三理組班級。本研究中，高程度文組代表高程度學校的高三文組班級、高程度理組代表高程度學校的高三理組班級、中程度文組代表中程度學校的高三文組班級、中程度理組代表中程度學校的高三理組班級，扣除無效樣本後一共有 149 人，各班樣本人數情形如下表：表 3-3-1. 研究樣本之分佈狀況有效樣本高程度文組. 37. 高程度理組. 35. 中程度文組. 42. 中程度理組. 35. 合計. 149. 無效樣本之判定：兩次施測問卷，有任何一次問卷缺漏未受測者，視為無效樣本。或問卷內容超過一半以上未作答者，其明顯為作答意願低下而不予作答，因其會影響分析數據的正確度，亦視為無效樣本。. 20.

(33) 第四節研究工具本研究的研究工具為「向量內積概念心像探測問卷」。問卷內容一共有三個部分，第一部分探討學生對於內積的核心心像，包含一個問題，第二部分與第三部分探討向量的相關概念心像與內積的相關概念心像。第二部分包含八個問題、22 個小題。第三部分包含七個問題、20 個小題。本研究藉由這三部分的問卷取得質與量的資料，質的資料是由學生在問卷上根據題目要求說明理由或陳述答題原因而得。量的資料是根據學生回答問卷上的是非題，經統計後而得。第一部分僅包含一個問題的原因是因為該題為開放性問題「內積是什麼？」，而第二部分與第三部分是探討向量以及內積的相關概念，所以會有比較多相關的符號、式子，為避免第一部分受到後面題目的提示與影響，故特別獨立出來成為問卷的第一部分。因為題目為完全開放性的設計，所以得到的答案，也往往會是學生面對題目刺激，首先浮現的概念心像，也就是較為核心的概念心像。第二部分與第三部分一共有十五個問題，包含一題收集學生基本背景資料的題目，以及十四題針對相關概念施測的題目。將這些題目分成兩個部分的考量的因素主要有兩個：一、因為施測題目較多，為避免學生的不耐煩降低答題意願，故將題目分成兩個部分，分兩次進行施測；二、因為各相關概念之間不可能完全獨立無關，所以施測題目之間偶爾會有重疊的概念，擔心題目之間會有相互提示的狀況，所以將可能互相提示、影響的題目分別放在第二以及第三部分不同的問卷上。由於第二部分與第三部分的題數較多，所以在題目設計上儘可能避免對相同概念重複出題。例如許多向量關係，在二維與三維是共同的，如向 21.

(34) 量相交或向量起點相同等等，所以只在平面部分討論，而空間部分主要加入空間中特有的歪斜關係，並以平行關係對應比較，如此希望減低學生不耐煩，降低答題意願的狀況。本研究的問卷編制由三位數學教育學者專家、十數位資深數學教師及碩博士班學生組成小組，進行八次焦點團體討論與修正而成，其間並進行一次問卷預測，檢驗題目的可行性與正確性，根據預測結果，進行修正完成問卷。因為時間以及學生狀態等等考量，所以設計為進行兩次的施測，而將第一部分的問卷與第二部分的問卷，在第一次時進行施測，為避免第一部分的問卷受到干擾，施測的方法為先發第一部分的問卷，等待同學回答完畢，收回第一部分問卷，在發第二部分的問卷。為了避免第三部分的受測題目，受到前兩部分問卷的提示與干擾，並考量教學進度以及學生答題意願，將第三部分問卷隔週在進行施測。. 22.

(35) 第五節研究過程研究過程包括三個階段：前置工作階段、施測階段、資料分析輿論文撰寫階段。前置工作階段： 1. 搜尋感興趣的研究主題，與專家研討擬定研究方向，並聚焦出研究目的。 2. 依據研究目的發展預測問卷，過程中與專家、資深教師以及碩博士班學生組成小組進行多次討論。 3. 對預測問卷進行施測，回收後進行資料整理，並依照預測結果與小組進行討論，以修正完成問卷。 4. 尋找合適的研究對象與施測時間。施測階段：因研究對象為即將面臨學測的高三學生，並且需要兩次的施測時間，為求不影響教師教學，以及顧慮學生的答題意願，故先行與合作教師討論適合的施測時間點與施測需注意的事項。資料分析輿論文撰寫階段：將收集到的有效問卷進行質性分析，從學生的陳述回答中抽象出學生的心像模樣並歸納出不同的心像類型，並做量化的統計，從統計結果交叉分析以推論學生的心像，在這階段不斷交錯進行質性分析與量化統計，儘可能地洞察出學生的心像模樣。以利進行更結構性、更整體性、更貼近真實狀況的報導。. 23.

(36) 以下為研究過程的流程圖：. 圖 3-5-1. 研究過程流程圖. 24.

(37) 第六節研究限制 1.概念心像並沒有辦法直接觀察，只能由學生的反應來加以推論。而學生的書寫表達能力是否真的能夠將他們腦中的概念心像完整的反應出來，在研究工具的限制之下，我們只能假定學生所陳述的文字說明以及各種回答已經能某程度顯現他們的概念心像。 2.由於概念心像是會因不同的刺激而有不同的展現，甚至時間點的不同也會有所影響，而且也不可能將所有的概念心像都喚起。所以本研究只能對有被喚起並且能夠觀察到的心像加以報導，並不是報導學生所有的概念心像。 3.本研究採用問卷收集資料後，根據學生所書寫的內容以及是非題的作答情形來探知學生的心像，並未對學生進行面對面的訪談以進一步確認學生的想法。所以從學生回答去推論其心像時，研究者採取嚴格的分析推論，當學生回答出現不能明確判斷時，只報導能夠確定的最低限度。 4.本研究的研究樣本為大台北地區兩所公立高中的學生，其 PR 分別為 97 跟 70 左右，所以研究結果並不能擴大到全體高中生。. 25.

(38) 第肆章. 研究結果. 本章將探討學生關於「向量內積」的概念心像，將根據資料進行學生概念心像的分析。第一節為研究結果報導的架構。其餘數節將報導各相關概念的研究結果與發現。. 第一節研究結果報導之架構本研究在研究結果的報導上，將「向量內積」所關連到的重要概念組織為兩個主類別：V.與向量相關、I.與內積相關。其中，與向量相關的概念又分為兩個子類：Vd.向量定義、Vl.向量長度(絕對值)。與內積相關的概念又分為三個子類：Ic.內積特徵、Io.內積操作、Id.內積定義。針對五個子類別所配合的施測題目分節報導。其架構如下表 4-1-1：表 4-1-1. 向量內積之報導架構. 主類別. 子類. 施測題目. V.與向量相關. Vd.向量定義. 3(1),3(2). Vl.向量長度(絕對值). 3(1),3(3). I.與內積相關 Ic.內積特徵. 符號. 1,2,3(4). 內積結果. 3(1),3(4),7(1),7(2). 為純量. Io.內積定義. Id.內積操作. 代數型. 6,8,9. 圖像型. 6,8,9. 坐標型. 14. 任兩向量. 10,11. 可做內積交換律 26. 3(5),6Ⅱ.

(39) 第二節，首先報導 V.與向量相關的概念，因為本研究欲探討學生對於「向量內積」的概念心像，所以必須先確認學生對於內積的先備概念–「向量」的心像發展狀況。. 接下來，第三節至第五節，我們將重點放在與「向量內積」本身較為相關的概念上，內容包括三個子類別：(1)Ic.內積特徵，此類別包含兩個部分：其一針對內積的「名稱」與「符號(．)」加以探討。其二為探討「內積的結果為純量」此概念；(2) Id.內積定義，探測學生對於「內積定義」的概念心像與概念定義的異同；(3) Io.內積操作，探討內積操作上的兩個重要性質：「任兩向量可做內積」以及「向量內積有交換律」。. 27.

(40) 第二節與向量相關之概念本研究欲探討學生對於「向量內積」的概念心像，而「向量內積」此概念的發展，必定與「向量」有著緊密的關連，所以首先在這一節將探討與向量相關的概念。為使焦點放在「向量內積」上，所以在與向量相關的概念，我們將探討兩個比較相關的子概念：(1)Vd.向量定義，主要探測學生對於「向量」本身是否有基本的認識；(2)Vl.向量長度(絕對值)，因為內積的定義會牽涉到向量長度(絕對值)的概念，所以挑選此概念加以探討。 Vd.向量定義向量內積有一個很大的特徵，就是兩向量內積的結果為純量不是向量。故在「向量定義」這一個部分，主要探測學生是否具備了「向量不是純量」的概念。  另外，在作兩向量內積時，我們常常使用 a , b 這些不同的符號來代表兩個向量，故在此設計了題目來看看符號對於學生的概念是否有影響？. 施測題目:. 3.將下列有可能成為正確式子的打，不可能的打。  □ (1) a = 8.   □ (2) a = b 圖 4-2-1. 向量不是純量與符號影響之施測題目. 題目分析：  在第(1)小題，等號左邊是一個向量 a ，等號右邊是一個純量 8，若對 28.

(41) 於「向量不是純量」概念不清楚的同學就可能會勾選此選項。   學生所遇到的大部分狀況， a 與 b 都是表示相異的兩向量，而在第(2) 小題，若學生對向量的理解不夠清楚，可能會因為符號以及過往學習經驗的影響而打。. 施測結果&概念心像分析：表 4-2-1. 向量不是純量與符號影響之施測結果第(1)小題. 題目班級. 打 34 33 21 23 111 74％. 打. 高程度文組. 3. 高程度理組. 2. 中程度文組. 21. 中程度理組. 12. 合計. 38. 第(2)小題. 26％. 打 37 34 41 35 147 99％. . 打 0 1 1 0 2 1％. 1 4. 第(1)小題 a = 8，有 38 位(26％)學生打勾，表示有達的學生對於「向量不是純量」概念是不清楚的。其中程度較高學校的學生有 5 位，程度較差學校的學生多達 33 位，可以看到在基礎的「向量不是純量」此概念，程度較好學校的學生與程度較差學校的學生有很明顯的落差。而「向量不是純量」概念不清楚的學生中，其心像並非完全一樣。搭   配題目 3.(3)| a | = b 來看，有以下勾選人數分佈情況：   表 4-2-2. 向量不是純量 vs | a | = b 之分布情況.  a =8. 打.   | a |= b 打.   | a |= b 打. 14. 24. 29.

(42)    我們看到在第(1)小題( a = 8 )打而第(3)小題(| a | = b )打的學生有 24   位，這些學生並非完全不知道向量的定義，否則在面對第(3)小題(| a | = b ) 時應該會打。因此，可以推測學生對於「向量不是純量」概念的心像有： A 類：不清楚向量的定義，無法分辨出向量與純量的不同。 B 類：知道向量具有〝大小〞與〝方向〞不是純量，但無法清楚釐清，在面臨某些問題，會因為向量具有〝大小〞而產生錯誤的迷思。 C 類：對於向量定義完全理解，可以清楚分辨向量與純量之間的不同。  . 關於第(2)小題 a = b ，幾乎全體學生(99％)都能正確勾選，只有兩位同學不能正確勾選，表示符號的不同對於絕大部分學生是沒有影響的。 Vl.向量長度(絕對值). 施測題目:. 3.將下列有可能成為正確式子的打，不可能的打。  □ (1) a = 8.   □ (3)| a | = b 圖 4-2-2. 向量長度(絕對值)之施測題目. 題目分析：   關於向量長度(絕對值)此概念，施測題目為 3.(3) | a | = b ，等號左邊為一向量的絕對值，等號右邊為另一向量。知道向量絕對值表示向量的長度為純量不是向量的學生，在這一小題會打；而打的學生則對「向量絕  . 對值≠向量」的概念是不清楚的。從題目 3.(2) a = b 的勾選狀況，我們知道向量符號不同對於學生沒有影響！但只看 3.(3)小題勾選狀況，我們無法 30.

(43) 確認學生「向量絕對值≠向量」概念不正確是因為向量定義的概念不正確，還是對於向量絕對值的概念不正確而進行勾選，所以在這裡搭配第(1) 小題來看學生的回答狀況，可以比較準確的知道學生的心像為何。. 施測結果&概念心像分析：表 4-2-3. 向量長度(絕對值)之施測結果勾選情形. . . . . 高程度文組. 2. 1. 1. 高程度理組. 0. 2. 0. 中程度文組. 9. 12. 1. 中程度理組. 3. 9. 2. 合計. 14. 24. 4. 9％. 16％. 3％. 33 33 20 21 107 72％. 班級. 代表第(1)小題打，第(3)小題打 ； 代表第(1)小題打，第(3)小題打； 代表第(1)小題打，第(3)小題打 ； 代表第(1)小題打，第(3)小題打。. 第(1)小題與第(3)小題勾選分別為的學生有 9％，這些學生在向量定義概念就出現了問題，而使得「向量絕對值≠向量」概念也不清楚。勾選情形為的學生有 16％，這些學生顯示出他們知道向量絕對值與向量是不同的，但對於向量定義的理解不夠清楚而導致錯誤的勾選情形。勾選情形為的同學，在向量定義部分是沒有問題的，所以在「向量絕對值≠ 向量」出現問題，顯然是因為對「向量絕對值」本身無法理解，而這樣的學生只有少數 3％。最後就是勾選情形為的學生有 72％，這些學生就達到向量定義的概念與向量絕對值的概念都沒有問題。. 31.

(44) 第三節與內積特徵相關之概念 Ic.內積特徵_名稱概念的名稱與概念本身是密不可分的。所以在這裡，我們首先要針對「內積」這一個名稱，來看看當學生面對「內積」這一個名稱的刺激時，會浮現出什麼樣面貌的概念心像。. 施測題目: 1.內積是什麼？ (請將所有您知道的、想到的儘量書寫！重點不在答案正確與否，而是您認真的作答。) 圖 4-3-1. 內積名稱所引動的概念心像之施測題目. 題目分析：該題為開放性的問題，並獨立於其他問卷先行施測。先行施測可避免學生受到其他題目的提示而影響其作答情形。因為開放性的題目設計，使得學生所回答的內容，會是學生心中首先浮現的心像，也往往是較為核心的概念心像。. 施測結果&概念心像分析：因為本題為開放性的問題，所以學生答案非常的多樣。因此，本研究者將學生的回答情形搭配「向量內積」的相關概念進行歸納整理，將其歸納為以下數類：內積符號、向量、相乘、純量、圖形、投影、偏代數型、偏圖像型、偏坐標型、應用、公式、外積、面積、垂直、物理以及其他。各類概述如下：. 32.

(45) 內積符號：學生回答中有使用內積符號「．」的情況，如下圖 4-3-2 以及圖 4-3-3。. 圖 4-3-2. 內積符號之學生例 1. 圖 4-3-3. 內積符號之學生例 2. 但此類的結果有可能被略微低估，因為有少數學生的回答如下圖 4-3-4，此時就無法判斷學生是否有使用內積符號「．」。. 圖 4-3-4. 內積符號之學生例 3. 33.

(46) 向量：學生回答中有出現向量概念，即：有提到「向量」的名稱或使用向量符號。例如上圖 4-3-3 與 4-3-4 的學生都有提到向量也有直接使用向量符號；有一些同學只有提到向量，如下圖 4-3-5 的同學；也有一些同學則是直接使用向量符號。. 圖 4-3-5. 向量之學生例. 相乘：學生回答出現「相乘」的概念，此處指的「相乘」是指學生將內積類比於數字的相乘，不是單單出現乘法而已。上面圖 4-3-3、圖 4-3-4 與圖 4-3-5 的學生的回答就出現這樣的概念心像。純量：學生回答出現「內積的結果為純量」概念，如下圖 4-3-6 學生的回答。圖形：學生回答中有圖形的情況，如上面圖 4-3-4 與下面圖 4-3-6 的學生。投影：學生回答中有提到投影或圖形有畫出投影的情形，如下圖 4-3-6 學生的回答。. 34.

(47) 圖 4-3-6. 純量之學生例. 偏代數型：學生回答中有出現內積定義的心像，且其心像偏向代數型定   義，即「| a || b |cosθ」，如前面圖 4-3-6 學生的回答。偏圖像型：學生回答中有出現內積定義的心像，且其心像偏向圖像型定    義，即「 a 在 b 上的投影量 × b 的長度」。偏坐標型：學生回答中有出現內積定義的心像，且其心像偏向坐標型定義，即「 (a1 , a2 ) ． (b1 , b2 )  a1b1  a2b2 」。. 應用：學生回答中出現「內積是拿來應用到其他地方」的心像。公式：學生回答出現將代數定義的式子移項之後像公式的式子，即   a．b 「 cos   」。  | a || b |. 外積：學生回答中出現外積的情況。面積：學生回答中，認為內積就是兩向量所形成的面積。. 35.

(48) 垂直：學生回答中出現「兩垂直向量內積為零」的心像。物理：學生回答中，可以看到應該是因為受到物理課上課內容的影響。例如有一位學生的回答是「一個具方向的物理量在空間中運動方向上的累積量」，還有另一位學生的回答是「作功」。其他：包括回答「我不記得了」、「不清楚」…等情形。還有其他無法歸納的情形，例如有學生回答「相關係數」。. 將第 1 題的施測結果依照各類別編碼、統計之後可以得到學生面對「內積」名稱之刺激所引動的概念心像之施測結果，如下表 4-3-1：表 4-3-1. 「內積」名稱所引動的概念心像之結果內積偏代偏圖偏坐向量相乘純量圖形投影應用公式外積面積垂直物理其他符號數型像型標型高程 65% 84% 11% 3% 30% 22% 43% 22% 41% 度文高程 51% 86% 度理. 5% 8% 14% 0% 0% 0% 8%. 6% 23% 51% 69% 57% 51% 37% 6% 0% 9% 3% 9% 3% 6%. 中程 29% 55% 24% 0% 31% 度文. 0% 40%. 0% 12% 5% 7% 0% 7% 7% 0% 21%. 中程 43% 80% 11% 3% 43% 20% 66% 14% 11% 0% 度理合計 46% 75% 13% 7% 38% 26% 51% 21% 25%. 36. 6% 3% 3% 9% 17% 11%. 4% 5% 6% 3% 6% 5% 12%.

(49) 90% 80% 70% 60% 高程度文. 50%. 高程度理. 40%. 中程度文中程度理. 30% 20% 10% 其他. 物理. 垂直. 面積. 外積. 公式. 應用. 坐標型定義. 圖像型定義. 代數型定義. 投影. 圖形. 純量. 相乘. 向量. 符號. 0%. 圖 4-3-7. 「內積」名稱所引動的概念心像之結果百分比折線圖. 整體來看，學生面對「內積」此一概念名稱的刺激時，浮現的主要概念心像有向量、內積符號以及偏代數型，其中最高的比例是 75％的向量，次高的是偏代數型為 51％，最低的則是內積符號為 46％。比對其他各類，可以發現這樣的情形恰好可以解釋學生多半都能背出內積之代數型定義的情況。另外，我們也可以發現有 38％的學生的概念心像都會有圖形的出現，而且有偏圖像型定義的概念心像的學生只有 21％，這顯示了「圖形」本身對於學生來說是特別的。而內積概念的三種概念定義，學生對於代數型定義的接受度最高，有 51％的學生浮現了偏代數型定義的概念心像，而第二高的偏坐標型定義的概念心像只剩下 25％，最低的偏圖像型概念心像則是 21％。除此之外，比較高程度學校與中程度學校的回答情況以及文組與理組之間的回答情況，我們有以下幾項發現： 37.

(50) 1.參考上圖 4-3-7，我們可以看到大部分情形，中程度文組班級的比例都低於其他班級，但在「相乘」的部分明顯反轉，有 24％出現了「相乘」的概念心像，明顯高於其他班級(最高 11％)，而高程度理組班級的比例只有 6％。這說明程度較差的學生，比較容易發生「將向量內積類比於數字乘法」的情況。 2.而「內積結果為純量」此概念心像的出現幾乎都集中在高程度理組班級 (23％)。 3.圖形的出現比例，高程度理組班為 51％、中程度理組班為 43％，都高於高程度文組班級的 30％與中程度文組班級的 31％。而且在偏圖像型定義的心像表現上，不論高程度學校的學生還是中程度學校的學生，都是理組班級高於文組班級。可以看到理組學生在思考上比較習慣使用圖形，並且對於圖形使用的掌握度都高於文組學生。 4.在投影的部分，其他班級相對於圖形都是下降的狀況，而高程度理組班級的比例突然升高，主要是因為高程度理組班級有些同學是沒有畫圖而直接出現「投影」的文字敘述。 5.而偏坐標型定義的概念心像表現，高程度學校不論文組理組，都大約為 40％左右，而中程度學校也是不分文組理組都約為 11％左右。 6.從內積定義的三類概念心像出現的比例，並且搭配學生的回答內容來看，顯示程度較好的學生，其概念心像比較多元；而程度較差的學生。其概念心像較為單一。. 38.

(51)   a．b 7.另外，有 8 位學生都浮現了「 cos   」樣式的式子，並且除此  | a || b |. 之外，並無其他類似公式的式子出現。這應該是因為內積常常被應用來求角度，有很多時候就會套用代數型定義移項後的式子   a．b 「 cos   」，而有些學生習慣背公式，於是就將該式子當作公式  | a || b |. 背下來，這 8 位學生應該就是屬於這類型的學生。 8.還有其他比例較低的類別，這些類別應該就是比較不核心的概念心像，但對浮現了這些概念心像的學生來說，顯然他們對這些類別是特別有感覺的，我們也不應該輕易忽視這些類別，這些類別有應用、外積、面積、垂直、物理。. 39.

(52) Ic.內積特徵_符號接下來，我們將探討學生對於內積符號「．」的看法。看看學生辨識  . 「 a ． b 是兩向量的內積」的情形如何？有什麼樣不同的心像。. 施測題目:   2. a ． b 是什麼？把正確的打，不正確的打，並說明之(不論)。 □ (1)是兩向量的乘積，為什麼？ □ (2)是兩向量的外積，為什麼？圖 4-3-8. 內積符號之施測題目 1. 3.將下列有可能成為正確式子的打，不可能的打。    □ (4) a ． b = c 圖 4-3-9. 內積符號之施測題目 2. 題目分析：第 2 題包含兩小題是非題，並要求學生寫出答題的理由，以取得質與量的資料。在題目 2.(1)沒有進行勾選的學生，那麼他的心像是可以辨識     出 a ． b 不是數字乘積。而能夠清楚辨識「 a ． b 是兩向量的內積」的學  生，在 2.(2)不會進行勾選。而在 2.(1)進行勾選的學生，有可能是將「 a ．    b 」類比於「數字的乘積」，也可能將「 a ． b 」視為向量特有的一種「乘積」。. 40.

(53)   在第 2 題中，讓學生勾選「 a ． b 是否為兩向量的乘積或外積」，而刻意不出現「內積」該名詞。這樣的題目設計有兩個考量，第一是免去學   生其實不甚清楚「 a ． b 是兩向量內積」因受題目影響而誘發作答的狀況；    第二是可看出學生對於「 a ． b 」的看法是類比於「乘積」還是將「 a ．  b 」視為特別的向量運算而不同於「乘積」。   為了可以更清楚地瞭解學生對於將「 a ． b 」類比於「乘積」的看法    為何，我們搭配第 3 題的(4) a ． b = c ，若其心像是類比於「數字乘積」的同學，那麼其心像可能類比於「數字乘數字=數字」會有「向量乘向量= 向量」的想法，而在 3(4)這一小題進行勾選。. 41.

(54) 施測結果&概念心像分析：表 4-3-2. 內積符號之施測結果. 2(1) 2(2) 3(4). 作答結果之交叉情形         其他. 高程度文 15 高程度理 15. 4. 15. 13. 7. 1. 1. 8. 5. 0. 2. 0. 0. 3. 17. 3. 0. 0. 15. 0. 0. 0. 0. 中程度文 31 中程度理 23. 3. 23. 2. 5. 1. 2. 16. 15. 0. 0. 1. 2. 20. 5. 5. 1. 1. 9. 14. 0. 0. 0. 2 1％. 1 1％. 合計. 84 9 61 37 20 3 56％ 6％ 41％ 25％ 13％ 2％. 4 48 34 0 3％ 32％ 23％ 0％. 代表 2(1)打，2(2)打，3(4)打；代表 2(1)打，2(2)打，3(4)打； 代表 2(1)打，2(2)打，3(4)打；代表 2(1)打，2(2)打，3(4)打； 代表 2(1)打，2(2)打，3(4)打；代表 2(1)打，2(2)打，3(4)打； 代表 2(1)打，2(2)打，3(4)打；代表 2(1)打，2(2)打，3(4)打；其他是有一位學生在第 2 題沒有作答，第 3(4)小題打的情形。.   整體而言，只有少數同學(9 位)在「2.(2) a ． b 是兩向量的外積」進   行勾選，這些同學對於辨識「 a ． b 不是外積」是不清楚的。而在「2.(1)     a ． b 是兩向量的乘積」有 44％的學生沒有進行勾選，顯示其認為 a ． b   不是一般的數字乘積，這些同學是可以辨識出「 a ． b 是兩向量的內積」；而對於 2.(1)進行勾選的學生中，有一些學生的理由出現「內積」或出現「內   積的定義」等等，這些同學也顯然對於 a ． b 的看法是有別於數字乘積的。   統合起來，我們可以確定至少有 66％的學生是可以辨識出「 a ． b 是兩向量的內積」。. 42.

(55)      為了更清楚學生對於「 a ． b 」的看法，我們搭配題目 3(4) a ． b = c   來交叉比較，發現除了 9 位在 2(2)進行勾選顯示無法正確辨識「 a ． b 」是什麼的同學以及一位在第 2 題沒有作答的同學外，其餘同學可以區分成以下四類：   A 類：勾選狀況為，這類學生佔全體的 1/4。這些學生在面對「 a ． b 」時，其概念心像比較符合概念定義。他們不會將「內積」視為向量的「乘積」，而是特有的運算。且這類學生(37 位)主要是來自高程度學校的學生(30 位)。下面列舉幾位這類型學生的陳述： a. 內積≠乘積 b. 乘積有可能是內積或外積 c. 向量 no 乘積 d. 是一向量投影到另一向量的長度乘積 e. 乘積為 2 純量的計算方式,不適用向量,因為有方向性    f. a ． b =| a || b |cosθ. B 類：勾選狀況為，這類學生有 32％，是最多人的一類。這類學生認      為 a ． b 是兩向量的乘積，但他們在 3(4) a ． b = c 打，顯然對於   內積是能夠掌握的，也就是說他們能夠辨識出「 a ． b 是兩向量的內積」，只是他們將內積看做是乘積的一種，這應該是因為受到符號「．」的影響。下面列舉幾位這類型學生的陳述：. 43.

(56) a. ∵「．」這個符號就是乘 b. 乘出來為一個數，且稱為內積     c. a ． b 是表示 a 與 b 的內積(乘積) d. ．是內積符號即兩向量乘積和 e. 乘積出來的，純長度    f. a ． b =| a || b |cosθ 為內積公式.   C 類：勾選狀況為，這類學生有 23％。這類學生也是認為 a ． b 是兩    向量的乘積，但他們跟 B 類學生有不同的心像，他們在 3(4) a．b = c   打，這些學生的心像是將「 a ． b 」類比於「數字乘積」，所以我們可以看到他們的心像是類比於「數字乘數字=數字」而有「向量乘向量=向量」的想法。而這一類的學生主要來自於中程度學校的學生。下面列舉幾位這類型學生的陳述： a. 內積是兩向量相乘 b. 因為．是乘   c. a ． b 相同起點所形成兩向量乘積 d. (a1 , a2 ) ． (b1 , b2 )  (a1b1 , a2b2 ).   D 類：勾選狀況為，這類學生有 13％。這些學生面對「 a ． b 」時，   可以辨識出「 a ． b 是兩向量的內積」，但從他們在 3(4)打的情形來看，我們可以知道這些學生對於內積的理解是不夠清楚的。. 44.

(57) Ic.內積特徵_內積的結果為純量內積是兩向量之間的一種運算。一般提到運算，我們就會談論到一些關於運算的特質，比如說：是否具備封閉性？有沒有單位元？反元素存不存在？當然沒有封閉性的狀況之下，就不會有單位元以及反元素。而向量就是一種沒有封閉性的運算，對於高中生來說，從小學到國中到高中，絕大部分的運算都具有封閉性，而內積是少數不具有封閉性的運算，相信學生的心像會有一些特殊的情形。所以我們將探討這一個部分，而一般教學現場，教師們通常都會採用一個對學生而言比較簡單而且直接的說法，就是「兩向量內積的結果為純量」，而且這樣的說法也比較貼近大部分人對於這個概念的概念心像。接下來我們就將焦點切換到「兩向量內積的結果為純量」這一個很特殊的內積特徵上面。. 施測題目:. 3.將下列有可能成為正確式子的打，不可能的打。  □ (1) a = 8    □ (4) a ． b = c 圖 4-3-10. 內積結果為純量之施測題目. 題目分析：首先從第(1)小題的回答，我們可以知道學生對於純量與向量是否能夠做分辨，而能夠分辨向量不是純量的學生中，若具備有「兩向量內積的結果為純量」這一個子概念的同學，就會在第(4)小題打或不勾選。反之，打的同學就顯示了他並沒有具備「兩向量內積的結果為純量」這樣的子 45.