1-3-2數列與級數-無窮數列與無窮級數

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(1)3-2 數列與級數-無窮數列與無窮級數【定義】 Σ 符號： n. 上限. k =1. 足標 = 下限. ∑ ak =a1 + a2 + " + an ，即. ∑ (一般項) = 之型式。. 【性質】 Σ 運算的性質：設無窮數列 < a n > 與 < bn > ， c 為常數，則 n. 1.. ∑ (a k =1 n. 2.. ∑ ca k =1 n. 3.. k. n. n. k =1. k =1. ± bk ) = ∑ a k ± ∑ bk 。 n. k. = c∑ ak 。 k =1. ∑ c = nc 。 k =1. 常用級數的性質： n. 1.. ∑1 = n 。 k =1 n. n(n + 1) 。 2 k =1 n n(n + 1)(2n + 1) 。 3. ∑ k 2 = 12 + 2 2 + 3 2 + " + n 2 = 6 k =1 n n(n + 1) 2 ] 。 4. ∑ k 3 = 13 + 2 3 + 33 + " + n 3 = [ 2 k =1 註： 1. 用以上公式可以計算出下列形式的級數 2.. ∑k = 1+ 2 + 3 +"+ n =. n. ∑ (ak k =1. 3. n. n. n. n. k =1. k =1. k =1. k =1. + bk 2 + ck + d ) =a ∑ k 3 + b∑ k 2 + c∑ k + d ∑1. 2. 注意各項中那些符號是不變的，那些符號隨著項數作有規律的改變，或從多少改變至多少，請注意上標、下標、足標、一般項等。特殊級數的性質： n n 1 1 1 1 n = ∑( − ) = 1− = 。 1. ∑ k +1 n +1 n +1 k =1 k ( k + 1) k =1 k 2. 分項對消法(前後對消法)： n n ⎞ 1⎛1 ⎞ 1 1⎛ 1 1 1 ⎟⎟ = ⎜⎜ − ⎟ = ∑ ⎜⎜ − ∑ (k + 1)(k + 2) ⎠ 2 ⎝ 2 (n + 1)(n + 2) ⎟⎠ k =1 2 ⎝ k ( k + 1) k =1 k ( k + 1)( k + 2). n(n + 1)(n + 2) 。 3 k =1 n n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 。 4. ∑ k (k + 1)(k + 2) = 4 k =1 5. 階差數列：前後兩項相減，觀察規則。例如：求 1,2,4,8,15,26,42,64 之一般項為何？ n. 3.. ∑ k (k + 1) =. 20.

(2) 【問題】 n. n. k =1. k =1 n. n. n. n. n. n. i =1. k =1. n =1. k =1. k =1. k =1. 1. 試證明 ∑ k 2 , ∑ k 3 之公式。 n. 2. 試問 ∑ a k ， ∑ ai ， ∑ a n ， ∑ a n ， ∑1 ， ∑ k ， ∑ n 各表示何種意義？ k =1 n. 3. 試問 ∑ 3 = 3 ？ k =1 n. n. n. k =1. k =1. 4. 試問 ∑ (a k ⋅ bk ) = (∑ a k ) ⋅ (∑ bk ) ？ k =1. n. n. a 5. 試問 ∑ ( k ) = k =1 bk. (∑ ak ) k =1 n. (∑ bk ). ？. k =1. 【定義】極限：無窮數列 < a n > ，當 n 夠大時，若 an 會與一個定數 α 夠接近(差足夠小)，則稱數列 < a n > 的極限為 α ，以 lim a n = α 表示(唸成 limit)，這時稱數列 < a n > 是收斂 n→∞. 數列，否則稱發散數列。極限的精確定義：對給定的無窮數列 < a n > ，若存在一個 a ∈ R ，使得對於所有 ε > 0 ，都存在 δ ∈ N ，使得對於所有 n > δ ，都有 | a n − a |< ε ，則稱 < a n > 的極限為 a ，記為 lim a n = a 。 n →∞. 【問題】下列何者是同義的？ 1. lim a n = a 。 n →∞. 2. 當 n 足夠大時，若 a n 會與一個定數 α 足夠接近(差足夠小)。 3. 當 n → ∞ 時，則 a n − α 的絕對值足夠小。 4. 當 n → ∞ 時，則 | a n − α |→ ∞ 。 5. 當 | a n − α |→ ∞ 時，則 n → ∞ 。 6. given ∀ε > 0, ∃n0 > 0, ∋ ∀n ≥ n0 ⇒| a n − α |< ε 。【性質】數列四則運算的性質：設數列 < a n > 與 < bn > 都是收斂數列，且 lim a n = a, lim bn = b ， c 為常數，則 n→∞. 1. lim(a n + bn ) = lim a n + lim bn = a + b 。 n→∞. n →∞. n→∞. 2. lim(ca n ) = c lim a n = ca 。 n→∞. n →∞. 3. lim(a n bn ) = (lim a n )(lim bn ) = ab 。 n→∞. 4. lim( n→∞. n →∞. n→∞. lim a n a an ) = n→∞ = ，且 bn ≠ 0, b ≠ 0 。 bn lim bn b n →∞. 21. n →∞.

(3) 【問題】 1. 若 lim(a n + bn ) 存在，是否可以推得 < a n > 與 < bn > 都是收斂數列？ n→∞. 2. 若 lim(a n × bn ) 存在，是否可以推得 < a n > 與 < bn > 都是收斂數列？ n→∞. an 存在，是否可以推得 < a n > 與 < bn > 都是收斂數列？ n →∞ b n 【定義】級數：把一個數列的各項相加所成的數學式稱為級數。【性質】無窮級數的收斂與發散：. 3. 若 lim. ∞. 設 ∑ a k =a1 + a 2 + " + a n + ", S n = a1 + a 2 + " + a n ，若無窮數列 < S n > 收斂， k =1. ∞. ∞. k =1. k =1. 且 lim S n = S ，則稱 ∑ a k 為收斂級數， ∑ a k 的和為 S 。 n→∞ ∞. ∞. n. 即 ∑ ak = lim ∑ ak = lim S n = S 。若無窮級數 < S n > 發散，則稱 ∑ a k 為發散級數。 n →∞. k =1. k =1. n →∞. k =1. 一般無窮級數和： ∞. n. 設無窮級數 ∑ a k 的首 n 項部分和 S n = ∑ a k ，若部分和數列 < S n > 為收斂數列， k =1. k =1. ∞. ∞. k =1. k =1. 則稱無窮級數 ∑ a k 是收斂級數，其和為 ∑ a k = lim S n 。若部分和數列 < S n > 為 n→∞. ∞. 發散數列，則稱無窮級數 ∑ a k 是發散級數。 k =1. 【性質】無窮等比數列： < ar n −1 >, a ≠ 0 ，當 0 <| r |< 1 時，為收斂數列；當 | r |> 1 時，為發散數列；當 r = 1 時，為收斂數列；當 r = −1 時，為發散數列。無窮等比級數的收斂與發散：無窮等比級數 a a + ar + ar 2 + " + ar n −1 + " , a ≠ 0 ，當 | r |< 1 時，為收斂級數，和為；當 | r |≥ 1 1− r 時，為發散級數。【問題】 1. 數列的極限為 0，是否每一項都為 0？ ∞. 2. 若 ∑ a n 收斂，則 lim a n = 0 ？ n =1. n→∞ ∞. 3. 若 lim a n = 0 ，則 ∑ a n 收斂？ n→∞. 4. 試問無窮級數 1 +. n =1. 1 1 1 + + " + + " 收斂與否？ 2 3 n. 【性質】收斂的幾種情形： 22.

(4) 1. 單一方向靠近一個定實數。 2. 左右振動，並且靠近一個定實數。 3. 最後在某一點跳動。發散的幾種情形： 1. 越來越趨向∞或−∞。 2. 左右振動，但越來越分開。 3. 在二點或二點以上振動。【問題】試將循環小數化成無窮等比級數以表成有理數： 1. 試求 0.6 ？ 2. 試求 0.36 ？【問題】特殊形式的極限：若 p (n), q (n) 為 n 的多項式，其中 p(n) = ar n r + ar −1n r −1 + " + a1n1 + a0 ，. q(n) = bs n s + bs −1n s −1 + " + b1n1 + b0 p 1. 若 r > s ，則 lim n 不存在。 n →∞ q n p a 2. 若 r = s ，則 lim n = r 。 n →∞ q bs n p 3. 若 r < s ，則 lim n = 0 。 n →∞ q n 【問題】 1 1 1 1. 試問數列 1 + 2 + 2 + " + 2 + " 收斂與否？ n 2 3 2 x x 4 x6 x8 + − + − " ，此時 f (0) = 1 設多項式函數 f ( x ) = 1 − 3! 5! 7! 9! x3 x5 x7 x9 又 sin x = x − + − + −" 3! 5! 7! 9! 1 x3 x5 x7 x9 sin x 當 x ≠ 0 時， f ( x ) = ( x − + − + − ") = x 3! 5! 7! 9! x sin x = 0 的解是同義的故 x ≠ 0 時， f ( x ) = 0 與 x 也就是 f ( x ) = 0 可用 sin x = 0 的解完全確定(除 x = 0 外) 而 sin x = 0 的解為 x = 0,±π ,±2π ,±3π ," x x x x x x 故 f ( x ) = (1 − )(1 − )(1 − )(1 − )(1 − )(1 − )" 2π 3π π −π − 2π − 3π x2 x2 x2 = (1 − 2 )(1 − 2 )(1 − 2 )" π 4π 9π 2 4 6 8 x x x x = 1− + − + −" 3! 5! 7! 9! 左右兩式展開經比較 x 2 係數得 23.

(5) 1 1 1 1 = −( 2 + 2 + 2 + ") π 3! 4π 9π 2 π 1 1 故 = 1+ + +" 6 4 9 ∞ 1 π2 即∑ 2 = 6 k =1 k −. 2. 因為. x2 x2 x2 sin x = f ( x ) = (1 − 2 )(1 − 2 )(1 − 2 )" x 4π 9π π. π. π. π. π. ( )2 ( )2 ( )2 π 2 = f ( ) = (1 − 2 )(1 − 2 )(1 − 2 )" 所以 π 2 4π 2 9π 2 π2 2 2 1 1 1 1 即得 = (1 − )(1 − )(1 − )(1 − )" 4 16 36 64 π 3 15 35 63 = × × × ×" 4 16 36 64 1 × 3 × 3 × 5 × 5 × 7 × 7 × 9 ×" = 2 × 2 × 4 × 4 × 6 × 6 × 8 × 8 ×" π 2 × 2 × 4 × 4 × 6 × 6 × 8 × 8 ×" 即 = 2 1 × 3 × 3 × 5 × 5 × 7 × 7 × 9 ×" ∞ 1 1 1 1 1 3. ∑ = + + + +" 2 4 16 36 64 k =1 ( 2 k ) 1 1 1 1 = (1 + + + + ") 4 4 9 16 2 1 π = × 4 6 sin. =. π2 24 ∞. 1 1 1 1 = 1+ 2 + 2 + 2 +" 2 3 5 7 k =1 ( 2k − 1). 所以 ∑. = =. π2 6. π. −. π2 24. 2. 8. 24.

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