3-1-4向量-平面向量的應用

第三冊 1-4 向量-平面向量的應用

【應用】 1. 柯西不等式(Cauchy's Inequality)： (1) 向量形式： 設 為平面上任意二向量， 則 (或 | b av,v | || | | |av⋅bv ≤ av bv −|av||bv|≤|av⋅bv ≤|av||bv )， 等號成立的充要條件是av// 或bv av, 中有零向量。 bv 證明： 因為|av⋅bv|=||av||bv|cosθ|≤|av||bv|,θ 為其夾角(|cosθ|≤1)， 等號成立⇔|cosθ|=1⇔ θ=0或π ⇔av//bv。 (2) 坐標形式： 設a₁,a₂,b₁,b₂為任意實數，令av=(a₁,a₂),bv=(b₁,b₂)， 則 ， 等號成立的充要條件為 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 1 )( ) ( ) (a +a b +b ≥ ab +ab 2 2 1 1:b a :b a = ， 即是 。 證明： 設 的夾角為 1 2 2 1b ab a = b av,v θ ， 則 | || | cos b a b a v v v v ⋅ = θ 1 ) | || | ( cos2 = ⋅ 2 ≤ ⇒ b a b a v v v v θ 而等號成立 2 2 2 | | | | ) (av⋅bv ≤ av bv ⇒ ) )( ( ) ( 22 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 1b a b a a b b a + ≤ + + ⇒ 1 | cos | = ⇔ θ 或 0 = ⇔ θ π b av//v ⇔ 1 2 2 1b a b a = ⇔ 。 註： (1) 可將上式兩邊平方相減以證明之。 (2) 柯西不等式一般用來求最大值或最小值的問題。 (3) 注意兩邊何處為平方，何處為一次方。 (4) 可以推廣到一般情形： ， 且等號成立的充要條件為兩向量 成比例。 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 )( ) ( ) (a +a +_L+a_n b +b +_L+b_n ≥ ab +a b +_L+a_nb_n ) , , , ( ), , , , (a₁ a_{2 L} a_n b₁ b_{2 L} b_n

2. 兩直線的夾角： 設坐標平面上直線L₁:a₁x+b₁y+c₁ =0與直線L₂:a₂x+b₂y+c₂ =0， 若兩直線的夾角為θ (共有兩個夾角，一個為θ ，令一個則為π−θ )， (1) 方向向量形式： 與 的方向向量為 1 L L2 v v1, v2 v _， 得 | || | cos 2 1 2 1 v v v v v v v v ⋅ = θ ， 則θ 與π−θ 為L₁與L₂的兩組交角，其中0≤θ ≤π。 (2) 法向量形式： 兩直線的夾角即為兩直線法向量n v1, n2 v _的夾角， 即 | || | cos 2 1 2 1 n n n n v v v v ⋅ = θ ， 則θ 與π−θ 為L1與L2的兩組交角，其中0≤θ ≤π。 (3) 直線方程式係數形式： 取兩直線法向量n1 =(a1,b1),n2 =(a2,b2) v v _， 得 2 2 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 cos b b a a b b a a + + + = θ ， 則θ 與π−θ 為L₁與L2的兩組交角，其中0≤θ ≤π。 2 L 1 nv θ 1 L 2 nv 2 vv 1 vv θ

3. 正射影： (1) 投影量(分量)： 稱為b 在 方向上的分量(或投影量)。 註：不一定為正數。 θ cos | | bv v av (2) 正射影(投影)： 設av,bv為兩非零向量，且θ 為 av 與bv的夾角， 則b 在v av 方向上的正射影為 a a b a c _v v v v v ₎ | | ( ⋅₂ = 。 證明： 設b 在v av 方向上的投影為 cv ， 因(bv− )cv ⊥av 0 ) ( − ⋅ = ⇔ bv tav av 0 | | 2= − ⋅ ⇔av bv t av 2 | | a b a t _v v v ⋅ = ⇔ ∴ b b b a b t c v v v v v v ₎ | | ( ⋅ ₂ = = 。 註：b 在 方向上的正射影v av a a b a _v v v v ) | | ( ⋅₂ ， 即 ) | | )( cos | (| a a bv θ _vv a a b _v v v | | cos | | θ = a a b a _v v v v 2 | | cos | || | θ = a a b a _v v v v ) | | ( ⋅₂ = ， 也就是(bv在av 方向上的分量)乘以( av 方向上的單位向量)。 (3) 正射影長(投影長)： 設av,bv為兩非零向量，且θ 為 av 與bv的夾角， 則b 在v av 方向上的正射影長等於 | | | | a b a v v v ⋅ 。 證明： | | cv | || | | | ₂ a a b a _v v v v ⋅ = | | | | | | 2 a a b a _v v v v ⋅ = | | | | a b a v v v ⋅ = 。

4. 點到直線的距離： (1) 點到直線的距離： 點P(x₀,y₀)到直線L:ax+by+c的距離為 2 2 0 0 | | ) , ( b a c by ax L P d + + + = 。 證明： 設A(x,y)為L上任一點，nv=( ba, )為 之法向量， L θ 表 nv 與 A

v

P之夾角， 則d(P,L)=|| A

v

P |cosθ | | | || | | || P A n P A n P A

vv

v

_{× v}v ⋅ = | | | | n P A n v v_⋅

v

= 2 2 0 0 , )| ( ) , ( | b a y y x x b a + − − ⋅ = 2 2 0 0 ( )| | b a by ax by ax + + − + = 2 2 0 0 ( )| | b a c by ax + − − + = 2 2 0 0 | | b a c by ax + + + = 。 (2) 兩平行直線之距離： 坐標平面上兩平行直線L1:ax+by+c1=0與L2:ax+by+c2=0 的距離為 2 2 2 1 2 1 | | ) , ( b a c c L L d + − = 。 證明： 設P(x₀,y₀)為L₁上任一點，則ax₀+by₀+c₁=0， 故d(L₁,L₂) =d(P,L₂) 2 2 2 0 0 | | b a c by ax + + + = 2 2 2 1 | | b a c c + + − = 2 2 2 1 | | b a c c + − = 。 5. 角平分線方程式： 坐標平面上兩直線L₁:a₁x+b₁y+c₁ =0與L₂:a₂x+b₂y+c₂ =0交角 的角平分線方程式為 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 b a c y b x a b a c y b x a + + + ± = + + + (兩條)。 註： (1) 由d(P,L₁)=d(P,L₂) ⇒| | | | 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 b a c y b x a b a c y b x a + + + = + + + ⇒ 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 b a c y b x a b a c y b x a + + + ± = + + + 。 (2) 若要判別為銳角角平分線，或鈍角角平分線時，畫出圖形即可。 註：若平面上兩直線L1:a1x+b1y+c1 =0與直線L2:a2x+b2y+c2 =0平行， 則 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 b a c y b x a b a c y b x a + + + ± = + + + 的圖形為一直線。 θ L A P nv

6. 同側、異側： 設P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂)，直線L:ax+by+c=0， (1) P,Q在 同側L ⇔(a₁x+b₁y+c₁)(a₂x+b₂y+c₂)>0。 (2) P,Q在 異側L ⇔(a1x+b1y+c1)(a2x+b2y+c2)<0。 7. 向量的線性組合： v s u rv + 之形式稱為v u vv,v的線性組合。 8. 斜角坐標系： 若 O

v

A // O

v

B，將點 定成O (0,0)，點A 取成(1,0)，點B 取成 ，則坐標平 面上任一點 ) 1 , 0 ( P ， P 的坐標為( ba, ) ⇔

v

AP =aA

v

B +bA

v

C。如此構成了一個 斜角坐標系。 註：斜角坐標系兩坐標軸不一定垂直，且| O

v

A |,| O

v

B |不一定相等。 註： y 【問題】 1. 如下圖所示，兩射線OA與 交於 點，試問下列選項中哪些向量的終點 會落在陰影區域內？ OB O (1) O

v

A +2O

v

B(2) O

v

A O

v

B 3 1 4 3 ₊ (3) O

v

A O

v

B 3 1 4 3 ₋ (4) O

v

A O

v

B 5 1 4 3 ₊ (5) O

v

A O

v

B 5 1 4 3 ₋ 答案： 取一坐標系O ， 令陰影區域為 ∴直線 ) 0 , 1 ( ), 1 , 0 ( ), 0 , 0 ( A B S AB 為 ， 故選(1)(2)。 1 = + y x ⇒ S ={(x,y)|x+ y≥1,x≥0,y≥0} } 0 , 0 , 1 , | { = + + ≥ ≥ ≥ = P O

v

P xO

v

A yO

v

B x y x y ) , ( ba P O _A(1,0) ) 1 , 0 ( B x