3-1-4向量-平面向量的內積

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(1)第三冊 1-4 向量-坐標向量的內積【定義】向量內積：兩向量 u, v 的內積定為 u ⋅ v =| u | ⋅ | v | ⋅ cosθ ，其中 θ 為 u ⋅ v 的夾角，且 0 ≤ θ ≤ π 。坐標向量內積：若 u = (a, b), v = (c, d ) 利用餘弦定理可得 | u − v |2 =| u | 2 + | v |2 −2 | u || v | cosθ =| u |2 + | v |2 −2u ⋅ v 1 則 u ⋅ v = (| u |2 + | v |2 −2 | u − v |2 ) 2 1 = ((a 2 + b 2 ) + (c 2 + d 2 ) − 2((c − a ) 2 + (d − b) 2 )) 2 1 = (2ac + 2bd ) = ac + bd 2 故我們表示 u ⋅ v = ac + bd 註：. 1.. 內積與坐標的關係： u ⋅ v =| u | ⋅ | v | ⋅ cosθ = ac + bd 。. 2. 向量與夾角的關係： cosθ = 3.. u ⋅v | u |⋅| v |. 。. 向量與長度的關係： u ⋅ u =| u | ⋅ | u | ⋅ cos 0 =| u |2. 4. 若兩向量 u, v 垂直若且為若 u ⋅ v = 0 ，即若 u ⊥ v ⇔ u ⋅ v = 0 。 5. 內積與長度、夾角都有關係。【性質】直線的方向向量：與直線平行的向量稱為直線的方向向量，一般以 v 表示。直線 ax + by + c = 0 的方向向量為 b = (b,−a ) 或 b = (−b, a ) 。直線的法向量：與直線垂直的向量稱為直線的法向量，一般以 n 表示。直線 ax + by + c = 0 的法向量為 n = (a, b) 或 n = (−a,−b) 。證明：在坐標平面上，一直線 L 過點 A( x0 , y0 ) ，且與一向量 n = (a, b)(v ≠ 0) 垂直。則直線的方程式為 a ( x − x0 ) + b( y − y0 ) = 0，即 ax + by = ax0 + by 0，形如 ax + by + c = 0 。反之直線 ax + by + c = 0 與向量 n = (a, b)(v ≠ 0) 垂直。我們稱 n = (a, b) 為直線的法向量。註： 1. 兩平行直線的方向向量相同，法向量相同。 2. 兩垂直向量的方向向量互相垂直，法向量互相垂直。【定義】兩直線的夾角：設坐標平面上兩直線 L1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 與直線 L2 : a 2 x + b2 y + c2 = 0，設兩直線的 8.

(2) 夾角為 θ (共有兩個夾角，一個為 θ ，令一個則為 π − θ )，則兩直線的夾角即為兩直線法向量 n1 = (a1 , b1 ), n2 = (a2 , b2 ) 的夾角即 cos θ = ±. n1 ⋅ n2 | n1 || n2 |. =±. a1a 2 + b1b2 a12 + b12 a 2 2 + b2 2. 【問題】 1. 如何用求夾角的觀念解釋兩直線垂直，若有斜率，則斜率相乘積為−1 呢？【定義】單位向量：長度為 1 的向量稱為對向量。若 v ≠ 0 ，則. v |v|. 的長度為 1，且與 v 方向相同。. 正射影：設 u 為一向量， L 為一直線，過 u 的始點作 L 的垂線，設垂足為 A ，以 A 為始點作 AP = u ，設 P 到 L 的垂足為 B ，則向量 AB 稱為 u 在直線 L 上的正射影。若 v // L(v ≠ 0)，則 u 在直線 L 上的正射影 p 為 p = (. u ⋅v |v|. 2. )v = (. u ⋅v. )(. v. |v| |v|. )。即 u 在直線 L. 上的正射影就是 u 在 v 上分量成以 v 方向的單位向量。證明：因 (u − p ) ⊥ L ⇔ (u − t v) ⋅ v = 0 ⇔ u ⋅ v − t | v |2 = 0 ⇔t=. u ⋅v | v |2. ∴ p = tv = (. u ⋅v | v |2. )v. 註： 1.. 當0 ≤θ <. 2.. 當. 3.. 當θ =. π 2. π 2. 時， u ⋅ v > 0 ，所以 p 與 v 同向。. < θ ≤ π 時， u ⋅ v < 0 ，所以 p 與 v 反向。. π 2. 時， u ⋅ v = 0 ，所以 p = 0 。. 【公式】點到直線的距離：一定點 P( x0 , y0 ) 到一直線 L : ax + by + c = 0 之距離為. | ax0 + by 0 + c |. a2 + b2. 。. 兩平行直線之距離：平面上兩平行直線 L1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 與直線 L2 : a1 x + b1 y + c2 = 0 ，為角平分線方程式： 9. | c1 − c 2 |. a +b 2. 2. 。.

(3) 平面上兩直線 L1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 與直線 L2 : a 2 x + b2 y + c2 = 0 的角平分線方程式 a x + b1 y + c1 a x + b2 y + c2 為 1 =± 2 2 2 2 2 a1 + b1 a2 + b2 【問題】 1. 若平面上兩直線 L1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 與直線 L2 : a 2 x + b2 y + c2 = 0 平行，則 a1 x + b1 y + c1 a x + b2 y + c2 的圖形為何？ =± 2 2 2 2 2 a1 + b1 a2 + b2 若平面上兩直線 L1 : a1 x + b1 y + c1 = 0 與直線 L2 : a 2 x + b2 y + c2 = 0 重合，則 a1 x + b1 y + c1 a x + b2 y + c2 的圖形為何？ =± 2 2 2 2 2 a1 + b1 a2 + b2 【公式】三角形的面積： 2.. 設 u = (a, b), v = (c, d ) 為非平行的兩向量，則由 u, v 所張成的三角形面積為 1 1 1 a b | u | 2 | v |2 − | u ⋅ v | 2 = || ad − bc ||= | |。 2 2 2 c d 平行四邊形的面積：試證：由 u = (a, b), v = (c, d ) 張成的平行四邊形面積為 a b | u | 2 | v | 2 − | u ⋅ v | 2 =|| ad − bc ||=| |。 c d 【應用】柯西不等式向量形式：(Cauchy's Inequality) 設 u, v 為平面上任意二向量，則 | u ⋅ v |≤| u || v | ，等號成立 ⇔ u // v 證明：因為 | u ⋅ v |=|| u || v | cosθ |≤| u || v | ， θ 為其夾角， | cosθ |≤ 1 等號成立 ⇔| cosθ |= 1 ⇔ θ = 0 或 π ⇔ u // v 柯西不等式坐標形式：(Cauchy's Inequality) 若 u = (a, b), v = (c, d ) 則 (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ (ac + bd ) 2 且等號成立 (a, b) = t (c, d ) 證明：可設 u = (a, b), v = (c, d ) 由上結果： | u ⋅ v | 2 ≤| u |2 | v | 2 所以 (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ≥ (ac + bd ) 2 等號成立 ⇔ u // v ⇔ (a, b) = t (c, d ) 註： 1. 可將上式兩邊平方相減以證明之。 2. 柯西不等式一般用來求最大值或最小值的問題。 3. 注意兩邊何處為平方，何處為一次方。 10.

(4) 4.. 可以推廣到一般情形： ( x1 + x2 + " + xn )( y1 + y 2 + " + y n ) ≥ ( x1 y1 + x2 y 2 + " + xn y n ) 2 且等號成立 2. 2. 2. 2. 2. 2. 的條件為兩向量 ( x1 , x2 ,", xn ), ( y1 , y 2 ,", y n ) 成比例。. 11.

(5)