北區高中學生數學與科學跨領域研究人才培育計畫 一○四學年 上學期 招生甄試考題 考試時間:一○四年9月20日, 13:30 – 16:30,計三小時 本試題共五題,兩頁 試題若有疑問, 請於考試開始後的三十分鐘內, 舉手提交 「提問單」 詢問;之後不再接受詢 問。 A4 白紙為答案紙與計算紙, 考試結束請將答案排序, 然後提問單與計算紙排在最後 面, 再由監考人員裝訂。 答案限用黑色或藍色筆書寫, 僅作圖可使用鉛筆, 不得使用修正液 (帶), 不得使用電子計算器。 每題七分,答題的“推演過程”為評分的依據。 1. 設ABCD為正方形,點E, F 分別在AB延長線及BC 延長線上,且AE = EF + F C. 試證:∠EDF = 45◦.
Let ABCD be a square. A point E that lies on the extended line AB beyond B, and another point F that lies on the extended line BC beyond C, satisfy that AE = EF + F C. Prove that ∠EDF = 45◦.
2. 試決定所有正整數對(x, y, p),其中p為質數,滿足下列等式: xy3
x+ y = p.
Determine all triads of positive integers(x, y, p), where p prime, which satisfy the following equation: xy3 x+ y = p. 3. 令a, b, c為三正實數且滿足 a+ b + c + abc = 4.試證下列不等式成立: (1 + a b + ca)(1 + b c+ ab)(1 + c a + bc) ≥ 27.
Prove that for all positive real numbers a, b, c satisfying a+ b + c + abc = 4 the following inequality holds:
(1 + a b + ca)(1 + b c+ ab)(1 + c a + bc) ≥ 27. 1
4. 已知實數x1, x2, x3 (x1 < x2 < x3)為方程式x 3 − 3x2 + (a + 2)x − a = 0之根, 其中a為一實數。 試求4x1− x 2 1+ x 2 3 之可能值。
Numbers x1, x2, x3(x1 < x2 < x3) are the roots of the equation
x3
− 3x2
+ (a + 2)x − a = 0, where a is a real number.
Find all possible values of the expression4x1− x 2 1+ x 2 3. 5. 在7 × 7的方格陣中, 將所有格子填入適當的實數, 使得任意3 × 3的方格陣中之9 個數的乘積會等於任意4 × 4的方格陣中之16個數的乘積。 試問: 在7 × 7的格子 中之所有數字的乘積可能為2015嗎?
Real numbers are written in the cells of the 7 × 7 table so that the product of the numbers in any3 × 3 square to the product of the numbers in any 4 × 4 square. Is it possible for the product of all numbers in the table to be 2015?
一○四學年 北區高中學生數學與科學跨領域研究人才培育計畫 上學期 招生甄試考題 參考解答
一○四年9月20日
1. 設ABCD為正方形,點E, F 分別在AB延長線及BC 延長線上,且AE = EF + F C. 試證:∠EDF = 45◦.
Let ABCD be a square. A point E that lies on the extended line AB beyond B, and another point F that lies on the extended line BC beyond C, satisfy that AE = EF + F C. Prove that ∠EDF = 45◦.
解: 如圖,將直角三角形∆CDF 繞點D順時針旋轉90◦,得到直角三角形∆ADF′. 連 結F F′. 由AE = EF + F C = EF + AF′ = EF′+ AF′ ⇒ EF = EF′. 因為DF = DF′,所以, DE 垂直平分F F′ 又DF⊥DF′,故∠EDF = 45◦. A F′ B E C F D
2. 試決定所有正整數對(x, y, p),其中p為質數,滿足下列等式: xy3
x+ y = p.
Determine all triads of positive integers(x, y, p), where p prime, which satisfy the following equation:
xy3
x+ y = p.
解: 令d = gcd(x, y). 則存在正整數a, b使得x = da, y = db,其中(a, b) = 1. 將x, y
代入題設之等式,得 d3 ab3 a+ b = p. (1) 由於(a, b) = 1,得(a, a + b) = 1且(b3 , a+ b) = 1,再由(1)式得(a + b)|d3 . 所以 d3 a+ b = k, (2) 其中k為一正整數。 則(1)式得: kab3 = p ⇒ b3 |p. 因此b = 1且ka = p. 底下我 們分兩種情形討論: (1) 若k= p, a = 1則(2)式得: d3 2 = p ⇒ 2p = d 3 ⇒ 2|d.因此8|d3 且8|2p矛盾! (2) 若k= 1, a = p則(2)式得 d3 = p + 1 ⇒ d3 − 1 = p ⇒ (d − 1)(d2 + d + 1) = p. 因此,我們有d−1 = 1, d2 +d+1 = p (因d2 +d+1 > d−1) ⇔ d = 2, p = 7. 故(x, y, p) = (14, 2, 7).
3. 令a, b, c為三正實數且滿足 a+ b + c + abc = 4.試證下列不等式成立: (1 + a b + ca)(1 + b c+ ab)(1 + c a + bc) ≥ 27.
Prove that for all positive real numbers a, b, c satisfying a+ b + c + abc = 4 the following inequality holds:
(1 + a b + ca)(1 + b c+ ab)(1 + c a + bc) ≥ 27. 解: 將題設之左式化簡,得 (1 + a b + ca)(1 + b c+ ab)(1 + c a + bc) = (a + b + c + abc)(a + b + c + abc + 1 a + 1 b + 1 c) − 1. 由題目給定之條件知: a+ b + c + abc = 4.故我們只要證明 1 a + 1 b + 1 c ≥ 3. 底下證明: abc≤ 1. 證明: 假設abc >1. 則a+ b + c = 4 − abc < 3且由算幾不等式得 3 > a + b + c ≥ 3√3 abc >3 (矛盾). 故abc≤ 1. 再使用算幾不等式得 1 a + 1 b + 1 c ≥ 3 3 √ abc ≥ 3. 故原不等式得證。
4. 已知實數x1, x2, x3 (x1 < x2 < x3)為方程式x 3 − 3x2 + (a + 2)x − a = 0之根, 其中a為一實數。 試求4x1− x 2 1+ x 2 3 之可能值。
Numbers x1, x2, x3(x1 < x2 < x3) are the roots of the equation
x3
− 3x2
+ (a + 2)x − a = 0, where a is a real number.
Find all possible values of the expression4x1− x 2 1+ x 2 3. 解: 答: 4 注意“1”為底下方程式之根 x3 − 3x2 + (a + 2)x − a = 0. (1) 化簡(1)式之左邊,得 x3− 3x2+ (a + 2)x − a = x3 − x2 − 2x2 + 2x + ax − a = (x − 1)(x2 − 2x + a), 故題設之方程式等價於 (x − 1)(x2 − 2x + a) = 0. 所以方程式(1)之另兩根α, β 為方程式 x2− 2x + a = 0 (2) 之解且α+ β = 2. 不妨假設α < 1, β > 1. 因此x2 = 1且x1, x3 為(2)式之解。 因此 4x1− x 2 1+ x 2 3 = (x3 + x1)(x3− x1) + 4x1 = 2(x3− x1) + 4x1 = 2(x3+ x1) = 2 · 2 = 4.
5. 在7 × 7的方格陣中, 將所有格子填入適當的實數, 使得任意3 × 3的方格陣中之9 個數的乘積會等於任意4 × 4的方格陣中之16個數的乘積。 試問: 在7 × 7的格子
中之所有數字的乘積可能為2015嗎?
Real numbers are written in the cells of the 7 × 7 table so that the product of the numbers in any3 × 3 square to the product of the numbers in any 4 × 4 square. Is it possible for the product of all numbers in the table to be 2015?
解: 答: 可能的! 令a, b為任意實數且滿足 ab= 1. 考慮底下7 × 7的方格: a b a b a b a b a b a b a b 1 1 1 1 1 1 1 a b a b a b a b a b a b a b 1 1 1 1 1 1 1 a b a b a b a 在上述的7 × 7方格中, 在所有3 × 3的方格與4 × 4 的方格中數字的乘積皆為1. 此外,在此7 × 7的方格中,數字的乘積為a6= 0.故取a= 2015及得到答案。
