砷化銦單量子點藉應力調變激子能階

國 立 交 通 大 學

電子物理研究所

碩士論文

砷化銦單量子點藉應力調變激子能階

Stress Tuning of Exciton States in InAs

Single Quantum Dots

研 究 生：林健家

指導教授：張文豪 教授

砷化銦單量子點藉應力調變激子能階

Stress Tuning of Exciton States in InAs Single Quantum Dots

研 究 生：林健家 Student ：Chien-Chia Lin

指導教授：張文豪 教授 Advisor：Wen-Hao Chang

國立交通大學

電子物理系所

碩士論文

A Thesis

Submitted to Department of Electrophysics College of Science

National Chiao Tung University in partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Master

In

Electrophysics

July 2011

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

砷化銦單量子點藉應力調變激子能階

學生:林健家 指導教授：張文豪 博士 國立交通大學電子物理所 摘要 砷化銦量子點的激子螢光具有精細結構分裂的性質，源於量子點的形狀 不對稱。根據 Bir-Pikus 漢米爾頓方程式來探討精細結構分裂，與量子點應 變量之間的關係。我們嘗試利用壓電材料來對量子點外加應力；在實驗時 激子能階確實會隨著外加應力而改變，證實了外加應力的確是能對量子點 形狀造成影響。且激子精細結構分裂的大小也能靠外加應力來改變；實驗 數據也能和理論值相符合。代表利用外加應力的方式，是有可能將單量子 點的激子能態給變為簡併態。

Stress Tuning of Exciton States in InAs Single

Quantum Dots

Student ：Chien-Chia Lin Advisor：Prof. Wen-Hao Chang

Department of Electrophysics National Chiao Tung University

ABSTRACT

The fine structure splitting (FSS) of exciton emission from single InAs/GaAs quantum dots (QDs) are investigated. The excitonic FSS is attributed to the QD shape asymmetry reduction. Based on the formulism of the Bir-Pikus Hamiltonian, the interplay between the FSS and stress are discussed. We apply the stress to the QD by piezoelectric materials. In the experiment, the excitonic energy level does change with the external stress, confirming the external stress can indeed affect the shape of quantum dots. The FSS also can be changed by the external stress. Experimental data are consistent with the theoretical anticipation. Using the way of applying stresses, the single quantum dot excitonic states are possible to become degenerate states.

誌謝 時光匆匆，來到交大的兩年轉眼間就過去了，感覺自己才剛考上研究所 不久而已。連當時辛苦準備考試的那段時光，都還歷歷在目。回想起第一 次到外縣市居住，東南西北都還分不清楚；在實驗室裡，所接觸到的每樣 儀器也都相當陌生。看著學長姊們用高超的技巧來完成實驗架設、研究著 艱難的物理問題，讓我開始擔心自己是否能應付得過來。但幸好靠著許多 人的幫助，才能順利走過來。首先要感謝我的父母，能支持我的想法，讓 我無後顧之憂地完成學業。我的指導教授張文豪老師，要感謝您這兩年的 教導與照顧。剛進實驗室時，就熱心地為我們講解實驗的架構與技巧、做 研究所需的邏輯與概念。雖然嚴厲，但同時也為我們著想，在我迷惘時給 了許多意見，帶領著我完成論文。而也很抱歉給您添了許多麻煩。再來要 感謝林聖迪老師，能提供樣品來讓我完成研究。也謝謝鄭舜仁在理論計算 方面所提供的幫助。還有要感謝李明知老師、周武清老師、和陳衛國老師， 教導我許多半導體方面的知識，以及在開會時能對我的報告提供許多寶貴 的意見。 而我能順利度過研究所的兩年，都要多虧了家賢學長和小周學姊；謝謝 你們在實驗操作與理論方面的教導，也陪著我度過無數個熬夜實驗的日子。 還有要感謝幫忙製作元件的詠盛和若榕，沒有你們論文也將無法完成。也 謝謝教導我們如何享受新竹生活的伩哲學長。而眾學長姊們，林萱、昱安、

大雄、京玉、少甫、家和、阿龐、士興、志豪、道偉、芳葦，都是我研究

所生涯中的模範，在大家的身上學到了很多東西。而跟我一起度過這兩年

的好兄弟們，國榮、峰菖、詠盛、勃亨、玨愷，那個大家經常一起熬夜做

投影片的日子我不會忘記的。還有可愛的學弟妹們，若榕、詩涵、翊瑩、

目錄 中文摘要 ……… i 英文摘要 ……… ii 誌謝 ……… iii 目錄 ……… v 圖目錄 ……… vii 表目錄 ……… ix 第一章 緒論……… 1 1.1 前言……… 1 1.2 研究動機……… 2 第二章 理論背景……… 4 2.1 光激螢光的偏振性……… 4 2.2 電子-電洞交換作用 ……… 6 2.3 價電帶混合效應……… 11 2.4 精細結構分裂和應變量之關係……… 15 第三章 樣品與實驗裝置……… 19 3.1 樣品結構與製備……… 19 3.2 壓電材料 PMN-PT 的介紹 ……… 21 3.3 顯微光激螢光量測系統……… 29

第四章 光譜分析與討論……… 32 4.1 單量子點顯微光激螢光光譜……… 32 4.2 不同應變時的單量子點顯微光激螢光光譜……… 40 4.3 不同應變時的單量子點精細結構分裂……… 50 4.4 不同應變時的單量子點偏振螢光光譜……… 60 4.5 單量子點的糾纏態程度……… 64 第五章 結論……… 71 參考資料 ……… 72

圖目錄 【圖 1-1】 量子點中的電子和電洞，經輻射復合而發出左旋光(_)或 右旋光()。……… 3 【圖 1-2】 理想狀態下的量子點雙激子系統。……… 3 【圖 2-1】 量子點激子的光激螢光模擬光譜；右上圖是激子螢光強度 偏振圖。……… 10 【圖 2-2】 在價電帶混合效應的影響下，量子點激子的光激螢光模擬 光譜；右上圖是激子螢光強度偏振圖。……… 14 【圖 2-3】 模擬應變不對稱性對精細結構分裂的關係圖。……… 18 【圖 3-1】 砷化銦量子點樣品結構圖。……… 19 【圖 3-2】 可外加應力之砷化銦量子點元件結構圖。……… 20 【圖 3-3】 ABO3型化合物結構示意圖。……… 21 【圖 3-4】 壓電材料形變方式示意圖。……… 22 【圖 3-5】 壓電材料內電偶極矩分布示意圖。……… 23 【圖 3-6】 壓電材料在不同偏壓時的形變方式示意圖。圖(a)是極化過 後的晶體。圖(b)是施加順向偏壓，晶體相應電場方向被伸 長，但在側邊是被壓縮。圖(c)是施加逆向偏壓，晶體相應 電場方向被壓縮，但在側邊是被伸張。……… 25 【圖 3-7】 本論文所使用的 PMN-PT，利用掃描式電子顯微鏡來觀察 材料的厚度。……… 26 【圖 3-8】 不同晶面的 PMN-PT 在順向偏壓時，受應力方向示意圖。 圖(a)和(b)分別是對應到晶面方向[001]和[011]。………… 28 【圖 3-9】 顯微光激螢光量測系統實驗裝置圖。……… 31 【圖 4-1】 量子點顯微光激螢光光譜圖。……… 32 【圖 4-2】 不同雷射激發功率下，量子點的顯微光激螢光光譜圖。…… 34 【圖 4-3】 雷射激發功率對螢光強度的關係圖。……… 35 【圖 4-4】 激子和雙激子的相干性量測結果。……… 37 【圖 4-5】 激子和雙激子分別在兩個偏振方向的光激螢光光譜。…… 38 【圖 4-6】 圖(a)和(b)分別是利用法布立－培若干涉儀來量測激子和 雙激子的譜圖。使用的共振腔模間距(Free spectral range, FSR)為 30 GHz。……… 39 【圖 4-7】 對 PMN-PT 施加不同偏壓時的激子螢光光譜圖。………… 45 【圖 4-8】 圖(a)為模擬所設定的量子點樣品結構。圖(b)為截角金字塔 量子點細部結構。……… 46 【圖 4-9】 雙軸應力元件的模擬結果，設定 PMN-PT 在 x 和 y 方向同 時有0.50 ‰的應變量變化。圖(a)為量子點樣品結構。圖(b) 為沿著量子點中心，量子點樣品所模擬的應變量大小。圖

(c)和(d)分別是砷化鎵和砷化銦量子點的應變量大小。圖(e) 和(f)分別是砷化鎵和砷化銦量子點的應變量變化。……… 47 【圖 4-10】 單軸應力元件的模擬結果，設定 PMN-PT 在 x 和 y 方向分 別有0.88 ‰和-0.36 ‰的應變量變化。圖(a)為量子點樣品 結構。圖(b)為沿著量子點中心，量子點樣品所模擬的應變 量大小。圖(c)和(d)分別是砷化鎵和砷化銦量子點的應變量 大小。圖(e)和(f)分別是砷化鎵和砷化銦量子點的應變量變 化。……… 48 【圖 4-11】 單軸和雙軸應力元件沿著量子點中心，所模擬的能隙變化 量。……… 49 【圖 4-12】 雙軸應力元件，分別在 300 V、0 V 和-300 V 時的量測偏振 螢光光譜。其中 300 V 是給樣品額外的壓縮應力；-300 V 是給樣品額外的伸張應力。……… 51 【圖 4-13】 單軸應力元件，分別在 600 V、0 V 和-400 V 時利用法布立 －培若干涉儀量測激子的精細結構分裂。其中 600 V 是給 樣品額外的壓縮應力；-400 V 是給樣品額外的伸張應力。… 52 【圖 4-14】 單軸應力元件，分別在 600 V、0 V 和-400 V 時利用法布立 －培若干涉儀量測雙激子的精細結構分裂。……… 53 【圖 4-15】 雙軸應力和單軸應力的元件，施加偏壓和精細結構分裂關 係圖。……… 54 【圖 4-16】 單軸應力元件的模擬結果，設定 PMN-PT 在 x 和 y 方向分 別有1.47 ‰和-0.60 ‰的應變量變化。圖(a)為量子點樣品 結構。圖(b)為沿著量子點中心，量子點樣品所模擬的應變 量大小。圖(c)和(d)分別是砷化鎵和砷化銦量子點的應變量 大小。圖(e)和(f)分別是砷化鎵和砷化銦量子點的應變量變 化。……… 56 【圖 4-17】 應變不對稱性對激子精細結構分裂變化量之關係圖。…… 59 【圖 4-18】 單軸應力元件；施加偏壓和精細結構分裂關係圖。線條是 理論估計的結果。圓點是實驗所量測的值。……… 59 【圖 4-19】 圖(a)為不同偏壓時偏振角對螢光強度關係。圖(b)為偏振角 對螢光能量關係。……… 62 【圖 4-20】 不同偏壓時的螢光強度偏振方向與螢光能量偏振方向。… 63 【圖 4-21】 不同偏壓時的激子螢光偏振不對稱性。……… 63 【圖 4-22】 圖(a)為理想狀態下的量子點雙激子系統。圖(b)為實際情形 的量子點雙激子系統。……… 66 【圖 4-23】 在 0 V 和-400 V 時，事件HH和HV 的相干性量測。………… 67 【圖 4-24】 在 0 V 和-400 V 時，事件RR和RL的相干性量測。………… 68 【圖 4-25】 在 0 V 和-400 V 時，事件DD和DD的相干性量測。………… 69

表目錄 【表 3-1】 晶面方向[001]和[011]的 PMN-0.28PT，所對應到各個方向 的壓電常數。……… 28 【表 4-1】 在偏壓變化量為 600 V 的情況下，實驗所量測到激子螢光 能量變化量；與所推算出對應的量子點應變量變化。……… 42 【表 4-2】 在偏壓變化量為 600 V 的情況下，模擬所得到激子螢光能 量變化量；與所推算出對應的量子點應變量變化。………… 44

第一章

緒論

1.1 前言 隨著科技的不斷進步，各種電子產品也漸漸地影響我們的生活。近年來 各種產品的零件逐漸微型化，甚至是奈米尺度，將不再完全遵循於古典物 理。之後將是由量子物理所主導的世界，也就是奈米科技。奈米科技發展 至今，已運用在許多傳統元件上；如發光二極體[1][2]、雷射[3]-[5]、光偵 測器[6][7]、電晶體[8]等。接下來的科技將往能夠操縱單一原子、單一光子 或單一電子的量子科技邁進。 量子資訊科學中的量子計算和量子通訊方面，在量子物理的世界下是有 可能實現的。現行的數位資料儲存或處理，都是將其看成二進位的運算來 進行；二進位的 1 和 0 也成了資訊處理的最小單位。但若是以量子態 0 和1

來表示二進位，此又稱為量子位元(Quantum bit, Qubit)；由於量子態具有疊

1.2 研究動機 在量子物理系統中，量子同調性容易受到干擾而被破壞。為了實現能在 量子計算過程中，保持著量子特性的系統，我們使用了量子點系統[9]。量 子點是三個方向皆被侷限的零維系統，電子在量子點內會受到量子侷限 (Quantum confinement)效應的影響，使電子能量分布呈現不連續性，像是在 原子中一般；因此量子點又稱為人造原子。 當量子點中同時存在電子和電洞時，兩者會因庫侖作用力束縛而形成激 子(Exciton)，並經由輻射復合而放出光子；可用激子來定義為量子態。在理 想的量子點中，激子可與角動量+1 或-1 的光子耦合，而發出左旋光或右旋 光，如【圖 1-1】。若是量子點中同時存在兩組電子電洞對，則會形成雙激 子；會分別進行輻射復合，依序發出左旋光和右旋光，此稱串連放射(Cascade emission)。若是當激子為簡併態時，放出的光子將會是先左旋光後右旋光、 或是先右旋光後左旋光，同時存在這兩種可能性；是為量子力學中的疊加 性。並且此兩種可能性所代表的量子態是不可被因式分解的，表示先後放 出的光子互為糾纏態，如【圖 1-2】。 但實驗結果顯示，量子點的激子螢光並非圓偏振光，而是線偏振光。並 且在兩種偏振時，其激子能量並非簡併態，存在著精細結構分裂 (Fine structure splitting)。因此本研究將探討精細結構分裂的成因，並利用外加應 力來改變量子點本身的應變量，希望藉此減少或消除精細結構分裂，重新

使量子點激子變回簡併態。

Electron

Hole





_

_

【圖 1-1】 量子點中的電子和電洞，經輻射復合而發出左旋光( )或右 旋光( )。 【圖 1-2】 理想狀態下的量子點雙激子系統。

第二章

理論背景

2.1 光激螢光的偏振性 量子點內的激子，是由傳導帶的電子與價電帶的電洞所構成。當這組電 子電洞對進行輻射複合，便會放出一顆光子，此光子能量即為激子訊號。 激子內電子和電洞有各自的自旋態，且電子和電洞之間的相對作用，將會 影響激子的狀態，包括能量、偏振和輻射複合機率等。

傳導帶的電子自旋態以se(Magnetic quantum number of electron)表示，將

其 投 影 在 z 方 向 可 寫 作 1 2

e

s   。價 電 帶 的 電 洞 自 旋 態 以 j (Angular

momentum quantum number of hole)和mh(Magnetic quantum number of hole)

表示，寫作 j m, h 。電洞擁有 3 1 , 2 2 j 兩種形式，在此只考慮 3 2 j 的電洞，將 其投影在 z 方向有 3, 1 2 2 h m    四種自旋態。 3 2 h m   是代表重電洞， 1 2 h m   是 代表輕電洞，分別是[11] 3 3 , 2 2 2 3 1 2 , 2 2 6 3 3 1 2 , 2 2 6 3 3 3 , 2 2 2 v v v v X iY X iY Z X iY Z X iY                         (2.1) 將激子的自旋態表示為



s m_e; _h



，重電洞激子和輕電洞激子的自旋態分別 為 1; 3 2 2 _{ }     和 1 1 ; 2 2 _{ }     。而組成激子的電子電洞對進行輻射複合的機率，可

 

2

ˆ

PL

I   f e p i

(2.2)

其中，ˆe xˆ cos yˆ sin為 xy 平面上的單位向量，與激子螢光的偏振方向有

關；i、 j 為激子的初始狀態和結束狀態；p為動量算符(Momentum operator)； 在激子輻射復合的過程中，其初始狀態和結束狀態分別為

 

 

; 0 e e h h i e h r s r m j      (2.3)

 

e r  、_h

 

r 分別為電子和電洞能態的波包函數(Envelop function)。而激子

的偶極矩陣元素(Dipole matrix elements)可由關係式 0 e p e hˆ ;  v e p cˆ 求

得[12]。以重電洞明激子(Bright exciton)為例，其總自旋角動量為semh  1， 而偶極矩陣元素可計算得到 1 3 3 3 0 ; , 2 2 2 2 2 p p S X iY p S          (2.4)



0



_ˆ ( 2 iP x   iy ˆ) 其中 0 0 x y z im P S p X  S p Y  S p Z  iP，P為肯恩參數(Kane parameter)。 則重電洞激子和輕電洞激子發生輻射複合放光的機率為 ˆe 1 3



0



_ˆ 0 ; 2 2 2 iP p  e    (xˆ yˆ)



₀



2 i e iP       _{ }   ˆe 1 1



0



_ˆ 0 ; 2 2 6 iP p  e     ( xˆ yˆ)



₀



6 i e iP       _{ }   (2.5) 由上式可知，當激子總自旋角動量semh  1，會和偏振態 _{的圓偏振光耦}

合，放出圓偏振螢光。

2.2 電子-電洞交換作用

在無外加磁場情況下，量子點中的電子和電洞會因為電子-電洞交換作

用(Electron-hole exchange interaction)而耦合。在不同自旋態時，電子和電洞

各有不同的分佈範圍，其之間距離也會有所不同。而電子電洞間的距離就

產生了庫倫位能，進而影響激子的能量。

在此分為兩部分討論，短程(Short range)和長程(Long range)作用[13] [14]。

短程作用發生在當電子和電洞是存在於同一個單位晶胞(Unit cell)時。長程 作用則是電子和電洞不在同一個單位晶胞時，也可視為兩個偶極間的交換 作用。 首先考慮短程作用，電子-電洞交換作用的漢米爾頓(Hamiltonian)方程式 可表示為





, , 2 _{ˆ ˆ} 3 2 1 3 2 ex SR h e SR h e h e h z e z H J S J S J S J S   _{   }        _   _   (2.6) 其中SR為交換耦合常數，另外Jh Jh x, iJh y, 、Sh Sh x, iSh y, ，這裡引入了包 立矩陣(Pauli matrix) x、y和z，滿足 , 2 i e i S  ，包立矩陣如下 0 1 0 1 0 , , 1 0 0 0 1 x y z i i  _ _  _  _  _ _        (2.7) 而 z 方向在接下來的討論皆定義為磊晶成長方向。當電洞本徵函數基底為

3 2  和 1 2  ，其角動量算符Jˆ_h的分量J_{h x,} 、J_{h y,} 和J_{h z,} 分別是 , , , 0 3 0 0 0 3 0 0 _{3 0 0 0} 3 0 2 0 3 0 2 0 0 1 0 0 1 1 1 , , 0 0 1 0 2 _{0 2 0 3} 2 _{0 2 0 3} 2 0 0 0 3 0 0 3 0 0 0 3 0 h x h y h z i i i J J J i i i      _{ }     _{ }      _{ }  _{ }  _{ }          _{ }     _  _     (2.8) 由(2.6)式、(2.7)式和(2.8)式可得知，短程電子-電洞交換作用的漢米爾頓方 程式 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 3 2 1 0 0 0 0 0 0 3 3 1 4 0 0 0 0 0 0 3 3 4 1 2 0 0 0 0 0 0 3 3 1 2 0 0 0 0 0 0 3 3 2 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 hh hh hl hl ll ll ll SR SR ex ll ll ll hl hl hh hh I I I I I I I H I I I I I I I      _       _{ }       _                              _    (2.9) 其中重疊積分(Overlap integral) I_定義為     e h e h I_   _  _ ，、 h、_l (2.10) 只考慮重電洞部分，可將(2.9)式簡化為 0 0 ; 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 SR ex hh H                _    (2.11) 1 3 , 2 2 1 3 , 2 2 1 1 , 2 2 1 1 , 2 2 1 1 , 2 2 1 1 , 2 2 1 3 , 2 2 1 3 , 2 2 _{ }      _{ }      _{ }      _{ }      _{ }      _{ }      _{ }      _{ }      1 3 , 2 2 1 3 , 2 2 1 3 , 2 2 1 3 , 2 2 _{ }      _{ }      _{ }      _{ }     

其中0 IhhSR。由(2.11)式可知短程交換作用會造成重電洞激子能階的分裂， 使總自旋 M  s_em_h  1 的明激子和 M  2 的暗激子(Dark exciton)能 階分開0。而長程電子-電洞交換作用的漢米爾頓方程式 0 1 1 0 ; 0 2 2 0 1 0 0 1 0 0 1 2 0 0 2 2 0 0 LR ex hh H      _{   }          _{   }   (2.12) 重電洞明激子中原本簡併在一起的 1 能態會因為長程交換作用而混合，受 到短程和長程作用的綜合影響為 0 0 1 , * 1 0 0 1 1 1 2 ex hh H           _{    }   (2.13) 這裡引入了量子點形狀不對稱的影響，將 2 1 1 d i e     代入，其中d代表量子 點的伸長(Elongation)方向。其本徵值和本徵能態為



0 0



1 2 E_       (2.14) 2 1 1 2 d i e        (2.15) 利用(2.5)式激子複合發光躍遷率的計算，得到的螢光強度I_為

 





 





 





2 2 2 0 2 0 2 0 2 2 ˆ 0 2 cos sin d i i i d d e e e I e p iP I P I P                  _                      (2.16) 由(2.14)式、(2.15)式和(2.16)式，可模擬量子點螢光光譜與偏振方向對螢光

果如【圖 2-1】。在電子-電洞交換作用力的影響，重電洞明激子的兩個能態

1

 會混合成本徵態 _ ，而螢光訊號會出現在兩個不同能量處，為E_和E_，

且兩者能量差為 ₁ 0.08 meV，螢光強度都相同，能量較高的 _ 螢光，偏 振方向和量子點伸長方向一致，為d  0 。

【圖 2-1】 量子點激子的光激螢光模擬光譜；右上圖是激子螢光強度偏 振圖。

E

_

E

_

I

_

I

_

I

_



I

_

2.3 價電帶混合效應 因 量 子 點 受 應 力 的 影 響 ， 會 造 成 價 電 帶 混 合 效 應 (Valence-band mixing)[10]，也會影響激子能階和螢光偏振。利用 Luttinger-Kohn 模型，可 以解出價電帶的能帶結構，尤其是對於重電洞和輕電洞部分。可由此來觀 察當重電洞和輕電洞互相影響，對激子螢光的變化。 根 據 Luttinger-Kohn 和 Bir-Pikus 的 漢 米 爾 頓 方 程 式 [11] ； 其 中 Luttinger-Kohn 是計算關於動量項的，Bir-Pikus 是計算關於應變項的。電洞 本徵函數以 3 2  、 3 2  、 1 2  和 1 2  作為基底，則價電帶受應力作用的漢 米爾頓方程式為 * * * * 0 0 0 0 v P Q S R P Q R S H S R P Q R S P Q      _           _    k k k k P P P Q Q Q R R R S S S             (2.17)

















2 2 2 2 1 0 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 3 0 2 2 2 3 0 2 2 2 3 2 2 2 3 2 k x y z k x y z k x y x y k x y z P k k k m Q k k k m R k k i k k m S k ik k m        _{ }       _{ }       _{ } _{  }   _     _{ }   

















2 2 3 2 v xx yy zz xx yy zz xx yy xy xz yz P a b Q b R id S d i                              (2.18) 其中1、2和3為 Luttinger 參數，kx、ky和kz為電子波向量，xx、yy和zz為 量子點受的應變量。Pk、Qk、Rk和Sk項和動能有關，P、Q、R和S項和 應變量有關。因載子大多為在能帶中心(Zone center) k 0，在此只考慮關 3 2 3 2 1 2 1 2    

於 Bir-Pikus 項。通常S值會小於R值，因此可先忽略不計。並設P Q 0、 lh P Q   和_{R e} 2is    ，則可將(2.17)式簡化為 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 s s s s i i BP i lh i lh e e H e e                      _     _    (2.19) lh  為重電洞和輕電洞的能階差，而s代表受到較大壓應力的方向，為應 變耦合強度。解出(2.19)式的本徵值和本徵函數，可得雙重簡併態，能量為 2 2 4 2 lh lh      和 2 2 4 2 lh lh      。前者是類重電洞能態(Heavy-hole like

states)，後者是類輕電洞能態(Heavy-hole like states)。而類重電洞本徵能態 為 2 2 2 3 2 1 2 ₄ 2 s i h hh lh lh lh e         _{  }     (2.20) 由(2.20)式可知，在價電帶混合效應的作用下，會造成重電洞能態和輕電洞 能態的混合。在弱價電帶混合效應近似下，耦合強度會遠小於重電洞和輕 電洞間的階差，即 lh。此時類重電洞能量 2 2 4 0 2 lh lh       ，而類輕 電洞能量 2 2 4 2 lh lh lh        ， (2.20)式的類重電洞本徵能態可簡化為 2 3 1 2 2 s i h hh lh lh e    _ _{ }    (2.21) 接著結合電子-電洞短程交換作用力、長程交換作用力和HBP，以 3 ; 2   、 3 ; 2   、 ; 1 2   和 ; 1 2   為基底，可得明激子的漢米爾頓方程式為 3 2 3 2 1 2 1 2    

2 0 0 1 0 2 1 0 0 0 2 0 0 0 1 2 0 1 0 0 1 3 ; 2 2 3 _{2 2} 1 3 ; 2 2 3 _{2 2} 6 2 2 3 2 6 2 3 s s s s i hl hh i hl hh ex i hl hl lh hh hh i hl hl lh hh hh I e I I e I H I I e I I I I e I I       _  _   _             _{   }    _{ }         _{   }    _                         _{   } _{     }  _{ }   1 1 ; 2 2 1 1 ; 2 2   _{ }      _{ }      (2.22) 解出(2.22)式的本徵值，即為激子的能態的能量；利用本徵函數可得到激子 複合發光的躍遷率，而求得螢光強度，如同(2.16)式。假設 0 0、0 0.1 meV、 1 0.08 meV   、 1 1 3     、 _lh 80 meV、 22.5 meV和 lh 0.4 hh I I  ，且令量子點伸 長方向和受應力方向是沿著0，即s  0 和d  0 。模擬結果如【圖 2-2】。 可由此得知若有價電混合效應存在，將造成激子螢光在不同極化方向時， 螢光強度的強弱不同；此和實驗所觀察到情況相同。

【圖 2-2】 在價電帶混合效應的影響下，量子點激子的光激螢光模擬光 譜；右上圖是激子螢光強度偏振圖。

E

_

E

_

I

_

I

_



I

_

I

_

2.4 精細結構分裂和應變量之關係 前面各章節所敘，考慮了激子各種效應而得到的漢米爾頓方程式，可由 此計算出重電洞與輕電洞間的能階關係。在無外加磁場情況下，只有類重 電洞明激子會發出螢光；而類重電洞明激子擁有兩種本徵能態，本徵能態 間各自有著不同的偏振方向。且兩種本徵能態的能量差有 10 ~ 100 eV，即 為激子的精細結構分裂。 根據前節的漢米爾頓方程式，在弱價電帶混合效應近似下，可利用微擾 理論，將輕電洞的影響當作微擾影響 m n mn mn lh hh H H H H E H        



(2.23) 並以類重電洞明激子本徵函數 ;_h 和 ;_h 當作基底，近似過後的漢米爾 頓方程式為 0 0 1 0 * * 1 0 0 0 ; 4 1 2 4 _; h ex h H        _           _{   }     (2.24) 其中 2 2 3 s s i i hl hh lh e I e I     _  _   解出(2.24)式，可以得到類重電洞明激子的本徵值，即為激子的能量。若令 量子點伸長方向和受應力方向皆是沿著0，即s  0 和d  0 ，則激子的能 量為



0 0



1 0 2 2 E_          (2.25) 而激子複合發光躍遷率的計算，得到的螢光強度I_為

 





 





2 2 0 2 2 0 1 1 I P I P           而兩個方向的偏振螢光強度有所差異，此稱偏振不對稱性 (Polarization anisotropy)，定義為 2 2 1 L I I P I I            (2.26) 激子的精細結構分裂，即為兩明激子的能量差值，定義為 0 1 0 1 4 4 3 hl FSS hh lh I E E I                 (2.27) 其中0和1分別是電子-電洞交換作用中，明激子和暗激子能量差，以及兩 個明激子間能量差；lh為重電洞和輕電洞的能階差；Ihl和Ihh是輕電洞或重 電洞間的重疊積分；是代表了價電帶混合效應的程度。 而(2.27)式的項和激子精細結構分裂成正比。在前面章節計算價電帶 結構時，使用了 Luttinger-Kohn 和 Bir-Pikus 的漢米爾頓方程式；其中設 2is Re  ，又令s  0 ，因此可得到項為  R R Rk









2 2 2 2 3 0 3 2 3 2 2 xx yy xy k x y x y b R id R k k i k k m            _{ } _{  }   _  

因載子大多為在能帶中心(Zone center)k 0，在此只考慮關於 Bir-Pikus 的應

變項R_。其中，_xx和_yy分別是對 x 和 y 方向的應變量；_xy是在 xy 平面上

的剪應變量；b和d是材料的形變位能(Deformation potential)。若忽略掉剪





3 2 xx yy b     (2.28) 將項代回(2.27)式可得激子的精細結構分裂為





0 1 2 _hl FSS xx yy lh hh b I E E I  _{ }           (2.29) xx yy   為量子點在 x 和 y 方向應變量的差值，定義為應變不對稱性(Strain anisotropy)；將會對精細結構分裂有著很大的影響。假設能對量子點的 x 和 y 方向外加應力，來改變量子點應變不對稱性。令0 0.2 meV 、 1 0、 80 lh meV   、 lh 0.4 hh I I  、b 1.8 eV；且由 2.3 小節的模擬可得知，E和E的 偏振分別是對應 x 和 y 方向。則模擬應變不對稱性對精細結構分裂FSS值的 關係如【圖 2-3】。可觀察到當 x 方向有壓縮應力或 y 方向有伸張應力時，FSS 值將變大；反之當 x 方向有伸張應力或 y 方向有壓縮應力時，FSS值將往負 的方向變大。若初始時激子的精細結構就是 x 方向能量較 y 方向的大，即 E_ E_的狀態，則應該要外加應力讓 x 方向伸張或讓 y 方向壓縮。反之是 E_ E_的狀態時，應要外加應力讓 x 方向壓縮或讓 y 方向伸張。看激子在 哪個方向的能量較低，就對此方向施加壓縮應力。

【圖 2-3】 模擬應變不對稱性對精細結構分裂的關係圖。 Compressive stress in X-direction 0 xx



  Tensile stress in X-direction 0 xx



 





xx





yy



Tensile stress

in Y-direction

0

yy







Compressive stress in Y-direction 0 yy



 

E

_



E

_

E

_



E

_

第三章

樣品與實驗裝置

3.1 樣品結構與製備 本論文所使用的樣品為砷化銦(InAs)量子點，是由交通大學電子工程學 系林聖迪教授所提供。樣品採用分子束磊晶法(MBE)成長，其結構如【圖 3-1】所示。在樣品的成長過程中，先在砷化鎵(GaAs)基板成長緩衝層，可 使磊晶的表面層平坦且減少基板表面的缺陷。接著成長 850 nm 的砷化鋁鎵 當作犧牲層，再成長 65 nm 的砷化鎵。而後利用 Stranski-Krastanow 成長法 成長一層砷化銦量子點，最後在量子點上覆蓋一層 65 nm 的砷化鎵當覆蓋 層。

GaAs Substrate

GaAs Buffer Layer

Al

0.8

Ga

0.2

As Sacrifice Layer

850

nm

GaAs

65

nm

GaAs

65

nm

InAs Quantum Dots

實驗時必頇使量子點能夠被施加額外的應力，我們使用了壓電材料。當 壓電材料被施加電場時，表面將會伸張或壓縮，是為壓電效應。因此將帶 有量子點的樣品貼在壓電材料上。 為了方便辨識量子點的位置，我們將樣品切成許多方型圖案。首先，在 量子點樣品塗上光阻層；利用曝光顯影等方式，在光阻上曝光成數塊 15 m × 10 m 的方型圖案，利用光阻當作往下蝕刻的遮罩。再用濕式蝕刻法，蝕 刻掉未受光阻保護的砷化鎵層；使樣品被切成數塊方型圖案。再用氫氟酸 (HF)來蝕刻掉所有砷化鋁鎵層；使量子點樣品能落於砷化鎵基板。再將壓 電材料 PMN-PT，以旋轉塗佈方式塗上一層瞬間接著劑(Superglue)，把樣品 倒過來覆蓋於 PMN-PT 上，便可將量子點樣品貼在 PMN-PT 上頭。接著再 將 PMN-PT 上下兩端黏上電極，即可產生電場使壓電材料壓縮或伸張。 【圖 3-2】 可外加應力之砷化銦量子點元件結構圖。

3.2 壓電材料 PMN-PT 的介紹

本 論 文 所 使 用 的 壓 電 材 料 為 鈮 鎂 酸 鉛 - 鈦 酸 鉛

[Pb(Mg1/3Nb2/3)O3]0.72-[PbTiO3]0.28，以下簡稱 PMN-PT。是人工壓電陶瓷的一 種，為 ABO3型化合物，又稱鈣鈦礦(Perovskite)結構，如【圖 3-3】。PMN-PT 是指 1/3 PbMgO3和 2 /3 PbNbO3的固溶相所構成的雙成分系統，再與 PbTiO3 依比例混合。本論文所使用的比例是 72 : 28。

[100]

[010]

[001]

Pb O Mg or Nb or Ti 【圖 3-3】 ABO3型化合物結構示意圖。

當壓電材料受到外界應力作用後，晶體結構會發生形變，而產生電偶極

矩(Electric dipole moment)，使相應晶體表面產生極化電荷；也可由電表來

量得材料的電位差。若施加相反的應力，則電位差方向變為反向。反之， 若是將壓電材料施加電場，材料本身的電偶極矩將會變大，導致材料被拉 長，如【圖 3-4】。這種使機械能和動能互相轉換的特徵，即為壓電效應[15]。

-+

dipole

electric field

【圖 3-4】 壓電材料形變方式示意圖。

壓電材料在自然狀態下，內部的電偶極矩會有區域性的方向。這些微小 的區域隨機分布於塊材內，整體的淨值為零。但若在高溫狀態下施加很大 的電場，即可使內部的電偶極矩大致都轉向電場方向。並且在溫度降低、 又不再施加電場時，電偶極矩也能保持著跟之前電場同樣的方向，此稱為 極化(Poling)；如【圖 3-5】。如此一來，將能使壓電材料內產生內建電偶極 矩。 【圖 3-5】 壓電材料內電偶極矩分布示意圖。

unpoled

poling

當所施加的電場和內建電偶極矩方向同向時，電偶極矩將隨著電壓而變 大，而材料相應電場的方向將會被拉長，並且垂直此方向的平面會受到壓 縮的應力；定義所加的電壓為順向偏壓。反之，當電場為反向時，電偶極 矩將隨著電壓而變小，材料相應電場的方向將會被壓縮，並且垂直此方向 的平面會受到伸張的應力；定義所加的電壓為逆向偏壓。如【圖 3-6】。 壓電材料所產生的應變量，和所施加的電場成正比，其關係式為 z E d    



x y z, ,



(3.1) 其中，_代表各個方向的應變量；Ez代表施加在 z 方向的電場大小；d代 表各個方向的壓電常數(Piezoelectric constants)。而 z 方向的電場大小，可由 施加在壓電材料上的電位差，再除以材料的厚度來求得。本論文所使用的 PMN-PT 厚度如【圖 3-7】，約為 300 m。假設材料在 x 方向的壓電常數是 -1000 pC/N，且對材料加 300V 的偏壓，代表所施加電場為 10 kV/cm，則材 料在 x 方向應變量為電場和壓電常數的乘積，為-1 ‰；也就是原本晶體在 x 方向的長度是 ，施加電場後長度則變成 1 1 1000    _{ }  。而若是在 10 k 的環 境底下，應變大小將只剩下室溫的四分之一[16]。

dipole

x y z -+ el ec tr ic f ie ld -+ el ec tr ic f ie ld 【圖 3-6】 壓電材料在不同偏壓時的形變方式示意圖。圖(a)是極化過 後的晶體。圖(b)是施加順向偏壓，晶體相應電場方向被伸 長，但在側邊是被壓縮。圖(c)是施加逆向偏壓，晶體相應 電場方向被壓縮，但在側邊是被伸張。

(a)

(b)

(c)

【圖 3-7】 本論文所使用的 PMN-PT，利用掃描式電子顯微鏡來觀察材

對不同的 PMN-PT 晶面施加電場的話，材料的應變量也會有所不同。如 【圖 3-8】。本論文所使用的是晶面方向[001]和[011]的 PMN-PT。對於 PMN-PT[001]，當施加順向偏壓在[001]方向，晶體除了會在[001]伸長外， 還會在[100]和[010]受到壓縮的應力；這種應力方式稱呼為雙軸應力(Biaxial stress)。對於 PMN-PT[011]，當施加順向偏壓在[011]方向，晶體除了會在[011] 伸長外，在[-100]會有個較大的壓縮應力，以及在[01-1]會有個較小的伸張 應力；這種應力方式稱呼為單軸應力(Uniaxial stress)。各個方向的壓電常數 (Piezoelectric constants)如【表 3-1】[17] [18]。

【表 3-1】 晶面方向[001]和[011]的 PMN-0.28PT，所對應到各個方向的 壓電常數。 晶面方向 d31 (pC/N) d32 (pC/N) d33 (pC/N) PMN-0.28PT [001] -1000 -1000 2000 PMN-0.28PT [011] 723 -1761 1766

[010]

[100]

[001]

[-100]

[01-1]

[011]

【圖 3-8】 不同晶面的 PMN-PT 在順向偏壓時，受應力方向示意圖。 圖(a)和(b)分別是對應到晶面方向[001]和[011]。

(a)

(b)

3.3 顯微光激螢光量測系統 本論文是使用顯微光激發螢光光譜量測系統，來量測量子點的譜線。系 統架設如【圖 3-9】。實驗時會將量子點樣品置於低溫恆溫腔(Cryostat)內， 使用液態氦將其降至 5 ~ 10 k 的低溫當中；以消除聲子的干擾，才能量得量 子點的訊號。由於樣品是成長於砷化鎵上的砷化銦量子點，所使用的激發 光源能量，必頇大於砷化鎵的能隙(Band gap)，才能激發出樣品中的電子電 洞對，並且有機會被量子點捕捉到而形成激子。低溫下砷化鎵的能隙約為 1.519 eV，所對應到光子的波長大約是 816 nm；所以我們選擇了波長為 632.8 nm 的氦氖雷射，來當作實驗的激發光源。 藉由反射鏡和 50 倍物鏡，將氦氖雷射聚焦於樣品表面；位在價電帶的 電子吸收了光子能量，而躍遷到傳導帶上，並留下一個電洞。高能量的電 子和電洞，會因晶格碰撞而釋放能量，最後分別掉到傳導帶底部與價電帶 頂部，然後兩者複合而放出光子。是為光激螢光。利用反射鏡將螢光引入 光譜儀中進行分光，而後由電荷耦合元件(CCD)來偵測不同波長的螢光強度； 再傳送到電腦中便能描繪出螢光光譜了。便可在不破壞樣品的情況下，來 研究半導體的能帶結構。 量測系統中還包含了顯微成像裝置。所製備的樣品上，有著許多帶有量 子點的方型圖案，大小是 15 m × 10 m；為了確定雷射是正在激發哪一 個圖案的量子點，必頇即時觀察雷射的激發位置。利用分光鏡(Beam splitting,

B.S.)將白光(Lamp)引入物鏡中，聚焦照在樣品上，樣品反射出的白光將由 另一面分光鏡使其引入 CCD 攝影機當中，再透過螢幕(Monitor)可成現出樣 品表面的影像、和雷射聚焦的位置。若是想要改變雷射激發位置，則一邊 觀察螢幕，一邊調整樣品底下的移動平台。由於成像所用的分光鏡是可動 式，想要量測光譜時再移開即可。 在實驗前必頇先對元件施加電壓，將壓電材料 PMN-PT 給極化。使用電 源供應器(Power supply)，把 PMN-PT 的上端當作接地端，在下端輸入正電 壓，如此一來將產生向上的電場，也成為了極化方向。爾後就將正電壓當 作順向偏壓，負電壓當作逆向偏壓。為了使樣品即使處在真空及低溫環境 下，也能被施加電場，使用了真空導入端子(Feedthrough)，讓電源供應器的 電壓能輸入至樣品上。 若需分析光激螢光的偏振性，則在螢光訊號進入光譜儀前，架設二分之 一波片與偏振晶體。藉由改變波片光軸和偏振晶體的夾角，可使特定偏振 的螢光能通過而進入光譜儀內。

第四章

光譜分析與討論

4.1 單量子點顯微光激螢光光譜 實驗測量到的量子點顯微光激螢光光譜如【圖 4-1】。圖上可觀察到一些 極細的譜線，這些譜線半寬大多小於 100 eV。且譜線的強度對雷射的聚焦 位置非常敏感，因此可判斷這些譜線為量子點螢光訊號。 元件製備時，是將帶有量子點樣品的部分切成許多方型圖案，以便用來 訂定量子點的位置。每個 15 m × 10 m 方形圖案上大約有數十至數百不 等個量子點。利用雷射激發在不同的圖案上，再經由譜線分析，來判斷圖 案上是否有量子點存在、或是量子點的數量、或是激子的能量大小與螢光 強度。目標是希望找到螢光強度較強的激子訊號，並且附近沒有其它量子 點的激子訊號在，以免對譜線分析造成影響。 【圖 4-1】 量子點顯微光激螢光光譜圖。

1380

1390

1400

1410

0

10

20

30

Energy (meV)

In

te

n

s

ity

(1

k

c

o

u

n

ts

/s

)

當雷射激發功率增強，樣品中單位時間內所產生的電子電洞對會隨著增 加，並提高了量子點捕捉到它的機率；電子電洞對將會在量子點內形成激 子。若在低功率激發，量子點捕捉到的機率較低；再捉到下一個電子電洞 對之前，激子已經先進行輻射複合而放出光子，是為激子訊號。若提高激 發功率，量子點捕捉到的機率升高；再激子放出光子前，能容易補捉到下 一個電子電洞對，而激子會受到後來填入電子或電洞的庫倫作用力影響， 進行輻射複合放出了不同能量的光子，是為雙激子訊號。 改變不同雷射功率來激發量子點的實驗，如【圖 4-2】。在雷射激發功率 較低時，量子點訊號只在能量約 1396.5 meV 處有一根譜線，可判斷此訊號 是來自激子。在雷射激發功率較高時，量子點訊號多了一根出現在能量約 1395.5 meV 處的譜線，可判斷此訊號是來自雙激子。

【圖 4-2】 不同雷射激發功率下，量子點的顯微光激螢光光譜圖。

1395

1396

1397

exciton

bi-exciton

0.70



W

0.35



W

0.20



W

0.07



W

0.03



W

0.01



W

Energy (meV)

In

te

n

s

ity (

a

.u

.)

【圖 4-3】 雷射激發功率對螢光強度的關係圖。 而激子和雙激子的螢光強度，與雷射激發功率的大小有著密切關係。在 此將雷射激發功率對螢光強度取對數作圖，如【圖 4-3】。由作圖所得到的 斜率大小，可觀察到激子螢光強度和雷射激發功率呈 0.7 次方的關係；而雙 激子的斜率是為激子的兩倍。因此可證實能量 1396.5 meV 處是激子訊號， 能量 1395.5 meV 處是雙激子訊號。

10

-3

10

-2

10

-1

10

0

10

1

10

2

10

3

10

4

exciton slope = 0.70

bi-exciton slope = 1.45

Intensity (

a.u.)

Power (



W)

前述已經確認所量測到的譜線的確是激子和雙激子訊號，再來需驗證兩

者是否來自於同一顆量子點。典型的量子點系統，當量子點中有兩對電子

電洞對同時存在的話，其中一對會先進行輻射複合，發出的螢光為雙激子

訊號；剩下的一對不久後也會進行輻射複合，發出的螢光為激子訊號。也

就是量子點系統有著先發出雙激子訊號、再發出激子訊號這樣的關係存在。

因此將利用 Hanbury-Brown and Twiss (HBT)干涉儀，來確認實驗中所量得

的激子和雙激子訊號，是否有著這樣的相干性(Correlation)存在。所使用的 激發光緣是氦氖雷射，並用兩台雪崩式光電二極體(Avalanche photodiode) 來當作光偵測器。 調整雷射激發功率，讓激子和雙激子有一樣強的螢光強度。代表雷射激 發功率夠高，讓量子點每次都能捕捉到兩對電子電洞對而放出激子和雙激 子訊號。實驗是將雙激子訊號，當作時間開始計時的觸發；將激子訊號， 當作時間停止計時的觸發。例如，當光偵測器量到雙激子訊號，則時間將 開始計時，直到另一台光偵測器量到激子訊號後，時間才停止計時；若是 這段時間有 5 ns，則電腦將在 5 ns 處紀錄這個事件發生一次。時間為正值 的事件，是代表樣品先發出雙激子訊號、再發出激子訊號；時間為負值的 事件則是順序相反，先激子、再雙激子。 實驗結果如【圖 4-4】，可看得出時間為正值的事件發生次數較多，而時 間為負值的事件不易發生。代表樣品是以先發出雙激子訊號、再發出激子

訊號的放光過程為主；符合典型的量子點狀態。由此證明所量測到的激子 和雙激子訊號是來自於同一顆量子點。

-10

-5

0

5

10

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

g

(2)

(



)

Time



(ns)

【圖 4-4】 激子和雙激子的相干性量測結果。

為了分析單量子點激子和雙激子的精細結構分裂，與螢光偏極化方向； 使用了二分之一波片和偏振晶體來量測各種偏振方向的螢光。如【圖 4-5】。 【圖 4-5】 激子和雙激子分別在兩個偏振方向的光激螢光光譜。 定義樣品的[110]方向和[1-10]方向為_x和_y。上圖為量測平行於樣品_x 和_y方向的偏振螢光訊號。在量子點系統中，激子和雙激子訊號的具有精 細結構分裂，且兩者偏振方向相同。在此的激子螢光訊號，其x的能量高 於_y，螢光強度也是_x高於_y；而雙激子訊號，其能量是_x高於_y，螢光 強度一樣是x高於y。而x和y方向的偏振螢光強度有所差異，為量子點 訊號的偏振不對稱性 _L x y 60 % x y I I P I I         。 但在此的激子精細結構分裂能量極小，約為數 10 eV；和光譜儀解析 度相近，較難得到切確的精細結構分裂能量。因此利用法布立－培若干涉 1395 1396 1397 [110]  x [1-10]_y bi-exciton exciton Wavelength (nm)

儀，來解析微小的能量變化。如【圖 4-6】。對於激子訊號，x方向的頻率 較_y方向的高 2.5 GHz，替換成能量為 10 eV；為激子的精細結構分裂能 量。對於雙激子，則是_y方向的頻率較_x方向高 2.5 GHz，替換成能量同樣 是 10 eV。 0 20 40 60 Splitting FSR = 30GHz

Relative Emission Frequency (GHz)

In te n s ity ( a .u .) exciton [110]  x [1-10]  y 0 20 40 60 In te n s ity ( a .u .)

Relative Emission Frequency (GHz)

Splitting FSR = 30GHz bi-exciton [110]  x [1-10]  y 【圖 4-6】 圖(a)和(b)分別是利用法布立－培若干涉儀來量測激子和雙

激子的譜圖。使用的共振腔模間距(Free spectral range, FSR)

為 30 GHz。

(a)

4.2 不同應變時的單量子點顯微光激螢光光譜 我們在實驗中將利用 PMN-PT 來對砷化銦量子點外加應力，以調變激子 精細結構分裂。但當晶格受到應力而形變時，將會影響到半導體的能帶結 構，使能隙大小改變。則將可由激子能量變化程度，來判定量子點是否有 被 PMN-PT 外加應力給影響。以下先分別討論當晶體受到應力時，傳導帶 和價電帶的修正量[19]。 對於半導體材料傳導帶中的電子，根據k P 模型，典型的電子能帶結構 為 2 2 ( ) * 2 c k g e k E E m   (4.1) 當晶格產生應變後，代表體積有些微的改變，其單位體積的變化量 V V  ，為 三個方向的應變量相加 xx yy zz V V  _{  } 將單位體積的變化量，乘上傳導帶的形變位能(Deformation potential)ac，即 為傳導帶能帶的修正量。修正後的能帶結構為





2 2 ( ) * 2 c k g c xx yy zz e k E E a m         (4.2) 對於價電帶中的電洞，根據k P 模型，利用 Luttinger-Kohn 和 Bir-Pikus 的漢米爾頓方程式，可得到價電帶的能帶結構。電洞本徵函數以 3 2  、 3 2  、 1 2  和 1 2  作為基底，則價電帶受應力作用的漢米爾頓方程式為

* * * * 0 0 0 0 P Q R S R P Q S H S P Q R S R P Q      _           _    k k k k P P P Q Q Q R R R S S S             (4.3)

















2 2 3 2 v xx yy zz xx yy zz xx yy xy xz yz P a b Q b R id S d i                              (4.4) 其中av、b和d為傳導帶的形變位能。解出(4.3)式的本徵值，可得到重電洞 和輕電洞的能量，分別是EHH和ELH









2 2 2 ( ) 2 2 2 ( ) sgn( ) sgn( ) HH k k k k k LH k k k k k E P P Q Q Q R S E P P Q Q Q R S                     (4.5) (sgn(Q_) 1 for Q_ 0、sgn(Q_) 1 for Q_ 0)

因載子大多為在能帶中心(Zone center) k 0，在此只考慮關於 Bir-Pikus 的

應變項；並忽略掉剪應變量_xy _yz _zx 0。且之後所討論的材料，大多為 受到壓縮應變(Compression strain)，對於Q_項是負值。近似後的重電洞能階 為 2 2 ( 0) HH k E    P Q  R (4.6) 最後可得到當晶格受應變影響下的能隙為    









0 0 2 2 c k HH k g c v xx yy zz E E E a a    Q R           (4.7) 實驗所製備的元件有兩種，分別是使用晶面方向為 [001] 和[011]的

PMN-PT；能給予樣品雙軸應力(Biaxial stress)和單軸應力(Uniaxial stress)。

3 2 1 2 1 2 3 2    

實際施加不同偏壓來量測激子螢光光譜，結果如【圖 4-7】。所觀察到的激 子和雙激子能量，確實會隨著偏壓而變化。實驗所加的偏壓，是從+300 V 到-300 V，偏壓變化量為 600 V；對於雙軸和單軸應力兩種元件，能量變化 量分別為 E 765 eV和 E 465 eV。若將激子能量變化量由(4.7)式來回推 出量子點的應變量變化如【表 4-1】 【表 4-1】 在偏壓變化量為 600 V 的情況下，實驗所量測到激子螢光能 量變化量；與所推算出對應的量子點應變量變化。 元件種類 能量變化量 E  x 方向的 應變量變化_xx y 方向的 應變量變化_yy 雙軸應力元件 765 0.43 ‰ 0.43 ‰ 單軸應力元件 465 0.89 ‰ -0.37 ‰ 而元件製備時，是將量子點樣品的_x和_y方向，去對齊 PMN-PT 壓電常數 分別為 d32和 d31的兩軸。已知 PMN-PT 厚度為 300 m，加上 600 V 逆偏壓， 代表所施加電場為-20 kV/cm；由(3.1)式可算出 PMN-PT 的應變量變化。對 於雙軸應力元件的 PMN-PT，應變量變化分別為 0 00 0.50 xx    和 0 00 0.50 yy    ； 對 於 單 軸 應 力 元 件 的 PMN-PT ， 應 變 量 變 化 分 別 為 0 00 0.88 xx    和

0 00 0.36 yy     。再來將利用模擬軟體 COMSOL，模擬當 PMN-PT 產生如此 的應變時，量子點本身的應變量變化為何。並推得當量子點受額外應力時， 其能隙的變化量大小，是否和實驗數據相符，以確保量子點有感受到 PMN-PT 所外加的應力。模擬所建立的模型如【圖 4-8】。PMN-PT 上面是 完整的量子點樣品結構；所使用的量子點形狀是截角金字塔，下底邊長為 13.6 nm，上底邊長為 5.6 nm。 雙軸應力元件所模擬的結果如【圖 4-9】。單軸應力元件的如【圖 4-10】。 兩種元件的能隙變化量如【圖 4-11】。可觀察到不論是雙軸或是單軸應力的 元件，量子點產生的額外應變量，都略高於 PMN-PT 自己所產生的應變量。 而量子點的應變量變化和能隙變化量如【表 4-2】。

【表 4-2】 在偏壓變化量為 600 V 的情況下，模擬所得到激子螢光能量 變化量；與所推算出對應的量子點應變量變化。 元件種類 (設定 PMN-PT 應變量變化) 能量變化量 E  x 方向的 應變量變化_xx y 方向的 應變量變化_yy 雙 軸 應 力 元 件 0 00 0 00 0.50 0.50 xx yy       _{ }    1100 0.55 ‰ 0.55 ‰ 單 軸 應 力 元 件 0 00 0 00 0.88 0.36 xx yy       _{  }    600 1.00 ‰ -0.36 ‰ 實驗所得到激子的能量變化量，和模擬結果相比；對於雙軸應力元件約有 模擬結果的七成、單軸應力元件約有八成。雖然略小於理想情況，但代表 PMN-PT 所產生的應變，確實能夠對砷化銦造成影響，進而改變量子點的 應變量和能量。

【圖 4-7】 對 PMN-PT 施加不同偏壓時的激子螢光光譜圖。

Uniaxial stress

Biaxial stress

1377 1378 1379 1380 1381

Energy (meV)

B

ia

s

(V

)

0 0 10,000 20,000

Exciton

Bi-exciton

300 -300 1394 1395 1396 1397 1398 0 25,000 50,000 0

B

ia

s

(V

)

300 -300

Energy (meV)

Exciton

Bi-exciton

E=465eV E=765eV

15



m

10



m

65nm

65nm

GaAs

GaAs

InAs

[1-10]



y

[110]



_x

PMN-PT

13.6nm

13.6nm

4nm

5.6nm

5.6nm

【圖 4-8】 圖(a)為模擬所設定的量子點樣品結構。圖(b)為截角金字塔 量子點細部結構。

(a)

(b)

0 2 4 -6.0 -5.9 -5.8 -5.7 -5.6 -5.5 -40 -20 0 20 40 -60 -30 0 -40 -38 -36 0.4 0.5 0.6 0.7 0 2 4 0.4 0.5 0.6 0.7 S tr ai n D if ference ( 1/1000 ) (f) InAs GaAs



_yy



_xx GaAs GaAs InAs QD 4nm height (e) (d) (c) (b) S tr ai n ( 1/1000 ) Height (nm) Height (nm) S tr ai n ( 1/1000 ) Initial strain Height (nm) Height (nm) Height (nm) -40 -38 -36 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 (a) 【圖 4-9】 雙軸應力元件的模擬結果，設定 PMN-PT 在 x 和 y 方向同 時有 0.50 ‰的應變量變化。圖(a)為量子點樣品結構。圖(b) 為沿著量子點中心，量子點樣品所模擬的應變量大小。圖(c) 和(d)分別是砷化鎵和砷化銦量子點的應變量大小。圖(e)和 (f)分別是砷化鎵和砷化銦量子點的應變量變化。 0 00 0 00 0.55 0.55 xx yy       0 00 0 00 0.50 0.50 xx yy      

0 2 4 -6.0 -5.9 -5.8 -5.7 -5.6 -5.5 -40 -20 0 20 40 -60 -30 0 -40 -38 -36 -0.4 -0.3 0.9 1.0 0 2 4 -0.4 -0.3 0.9 1.0 S tr ai n D if ference ( 1/1000 ) InAs GaAs



_yy



_xx S tr ai n ( 1/1000 ) Height (nm) Height (nm) S tr ai n ( 1/1000 ) Initial strain Height (nm) Height (nm) Height (nm) GaAs GaAs InAs QD 4nm height (b) (c) (d) (f) (e) -40 -38 -36 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 (a) 【圖 4-10】 單軸應力元件的模擬結果，設定 PMN-PT 在 x 和 y 方向分 別有 0.88 ‰和-0.36 ‰的應變量變化。圖(a)為量子點樣品結 構。圖(b)為沿著量子點中心，量子點樣品所模擬的應變量 大小。圖(c)和(d)分別是砷化鎵和砷化銦量子點的應變量大 小。圖(e)和(f)分別是砷化鎵和砷化銦量子點的應變量變 化。 0 00 1.00 xx    0 00 0.88 xx    0 00 0.32 yy     0 00 0.36 yy    

1500 1300 1100 900 700 500 -1 0 1 2 3 4 5

B

a

n

d

Ga

p

S

h

ift (



e

V

)

Height (nm)

4nm

height

0

Biaxial Stress

Uniaxial Stress

【圖 4-11】 單軸和雙軸應力元件沿著量子點中心，所模擬的能隙變化 量。

4.3 不同應變時的單量子點精細結構分裂 激子的精細結構分裂，是由量子點內電偶矩之間的庫倫作用力所造成。 當量子點受到應力時，將會改變電偶矩的大小，使能階分裂隨著改變。實 驗上經過了數次激子螢光光譜的量測，歸納出量子點受應力後能階分裂變 化的規律。如同由 2.4 節所敘，精細結構分裂與應變不對稱性 (Strain anisotropy)有著很大的關係。 根據【圖 4-5】和【圖 4-6】，激子在兩偏振方向的光激螢光光譜，可觀 察到激子螢光能量是_x高於_y。而對於_y方向能量比較低的激子訊號，若 要減少精細結構分裂量，必頇對量子點_y方向外加壓縮應力，或是對_x方 向外加伸張應力。 在此製備了兩種元件，分別是使用晶面方向為[001] 和[011]的 PMN-PT， 也就是能給予樣品雙軸應力和單軸應力。對於雙軸應力的元件，PMN-PT 隨偏壓分別在_x和_y方向所施加的應力皆相同，因此應變不對稱性不會改 變。對於單軸應力的元件，當 PMN-PT 在逆偏壓時，將會在x方向施加一 個伸張應力，並在_y方向施加一個強度為 40%的壓縮應力；可大幅改變應 變不對稱性。將量測兩種元件在不同偏壓下的偏振螢光光譜，來驗證應變 不對稱性是否會影響精細結構分裂。

1377.6 1377.8 1380.6 1380.8 1381.0 Bi-exciton Exciton In te n s ity ( a .u .) _[110] 300V_ x [1-10] _y Energy (meV) 1377.2 1377.4 1380.2 1380.4 1380.6 In te n s ity ( a .u .) _[110] 0V _ x [1-10]  y Energy (meV) Bi-exciton Exciton 1376.8 1377.0 1379.8 1380.0 1380.2 In te n s ity ( a .u .) _[110] -300V_ x [1-10] _y Energy (meV) Bi-exciton Exciton 【圖 4-12】 雙軸應力元件，分別在 300 V、0 V 和-300 V 時的量測偏振 螢光光譜。其中 300 V 是給樣品額外的壓縮應力；-300 V 是 給樣品額外的伸張應力。

0 20 40 60 Splitting FSR = 30GHz exciton 600V [110]  x [1-10]  y

Relative Emission Frequency (GHz)

In te n s ity ( a .u .) 0 20 40 60 Splitting FSR = 30GHz

Relative Emission Frequency (GHz)

In te n s ity ( a .u .) exciton 0V [110]  x [1-10]  y 0 20 40 60 In te n s ity ( a .u .)

Relative Emission Frequency (GHz)

Splitting FSR = 30GHz exciton -400V [110]  x [1-10]  y 【圖 4-13】 單軸應力元件，分別在 600 V、0 V 和-400 V 時利用法布立 －培若干涉儀量測激子的精細結構分裂。其中 600 V 是給樣 品額外的壓縮應力；-400 V 是給樣品額外的伸張應力。

0 20 40 60 In te n s ity ( a .u .)

Relative Emission Frequency (GHz)

Splitting FSR = 30GHz bi-exciton 600V [110]  x [1-10]  y 0 20 40 60 In te n s ity ( a .u .)

Relative Emission Frequency (GHz)

Splitting FSR = 30GHz bi-exciton 0V [110]  x [1-10]  y 0 20 40 60 In te n s ity ( a .u .)

Relative Emission Frequency (GHz)

Splitting FSR = 30GHz bi-exciton -400V [110]  x [1-10]  y 【圖 4-14】 單軸應力元件，分別在 600 V、0 V 和-400 V 時利用法布立 －培若干涉儀量測雙激子的精細結構分裂。

-400 -200 0 200 400 600 0 5 10 15 20 25 Bias (V) S p litti n g (  e V ) -400 -200 0 200 400 600 0 5 10 15 20 25 S p littin g (  e V ) Bias (V) 【圖 4-15】 雙軸應力和單軸應力的元件，施加偏壓和精細結構分裂關係 圖。

(a) Biaxial stress