行政院國家科學委員會專題研究計畫進度和期中報告
漸開線圓錐齒輪特性研究
(2/3)
The Characteristic Study of Conical Involute Gears（2/3）
計畫編號：NSC 91-2212-E-009-031
執行期限： 91 年 8 月 1 日至 92 年 7 月 31 日
主持人：蔡忠杓 教授 國立交通大學機械系
計畫參與人員：曾瑞堂、陳嘉宏、劉醇宙、陳錦盛、
陳信宏、廖健雄、金德浩
一、中英文摘要 本 專 題 研 究 計 畫 為 三 年 期 之 研 究 計 畫，今年度為本研究計畫之第二年(91 年 8 月至92 年 7 月) 。本年度計畫之主要工作 為參考並改進日本 三留 謙一教授所提出 之直進輪磨法 (Infeed Grinding Method)，來 模 擬 凹 面 漸 開 線 圓 錐 齒 輪(Concave
Conical Involute Gear) 之創成機構，並推導 所創成之齒輪的齒面數學模式。凹面漸開 線圓錐齒輪組可用以改善在非平行軸組裝 狀況下，傳統漸開線圓錐齒輪組其接觸橢 圓過小之缺點。本計畫亦建立一套泛用之 嚙合模型，配合第一年研究計畫所發展之 傳統以及本年度研究所發展之凹面漸開線 圓錐齒輪組數學模式，進行包括齒面接觸
分析(Tooth Contact Analysis)、曲率分析
(Curvature Analysis) 及 接 觸 橢 圓 (Contact Ellipse)之模擬與分析等一系列之理論分析 與電腦模擬，以了解漸開線圓錐齒輪組在 平行軸、相交軸以及交錯軸組裝狀況下之 嚙何特性，並探討不同設計參數對於漸開 線圓錐齒輪組其接觸橢圓大小之影響，可 驗證本研究所提之凹面漸開線圓錐齒輪之 優越性。另一方面，本計畫第三年之實驗 部分所需之萬用齒輪嚙合測試機，亦已於 本年度完成組裝及測試等相關準備工作， 將可提供本計畫第三年實驗之所需。 關鍵詞：漸開線圓錐齒輪，推拔滾削，直 進輪磨法，齒面接觸分析，曲率分析，接 觸橢圓 Abstract
The proposed research project is a three-year project. In the second year of the research project, referring to and improving the infeed grinding method proposed by Mitome, the mathematical model of the concave conical involute gear is developed. The concave conical involute gear pairs provide larger contact ellipses than conventional conical involute gear pairs under non-parallel axes meshing. Meanwhile, a general meshing model for the conical involute gear pair is developed. Combining the developed mathematical models of the conventional and concave conical involute gears, computer simulations involving tooth contact analysis, curvature analysis and contact ellipse simulation are performed. The simulation results reflect the contact nature of conical involute gear pairs under parallel, intersected and crossed axes meshing. The influences of design parameters on the dimension of contact ellipses are discussed, and the superiority of the concave conical involute gear pairs is proved. In addition, the fabrication and testing of the universal gear rolling test machine for the experimental of this project are accomplished in this year. Keywords: Conical Involute Gear, Taper Hobbing, Infeed Grinding, Tooth Contact Analysis, Curvature Analysis, Contact Ellipses
二、緣由與目的 漸開線圓錐齒輪可適用於平行軸、相交 軸與交錯軸間之運動傳遞，由於漸開線圓 錐齒輪具有推拔齒厚，因此可藉由軸向位 置之調整，來改變齒輪嚙合時之背隙。此 外，對於非平行軸之應用場合，漸開線圓 錐齒輪組對組裝誤差並不敏感，因此漸開 線圓錐齒輪十分適合於使用在精密傳動 上。除此之外，漸開線圓錐齒輪可經由一 般之CNC 滾齒機滾製而成，不需要特殊之 加工機具以及複雜之機器設定，在製造之 彈性及成本上有其優勢。然而，非平行軸 之傳統漸開線圓錐齒輪組，由於受限於接 觸橢圓較小之緣故，並不適用於重負載下 之傳動。 針對此一缺失，日本之 三留 謙 一 教 授 提 出 如 圖 一 所 示 之 直 進 輪 磨 法 (Infeed Grinding Method)來創成凹面漸開
線 圓 錐 齒 輪 (Concave Conical Involute
Gear)，並藉由實驗驗證凹面漸開線圓錐齒 輪組的確具有較大之接觸橢圓。然而，三 留 謙一教授之研究多著重於漸開線圓錐 齒輪之理論、製造與量測，並未提出完整 之漸開線圓錐齒輪之齒面數學模式和進行 齒面接觸分析及接觸橢圓模擬，以供設計 改進之依據。基於上述背景及目的，本研 究計畫首先利用機構學原理、齒輪嚙合原 理及微分幾何的觀念，分別依據推拔滾削 (Taper Hobbing)以及直進輪磨之機構推導 傳統漸開線圓錐齒輪以及凹面漸開線圓錐 齒輪之齒面數學模式。接著，利用所推導 之齒面數學模式進行漸開線圓錐齒輪組之 齒面接觸分析、曲率分析及接觸橢圓模 擬，探討漸開線圓錐齒輪在平行軸、相交 軸以及交錯軸狀況下之嚙合特性，並模擬 磨輪半徑改變對凹面漸開線圓錐齒輪組接 觸橢圓大小之影響，以期獲得最佳之接觸 位置及接觸齒印，並依據模擬結果設計出 適用於各種不同應用場合之漸開線圓錐齒 輪組。 除了利用電腦模擬漸開線圓錐齒輪組 之嚙合情形之外，本研究計畫亦利用本實 驗室現有之 CNC 滾齒機稍加修改刀具轉 軸與工件位置，實際地滾製漸開線圓錐齒 輪，並配合本計畫所自行設計與委外加工 製作之萬用齒輪嚙合測試機，針對漸開線 圓錐齒輪組在各種裝配條件下，進行其齒 印測試以及單齒腹測試等實驗驗證，測試 所得之結果除了可以反映漸開線圓錐齒輪 組在各種不同組裝狀況下之實際嚙合情 形，更可以和電腦模擬之結果作比對，以 驗證理論推導之正確性，俾提供齒輪設計 者修改設計之依據，並為該型齒輪之實用 化鋪路。 三、研究方法與結果 本 專 題 研 究 計 畫 為 三 年 期 之 研 究 計 畫，今年度為本研究計畫之第二年(91年8 月至92年7月)。由於傳統漸開線圓錐齒輪組 應用於非平行軸之組裝狀況下，其接觸橢 圓相對較小，此一缺點限制傳統漸開線圓 錐齒輪組在高負載狀況下之應用。為了改 進這個缺點，本研究參考並改良日本 三留 謙一教授所提出之直進輪磨法（如圖二所 示），模擬凹面漸開線圓錐齒輪之創成機構 並推導其齒面數學模式，並配合漸開線圓 錐齒輪組之泛用嚙合模型，進行傳統以及 凹面漸開線圓錐齒輪組於交錯軸、交叉軸 以及平行軸之組裝型態下，其嚙合狀況由 電腦嚙合模擬，包含傳動誤差分析、曲率 分析以及接觸橢圓模擬。電腦嚙合模擬的 結果可以顯示出本研究所提出之凹面漸開 線齒輪組之優越性。此外，本年度亦完成 第三年計畫實驗所需之萬用齒輪嚙合測試 機之組裝與測試工作。 本研究計畫原規劃第二年之工作項目 如下： (一)建立凹面漸開線圓錐齒輪齒面之數學 模式與齒形電腦繪圖軟體。 (二)完成漸開線圓錐齒輪組之泛用嚙合模
型。 (三)完成傳統及凹面漸開線圓錐齒輪組在 交錯軸、相交軸以及平行軸裝配狀況 下之齒面接觸分析、曲率分析及接觸 橢圓模擬。 (四)利用模擬結果探討傳統及凹面漸開線 圓錐齒輪組之特性優劣比較。 (五)完成萬用齒輪嚙合測試機之組裝與測 試。 至目前為止，本研究計畫第二年已完成了 上述（一）至（三）項之工作項目，第（四） 與第（五）項則可望於今年(92)七月份結案 前如期完成。茲簡述本研究計畫已初步完 成和獲得之結果如下： 凹面漸開線圓錐齒輪齒面數學模式之推導 如圖三所示，將固聯於Sn座標系之磨 輪法向剖面作迴轉運動，即可將創成凹面 漸開線圓錐齒輪所需之磨輪方程式及其單 位法向量表示於座標系Sw如下： + − − + − − + − = = j j w j n j j j n j n j j j w j w j n j j j w j w j w j w r a b a r r a z y x τ α τ α α τ α τ sin ) cos ( sin tan sin ) cos ( ) cos ( cos ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( λ λ λ R (1) − − = = j j n j n j j n j zw j yw j xw j w n n n τ α α τ α sin sin cos cos sin ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( n (2) 參考圖一及圖二所示之直進輪磨法示意 圖，吾人可將以磨輪創成凹面漸開線圓錐 齒輪之座標系統示意圖表示如圖四。依據 三留 謙一教授所提出之直進輪磨法，隨著 齒胚轉動φi角度後，磨輪由原本之 ( ) 0 j w S 座標 系移動至 ( ) 1j w S 座標系。利用座標轉換，吾人 可將磨輪之單位法向量轉換至 ( j) b S 座標系 如下： + − − + + − = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( cos cos sin cos sin sin cos cos sin sin sin cos j zw j j j yw j j j xw j j zw j j yw j j zw j j j yw j j j xw j j b n n n n n n n n ψ δ ψ δ δ ψ ψ ψ δ ψ δ δ n (3) 由於齒胚之角速度可表示為 − = = i i i b dt d ω φ 0 0 ) ( ω (4) 在創成過程中磨輪與被創成齒面之共同接 觸點上，磨輪與齒胚之速度可分別表示為 − = 0 0 ) ( i i j b rω V (5) 以及 − − + − − + = 0 cos sin sin sin cos sin cos ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( i j w j j j w j j j w j i i j w j j w j i i b x y z r r z y ψ δ ψ δ δ φ ψ ψ ω V (6) 因此，創成過程中磨輪與被創成齒面間之 嚙合方程式可表示為 ( )⋅ ( )= ()⋅( ( )− (i))=0 b j b j b ji b j b V n V V n (7) 利用座標轉換，吾人可將磨輪之位置向量 轉換至Si座標系如下：
(
)
(
)
(
sin sin cos sin cos)
, sin sin cos cos sin cos cos ) ( ) ( ) ( i j w j j i j i j w j j i j i j w j i i A z y x x + − − + − = ψ δ φ ψ φ ψ δ φ ψ φ δ φ(
)
(
)
(
cos sin sin sin cos)
, sin sin sin cos cos cos sin ) ( ) ( ) ( i j w j j i j i j w j j i j i j w j i i B z y x y + + + − + = ψ δ φ ψ φ ψ δ φ ψ φ δ φ . cos cos sin cos sin () () () i j w j j j w j j j w j i x y z C z =− δ − δ ψ + δ ψ + (8) 其中Ai=riφi sinφi +ri cosφi Bi=−riφi cosφi +ri sinφi Ci=0 (9) 將方程式(7)與(8)聯立，即可在Si座標系上 得到以三留 謙一之直進輪磨法所創成之 凹面漸開線圓錐齒輪齒面數學模式。 為了改善三留 謙一教授之方法所創成之 螺旋凹面漸開線圓錐齒輪組具有傳動誤差 之缺點，本研究提出一新型之改良式輪磨 法，將原本沿著齒胚切向方向平移之磨輪 改為垂直於齒面方向平移，如圖二所示。 對圖四之座標系統而言，當齒胚旋轉動φi角 度後，磨輪則由原本之 ( ) 0 j w S 座標系移動至 ) ( 2 j w S 座標系。此時磨輪與齒面之共同接觸點 上，磨輪與齒胚之速度則分別表示為 − = j j j j j j j i i j b r ψ ψ δ ψ ψ ψ δ ω cos sin cos cos cos sin sin 2 ) ( V (10) 和 − − − + − − + = 0 ) cos sin sin cos sin sin sin cos ( cos sin cos ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( i j j j i i j w j j j w j j j w j j i i j w j j w j i i b r r z y x r z y ψ ψ δ φ ψ δ ψ δ δ ψ φ ψ ψ ω V (11) 將方程式(10)與(11)代入方程式(7)，可得到 改良式輪磨法之嚙合方程式。此時再將方 程式(8)中之參數改變如下，即可獲得以改 良式輪磨法所創成之凹面漸開線圓錐齒輪之數學模式。
(
i j i j j)
j i i ii
i r r
A= φ sinφ cosψ +cosφ sinδ sinψ cosψ + cosφ
(
i j i j j)
j i i ii
i r r
B = φ −cosφ cosψ +sinφ sinδ sinψ cosψ + sinφ
j j j i i i r
C= φ cosδ sinψ cosψ (12)
漸開線圓錐齒輪組之嚙合模型 利用漸開線圓錐齒輪之齒面數學模 式，我們可進行漸開線圓錐齒輪對於交錯 軸、相交軸以及平行軸之組裝型態下，其 齒面接觸分析、曲率分析及接觸橢圓之模 擬等一系列之理論分析與電腦模擬，以了 解漸開線圓錐齒輪對之嚙合特性，並進而 提供設計及改進之依據。圖五所示為漸開 線圓錐齒輪對之嚙合座標系統示意圖，代 表小齒輪 Σ1 以及大齒輪 Σ2 之假想圓 錐分別橫臥在假想嚙合齒條刀節面之兩 側。r1 及 r2分別為小齒輪及大齒輪之節 圓半徑且兩節圓相切於 P 點。座標系S1 以及S2分別固聯於小齒輪以及大齒輪而 固定座標系Sf 和 Sg 則分別為小齒輪 以及大齒輪轉動時之參考座標系。φ1′ 及 2 φ′ 為小齒輪以及大齒輪之旋轉角度；此一 嚙合模型可適用於漸開線圓錐齒輪對於 交錯軸、相交軸以及平行軸組裝情形下之 嚙合模擬。為了要計算兩嚙合齒輪之齒面 接觸點的位置所在，必須先將嚙合齒輪對 的齒形數學模式與齒面單位法向量，經由 座標轉換，分別表示於固定座標系Sf。由 於兩嚙合齒輪之齒面在瞬間之接觸點，其 位置向量相同且法向量亦共線，因此，兩 齒面之嚙合條件式可表示如下： ) 2 ( ) 1 ( f f R R = (13) 且 (1) (2) f f n n =± (14) 將(13)、(14)兩式聯立求解，即可求得兩 嚙合齒面之瞬間接觸點，並可進一步計算 齒輪對之傳動誤差。由於大齒輪之輸出軸 旋轉角度 φ2′ 為小齒輪輸入軸旋轉角度 1 φ′ 的函數，因此，大齒輪的轉動角度 φ2′ 可以表示為 φ2′(φ1′)。根據齒輪原理，在理想 狀態下，大齒輪的轉動角度 φ2′ 應等於小 齒輪的轉動角度 φ1′ 和小齒輪與大齒輪齒 數比的乘積，因此，齒輪對之運動誤差可 以定義為：
( )
( )
1 2 1 1 2 1 2 φ φ φ φ φ′ ′ = ′ ′ − ′ ∆ N N (15) 其中N1為小齒輪之齒數，N2為大齒輪之齒 數，當∆φ2′( )
φ1′ 存在時，則表示此一齒輪對 具有傳動誤差。 此外，由於漸開線圓錐齒輪對在非平 行軸嚙合下之接觸情形為點接觸，齒輪對 在嚙合時，齒面由於受到外加負載，在其 接觸點附近會產生齒面變形，齒面接觸變 形後兩齒面接觸的區域稱為接觸齒印，接 觸齒印常散佈於一橢圓形之區域，故習慣 稱之為接觸橢圓。利用 Litvin 教授所提出 之方法，我們可針對兩嚙合齒面進行其曲 率分析並求出接觸點上兩曲面之主軸曲率 以及主軸方向。並進一步利用嚙合齒面之 間的曲率關係，求得嚙合齒面在接觸點附 近，因接觸負荷而造成齒面彈性變形時其 接觸橢圓的大小與方向。 漸開線圓錐齒輪組之齒面接觸分析、曲率 分析及接觸橢圓模擬 圖六所示為漸開線圓錐齒輪對在平行 軸、相交軸以及交錯軸組裝情形下嚙合之 示意圖。由於平行軸之漸開線圓錐齒輪對 呈線接觸且其接觸特性和一般之平行軸螺 旋齒輪對類似，於此不再加以討論。以下 所舉之範例乃針對相交軸之直齒漸開線圓 錐齒輪對進行其齒面接觸分析以及接觸橢 圓之模擬，並探討磨輪半徑對接觸橢圓大 小之影響。以下範例所選用之齒輪對，其 主要設計參數如表一所示。 例一 直齒凹面漸開線圓錐齒輪組在相交 軸情形下嚙合 如圖六(a)所示之相交軸直齒漸開線 圓錐齒輪對，其圓錐角為 = =30Ο 2 1 δ δ ，並 且以相交角60Ο組裝嚙合。我們藉由改變磨 輪半徑 r 來探討觸橢圓大小之變化。如圖w 七所示，當磨輪半徑無限大時(rw =∞)，可將此一齒輪對視為以假想齒條刀創成之傳 統漸開線圓錐齒輪對。觀察模擬之結果， 我們可以明顯地發現隨著磨輪半徑減小， 接觸橢圓之長軸會明顯地增大。此外，齒 面上之接觸點位置以及接觸點路徑並不會 隨磨輪半徑之變化而改變。較大之接觸橢 圓可使得此一齒輪對承受較大之負荷，可 有效地改善傳統漸開線圓錐齒輪對負荷過 低之缺點。圖八所示為利用半徑 rw =50 mm 之磨輪所創成之相交軸凹面直齒漸開線圓 錐齒輪對，在不同裝配誤差下嚙合之情 形。根據模擬所得之結果，在不同之裝配 誤差下嚙合，其傳動誤差皆可保持為零且 其接觸橢圓仍然分佈於靠近齒面中央之區 域。因此可以證明此一齒輪對於裝配誤差 不敏感。 例二 三留 謙一之輪磨法創成之螺旋凹面 漸開線圓錐齒輪組在交錯軸情形下 嚙合 如圖六(b)所示之交錯軸螺旋漸開線 圓錐齒輪對，其圓錐角為 = =20Ο 2 1 δ δ 且 Ο = = 2 15 1 ψ ψ 。假如此對齒輪是利用三留 謙 一之輪磨法創成，由圖九所示之模擬結果 可發現隨著磨輪半徑減小，接觸橢圓之長 軸會明顯地增大。然而此時齒面上接觸點 位置以及接觸點路徑隨磨輪半徑之變化而 改變，並且在標準之裝配情形下即造成明 顯之運動誤差。因此三留 謙一之輪磨法並 不適用於交錯軸螺旋凹面漸開線圓錐齒輪 對之創成。 例三 改良式輪磨法創成之螺旋凹面漸開 線圓錐齒輪組在交錯軸情形下嚙合 重複例二之模擬，並以本研究所提出 之改良式輪磨法創成之齒輪組取代三留 謙一之輪磨法創成之齒輪組。如圖十所 示，隨著磨輪半徑減小，接觸橢圓之長軸 增大且接觸點位置以及接觸點路徑並不會 隨之改變。此一齒輪組不但在標準之裝配 情形下不會產生運動誤差，即使在不同之 裝配誤差下嚙合，其傳動誤差皆可保持為 零且其接觸橢圓仍然分佈於靠近齒面中央 之區域，如圖十一所示。模擬之結果顯示 本研究所提出之改良式輪磨法可有效地改 善利用三留 謙一方法所創成之螺旋凹面 漸開線圓錐齒輪組具有傳動誤差之缺點。 萬用齒輪嚙合測試機之組裝與測試 除了利用電腦模擬漸開線圓錐齒輪組 之嚙合情形外，本研究計畫亦將於第三年 利用本實驗室現有之 CNC 滾齒機實際地 滾製漸開線圓錐齒輪，並配合本計畫所自 行設計與委外加工製作之萬用齒輪嚙合測 試機，針對漸開線圓錐齒輪組在各種裝配 條件下，進行其齒印測試、單齒腹測試以 及效率分析等驗證。圖十二所示即為此一 萬用齒輪嚙合測試機，此測試機可供平行 軸及非平行軸齒輪對之嚙合測試。其輸入 端工作台上具有馬達動力源、扭力感測器 (Torque Sensor)、角度編碼器(Encoder)和齒 輪支持座。輸出端工作台則具有齒輪支持 座、角度編碼器、扭力感測器、轉速計、 扭力限制器(Torque Limit)和負載。此一萬 用齒輪嚙合測試機之軟體係以 Labview 圖 形化語言撰寫，其內容包含齒輪對嚙合傳 動誤差分析、齒輪對嚙合長短波誤差分析 以及齒輪對運轉效率分析等功能。此一測 試機已完成組裝，目前正進行各項系統整 合與測試工作，預計於七月份結案前便能 如期完工驗收。 四、討論及成果自評 本年度之研究首先依據齒輪原理與創 成機構推導出凹面漸開線圓錐齒輪之數學 模式，並利用所推導之數學模式進行齒面 接觸分析、嚙合幾何分析、曲率分析以及 接觸橢圓模擬等，以驗證此一齒輪對在平 行軸、相交軸以及交錯軸嚙合狀況下之接 觸特性。模擬之結果反映了漸開線圓錐齒 輪所特有的接觸特性。凹面漸開線圓錐齒 輪不但可藉由增大接觸橢圓之面積來改善 傳統漸開線圓錐齒輪負荷過低的缺點，同 時仍能保留傳統漸開線圓錐齒輪對裝配誤 差不敏感的特性。因此，本研究所提出之 凹面漸開線圓錐齒輪具有產業上之應用性 和優越性，並可適用於高負載及高精密情 形下之傳動，將可適用於更多工業上非平 行軸之動力傳遞之場合，有助於精密傳動 技術之提昇。
五、參考文獻
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圖一 以直進輪磨法創成凹面漸開線圓錐 齒輪示意圖 圖二 本研究提出之改良式直進輪磨法示 意圖 圖三 磨輪座標系 (a) (b) 圖四 直進輪磨法座標系統示意圖 圖五 漸開線圓錐齒輪組之嚙合座標系統 圖六 漸開線圓錐齒輪組應用於相交軸、交 錯軸以及平行軸之嚙合示意圖
圖七 相交軸直齒凹面漸開線圓錐齒輪組 之接觸齒印 圖八 裝配誤差對於相交軸直齒凹面漸開 線圓錐齒輪組接觸齒印之影響 圖九 三留 謙一所提出之輪磨法所創成之 交錯軸螺旋凹面漸開線圓錐齒輪組 之接觸齒印 圖十 本研究所提出之改良式輪磨法所創 成之交錯軸螺旋凹面漸開線圓錐齒 輪組之接觸齒印 圖十一 裝配誤差對於改良式輪磨法所創 成之交錯軸螺旋凹面漸開線圓錐 齒輪組接觸齒印之影響 圖十二 萬用齒輪嚙合測試機
