國立臺灣師大附中
102 學年第一學期 高三 數學科 自然組第一次段考解答
班級 座號 姓名 成績
一、單選題
:（每題 4 分，答錯不倒扣，共 25 分）
1.
D
2.
A
3.
D
4.
C
5.
D
二、多選題
:（每題 6 分，錯 1 個得 4 分, 錯 2 個得 2 分, 錯 3 個以上得 0 分，共 12 分）
1.
ABC
2.
DE
三、填充題
:（每題 5 分，答錯不倒扣，共 45 分）
1.
3
2
2.
7
3.
6 7
4.
－
5.
8
6.
7 6
2
7.
42
8.
5
2
9.
7
3
四、計算證明題
:（必須寫出過程才給分, 共 18 分)
1. 設 P ( 3 cosθ，2 sinθ) 是橢圓 Γ 上任一點，P 點到直線 L 的距離＝ 3cos 4sin 7
5
，
根據正餘弦的疊合公式 3 cosθ－ 4 sinθ＝5 ( cosθ－ sinθ )＝5 cos (θ＋α)， (化成 sin 亦可)
其中cosα＝，sinα＝，所以 P 點到直線 L 的距離＝ 5(cos ) 7 5 ---(到此 4 分) 當cos (θ＋α)＝－ 1，此時 θ＋α＝π， P 點到直線 L 的最近距離＝ 2 2 5 5 5 為最小值。 ---(答案寫對 2 分) 因為θ＋α＝π，θ＝π－α，
3 cosθ＝3 cos (π－α)＝－ 3 cosα＝－ ，
2 sinθ＝2 sin (π－α)＝2 sinα＝。 ---(到此再 2 分) 所以對應的 P 點坐標為 ( － ， )。 ---(答案寫對再得 2 分) 2. (1) P ( 5 cosθ，3 sinθ)
1＝ (5cos 4)2 (3sin 0)2 ＝ 25cos2 40 cos 16 9sin 2
＝ 16 cos2 40 cos 25 ＝ (4 cos 5)2 ＝| 5－4 cosθ |。 ---(到此給 4 分)
(2) ∵ 0£θ＜2π，－1£cosθ£1
∴cosθ＝－1 時，1＝5＋4 = 9 最大；cosθ＝1 時，1＝5－4 = 1 最小 ---(到此再給 2 分)
