平面向量

(1)

第十章平面向量 P139 第一單元 1/1 P 1. Ans:(1)8(3, 4) 5  (2) 29 17 ( , ) 5  5 (1)AB/ /BC 令AD = t(3, 4) 又 8 8 5 AD   t (AD 與BC 同向取正) (2) OD =OA +AD =(29, 17) 5  5 2. Ans:t=5 2 OB =(5t  1)OA +(4+t)(OC OB ) OB =5 1 5 t t    OA +4 5 t t    OC 又 A、B、C 共線5 1 5 t t   + 4 5 t t   =1  5 t= 2 3. Ans: (0, 1) (a 1)AB + (2ab)(AC AB )+ (a b 2)( AC )=0  (a 1 2ab)AB + (2a   b a b 2)AC =0 ∵AB 不平行AC  1 2 0 0, 1 2 2 0 a a b a b a b a b                 =0 4. Ans:(1,3) ∵u 不平行v  2 0 1, 3 4 0 x y x y x y             =0 5. Ans:(14,3) 5 BD CD:  ABD面積: ACD 面積=2:3由分點公式 OD =3 5  OB +2 5  OC =(14,3) 5 6. Ans:0 2 3 t   如圖，若 1 1 2 3 3 tBC    t t 0 2 3 t   7. Ans:( , )1 1 2 3 令AP = xAB +yAD 其中AB =4 3  AF ，AD =3 2  AE 3 , , 1 1 1 2 , 4 2 3 , , 1 3 B P E x y x y F P D x y            _ _ _     共線共線 8. Ans: (6,9) AD為交平分線BD CD: 3 : 2 可令ABD面積為，3t A DC 面積為2 ，由已知 ABPt  面積為45 t AP =15AD =15(2 5  AB +3 5  AC )=6AB +9AC

(2)

第十章平面向量 P142 第二單元 1/2 O P A D 1. Ans: 0 (1)7 (2)180 (1) 2a3b4c2(a   b c) b 2c b2c 2a3b4c2  b2c2  b24b c 4c2 …(A) b    c a b c2 a2 92b c  254   b c  15代入(A)式  所求=7 (2) a c  b a c2  b2 42a c  259 a c 10 cos a c 1 1800 a b                    2. Ans:600 0 1 1, 1, 1 1 cos 60 2 a  b  a b        ( ) ( 2 ) 1 0 cos 60 2 2 a b a b a b a b                     3. Ans:(24, 5) 35 7 ( ) 0 25 ₂ 24 0 ₂ ( , ) 25 48 25 0 1 xa yb a x y x y x xy y xa yb                   _        (24, 5) 35 7 or 24 5 ( , ) 35 7   (不合) 4. Ans:t  1 2 2 2 2 2 (a(t 3) ) (b  atb)0 a (t  t 3)a b  t t( 3)b 0 3 2 4 t 3t 0 (t 1)(t t 4) 0 t 1             5. Ans:3 PD =OD OP = (2,1a) OA PDOA =0a3 6. Ans:M= 2 2 14 ,m= 2 2 14 2 2 2 2 2 2 2 3 ( 1) 4 x y z  x  x y z  ，令u =(x1, , )y z 、v = (2, 1,3) 代入(u v )2 u v 2 2 2 (2x 2 y 3 )z 4 (4 1 9)          2 14 2xy3z22 14 M= 2 2 14 ,m= 2 2 14 7. Ans:4 圓外切等腰梯形 AB+CD=AD+BC AD=BC=4 由圖可知 0 60 D   = 0 2 3 cos120   4 8. Ans:(1)( , ) ( , )1 1 3 3 x y  (2) ( , ) (5 1, ) 18 3 x y  (3) ( , ) (19 , 5 ) 144 24 x y  (1) AG =2 3  AD =2 3( 1 2  AB 1 2  AC )=1 3  AB 1 3  AC

(3)

第十章平面向量 P142 第二單元 2/2 (2) : : 6 : 5 7 6 11 BD CD AB AC  BD   又AI DI:  AB BD: 11: 7 AI =11 18  AD =11 18( 5 11  AB + 6 11  AC )= 5 18  AB + 6 18  AC (3)利用AH AB =AH AC =AB AC AH AB = x AB 2+yAC AB 36x6y6 AH AC = xAB AC +y AC 26x25y6 ( , ) (19 , 5 ) 144 24 x y  9. Ans:5  AD    ABBCCD  AD2    ABBCCD2  AB2 BC2 CD22 AB AC 2 AB BC 2BC AC  0 0 0

1 4 9 2 1 2 cos60 2 1 3 cos60 2 2 3 cos60 25

               

(4)

第十章平面向量 P145 第三單元 1/1 1. Ans:2 求式為 (1, 2) 到 3x4y 的距離=1 3 8 1 2 5    2. Ans: 13 34 : 2 5 3 5 4 = 6 15 4 2 3 9 16 x t L x y y t                 所求 13 34 3. Ans: 5 1 2 4 ( 1) ( , ) 5 4 1 d L L      4. Ans:xy 9 0 令 ( , )P x y 為角平分線上一動點， ( , ) 3 4 7 4 3 2 5 5 x y x y P x y      到兩直線等距離  角平分線方程式為 M:xy90 或 N:7x7y 5 0 取一點 A (1,1) 3 x4y 7 0 A 到直線 M 的距離> A 到直線 N 的距離直線 M 為鈍角平分線 5. Ans:2 1 2 1 2 1 2 1, 3 tan 2 1 m m m m m m            6. Ans:5 2 ( , 1 1 ) 1 1 ( 2 2 0) 2 2 C x   x y   x x y  如圖令 A(0,0)在直線x2y  的投影點為 ( ,1 2 )2 0 t  t 代入x2y 2 0 4 5 t   ∴A(0,0)對直線x2y  的對稱點為2 0 ( ,8 13) 5 5 A  =5 2 A CB x  共線 7. Ans: 5, ( , )1 7 3 3 B ( 1,3)對直線 L:xy  的對稱點為2 0 B(1,1)  PAPB  PAPB  AB 5 “=”成立時，P 點為直線 AB’與x y  的交點2 0 ( , )1 7 3 3 P

(5)

第十章平面向量 P147 第四單元 1/1 1. Ans:-10 101 104 101 104 502 102 110  1 6  101 411 101 411 512 102 410  1 1   所求為 502 ( 512)   10 2.Ans:2 cos n

= cos sin cos sin

cos sin cos sin

n n i n i n i n i n          _ _ _                 令 求式= 2 cos n 3. Ans:如下 = 49 43 100 (6 2 ) 51 57 k k k k k          0k  3 (1) 3 46 46 48 ( 3) 54 54 52 ( 3) x y k x y        _       時，原方程組為兩線平行  無解 (2) k  3時，由克拉瑪公式可知 ( 5), ( 1) 2 6 2 6 k k k k x y k k       4. Ans:(6, 20) 3  由克拉瑪公式可知x _3,y _5   ，其中 , x , y a b e b a e c d f d c f       所求方程組 12 6, 8 20 6 6 3 y x x    y        ( 1)   ( 1)  

(6)

第十章平面向量 P148 試題觀摩 1/2 1. Ans: 13 2 2 2 2 0 3 2 9 12 4 9 12 1 2 cos120 16 13 AC  AB AD  AB  AB AD  AD               2. Ans: 4:5 AC =t(3 5  AB +4 5  AD )  BE DE : 4 : 3 4 7 ABE ABD     ----○1 令AE =tAC =t(3 5  AB +4 5  AD )B,E,D 共線 3 4 1 5 5t 5t t 7      5 7 AE AC   5 7 ABE ABC     ---○2 _由○1 ○2 4 7ABD 5 7 ABC    所求=4:5 3. Ans:(C) 設立座標  PO =(2,3)、QO=(-5,2)∴PO +QO=(-3,5)=CO 4. Ans:3 7 4 O 為重心 OA +OB +OC =0  OA OB  2  OC2 1 2OA OB +4=2 OA OB = 3 2  cos 3 sin 7 4 4 AOB AOB        ，可得 1 sin 1 7 2 4 AOB OA OB AOB        所求=3AOB=3 7 4 5. Ans:3 PA +PB +PC =BC =PB -PB PA =2PB  同理可得下圖 9 3 9 2 2 2 ABC PQR         6. Ans:k  3,l4 EB EC:  AB AC: 4 : 3 AE = 3 4 ( 3)     AB + 4 4 ( 3)  AC (外分點公式) ∴k  3,l4 7. Ans:(1) (2, 4) (2) 3xy10 (1) A,B,C 不共線 AB ,AC 不平行 2 0 ( , ) (2, 4) 6 0 x y x y x y     _       (2)B 為 AC 中點 AC 1 2  AB AB  2AC =0 ( xy2) : (xy6) 1: ( 2)  3x y10

(7)

第十章平面向量 P148 試題觀摩 2/2 8. Ans: AP 3 5  AB 2 5  AD 由圖APDEPBBP DP: 2 : 3 ∴AP 3 5  AB 2 5  AD 9. Ans:(1)6 5 (2)3 (1)設立座標，以 B 為(0,0) AC  ( 3, 3)、AM ( 7, 3) 2 2   、AN ( 2, 3) AC = xAM+yAN (比較係數) 7 2 3 2 4 2 ( , ) ( , ) 1 5 5 1 2 x y x y x y        _    _ _   (2) AC MN ( 3, 3) ( ,3 3) 3 2 2      10.Ans:(1)M=18,m=1 (2)M=1,m=24 ( , ) 2 5 ,0 1 1 3 x t P x y AB t y t      _      代入 (1) 2x3y  1 19tM 18(此時t1),m 1(此時t0) (2) 2 2 2 2 2 2 1 ( 2 5 ) 2(1 3 ) 1 7 32 1 x  y     t   t   t  t (如圖，M=1,m=24) 11.Ans: 4:2:3 (1)2AP +3BP +4CP =0  2AP +3(AP AB )+4(AP –AC )=0 AP 1(3 9  AB +4AC ) (2)令ADtAP = (3 9 t  AB +4AC ) D,B,C 共線 3 4 1 9 9t 9t t 7      AP PD: 7 : 2 且 : 4 :3 4 : 3 9 9 BD CD t t (3) 7 7 4 4 ( ) 9 9 7 9 7 7 3 3 ( ) =4 : 2 : 3 9 9 7 9 2 9

ABP ABD ABC ABC

ACP ACD ABC ABC

BCP ABC                              所求