第四章 四邊形

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(1)

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(2)

一、多邊形

4.1 多邊形

籬笆的格子、六角螺帽外圍的各個面(圖 4-1)、門、窗等,都 是多邊形的形象。 如圖 4-2 那樣,由一些線段首尾順次連結組成的圖形,叫做 多邊形。組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊,每相鄰兩條邊 的公共端點叫做多邊形的頂點。連結多邊形不相鄰的兩個頂點之 線段叫做多邊形的對角線,多邊形各邊的長度之總和叫做多邊形 的周長。例如圖 4-2 甲中,AB、BC、CD、DE、EA 是多邊形的 邊,A、B、C、D、E 是多邊形的頂點,AC、AD、BD、BE、CE 是多邊形的對角線,AB、BC、CD、DE、EA 的長度之總和是多 邊形的周長。 多邊形用表示它的各個頂點之字母來表示。如圖 4-2 甲的多 邊形記作多邊形 ABCDE。 一個多邊形至少要有三條邊,有三條邊的是三角形,有四條 邊的叫做四邊形,有五條邊的叫做五邊形,有 n 條邊的叫做 n 邊 形。 圖 4-1 圖 4-2 C B D A E C B D A E G F

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把多邊形的任何一條邊向兩方延長,如果多邊形的其它各邊 都在延長所得直線的同側,這樣的多邊形叫做凸多邊形(另一定義 為:多邊形內部任意二點所連結的線段都落在此多邊形內部,則 稱此多邊形為凸多邊形)。例如,圖 4-2 甲、圖 4-3 甲中的多邊形 是凸多邊形,圖 4-2 乙、圖 4-3 乙中的多邊形不是凸多邊形(稱之 為凹多邊形)。以後,本書中所說的多邊形都是指凸多邊形。 多邊形相鄰兩邊所組成的角叫做多邊形的內角,簡稱多邊形 的角。多邊形的角之一邊與另一邊的反向延長線所組成之角叫做 多邊形的外角,多邊形的外角也就是與它有公共頂點的內角之鄰 補角。例如,在圖 4-3 甲中, DAB、 ABC、 BCD、 CDA是多邊形的角, DAE、 BAN、 ABG∠ 等式多邊形的外角。與 多邊形每一內角相鄰有兩個外角,這兩個外角是相等的。(為什 麼?)

練 習

1. (口答) 在圖 4-3 甲中,如果 AB = 20 mm、 BC =30 mm、 13 CD = mm、DA= 21mm、∠ABC = °60 ,那麼四邊形 ABCD 的周長等於多少?在頂點 B 處有幾個外角?是哪幾個?各等 於多少度? 2. (口答) 從四邊形的一個定點出發,可以作幾條對角線?每條 對角線把四邊形分成幾個三角形? D C B A E M H G F K L N C B D A E F 圖 4-3 甲 乙

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4.2 多邊形的內角和

我們知道,三角形的內角和等於180°,怎樣計算邊數為 n 的 多邊形之內角和呢?如果能將多邊形分割成一些三角形,問題就 解決了。 在已知 n 邊形 A A A1 2 3An內任取一點 O (圖 4-4),連結OA 、1 OA 、2 OA 、…、3 OA ,n 這些線段將 n 邊形分成以 O 為公共頂點的 n 個三角形。由此可得,n 邊形的內角和等 於這 n 個三角形的內角和減去以 O 為頂點 的 n 個角之和。因為 n 個三角形內角的和ni180°,以 O 為頂點的 n 個角之和是一 個周角,等於 360°,所以 n 邊形的內角和是 180 360 ( 2) 180 ni ° − ° = −n i ° 由此得到下面的定理: 多邊形內角和定理 n 邊形的內角之和等於 (n2) 180i ° 取多邊形每一個內角的一個鄰補角,它們相加的和叫做多邊 形的外角和。因為多邊形每一個內角與它的一個鄰補角的和等於 180°,應用上面的定理,可以推算,n 邊形 n 個外角的和等於 180 ( 2) 180 360 ni ° − −n i ° = ° 於是得到 推論 1 任意多邊形的外角和等於 360° 在第二章,我們學過兩邊分別平行的 兩個角的關係,現在,我們應用多邊形內 角和定理來研究兩邊分別垂直的兩個角的 大小有什麼關係。 如圖 4-5, 1∠ 的兩邊分別垂直於 A∠ 的兩邊,那麼,因為 1∠ 與 A∠ 是一個四邊 形的兩個內角,而這個四邊形的另外兩個 內角都等於 90°,所以 圖 4-4 O 1 A 6 A 5 A 4 A 3 A 2 A n A 圖 4-5 A D C B 1 E 2 3 4

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1 A (4 2) 180 2 90 180 ∠ + ∠ = − i ° − × ° = ° 即 1∠ 與 A∠ 互補。 又∠2、 3∠ 、 4∠ 的兩邊也分別垂直於 A∠ 的兩邊。 因為 3∠ = ∠1,所以 3∠ 與 A∠ 也互補。 又因為∠2與 A∠ 都是 1∠ 的補角,所以 2∠ = ∠A。 同理∠ = ∠4 A。由此得到: 推論 2 如果一個角的兩邊分別垂直於另一個角的兩邊,那 麼這兩個角相等或互補。 當兩個角都是銳角或都是鈍角時,這兩個角相等;當兩個角 中一個角是銳角一個是鈍角時,這兩個角互補。 【例 1】 已知一個多邊形,它的內角和等於外角和的兩倍,求這 個多邊形的邊數。

設多邊形的邊數為 n,因它的內角和等於 (n−2) 180i °、 外角和等於 360°,所以; (n−2) 180i ° =2 360i °。 解得n = 6。 答:這個多邊形的邊數是 6。 【例 2】 測斜坡的傾斜角可以用坡度板。坡度板上有半圓形的角 度刻度,0°線垂直於板邊,在圓心處掛一自然下垂的金 屬指針,把板邊放在斜坡上,看指針所指的度數,就是 斜坡傾斜角α 的度數。說明它的道理。

解 按題意,畫出坡度板測斜坡傾斜角的幾何圖形,如圖 4-7。 圖 4-6 α α A D C B E O 圖 4-7

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∵ DOAC 、 DEAB且∠ < °D 90 、∠ < °α 90 ∴ ∠ = ∠α D (兩邊分別垂直的銳角相等) 所以,指針所指的度數就是斜坡的傾斜角

α

的度數。

練 習

1. 幾邊形的內角和等於它的外角和? 2. 一個多邊形的每一個外角都是 72°,這個多邊形的內角和是 多少度? 3. 已知兩組對應邊互相垂直的兩個角之差為 35°,求這兩個角 的度數。

習 題 十 二

1. 畫一個四邊形並連結它的各條對角線,作一條線段等於: (1) 它的各條對角線的和; (2) 四邊形的周長。並且比較它與各條對角線的和之大小。 2. 五邊形有幾個頂點?經過五邊形的一個頂點有幾條對角線? 五邊形共有幾條對角線? 3. 過 n 邊形的一個頂點有幾條對角線?這些對角線把 n 邊形分 成幾個三角形?用這種分法證明多邊形內角和定理。 4. 在四邊形 ABCD 中,已知: A∠ = ∠D 、 B∠ = ∠C。 求證: AD// BC 。 5. 六角螺母正面成六邊形,六個內角相等,求每一個內角的度 數。 6. (1) 一個多邊形的內角和等於1080°,求它的邊數; (2) 一個多邊形的每一個內角都等於144°,求它的邊數; (3) 一個多邊形的每一個外角都等於 30°,求它的邊數。 7. 銳角△ABC 的高 BE 與 CF 的交點是 H, EHF與 A∠ 有什麼

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二、平行四邊形

4.3 平行四邊形及其性質

兩組對邊分別平行的四邊形叫做 平行四邊形。如圖 4-8 四邊形 ABCD 中,AB//DC 、AD// BC ,那麼四邊形 ABCD 是平行四邊形。平行四邊形利用 符號「

」表示,平行四邊形 ABCD 記作「

ABCD」,讀作「平行四邊形 ABCD」。 下面研究平行四邊形的一些性質。我們已經學過了三角形, 如果畫出平行四邊形的一條對角線,就把平行四邊形分成兩個三 角形,可以利用三角形的性質來研究平行四邊形。 首先研究平行四邊形的兩組對邊、兩組對角的關係。 作

ABCD的對角線 AC,將它分 成△ABC 與△CDA(圖 4-9)。 AB CD 、// AD//BC ∴ ∠ = ∠1 3、∠ = ∠2 4 又 ∵ AC =CA ∴ △ABC ≅ △CDAAB =CD、 CB = AD、∠ = ∠B D 又 ∵ ∠ + ∠ = ∠ + ∠1 4 2 3 ∴ ∠ = ∠A C 由此得到: 平行四邊形性質定理 1 平行四邊形的對角相等。 平行四邊形性質定理 2 平行四邊形的對邊相等。 如圖 4-10,l1 //l ,AB、CD 是 2 l 、1 l 之間的任意兩條平行線2 段,顯然,ABCD 是平行四邊形。因為平行四邊形的對邊相等, 所以 AB CD= 。由此得到: 推論 夾在兩條平行線間的平行線段相等。 A D C B 圖 4-8 A D C B 圖 4-9 1 2 3 4

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從推論可以知道,如果兩條直線平行,那麼一條直線上所有 個點,到另一條直線的距離都相等。兩條平行線中,一條直線上 任意一點到另一條直線的距離,叫做這兩條平行線的距離。如圖 4-11,l1 //l ,2 A 是l 上的任意一點,1 ABl2,B 是垂足,線段 AB 的長就是l 、1 l 的距離。 2 平行四邊形還有下面性質: 平行四邊形性質定理 3 平行四邊形的對角線互相平分。

已知:

ABCD,對角線 AC、BD 相交於點 O(圖 4-12) 求證: OA OC= 、 OB OD= 證明: ∵

ABCD中, AB CD // ∴ ∠ = ∠1 4、∠ = ∠2 3 又 ∵ AB =CD (平行四邊形的對邊相等) ∴ △OAB ≅△OCD ∴ OA OC= 、 OB OD= 我們知道,三角形具有穩定性,而四邊形就沒有穩定性。可 以利用四邊形的不穩定性製成活動的平行四邊形框(圖 4-13)、汽 車的防護鏈(圖 4-14)等。 圖 4-10 A D C B 1 l 2 l 圖 4-11 A B 1 l 2 l O A D C B 圖 4-12 1 2 4 3 圖 4-13 圖 4-14

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【例 1】 過△ABC 的頂點 A、B、C,分別引對邊的平行線,它們 兩兩相交於 A、 B、 C。求證:△ABC 的三條高是 A B C′ ′ ′三邊的垂直平分線。 已知: 如圖 4-15,C B′ ′// BCC A′ ′// ACB A′ ′// ABADBC 、 BECACFAB求證: AD、BE、CF 分別是 C B′ ′、 C A′ ′、 B A′ ′的垂 直平分線。 證明: ∵ C B′ ′//BCC A′ ′// ACB A′ ′// AB AB CD // ∴ BC =C A′ (夾在兩條平行線間的平行線段相等) 同理 BC = AB∴ C A′ = AB′ 又 ∵ ADBC ∴ ADC B′ ′ 所以 AD 是 C B′ ′的垂直平分線。 同理 BE、CF 分別是 C A′ ′、B A′ ′的垂直平分線。 在前一章裡,我們已經證明過三角形三邊的垂直平分線交於 一點,由於例 1 中的△A B C′ ′ ′三邊的垂直平分線就是△ABC 的三 條高,可見,三角形的三條高也相交於一點。 【例 2】 已知:

ABCD中,對角線 AC 與 BD 相交於點 O, M、N 分別是 OA、OC 的中點 (圖 4-16) 求證: BM = DNBM //DN 。 證明: ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形 E A D C B 圖 4-15 F ACBM A D C B N O

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∴ OB OD= 、 OA OC= (平行四邊形的對角線互相平分) ∵ 1 2 OM = OA、 1 2 ON = OC ∴ OM =ON 又 ∵ ∠MOB = ∠NOD ∴ △MOB ≅ △NOD ∴ BM = DN 、 BMO∠ = ∠DNOBM //DN

練 習

1. 舉出日常生活中常見的平行四邊形的一些例子。 2. 已知:在

ABCD中, AEBC 、 CFAD,E、F 是垂足 求證:△ABE ≅△CDF 3. 如 圖 4-12 , 已 知 O 是

ABCD 的 對 角 線 交 點 , 如 果 24 AC = mm、BD = 38mm、AD = 28mm,求△OBC 的周長。

4.4 平行四邊形的判定

判定一個四邊形是不是平行四邊形,除了根據定義來判斷以 外,還有以下判定定理: 平行四邊形判定定理 1 一組對邊平行且相等的四邊形 是平行四邊形。 已知: 四邊形 ABCD, AB CD 、 AB// =CD (圖 4-17) 求證: 四邊形 ABCD 是平行四邊形。 證明: 連結 AC。 AB CD // ∴ ∠ = ∠1 2 又 ∵ AB =CD、 AC =CA ∴ △ABC ≅ △CDA A D C B 圖 4-17 1 3 2 4

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∴ ∠ = ∠3 4 ∴ BC // AD 所以四邊形 ABCD 是平行四邊形。 「平行且等於」用符號「 」表示。如圖 4-17, AB = DC、 // AB DC ,可以記作 AB DC,讀作「AB 平行且等於 DC」。 與定理 1 相類似,利用全等三角形,容易證明平行四邊形判 定定理 2、3。 平行四邊形判定定理 2 兩組對邊分別相等的四邊形 是平行四邊形。 平行四邊形判定定理 3 對角線互相平分的四邊形是 平行四邊形。

【例 1】 已知:

ABCD中,E、F 分別是邊 AD、BC 的中點

(圖 4-18)。 求證: EB = DF證明: ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形 ∴ AD BC (平行四邊形對邊平行且相等) ∵ 1 2 ED = AD、 1 2 BF = BC ∴ ED BF ∴ 四邊形 EBFD 是平行四邊形 (一組對邊平行並且相等的四邊形是平行 四邊形) ∴ EB = DF (平行四邊形的對邊相等) 圖 4-18 E A D C B F 圖 4-19 E A D C B

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【例 2】 已知: 線段 BC 與直線 BC 外一點 A (圖 4-19)。 求作: 以 A 為一頂點,以線段 BC 為一邊的平行四邊 形。 作法: 1. 連結 AB。 2. 分別以 A、C 為圓心,以 BC、AB 為半徑 作弧,兩弧相交於點 D。 3. 連結 AD、CD。 四邊形 ABCD 就是所求的平行四邊形。 證明: ∵ AD= BC、 DC = AB ∴ 四邊形 ABCD 是平行四邊形 (兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形) ∵

ABCD的一邊是 BC、一個頂點是 A ∴ 四邊形 ABCD 就是所求的平行四邊形 討論: 如果連結 AC,同理可作四邊形 AEBC,它也是 所求的平行四邊形。此題有兩個解。

練 習

1. 求證:兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。 2. 把兩個全等的三角形,按不同的方法拼成四邊形,可以拼成 幾個不同的四邊形,它們都是平行四邊形嗎?為什麼? 3. 已知:

ABCD,E 是 AB 的中點、F 是 CD 的中點 求證: EF = BC 4. 延長△ABC 的中線 AD 至 E,使 DE = AD 求證:四邊形 ABEC 是平行四邊形。

習 題 十 三

1. 在

ABCD中: (1) 已知周長為 28 cm、 3 4 AB = BC ,求各邊的長; (2) 已知∠ + ∠ =A C 200°,求各角的度數。

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2. 已知

ABCD

AEFD如圖。 求證:△ABE ≅△DCF 。 3. 求證:平行四邊形對角線的交點到 一組對邊的距離相等。 4. 已知: E、F 是

ABCD對角線 AC 上的兩點,並且 AE =CF。 求證: BE = DF 。 5. 求證:平行四邊形一條對角線的兩個端點到另一條對角線的 距離相等。 6. 如圖,

ABCD 中, AEBCAFCD ,垂足分別是 E、F, 1 60 ∠ = °、BE = 2cm、DF =3cm, 求各內角的度數與各邊的長。 7. (1) 畫一條直線與已知直線平 行,並且距離為 20 mm。這樣的直線可以畫幾條? (2) 求作一條直線與已知兩條平行直線平行且距離相等。 8. 求證:一組對邊平行、一組對角相等的四邊形是平行四邊形。 9. (1) 已知 A、C 是直線 l 同側的兩點, ABl 、 CDl,垂 足分別是 B、D,且 AB CD= 。 求證: AC //l (圖甲)。 (2) 如果一塊木板兩邊是直線,把兩把曲尺的一邊靠緊木板 邊緣,再看木板另一邊緣對曲尺另一邊上刻度是否相 等,就能判斷木板的兩個邊緣是否平行。為什麼?(圖乙) (第 2 題) A F E D C B (第 6 題) A F E D C B 1 甲 (第 9 題) A B C D l

(14)

10. 已知: E、F、G、H 分別是

ABCD的邊 AB、BC、CD、 DA 上的點,並且 AE =CG、 BF = DH求證: 四邊形 EFGH 是平行四邊形。 11. 已知: AC 是

ABCD的一條 對角線, BMACDNAC,垂足分別是 M、N。 求證: 四邊形 BMDN 是平行四 邊形。 12. 已知:

ABCD的對角線 AC 上兩點 E、F,且 AE =CF求證: 四邊形 BFDE 是平行四邊形。 13. 求證:平行四邊形一組對角的平分線如果不在同一條直線 上,那麼它們互相平行。 14. 求作平行四邊形,使: (1) 以已知點 A、B、C 為頂點,這樣的平行四邊形可以作 幾個?寫出其中一個的作法。 (2) AB = a、 BC =b、 ABC∠ =α 。

4.5 矩形

根據四邊形的不穩定性,我們可以把一個平行四邊形的形狀 改變成有一個直角的平行四邊形(圖 4-20)。有一個角是直角的平 行四邊形叫做矩形(通常也叫做長方形)。矩形是人們日常生活與 生產中最常見的四邊形,如課本、黑板、門、窗等都呈矩形。 (第 11 題) A M N D C B A D C B 圖 4-20 A D C B

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因為矩形是一種特殊的平行四邊形,所以它除具有平行四邊 形的所有性質外,還具有一些特殊的性質。 如圖 4-21,

ABCD中, A是直角。因為 C∠ = ∠A(平行四 邊形的對角相等),所以 C也是直角。又因 B、 D都與 A∠ 互 補,所以 B、 D∠ 也都是直角,由此得到: 矩形性質定理 1 矩形的四角都是直角。 矩形還有下面的性質: 矩形性質定理 2 矩形的對角線相等。 已知: 矩形 ABCD (圖 4-22) 求證: AC = DB 證明: 在矩形 ABCD 中, ABC = ∠DCB = ∠Rt (矩形的四個角都是直角) AB =CD (平行四邊形的對邊相等) BC =CB ∴ △ABC ≅ △DCB ∴ AC = DB 要判定一個四邊形是矩形,除了根據定義外,還可以根據下 面的定理: 矩形判定定理 1 有三個角是直角的四邊形是矩形。 矩形判定定理 2 對角線相等的平行四邊形是矩形。 已知:

ABCD中, AC = DB (圖 4-22) 求證:

ABCD是矩形 證明: ∵ AC = DB、 BC = CB AB = DC (平行四邊形的對邊相等) ∴ △ABC ≅ △DCB 圖 4-21 A D C B 圖 4-22 A D C B

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∴ ∠ABC = ∠DCB 又 ∵ AB//DC ∴ ∠ABC+ ∠DCB = 2Rt∠ ∴ ∠ABC = ∠Rt

ABCD是矩形 在生產中,工人在製作門框或矩形零件時,常用測量兩條對 角線是否相等來檢查直角的精度,就是根據這個定理。 【例】 已知:如圖 4-23,矩形 ABCD 的兩條對角線相交於點 O,AOD =120°, AB = 4cm。求矩形對角線長。

∵ 四邊形 ABCD 是矩形 ∴ AC = BD (矩形的對角線相等) 又 ∵ 1 2 OA=OC = AC 1 2 OB =OD = BD (平行四邊形的對角線互相平分) ∴ OA OD= ∵ ∠AOD =120° ∴ 180 120 30 2 ODA OAD ° − ° ∠ = ∠ = = ° 又 ∵ ∠DAB = ∠Rt (矩形的四個角都是直角) ∴ BD = 2AB = ×2 4 cm =8 cm

練 習

1. 求證:四個角都相等的四邊形是矩形。 2. 求證:對角線互相平分並且相等的四邊形是矩形。 3. 用刻度尺怎樣檢查一個四邊形零件是不是矩形? 4. 利用矩形性質,證明直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一 半。 圖 4-23 A B C D O

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4.6 菱形

有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。 菱形也是一種特殊的平行四邊形,所以它除具有平行四邊形 的所有性質外,也具有一些特殊的性質。 如圖 4-24,

ABCD中,AB = AD。因為 CD = AB、BC = AD (平行四邊形的對邊相等),所以四條邊都相等。因此得到: 菱形性質定理 1 菱形的四條邊都相等。 菱形還有下面的性質: 菱形性質定理 2 菱形的對角線互相垂直,並且每一條對角 線平分一組對角。 已知: 菱形 ABCD 中,對角線 AC 與 BD 相交於點 O (圖 4-25)。 求證: ACBD;AC 平分 BAD與 BCD;BD 平分 ABC 與 ADC∠ 。 證明: ∵ 四邊形 ABCD 是菱形 ∴ AB = AD BO =OD (菱形是平行四邊形) ∴ 在等腰三角形 ABD 中, ACBD,AC 平分 BAD。同理 AC 平分 BCD;BD 平分 ABC與 ADC∠ 。 要判定一個四邊形是菱形,除了根據定義外,還可以根據下 面的定理: 菱形判定定理 1 四邊都相等的四邊形是菱形。 菱形判定定理 2 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。 圖 4-24 A D C B 圖 4-25 A D C B O

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【例】 已知: 矩形 ABCD 的對角線 AC 的垂直平分線與邊 AD、BC 分別交於 E、F(圖 4-26) 求證: 四邊形 AFCE 是菱形 證明: ∵ 四邊形 ABCD 是 矩形 ∴ AE //FC ∴ ∠ = ∠1 2 又 ∵ ∠AOE = ∠COF AO =CO ∴ △AOE ≅ △COF ∴ EO = FO ∴ 四邊形 AFCE 是平行四邊形 (對角線互相平分的四邊形是平行四邊形) 又 ∵ EFAC

AFCE是菱形 (對角線互相垂直的平行四邊形是菱形)

練 習

1. 證明菱形的兩個判定定理。 2. 從菱形的鈍角之頂點向對邊作垂線,如果垂線平分對邊,求 菱形各角的度數。 3. 求證:有一條對角線平分一個內角的平行四邊形是菱形。

4.7 正方形

有一組鄰邊相等並且有一個角是直角的平行四邊形叫做正 方形。 由正方形的定義可以得知,正方形 既是有一組鄰邊相等的矩形,又是有一 個角是直角的菱形。所以,正方形同時 具有矩形與菱形的所有性質。這些圖形 的包含關係如圖 4-27。 圖 4-26 A D C B O F E 1 2 圖 4-27 矩形 集合 菱形 集合 正方形 集合

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容易知道,正方形有下面的性質: 正方形性質定理 1 正方形的四個角都是直角,四條邊都 相等。 正方形性質定理 2 正方形的兩條對角線相等,並且互相 垂直平分,每條對角線平分一組對角 反過來,如果一個圖形既是矩形又是菱形,那麼根據定義就 可以斷定它是正方形。 【例】 已知: 如圖 4-28,四邊形 ABCD 是正方形, AA′= BB′= CC′ = DD′。 求證: 四邊形 A B C D′ ′ ′ ′是正方形 證明: ∵ 四邊形 ABCD 是 正方形 ∴ AB = BC =CD = DA (正方形的四條邊都相等) 又 ∵ AA′ = BB′ =CC′ = DD∴ D A′ = A B′ = B C′ = C D′ ∵ ∠ = ∠ = ∠ = ∠ = °A B C D 90 (正方形的四個角都是直角) ∴ △AA D′ ′ ≅△BB A′ ′ ≅△CC B′ ′≅△DD C′ ′ ∴ D A′ ′= A B′ ′= B C′ ′= C D′ ′ ∴ 四邊形 A B C D′ ′ ′ ′是菱形 (四邊都相等的四邊形是菱形) ∴ △AA D′ ′ ≅ △BB A′ ′ 又 ∵ ∠ = ∠2 3、 1∠ + ∠ = °2 90 ∴ ∠ + ∠ = °1 3 90 ∵ ∠D A B′ ′ ′=180° − ∠ − ∠ =1 3 180° − ° = °90 90 ∴ 四邊形 A B C D′ ′ ′ ′是正方形 (有一個角是直角的菱形是正方形) 圖 4-28 A D C B 1 2 3 ABCD

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練 習

1. 兩條對角線互相垂直平分且相等的四邊形是哪種四邊形? 為什麼? 2. 正方形的一條對角線與一邊所成的角是多少度的角?為什 麼? 3. 如果一個菱形的兩條對角線相等,那麼它一定是正方形。為 什麼? 4. 如果一個矩形的兩條對角線互相垂直,那麼它一定是正方 形。為什麼?

4.8 中心對稱、中心對稱圖形

在前一章,我們學過關於直線對稱的圖形。在日常生活與工 農業生產中,還會遇到關於點對稱的圖形,例如,飛機的螺旋槳、 風車的風輪等,就是關於一點對稱的圖形的實例(圖 4-29)。它們 的每個葉片旋轉180°後,都轉到與它相對的葉片的位置。 如果把一個圖形繞著一個點旋轉180°後,它與另一個圖形重 合,那麼我們說這兩個圖形關於這個點對稱。這個點叫做對稱中 心。這兩個圖形中的對應點,叫做關於中心的對稱點。例如,圖 4-30 的△ABC 繞點 O 旋轉180°後,它就與△A B C′ ′ ′重合,因此, △ABC 與A B C′ ′ ′關於點 O 對稱,點 O 是對稱中心,點 A 與 A′、 點 B 與 B、點 C 與 C是關於中心 O 的對稱點。 根據定義,關於中心對稱的兩個圖形可以重合,因此,這兩 個圖形全等。 圖 4-29 圖 4-30 A O C B ABC

(21)

如圖 4-30,在中心對稱的兩個圖形中,對應點 A、A、B、B′、 C、 C都分別與對稱中心 O 在一條直線上,並且 OA OA= ′、 OB =OB、 OC =OC′。由此得到下面性質: 性質 1 關於中心對稱的兩個圖形,對稱點連線都經過對稱 中心,並且被對稱中心平分。 又因為點 O 是線段 AA與 BB的中點,容易證得 AB A B′ ′, 同理 BC B C′ ′、CA C A′ ′,由此得到 性質 2 關於中心對稱的兩個圖形,對應線段平行(或在同一 條直線上)且相等。 性質 1 的逆命題:「如果兩個圖形的對應點連線都經過某一 點,並且被這一點平分,那麼這兩個圖形關於這一點對稱」也成 立。我們有時用它來判定兩個圖形是否關於一點對稱。 【例】 作四邊形 ABCD 關於點 O 的對稱圖形。 已知: 四邊形 ABCD 與一點 O (圖 4-31)。 求作: 四邊形 ABCD 關於中心 O 的對稱圖形。 分析: 要作四邊形 ABCD 關於點 O 的對稱圖形,只要 作 A、B、C、D 四點關於點 O 的對稱點,再順次連結各 點即可。 作法: 1. 連結 AO 並延長到 A,使 OA′ =OA,得到 點 A 的對稱點 A′。 2. 同樣作 B、C、D 的對稱點 B、 C、 D′。 3. 順次連結 A、 B、 C、 D′各點。 四邊形 A B C D′ ′ ′ ′就是所求的四邊形。 圖 4-31 A O C B ABCD D′ 圖 4-32 O A (C) D (A) C (A) B (A)

(22)

圖 4-34 圖 4-35 如果一個圖形繞一個點旋轉180°後,能夠與原圖形互相重 合,也就是圖形與它本身重合。那麼這個圖形叫做中心對稱圖 形,這個點就是它的對稱中心。如圖 4-32 中的

ABCD,O 是 AC 與 BD 的交點,因為平行四邊形的對角線互相平分,因此,如 果把它繞點 O 旋轉180°,那麼點 A 轉到點 C 的位置,點 C 轉到 點 A 位置,同樣,點 B 與點 D 也互換位置,整個圖形仍與原來 的圖形重合,所以平行四邊形是中心對稱圖形,兩條對角線的交 點是它的對稱中心。 同樣,矩形、菱形、正方形也是中心對稱圖形。這些圖形不 僅是中心對稱圖形,同時還是軸對稱圖形,它們的對稱軸如圖 4-33,對稱軸的交點是對稱中心。 在我們的周圍,中心對稱圖形是很多的。例如,具有中心對 稱圖形形狀的物體能夠在所在平面繞對稱中心平穩地旋轉,所以 在生產中旋轉的零件之形狀常設計成中心對稱圖形。如電風扇葉 片(圖 4-34)。因為中心對稱圖形形狀勻稱美觀,所以建築物上常 用這種圖形作裝飾圖案(圖 4-35) 圖 4-33 O O O

(23)

練 習

1. 舉出幾個中心對稱圖形的實例。 2. 線段、射線、兩條相交直線,是不是中心對稱圖形?如果是, 指出對稱中心位置。 3. 正三角形、五角星是不是中心對稱圖形,為什麼?

習 題 十 四

1. 已知: 矩形 ABCD,M 是 BC 的中點,BC = 2AB。 求證: MAMD。 2. 矩形對角線組成的對頂角中,有一組是 60°,對角線與各邊 組成的角是多少度? 3. 已知: O 是矩形 ABCD 對角線的交點,E、F、G、H 分別 是 AO、BO、CO、DO 上的一點,並且 AE = BF = CG = DH求證: 四邊形 EFGH 是矩形。 4. 求證:兩條平行線與第三條直線相交,兩組內錯角的平分線 相交所成的四邊形是矩形。 5. 求作矩形 ABCD,使 AB = a、 BC = b。 6. 求證:如果菱形的一個角是120°,那麼從這個角的頂點向對 角的兩邊所引兩條垂線分別平分這兩邊。 a b (第 5 題) E D C B A F G (第 7 題) H M

(24)

7. 已知: △ABC 中,AB = AC,M 為 BC 的中點,MGAB

MDAC、GFAC、DEAB,垂足分別為 G、

D、F、E,GF、DE 相交於 H。 求證: 四邊形 HGMD 是菱形。

8. O 是矩形 ABCD 對角線的交點,作DE// AC、CE//BD,DE、 CE 交於 E。求證:四邊形 OCED 是菱形。 9. 畫菱形 ABCD,使 AC =50mm、∠BAD = °60 。 10. 已知: △ABC 中,∠ = °C 90 ,角 C 的平分線交 AB 於點 D, 作 DEBC 、 DFAC ,垂足分別是 E、F。 求證: 四邊形 CFDE 是正方形。 11. 已知正方形 ABCD,AB = 24mm,對 邊中點的連線將正方形分成四個小 正方形,再同樣分下去,分三次所得 的正方形的周長是多少? 12. 求證:正方形的兩條對角線把正方形 分成四個全等的等腰直角三角形。 13. 求證:矩形的各內角平分線組成的四 邊形是正方形。 14. 求證:依次連結正方形各邊的中點所成四邊形為正方形。 15. 以一條已知線段為對角線,求作正方形。 16. 填充下列定理中所缺的詞: (1) 兩條對角線 的平行四邊形是矩形; (2) 兩條對角線 的四邊形是矩形; (3) 兩條對角線 的平行四邊形是菱形; (4) 兩條對角線 的四邊形是菱形; (5) 兩條對角線 的矩形是正方形; (6) 兩條對角線 的菱形是正方形; (7) 兩條對角線 的平行四邊形是正方形; (8) 兩條對角線 的四邊形是正方形。 (第 11 題) C B D A

(25)

17. 求作: (1) 已知點 A 關於點 O 的對稱點; (2) 已知線段 AB 關於點 O 的對稱線段; (3) 已知△ABC 關於點 O 的對稱三角形。 18. 作一個與已知四邊形 ABCD 中心對稱的四邊形。 (1) 以頂點 A 為對稱中心; (2) 以 BC 邊的中點 O 為對稱中心。 19. 作已知線段 AB 關於點 O(不在 AB 上)的對稱線段 A B′ ′。再作 A B′ ′ 關於點 O(不在 A B′ ′ 上)的對稱線段 A B′′ ′′ 。並證明: // A B′′ ′′ AB。 20. 求證:任何一個具有對稱中心的四邊形是平行四邊形。(用中 心對稱證明) 21. 已知:直線 x、y 互相垂直,垂足為 O。作線段 AB 關於軸 x 的對稱線段 A B′ ′。再作關於 A B′ ′關於 y 軸的對稱線段 A B′′ ′′。 線段 AB 與 A B′′ ′′是否關於點 O 對稱?

三、梯形

4.9 梯形

前面,我們研究的平行四邊形是兩組對邊分別平行的特殊四 邊形。現在,我們研究只有一組對邊平行的另一種特殊四邊形。 一組對邊平行而另一組對邊不平 行的四邊形叫做梯形(圖 4-36)。平行的 兩邊叫做梯形的底(通常把較短的底叫 做上底,較長的底叫做下底),不平行 的兩邊叫做梯形的腰,兩底的距離叫 做梯形的高。 圖 4-36 C D B A E F

(26)

一腰垂直於底的梯形叫做直角梯形(圖 4-37),兩腰相等的梯 形叫做等腰梯形(圖 4-38)。 直角梯形與等腰梯形都是特殊的梯形。 下面研究等腰梯形的性質: 等腰梯形性質定理 等腰梯形在同一底上的兩個角相等。 已知: 如圖 4-39,在梯形 ABCD 中,AD//BC、AB = DC。 求證: ∠ = ∠B C。 分析: 我們學過「等腰三角形兩底角相等」。如果能將等 腰梯形在同一底上的兩個角,轉化成等腰三角形的兩個底角,定 理就容易證明了。 證明: 過 D 點作DE// AB ,交 BC 於點 E,得到△DEC AD//BC 、DE // AB ∴ AB = DE (夾在兩平行線間的平行線段相等) ∵ AB = DC ∴ DE = DC ∴ ∠ = ∠1 C ∵ ∠ = ∠1 B ∴ ∠ = ∠B C 反過來,如果梯形在同一底上的兩個 角相等,兩腰是否相等呢? 如 圖 4-40 , 在 梯 形 ABCD 中 , B C ∠ = ∠ ,如果延長 BA、CD 交於點 E,那 麼由 B∠ = ∠CAD// BC 可以推出△BCE 與 △ADE 都是等腰三角形,得 E的平分線 EF 垂直平分 AD 與 BC,所以梯形 ABCD 是以 EF 為軸的對稱圖形,因此 AB = DC,由此 圖 4-37 C D B A 圖 4-38 C D B A 圖 4-39 C D B A E 1 圖 4-40 C D B A E F

(27)

得到: 等腰梯形判定定理 在同一底上的兩個角相等的梯形是 等腰梯形。 由定理的推導過程可知,等腰梯形是軸對稱圖形,經過兩底 中點的直線是它的對稱軸。 【例】 已知梯形的兩底與兩腰,作梯形。 已知: 線段 a、b、c、d,其中 a b> (圖 4-41)。 求作: 梯形 ABCD,使 AB// DC , AB = a、 DC =bDA= c、 CB = d分析: 假定梯形 ABCD 已經作出。作DE//CB 交 AB 於點 E,可得平行四邊形 EBCD,於是 DE =CB = dEB = DC =b、 AE = −a b。又 DA c= ,已知三邊可以作 出△AED,再作平行四邊形 DEBC,就可以得到所求的 梯形,問題就解決了。

作法: 1. 作△AED,使 AE = −a b、DA c= 、DE = d

2. 延長 AE 到點 B,使 EB b= 。 3. 分別過點 B、D 作BC// DE 、DC// AB , BC、DC 相交於點 C。 四邊形 ABCD 就是所求的梯形。 證明: 根據作法, AB = − + =(a b) b a、 DC = c又因四邊形 EBCD 是平行四邊形(對邊平行), 所以 CD = EB = b、 CB = DE = d所以,四邊形 ABCD 是所求的梯形。 討論: 三條線段 (a b− )、c、d 符合三角形三邊的關係 定理時,作圖題才有解。 圖 4-41 C D B A E a b c d a b c d

(28)

練 習

1. (口答)一個四邊形有一組對邊平行但不相等,它是梯形嗎? 為什麼? 2. 求證: (1) 等腰梯形的對角線相等; (2) 對角線相等的梯形是等腰梯形。 3. 求證:等腰梯形上底的中點與下底兩端點距離相等。

習 題 十 五

1. 在梯形 ABCD 中,已知 AD//BC 、 AD = AB 、 BC = BD 、 120 A ∠ = °,求其它三個角的度數。 2. 已知直角梯形的一腰長 10 cm,這條腰與一個底所成的角是 30°,求另一腰的長。 3. 梯形的上底長為 4 cm,過它的一個端點引一腰的平行線與下 底相交,所得三角形的周長是 12 cm。求這個梯形的周長。 4. (1) 已知: 梯形 ABCD 中,AD//BC,DC > AB、BC > AD 求證: ∠ > ∠B C(2) 已知: 梯形 ABCD 中,AD// BC, B∠ > ∠C、BC > AD 求證: DC > AB。 5. 畫梯形 ABCD,使底 AD =3cm、BC =6cm,腰 AB = 4cm、 60 B ∠ = °。 6. 依照下圖,用兩種不同的方法證明等腰梯形的判定定理。 (第 6 題) C D B A E C D B A E F

(29)

7. 已知等腰梯形的銳角等於 60°,它的上下兩底分別為 15 cm、 49 cm。求它的腰長。 8. 作等腰梯形,使高為 a、上底為 b、下底為 c。

4.10 平行線等分線段

為了進一步研究梯形的性質,我們來證明下面的定理: 平行線等分線段定理 如果一組平行現在一條直線上截得 的線段相等,那麼在其它直線上截得 的線段也相等。 我們僅對三條平行線的情形進行證明。 已知: 如圖 4-42, AB CD// //EF 、 AC =CE 求證: BD = DF 證明: 過點 B、D 分別作 GH 的平 行線 BM、DN,分別交 CD、 EF 於點 M、N,便可得

ACMB

CEND∴ BM = AC、 DN =CEBM //DN ∵ AC =CE ∴ BM = DN 又 ∵ BM //DN 、MD// NF ∴ ∠ = ∠1 2、 3∠ = ∠4 ∴ △BMD ≅ △DNF ∴ BD = DF (第 8 題) a b c 4 2 圖 4-42 1 G F K H L M N C D B A E 3

(30)

從這個定理,可以推出下面結推: 推論 1 經過梯形一個腰的中點與底平行的直線,必平分另 一腰。 如圖 4-43,在梯形 ABCD 中,如果 E 是腰 AB 的中點, // EF AD ,交 DC 於點 F,那麼 DF = FC 如圖 4-44,E 是△ABC 的 AB 邊之中點,EF // BC ,交 AC 於點 F,過頂點引直線MN //BC。由上面的定理可知:AF = FC, 由此得到下面的推論: 推論 2 經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平 分第三邊。 應用平行線等分線段定理,我們可以任意等分一條線段。 【例】 已知: 線段 AB (圖 4-45)。 求作: 線段 AB 的五等分點 作法: 1. 作射線 AC。 2. 在射線 AC 上以 任 意 長 順 次 截 取 AD = DE = EF = FG =GH 3. 連結 HB。 4. 過點 G、F、E、D 分別作 HB 的平行線 GL、FK、EJ、DI,分別交 AB 於點 L、K、 J、I。 L、K、J、I 就是所求的五等分點。 圖 4-43 B F E D C A 圖 4-44 B F E N C A M 圖 4-45 C D B A E M L K J F H G I N

(31)

證明: 過點 A 作MN //HB 。 MN // DI // EJ // FK //GL//HB AD = DE = EF = FG =GH ∴ AI = IJ = JK = KL = LB (平行線等分線段定理)

練 習

1. 練習本上的橫格是平行且等距的,用橫格將 10 cm 長的線繩 五等份、七等份、九等份,分別用不同色筆在繩上劃上等分 點。 2. 畫一條線段,用直尺、圓規將它 分成三等份。 3. 如圖,已知:l1// l 、 AC2 =CB求證: DC =CE

4.11 三角形、梯形的中位線

連結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。 注意:三角形的中位線與三角形的中線不同。 三角形中位線定理 三角形的中位線平行於第三邊,並且 等於它的一半。 已知: △ABC 中, AD = DBAE = EC (圖 4-46)。 求證: DE// BC、 1 2 DE = BC 證明: 延長 DE 至點 F,使 EF = DE,連結 CF。 ∵ AE = ECDE = EF ∴ 點 A 與 C、D 與 F 關於點 E 對稱。 (第 3 題) A B D C E 1 l 2 l 圖 4-46 F C D B A E

(32)

∴ AD FC (中心對稱的性質) 又 ∵ AD = DB ∴ DB FC ∴ 四邊形 BCFD 是平行四邊形 ∴ DF = BCDE//BC (平行四邊形的對邊平行且相等) ∵ 1 2 DE = DF ∴ 1 2 DE = BC 連結梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線。 梯形中位線定理 梯形的中位線平行於兩底,並且等於兩底 和的一半。 已知: 梯形 ABCD 中, AD//BC 、AM = MBDN = NC (圖 4-47)。 求證: MN // BC 、 1( ) 2 MN = AD+ BC 。 分析: 我們設法利用三角形中 位線定理。連結 AN 並延長,可得△ABE,如果能 證明 N 是 AE 的中點, 那麼就容易證明這個定理。 證明: 連結 AN 並延長,交 BC 的延長線於點 E。 ∵ DN = NCAD CE// ∴ AN = NE (平行線等分線段定理) 在△ABE 中 ∵ AM = MB、 AN = NEMN // BC 、 1( ) 2 MN = BC+CE (三角形中位線定理) 圖 4-47 M C D B A E N

(33)

又 ∵ 點 D 與點 C,點 A 與點 E 關於點 N 對稱 ∴ AD CE= ∴ 1( ) 2 MN = AD+ BC 【例】 求證順次連結四邊形四條邊的中點,所得的四邊形是平 行四邊形。 已知: 如圖 4-48,在四邊形 ABCD 中,E、F、G、 H 分別是 AB、BC、CD、 DA 的中點。 求證: 四邊形 EFGH 是平行四 邊形。 證明: 連結 AC。 又因四邊形 EBCD 是平 ∵ AH = HD、 CG GD= ∴ HG// AC 、 1 2 HG = AC (三角形中位線定理) 同理EF // AC 、 1 2 EF = AC ∴ HG EF 所以四邊形 EFGH 是平行四邊形。

練 習

1. (口答) A、B 兩點被池塘隔開,在 AB 外選一點 C,連結 AC 與 BC,並分 別找出 AC 與 BC 的中點 M、N。如 果測得MN = 20m,那麼 A、B 兩點 間的距離是多少?為什麼? 2. 已知:三角形的各邊分別為 6 cm、 8 cm 與 10 cm,求連結各邊中點所 成三角形各邊的長。 圖 4-48 F C D B A E G H (第 1 題) A B M C N

(34)

練 習

3. 已知: 梯形 ABCD, AD//BC ,對角線 AC、BD 相交於 點 O, A、 B、 C、 D分別是 AO、BO、CO、 DO 的中點。 求證: (1) 四邊形 A B C D′ ′ ′ ′是梯形; (2) 梯形 ABCD 的周長等於梯形 A B C D′ ′ ′ ′周長的 2 倍。 4. (1) 梯形的上底長 8 cm,下底長 9 cm,求中位線長; (2) 梯形的上底長 8 cm,中位線長 9 cm,求下底長。

習 題 十 六

1. 作一條線段,再把它 7 等份。 2. 求證:直角梯形的兩個直角頂點到對腰中點的距離相等。 3. 已知: M、N 分別是

ABCD的邊 AB、CD 的中點,CM 交 BD 於點 E、AN 交 BD 於點 F。 求證: BE = EF = FD

4. 已知: 在△ABC 中,D、E、F 分別是 BC、CA、AB 邊的

中點。 求證: (1) ∠FDE = ∠A(2) 四邊形 AFDE 的周長等於 AB+ AC。 5. 求證:三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分。 6. 已知: 四邊形 ABCD 中,E 是 AB 的中點、F 是 CD 的中 點、G 是 AC 的中點、H 是 BD 的中點,並且 E、F、 G、H 不在同一條直線上。 求證: EF 與 GH 互相平分。 7. 求證:順次連結矩形四邊中點所得的四邊形是菱形。 8. 求證:順次連結菱形四邊中點所得的四邊形是矩形。

(35)

9. 如圖,已知:AA′// EE′、 AB = BC =CD = DEA B′ ′= B C′ ′=C D′ ′ = D E′ ′、 28 AA′ = mm、EE′ = 36mm, 求 BB、 CC、 DD′的長。 10. 已知: 梯形 ABCD 中,AD//BC 、 AB = AD+BC ,M 為 CD 中點。

求證: AM、BM 分別平分 DAB與 CBA∠ 。

11. 在等腰梯形中,已知一角是 45°、高是 h m、中位線長 m m, 求兩底的長。 12. 已知: 如圖,在梯形 ABCD 中,AD//BC ,E、F 分別是 AB、DC 的中點。 求證: 1( ) 2 GH = BCAD 13. 已知△ABC 的三邊長為 a、b、c,三條中位線組成一個新三 角形,新三角形的三條中位線又組成一個三角形,以此類推, 求第四次組成的三角形之邊長。 (第 12 題) (第 13 題) C B A A B D C E F G H (第 9 題) A B D C E ABCDE

(36)

小 結

一、本章主要內容是多邊形、平行四邊形(包括矩形、菱形、 正方形)與梯形的有關知識。 二 、 多 邊 形 的 一 些 有 關 概 念 , 多 邊 形 的 內 角 和 等 於 (n−2) 180i °、外角和等於 360°,這些知識是研究多邊形的邊、 角關係之基礎。 三、幾種特殊的四邊形:平行四邊形(包括矩形、菱形、正方 形)與梯形,是常見的四邊形。 1. 幾種特殊四邊形的關係如圖 4-49: 2. 幾種特殊四邊形的性質: 邊 角 對角線 平行 四邊形 對邊平行且相等 對角相等 兩條對角線互相平分 矩形 對邊平行且相等 四個角都 是直角 兩條對角 線互相平 分 且相 等 菱形 對邊平行、四條 邊都相等 對角相等 兩條對角 線互相垂 直 且平 分,每條對角線平分一組對 角 兩組對邊 分別平行 四邊形 平行 四邊形 矩形 菱形 梯形 正方形 直角 梯形 等腰 梯形 有一個角 是直角 有一組 鄰邊相等 有一個角 是直角 有一組 鄰邊相等 有且僅有一組 對邊平行 兩腰相等 有一個角是 直角 圖 4-49

(37)

正方形 對邊平行、四條 邊都相等 四個角都 是直角 兩條對角 線互相垂 直 平分 且相等,每條對角線平分一 組對角 等腰 梯形 兩底平行、兩腰 相等 同一底上 的兩個角 相等 兩條對角線相等 3. 幾種特殊四邊形的常用判定方法: 平行 四邊形 (1) 兩組對邊分別平行; (2) 兩組對邊分別相等; (3) 一組對邊平行且相等; (4) 兩組對角線互相平分。 矩形 (1) 有三個角是直角; (2) 是平行四邊形,並且有一個角是直角; (3) 是平行四邊形,並且兩條對角線相等。 菱形 (1) 四條邊都相等; (2) 是平行四邊形,並且有一組鄰邊相等; (3) 是平行四邊形,並且兩條對角線互相垂直。 正方形 (1) 是矩形,並且有一組鄰邊相等; (2) 是菱形,並且有一個角是直角。 等腰 梯形 是梯形,並且同一底上的兩個角相等。 四、中心對稱與軸對稱是兩種對稱,它們有一個共同的性 質:即對稱的兩個圖形全等。有一個明顯區別是:關於中心對稱 的兩個圖形中,對應線段平行;而關於軸對稱的兩個圖形中,對 應線段不一定平行。如果一個軸對稱圖形有兩條互相垂直的對稱 軸(例如,矩形、菱形、正方形),那麼它必是中心對稱圖形,這 兩條對稱軸的交點就是它的對稱中心。 五、以平行四邊形為基礎,推出平行線等分線段定理。這個 定理的兩個推論分別是梯形、三角形的中位線之判定定理。 三角形中位線定理:三角形的中位線平行於第三邊並且等於 它的一半,是梯形中位線定理的基礎,由它很容易推出梯形中位 線定理:梯形的中位線平行於兩底並且等於兩底和的一半。

(38)

複習參考題四

1. 求證:四邊形的兩條對角線之和大於周長的一半而小於周長。 2. 一個四邊形的內角都是銳角嗎?能都是直角嗎?能都是鈍角

嗎?為什麼?

3. 四邊形四個內角的比是 1:2:3:4,求各角的度數。 4. 已知:

ABCD中, BAC∠ > ∠CAD

求證: ∠BDC > ∠ADB

5. 已知:

ABCD中,E、F 分別是 AD 與 BC 的中點,AF 與 BE 交於點 G、CE 與 DF 交於點 H。

求證: EF 與 GH 互相平分。

6. 已知:

ABCD的對角線相交於點 O,EF 經過點 O,與

AB 交於點 E、與 CD 交於點 F,G、H 分別是 AO 與 CO 的中點。 求證: 四邊形 EHFG 是平行四邊形。 7. 求證: (1) 等腰三角形底邊上任一點與兩腰的距離之和 等於腰上的高; (2) 等腰三角形底邊延長線上任一點與兩腰的距 離之差等於腰上的高。 8. 求證:如果平行四邊形四個內角的平分線能夠圍成一個四邊 形,那麼這個四邊形是矩形。 9. 已知: 矩形的對角線長 d、一邊長 s ( d > s)。 求作: 矩形。 10.已知: 菱形的周長為 p、一條對角線長 d ( 1 2 d < p)。 求作: 菱形。 11.已知:菱形之周長它的高之 8 倍。求它的各角。 12.從菱形的兩條對角線之交點分別向各邊引垂線。求證:連結 各垂足的四邊形是矩形。

(39)

13.菱形周長為 20 cm,兩鄰角的比為 1:2,求較短的對角線長。 14.菱形周長為 10 cm,一條對角線長為 2.5 cm,求菱形各角的度 數。 15.在已知銳角三角形 ABC 的外面作正方形 ABDE 與正方形 ACFG。求證:(1) BG =CE; (2) BGCE 。 16.在正方形 ABCD 的邊 BC 之延長線上取一點 E,使 CE = AC連結 AE,交 CD 於 F。求 AFC∠ 的度數。 17.已知: E 是正方形 ABCD 內一點, EA= AB = BE。 求證: ∠ECD = ∠EDC = °15 。

18.已知: △ABC 中, ACB∠ = ∠Rt ,四邊形 ACDE 與 CBFG 是在△ABC 外的正方形,△ABC 的高 CH 之反向延

長線交 DG 於點 M。

求證: (1) DG = AB; (2) 1

2

CM = DG

19.已知: O 是

ABCD的對稱中心,EF 與 GH 經過點 O,

EF 分別交 AB、CD 於點 E、F,GH 分別交 AD、

BC 於點 G、H。

求證: 四邊形 EHFG 是平行四邊形。

20.已知: △BEC 與△DFA 是

ABCD外的等邊三角形。 求證: △BEC 與△DFA 是中心對稱圖形。 21.(1) 已知: 四邊形 ABCD 中, AB = DC、 AC = BDADBC求證: 四邊形 ABCD 是等腰梯形。 (第 20 題) A B D C F E

(40)

(2) 如果(1)的題設中沒有 ADBC,那麼四邊形一定是等腰 梯形嗎?為什麼? 22.畫梯形 ABCD,使底 AD = 2cm、底BC = 4cm、∠ = °B 45 、 60 C ∠ = °。 23.如圖,在 AD 的兩側作 ADC∠ = ∠DAB,以 A 與 D 為起點, 分別在 AB 與 DC 上截取 4 條線段,所有線段的長相等,那麼 相應分點的連線把 AD 五等份。為什麼?

24.已知: △ABC 中,∠ = °A 90 ,D、E、F 分別是 BC、CA、 AB 邊的中點。 求證: AD = FE 。 25.已知: E 與 F 分別是

ABCD的邊 AD 與 BC 上的點,並 且 AE = BF ,G 是 AF 與 BE 的交點,H 是 CE 與 DF 的交點。 求證: GH // BC 、 1 2 GH = BC。 26.已知: AD 是△ABC 的中線、E 是 AD 的中點,F 是 BE 的 延長線與 AC 的交點。 求證: 1 2 AF = FC 。 27.已知等腰梯形的中位線長 6 cm、腰長 5 cm,求它的周長。 28.從

ABCD的頂點 A、B、C、D 向形外的任意直線 MN 引垂 線 AA、 BB、CC、 DD,垂足是 A、 B、C、 D′。求證: AA′+CC′ = BB′+ DD′。 C B A (第 23 題) D 1 A A2 A3 A4 1 B B2 B3 B4

(41)

29.求證:梯形對角線中點的連線平行於底,並且等於兩底差的 一半。 30.在△ABC 中,如果 AB =30cm、 BC = 24cm、CA= 27 cm、 AE = EF = FBEG// FD// BC 、FM //EN // AC 。求陰影部 分三個三角形周長的和。 17 世紀初,幾何原本傳入中國。義大利傳教士利瑪竇(Matteo Ricci; 1552 − 1610)來到中國後,與徐光啟(1562 − 1633)於 1606 年將幾何原本前 6 卷的內容譯成中文,1607 年在北平 出版。 Elements 原意是指學科中具有廣泛應用基礎而又重要的定 理,譯成原本甚為恰當。至於幾何二字,有人認為是拉丁文 geometria(即英文中 geometry )的音譯。由於前 6 卷的內容主 要都涉及現今所謂幾何學的內容,而幾何學在此之前,並沒 有在中國出現過,所以利瑪竇與徐光啟就在原本的書名前面 加上幾何二字,以顯示該書的主題。 又有人認為,幾何在漢語中有多少或若干的意思(中國的古算 經中,就常出現問物幾何之類的字眼,即問一共有多少件物 品的意思),所以在這裏,幾何二字是用來表示這書與數學有 關。無論如何,幾何原本四字,就由當時一直流傳,沿用至 今。 (第 30 題) A B D C F E N M G

數據

圖 4-34  圖 4-35  如果一個圖形繞一個點旋轉180° 後,能夠與原圖形互相重 合,也就是圖形與它本身重合。那麼這個圖形叫做中心對稱圖形,這個點就是它的對稱中心。如圖 4-32 中的▱ABCD,O 是AC 與 BD 的交點,因為平行四邊形的對角線互相平分,因此,如果把它繞點 O 旋轉180°,那麼點 A 轉到點 C 的位置,點 C 轉到點 A 位置,同樣,點 B 與點 D 也互換位置,整個圖形仍與原來的圖形重合,所以平行四邊形是中心對稱圖形,兩條對角線的交點是它的對稱中心。  同樣,矩形、菱形、正

圖 4-34

圖 4-35 如果一個圖形繞一個點旋轉180° 後,能夠與原圖形互相重 合,也就是圖形與它本身重合。那麼這個圖形叫做中心對稱圖形,這個點就是它的對稱中心。如圖 4-32 中的▱ABCD,O 是AC 與 BD 的交點,因為平行四邊形的對角線互相平分,因此,如果把它繞點 O 旋轉180°,那麼點 A 轉到點 C 的位置,點 C 轉到點 A 位置,同樣,點 B 與點 D 也互換位置,整個圖形仍與原來的圖形重合,所以平行四邊形是中心對稱圖形,兩條對角線的交點是它的對稱中心。 同樣,矩形、菱形、正 p.22

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