國小高年級公倍數教學之研究

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國立臺中教育大學數學教育學系碩士班碩士論文

指導教授：黃一泓博士

國小高年級公倍數教學之研究

研究生：李慶祥撰

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謝

辭

遙想二十幾年前大學畢業即投入職場，這些年來，再回學校繼續深造的念頭從未消失，但總是畏於種種因素而未能實現。感謝好友相儒這幾年來持續不斷的鼓勵與督促，二年前我終於得償宿願再次入學當研究生。時間過得相當快，轉眼間，二年的研究所生涯即將畫下句點。回首研究所這二年的學習之路，內心激動不已、感動莫名。在本論文即將付梓之際，感謝給予我無限鼓勵與關懷的家人，以及熱心指導與協助的師長們。首先我要感謝指導教授黃博士一泓，這二年來不論是專業知識或求學生活安排，您犧牲寶貴時間、付出關懷與耐心指導，使我從一個對如何進行研究懵懂無知的學生，直至今日能夠撰寫論文。因為有您的陪伴，我才能在研究之路走得平坦順利。接著我要感謝系上所有的教授，在我求學期間的啟發與引導，使我獲益良多，以及系主任林博士原宏的關心與鼓勵，使我在工作之餘能夠安心求學。更要感謝林博士炎全、謝博士闓如、甯博士平獻、易博士正明，給予數學教育專業課程的指導，使我在數學教育的專業上有所提升。再來我要感謝口試委員李博士林滄、林博士冠成對於本論文的審閱與指正，有了您惠賜的許多寶貴意見，使得論文品質更加嚴謹完備。尤其是在口考時，聽到最後一句「恭喜你」，求學種種歷歷在目，心中百感交集難以言喻。最後我要感謝我的家人，有了你們的包容與支持，我才能專心的完成學業。所有的感謝，僅以此論文獻給我的家人、好友與師長們，並期勉自己在數學教育領域更加努力。李慶祥謹誌 2013.01.10

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摘要

本研究旨在瞭解補習班的公倍數教學與參加校外補習學生公倍數之學習成效，分析學校的公倍數教學與學生公倍數之學習成效，進而探討以公倍數解題工具進行分數通分之學習成效。本研究以國小高年級學生為研究對象，研究結論如下：一、參加校外數學補習的五年級學生，大多數在四年級時屬於數學學習成就比較高的學生。二、補習班求最小公倍數的教學，先教短除法再教列表法、質因數分解法。學生在短除法與列表法的學習成效皆高，質因數分解法的學習成效低。三、學校求最小公倍數的教學，五年級教列表法與六年級教短除法。學生在列表法與短除法的學習成效皆高。四、先教列表法再教單列法，能使學生從用乘法找公倍數的概念，轉化成先用乘法找倍數再用除法判準的概念。單列法的教學能提升學生公倍數的概念與學習成效。五、在異分母加法計算的情境下進行通分：無法正確求出最小公倍數的學生，極大多數的學生都放棄作答；能正確求出最小公倍數的學生，無論使用哪一項公倍數解題工具，都能正確的進行通分。六、在異分母加法計算的情境下進行通分：當學生不易察覺異分母的公倍數才會使用短除法；約半數的學生已經將公倍數的概念內化而以乘法直接求得異分母的公倍數，顯示以列表法求公倍數的教學對學生建立公倍數的概念有實質的助益。關鍵字：公倍數、解題工具、通分、補習班、學習成效、學習成就

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Abstract

The purpose of this study is to know cram school's common multiple teaching, and understand student's common multiple learning effectiveness in cram school, analyze school's common multiple teaching, and student's common multiple learning effectiveness in school, investigate learning effectiveness for reduction to common denominator using common multiple as problem-solving instrument.

The object of this study is 5th and 6th graders, conclusion are:

1、Most of the 5th graders that go to cram school have higher achievements in mathematics at their 4th grade.

2、The least common multiple problem solving are taught in a sequence as short division, list method, prime factorization in cram school. The first two methods are more effective than the last one for students.

3、Finding the least common multiple are taught by using list method at 5th grade and short division at 6th grade, Both methods lead to high student's learning effectiveness.

4、First list method and then single row method, let students use multiplication to find common multiple, also can use multiplication to find multiples at first and then judge. Single row method can enhance student's common multiple concepts and learning effectiveness.

5、Reduction to common denominator in the addition of different denominator: Students who cann't calculate the least common multiple correctly will give up to solve; Those who calculate the least common multiple correctly will have

reduction to common denominator successfully by any common multiple as problem-solving instrument.

6、Reduction to common denominator in the addition of different denominator: Students will use short division when they cann't detect common multiple easily; About half of the students using multiplication to obtain common multiple of different denominator directly. List method can help students to establish the concept of common multiple.

Keywords: common multiple, problem-solving instrument, reduction to common denominator, cram school, learning effectiveness, learning achievements

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中文摘要中文摘要中文摘要 中文摘要... I 英文摘要英文摘要英文摘要 英文摘要... II 目次目次目次 目次... III 表目次表目次表目次 表目次... V 圖目次圖目次圖目次 圖目次... VI 第一章第一章第一章第一章緒論緒論緒論 ... 1 緒論第一節研究動機 ... 1 第二節研究目的 ... 4 第三節研究問題 ... 4 第四節名詞釋義 ... 5 第五節研究限制 ... 10 第二章第二章第二章第二章文獻探討文獻探討文獻探討 ... 11 文獻探討第一節國小倍數、公倍數課程 ... 11 第二節校外數學補習 ... 22 第三節公倍數與解題工具 ... 26 第四節異分母分數的通分 ... 33 第三章第三章第三章第三章研究研究研究方法研究方法方法 ... 35 方法第一節研究設計與流程 ... 35 第二節研究對象 ... 41 第三節單列法教學活動設計 ... 43 第四節教材與教師教學分析 ... 46 第五節研究工具 ... 48 第六節資料處理與分析 ... 52 第四章第四章第四章第四章、、、、研究研究研究結果與討論研究結果與討論結果與討論 ... 55 結果與討論第一節公倍數校外補習 ... 55 第二節公倍數解題工具 ... 65 第三節公倍數與通分 ... 69 第五章第五章第五章第五章結論與建議結論與建議結論與建議 ... 79 結論與建議第一節結論 ... 79 第二節建議 ... 85

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參考文獻參考文獻參考文獻 參考文獻... 87 一、中文部分... 87 二、英文部分... 90 附附附附錄錄錄錄... 93 附錄一、紙筆測驗試卷(1)... 93 附錄二、紙筆測驗試卷(2)... 94 附錄三、紙筆測驗試卷(3)... 95 附錄四、紙筆測驗試卷(4)... 96 附錄五、紙筆測驗試卷(5)... 97 附錄六、紙筆測驗試卷(6)... 98 附錄七、參加校外數學補習學生的晤談大綱... 99

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表目次

表 2-1-1 我國自 1962 年以來歷次國小課程修訂 ... 12 表 2-1-2 從 1962 年至 1993 年國小課程標準的倍數、公倍數課程教材綱要 ... 14 表 2-1-3 從 2000 年至 2008 年國小課程綱要的倍數、公倍數課程能力指標 ... 15 表 2-1-4 從 2000 年至 2008 年國小課程綱要的倍數、公倍數課程分年細目 ... 16 表 2-1-5 我國自 1962 年以來編輯國小數學教科書之依據與使用 ... 19 表 2-1-6 我國自 1975 年以來部編本國小數學教科書之公倍數解題工具 ... 21 表 2-3-1 1975 年、2003 年國小部編本之單列法的比較 ... 31 表 3-3-1 教科書原有課程與新增單列法教學的教學目標 ... 44 表 3-4-1 南ㄧ版國小數學高年級教科書教材內容分析 ... 47 表 4-1-1 五年級學生是否參加校外數學補習人數占各學習成就比率統計表 ... 57 表 4-1-2 五年級學生在補習班教學後公倍數之學習成效 ... 64 表 4-2-1 紙筆測驗試卷(2)學生作答率統計表 ... 66 表 4-2-2 紙筆測驗試卷(4)學生作答率統計表 ... 68 表 4-2-3 紙筆測驗試卷(2)、(4)學生作答率分析表 ... 69 表 4-3-1 高年級學生求出兩個整數的最小公倍數統計表 ... 71 表 4-3-2 高年級學生以列表法、短除法、其他方法求出最小公倍數統計表 ... 71 表 4-3-3 高年級學生以公倍數解題工具正確求出最小公倍數統計表 ... 72 表 4-3-4 高年級學生在通分時將分母化為公倍數統計表(ㄧ) ... 74 表 4-3-5 高年級學生在通分時將分母化為公倍數統計表(二) ... 75 表 4-3-6 高年級學生以哪一項公倍數解題工具進行通分統計表(一) ... 76 表 4-3-7 高年級學生以哪一項公倍數解題工具進行通分統計表(二) ... 77

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圖目次

圖 3-1-1 各階段的研究流程 ... 36 圖 3-1-2 第一階段研究期程 ... 38 圖 3-1-3 第二階段研究期程 ... 39 圖 3-1-4 第三階段研究期程 ... 41 圖 3-3-1 教學目標 5-2 的教學例題... 45 圖 3-3-2 教學目標 5-3 的教學例題... 45 圖 3-3-3 教學目標 5-4 的教學例題... 46 圖 4-1-1 五年級學生是否參加校外數學補習人數與學習成就高低關係圖 ... 56

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第一章緒論

本章分為五節：第一節為研究動機；第二節為研究目的；第三節為研究問題；第四節為名詞解釋；第五節為研究範圍與限制。

第一節研究動機

國內小學階段的數學教育，教師與學生使用數學教科書進行數學課程的教與學。國內的國小數學教科書在1996年以前由國家編輯並全國統一使用，自1996 年起開放民間出版社編輯，出版社依據教育部頒定的課程標準或課程綱要編輯教科書，屬於一綱多本的型式，因此目前國內的國小數學教科書同時存在數種不同版本由學校選用。為了規範數學教科書編輯的內容，教育部(2003)頒布的國民中小學課程綱要明定能力指標、分年細目與分年細目詮釋之內容，應為教師教學及教科書編輯的主要參考依據。國民中小學教科用書應依據課程綱要編輯，並依法由審查機關(單位)審定通過後，由學校選用。目前國內國小高年級數學教科書依據教育部(2003)頒布的國民中小學課程綱要進行編輯。以公倍數這個主題而言，課程綱要內容在五年級用列表的方式尋找兩數的公倍數，六年級最小公倍數的初步教學，以列舉觀察為主，待學童熟悉其意義後，再介紹短除法。所以目前國內國小數學教科書在五年級有公倍數的教學，以列表的方式作為求公倍數的解題工具，在六年級才有最小公倍數的教學，以列表的方式及短除法作為解題工具。但是教育部(2008)頒布的國民中小學課程綱要，將最小公倍數的初步教學移至五年級，仍然以列舉觀察為主，待六年級時再介紹短除法。目前教育部規劃(2008)頒布的國民中小學課程綱要從100學年度開始由小學一年級逐年實施，因此五年級的學生應可從104學年度開始使用依據教育部(2003)頒布的國民中小學課程綱要進行編輯的國小數學教科書。以國小公倍數解題工具為例，依據教育部(1975)頒定的課程標準所編輯的部編本國小數學教科書有列表的方式也有短除法作為最小公倍數解題工具，但是依

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據教育部(1993)頒定的課程標準所編輯的部編本國小數學教科書只有列表的方式卻沒有短除法，現行國小數學教科書依據教育部(2003)頒定的課程綱要所編輯，在五年級以列表的方式進行公倍數教學，六年級則先以列表的方式初步認識最小公倍數，再以短除法求最小公倍數。劉好(1986)指出有意義的學習加上學習遷移才是完全的學習，一般國小學童很不容易了解以短除法求最小公倍數的原理。謝堅(1998)指出短除法的原理牽涉到算術基本定理，國小的學童不易理解，如果教師認為只讓學童知道如何使用短除法，而不要求學童瞭解這種方法的原理，在教學上並沒有困難。因此，專家學者認同以列表的方式進行最小公倍數的教學，但是以短除法進行最小公倍數的教學則有所疑慮。求兩個整數的公倍數是異分母分數在進行通分的先備知識，異分母分數的大小比較以及加減計算都需要先進行通分，顯示公倍數教學對分數通分的重要性。教科書公倍數課程最常出現短除法與列表的方式作為公倍數解題工具，教師公倍數教學也以這二項公倍數解題工具為主，但是這二項公倍數解題工具的教學，對於學生建立公倍數的概念之學習成效為何，對於學生進行分數通分之學習成效為何，皆有待驗證。國小學生參加校外數學補習在我國有日益普遍的趨勢，參加校外數學補習的原因非常多：家長除了需要有人可以陪伴孩子，也期待孩子能學的更多學的更好；孩子除了自己的高成就動機所趨使，大多數都是聽從家長的規劃。由於國小數學補習與學校所教的數學課程大致雷同，所以當補習的學生在學校數學考試成績有提升，大多數家長與學生總認為是因為參加校外數學補習的結果，而非學校教師教學的緣故，然而當學生在學校學習同時也在校外補習時，通常無法釐清學生成績提高究竟是補習班教學或是學校教學的成效。以目前國小高年級學生參加校外補習所學習的數學課程而言，學生可以提早學習學校尚未教過的課程，也可以多學會幾種和學校不同的解題方法，因此參加校外補習的學生通常比沒有補習的學生擁有提早學習或學習時間長，甚至已經學會的優勢。

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綜合以上各方面的論述，有三個的現象值得思考：(1)我國歷經數次國小課程修訂，國小數學教科書內容亦隨之更迭，最適合我國的國小公倍數課程為何； (2)短除法與列表的方式這二項公倍數解題工具的教學，對於學生建立公倍數的概念與進行通分之學習成效為何；(3)國小學生參加校外數學補習日益普遍，對學生學習的影響為何？除了上述三個值得思考的現象，目前國內使用的國小數學的公倍數課程是依據教育部(2003)頒定的課程綱要，有四個問題常引發教師的討論：(1)在五年級以列表的方式同時進行公倍數與最小公倍數的教學甚為合理，為何目前使用的國小數學教科書要等到六年級才教最小公倍數；(2)求最小公倍數或是進行分數通分，以列表的方式與短除法之學習成效為何；(3)國小學生參加校外補習日益普遍，五年級學生在校外補習學習短除法，但是學校課程沒有短除法，因此教師在五年級時是否可以引入短除法；(4)國小學童不易理解以短除法求最小公倍數，但是在國小課程仍有短除法求最小公倍數的教學，這樣的課程安排似乎是認為短除法在國小階段只須了解如何使用，而不需了解其意義。總體而論，首先我們以五年級公倍數課程探討補習班的教學與學生的學習；其次，目前國內國小數學課程在五年級以列表的方式求公倍數，在六年級以列表的方式與短除法求最小公倍數，除了這二項公倍數解題工具，是否有其他公倍數解題工具能夠協助五年級學生不需學習短除法就能加快解題的速度，進而提升學生公倍數概念之學習成效；再來，最小公倍數應在五年級進行教學，或是應在六年級進行教學，也須進一步研究；最後，我們想知道短除法與列表的方式這二項公倍數解題工具的教學，對於高年級學生求得兩個整數的最小公倍數之學習成效為何？對於高年級學生在進行分數通分時，採用哪些公倍數解題工具，也是本研究須進一步探討的議題。

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第二節研究目的

基於上述研究動機，本研究分三個階段進行研究：(1)第一階段在學校進行公倍數課程教學前實施，以參加校外數學補習的國小五年級學生為研究對象，並以補習班所經常使用的公倍數解題工具探討補習班的公倍數教學與學生公倍數之學習成效；(2)第二階段在國小五年級學生已學會以列表的方式(列表法)求得兩個整數的公倍數後，再實施研究者選用之公倍數解題工具(單列法)的教學，並探討學生公倍數之學習成效；(3)第三階段在學生學習公倍數、最小公倍數、通分、異分母分數加法的課程後實施，以五、六年級學生為研究對象，探討學生求兩個整數的最小公倍數所使用之解題工具，並藉由異分母分數加法計算的情境下探討以公倍數解題工具進行分數通分之學習成效。本研究目的在於透過上述三個階段的研究結果，瞭解國小高年級公倍數教學與國小高年級學生公倍數之學習成效。其具體目的分述如下：ㄧ、以公倍數解題工具探討補習班的公倍數教學與學生公倍數之學習成效。二、探討國小五年級學生以列表的方式(列表法)與研究者選用之公倍數解題工具(單列法)求兩個整數的公倍數之學習成效。三、探討國小高年級學生求兩個整數的最小公倍數所使用之公倍數解題工具與以公倍數解題工具進行分數通分之學習成效。

第三節研究問題

基於上述研究目的，分別提出幾個研究問題分述如下：

ㄧ、以公倍數解題工具探討補習班的公倍數教學與學生公倍數之學習成效。 (一)探討學生學習成就與參加校外數學補習的關係為何？ (二)探討補習班在國小五年級公倍數教學所使用之解題工具為何？ (三)探討國小五年級學生在補習班教學後公倍數之學習成效為何？

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二、探討國小五年級學生以列表的方式(列表法)與研究者選用之公倍數解題工具(單列法)求兩個整數的公倍數之學習成效。 (一)探討國小五年級學生以列表法求兩個整數的公倍數之學習成效為何？ (二)探討國小五年級學生以單列法求兩個整數的公倍數之學習成效為何？三、探討國小高年級學生求兩個整數的最小公倍數所使用之公倍數解題工具與以公倍數解題工具進行分數通分之學習成效。 (一)探討國小高年級學生求兩個整數的最小公倍數所使用之解題工具為何？ (二)探討國小高年級學生在異分母加法計算情境下進行通分之學習成效為何？ (三)探討國小高年級學生在進行通分時將分母化為兩個異分母的最小公倍數或其他公倍數？ (四)探討國小高年級學生使用哪一項公倍數解題工具進行通分？

第四節名詞釋義

為便於本研究之分析與討論，以下僅就研究中涉及之重要名詞進行解釋與界定如下：

一

一、

、

、國小高年級學生

國小高年級學生

本研究之國小高年級學生是指國小五、六年級學生，就讀學校使用依據教育部(2003)頒定的國民中小學九年一貫課程綱要所編輯國小數學教科書，由南一書局企業股份有限公司於2010、2011出版(南一版)。

二

二、

、

、公倍數

公倍數

公倍數、

、

、最小公倍數

、

最小公倍數

南一版(2011)數學五上教科書的備課指引指出公倍數是以探討ㄧ個指定整數有哪些倍數為基礎，可以繼續探討兩個整數有哪些相同或共同的倍數問題。這些相同或共同的倍數叫作公倍數，而公倍數的範圍受限於倍數有無限多個，例

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如：3的倍數有3、6、9、12、15…因此公倍數的範圍也是無限的，ㄧ般依需要由小至大列出，再取所指定的個數，如：2和3的公倍數由小至大找出三個。如：2 的倍數有2、4、6、8、10、12、14、16、18…，3的倍數有3、6、9、12、15、18…， 2和3的公倍數即為6、12、18。教育部(2003)頒布的國民中小學課程綱要指出一整數乙為兩個以上的整數的倍數時，乙稱為這些數的公倍數。在所有正公倍數中最小者稱為最小公倍數。本研究之公倍數、最小公倍數是指兩個整數的公倍數、最小公倍數。本研究對象所使用之數學教科書在五年級上學期有公倍數課程，六年級上學期有最小公倍數課程。

三

三、

、

、公倍數解題工具

公倍數解題工具

陳竹村(2001)指出對於某一問題而言，所謂的「解題工具(problem-solving instrument)」是指解題者可用以解決該問題的相關知識，包括概念及概念表徵，而數學語言中的算式即是概念表徵。甯平獻(2010)指出所謂工具，是指協助人類完成某特定活動的某個特定存有(beings)，在有目標導向(goal-oriented)的前提下，只要是協助活動目標達成的存有，就是工具。本研究之公倍數解題工具是指可用於求出兩個整數的公倍數或最小公倍數的方法。本研究對象在學校所使用的南一版數學教科書，在五年級以列表的方式為主要的公倍數解題工具，在六年級以短除法為主要的公倍數解題工具。本研究中所出現的公倍數解題工具有列表的方式(列表法)、短除法、質因數分解法、兩個整數直接相乘的方法(相乘法)、研究者選用之公倍數解題工具(單列法)。分述如下： (一)列表的方式(列表法) 教育部(2003)頒布的國民中小學課程綱要分年細目「5-n-03能理解因數、倍數、公因數與公倍數」的詮釋內容指出用列表的方式，尋找兩數的公因數與公倍數。具體作法舉例如下：

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題目：請由小到大依序寫出3個4和6的公倍數。解題：4的倍數有4、8、12、16、20、24、28、32、36…… 6的倍數有6、12、18、24、30、36、42、48…… 答案：4和6的公倍數有12、24、36。 (二)短除法教育部(2003)頒布的國民中小學課程綱要分年細目「6-n-02能認識兩數的最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，理解最大公因數、最小公倍數的計算方式，並能將分數約成最簡分數」的詮釋內容指出最小公倍數的初步教學，以列舉觀察為主，待學童熟悉其意義後，再介紹短除法。具體作法舉例如下：題目：找出4和6的最小公倍數。解題： 2 4 , 6 2 , 3 2×2×3＝12 答案：12是4和6的最小公倍數。 (三)質因數分解法教育部(2003)頒布的國民中小學課程綱要標準用語與解釋：是質數又是某數的因數，稱為某數的質因數；判別一數或一數以上的因數時只寫出除數和商，並不詳細運算除法過程，若除數皆為質數，其過程即稱為質因數分解。具體作法舉例如下：題目：找出4和6的最小公倍數。解題：4＝ 2 × 2 6＝ 2 × 3 2×2×3＝12 答案：12是4和6的最小公倍數。

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(四)兩個整數直接相乘的方法(相乘法) 教育部(2003)頒布的國民中小學課程綱要分年細目「5-n-03能理解因數、倍數、公因數與公倍數」的詮釋內容指出學童應知道兩整數的乘積一定是此兩數的公倍數。具體作法舉例如下：題目：請寫出1個4和6的公倍數。解題： 4×6＝24 答案：24是4和6的公倍數。 (五)研究者選用之公倍數解題工具(單列法) 本研究由研究者從依據教育部(1975)頒定的課程標準所編輯的部編本國小數學教科書，選用單列法這項解題工具進行實驗。單列法的使用方式：能先用乘法由小到大依序找出一個整數的倍數，每次只找出一個倍數，再用除法判斷這個倍數是否為另一個整數的倍數，若整除，則這個倍數就是兩個整數的公倍數。具體作法舉例如下：題目：請由小到大依序寫出3個4和6的公倍數。解題：(1)先用乘法算出6的1倍(6×1＝6)是6，再用除法檢查6是不是4的倍數？ 6÷4沒有整除，6不是4的倍數。因此6不是4和6公倍數。 (2)先用乘法算出6的2倍(6×2＝12)是12，再用除法檢查12是不是4的倍數？ 12÷4沒有整除，12是4的倍數。因此12是4和6公倍數。 (3)按照步驟(1)(2)的方式先算出6的倍數再檢查是不是4的倍數， 6×3＝18，18÷4＝4…2，18不是4和6的公倍數。 6×4＝24，24÷4＝6，24是4和6的公倍數。 6×5＝30，30÷4＝7…2，30不是4和6的公倍數。 6×6＝36，36÷4＝9，36是4和6的公倍數。答案：4和6的公倍數有12、24、36。

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四

四、

、

、補習

補習

補習班

班

本研究之補習班是指研究對象在五年級時所參加的校外數學補習班，區分二種類型：(1)數學補習班，以學生將於六年級下學期參加私立中學入學測驗或國中資優班入學測驗為教學目的，同年級的學生集中成班由教師在班級中提供教學，教學內容比學校多且加深加廣；(2)數學安親班，就是上數學課的安親班，同年級的學生集中成班由教師在班級中提供教學，教學內容與學校雷同，但數學題目的練習與測驗多。

五

五、

、

、通分

通分

教育部(2003)頒布的國民中小學課程綱要分年細目「5-n-05能用通分作簡單異分母分數的比較與加減」的詮釋內容指出通分是利用約分或擴分，將兩異分母的分數，變成兩同分母之等值分數後，再來做兩同分母分數的比較與加減。在小學應以簡單異分母為教學重點，所謂「簡單」係指兩分母滿足以下情況之一：(1) 分母均為一位；(2)一分母為另一分母的倍數；(3)乘以2、3、4、5就可以找到兩分母之公倍數(例如兩分母為12與18)。本研究之通分是指國小高年級學生在異分母分數加法計算的情境下所進行的通分。

六

六、

、

、學習成效

學習成效

本研究之學習成效，分二類：(1)學生能表達公倍數的概念並使用乘、除法即能求出公倍數；(2)學生能使用公倍數解題工具進行解題並成功解題。學生能使用公倍數解題工具進行解題並成功解題，分二類：(1)學生能使用任何一項公倍數解題工具進行解題並成功解題；(2)學生能使用指定的公倍數解題工具進行解題並成功解題。如果學生能成功解題，但是卻無法寫出或無法說出計算過程，則視為沒有達到學習成效。

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七

七、

、

、學習成

學習成

學習成就

就

本研究探討學生學習成就與參加校外數學補習的關係為何？此學習成就是指本研究對象的五年級學生在四年級時，其數學學期總平均成績在班級內的排名。學習成就依據成績高低排名分為四個分組，依序分為高分組、中高分組、中低分組、低分組。

第五節研究限制

本研究以臺中市西屯區某國小144位五、六年級學生為研究對象，該校位於臺中市政府辦公廳舍附近，屬於都會區的小型學校。本研究主要以國小高年級公倍數課程為研究範圍，但仍涉及學生參加校外數學補習、分數的通分課程、異分母分數加法計算課程、學校教師授課內容和數學教科書內容有所差異等因素的干擾，因此本研究為排除干擾因素或界定研究假設、方法、目的，於是分三個階段進行研究，各階段參與研究人數不一，研究結果應視相關因素是否與本研究相符合再進行適當的推論，不宜做過度推論。尤其第三階段研究的研究對象有先學列表法再學短除法，也有先學短除法再學列表法，因此本研究得到的結論，並不能據以推論列表法、短除法學習先後順序對學生的公倍數概念是否會有影響。

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第二章文獻探討

本章共分為四節：第一節說明國小倍數、公倍數課程的演化過程，旨在介紹我國歷經數次國小課程修訂，國小數學教科書內容也隨之更替，作為本研究之基礎；第二節說明國小學生參加校外數學補習日益普遍，對學生在學校的學習產生影響；第三節探討公倍數、公倍數解題工具相關研究；第四節為說明異分母分數的通分，探討公倍數與分數通分的關係，作為研究討論的參考。 

第一節國小倍數、公倍數課程

Howson,Keitel 與 Kilpatrick(1981)將課程區分成 intended curriculum、 implemented curriculum 與 achieved curriculum 三類。甯自強(1998)引用上述學者的論點提出課程可以區分成學者專家企圖的課程、教師真正實施的課程與學生的實際課程成就三類。陳秉筠、梁淑坤(2008)指出課程的定義有三：分別是意圖課程、實施課程和達成課程(Robitaille ＆ Garden, 1989)。就以上三類課程以我國國小數學課程發展為例：意圖課程就是學者專家企圖的課程(intended curriculum)包括教育部頒布的課程標準或課程綱要與國小數學教科書；實施課程就是教師真正實施的課程(implemented curriculum)是指教師的教學，原則上由國小教師與學生按照國小數學教科書的內容進行教與學，但亦有部份國小教師依自己的經驗進行教學；達成課程就是學生的實際課程成就 (achieved curriculum)是指學生的學習成就，目前在我國並無任何具公信力的機構針對學生的學習進行全國性普測，只有由國家教育研究院建置之臺灣學生學習成就評量資料庫(Taiwan Assessment of Student Achievement,簡稱 TASA)於 2005 年針對小六學生，於 2006 年起針對小四、小六、國二、高中二及高職二之學生進行全國性的抽測。施測之科目從 2005 年開始進行國語、英語、及數學三科之成就評量，至 2009 年起進行成就評量之科目涵蓋國語文、英語文、數學、自然、社會領域（不含小四英語文及社會）五科(國家教育研究院，2012)。

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在我國，國小數學課程由教育部頒布的課程標準或課程綱要所規範，課程標準或課程綱要是編輯國小數學教科書的主要參考依據，國小數學教科書的內容則提供教師與學生進行國小數學課程的教與學。以下以教育部歷年來頒布的課程標準或課程綱要以及由教育部編輯的部編本國小數學教科書兩方面來探討我國在國小倍數、公倍數課程的演化過程。

一

一、

、

、教育部頒布的課程標準或課程綱要

教育部頒布的課程標準或課程綱要

我國歷經數次國小課程修訂，自 1962 年至 1993 年歷經四次修訂的國小課程名稱都以「課程標準」命名(以下簡稱 1962 年國小課程標準、1968 年國小課程標準、1975 年國小課程標準、1993 年國小課程標準)，自 2000 年至 2008 年歷經三次修訂的國小課程名稱都以「九年一貫課程綱要」命名(以下簡稱 2000 年國小暫行綱要、2003 年國小課程綱要、2008 年國小課程綱要)。我國自 1962 年以來歷次國小課程修訂，如表 2-1-1：表 2-1-1 我國自我國自我國自我國自 1962196219621962 年以來歷次國小課程修訂年以來歷次國小課程修訂年以來歷次國小課程修訂年以來歷次國小課程修訂頒布時間課程修訂名稱 1962 國民學校修訂課程標準 1968 國民小學暫行課程標準 1975 國民小學課程標準 1993 國民小學課程標準 2000 國民中小學九年一貫課程暫行綱要 2003 國民中小學九年一貫課程綱要 2008 國民中小學九年一貫課程綱要資料來源資料來源資料來源資料來源：修改自陳秉筠(2008)。台灣小學數學課程標準的沿革台灣小學數學課程標準的沿革台灣小學數學課程標準的沿革台灣小學數學課程標準的沿革：：：以數與計算為：以數與計算為以數與計算為以數與計算為初探初探初探初探(碩士論文)(頁 39-40)。

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2000 年國小暫行綱要以能力指標來呈現各階段應實施課程的教材，並以能力指標詮釋來呈現應實施課程的教學活動、指標或是教學目標…等內容。能力指標係依主題及階段學習能力而訂定，能力指標闡釋則包含與階段能力指標有關教學活動、指標或活動的說明、舉例…等內容(國民中小學九年一貫課程暫行綱要， 2000)。 2003 年、2008 年國小課程綱要仍然是以能力指標來呈現各階段應實施課程的教材，但是卻以分年細目來呈現各年級應實施課程的教材，另外以分年細目詮釋來呈現各年級應實施課程的教學活動、指標或是教學目標…等內容。能力指標係依主題及階段學習能力而訂定，然因多數指標須採分年進階式教學方能達成其教學目標，因此，由階段能力指標演繹出更細緻的分年細目及詮釋，以利分年進階式教學進度目標的明確掌握(國民中小學九年一貫課程綱要，2003，2008)。分析 1968 年國小課程標準、1975 年國小課程標準、1993 年國小課程標準：發現 1968 年、1975 年國小課程標準，以教材綱要來呈現各年級應實施課程的教材。但是 1993 年國小課程標準，先以分段目標規範低、中、高年級應實施課程的教材，再以教材綱要來呈現各年級課程的教材；同時也發現 1968 年、1975 年、 1993 年國小課程標準，並沒有針對各年級應實施課程的教學活動、指標或活動的說明、舉例以及教學進度目標…等內容。綜合以上論述，自 1968 年至 2008 年歷次修訂的國小課程標準或課程綱要，我們發現可以從「教材規範」以及「教學規範」這兩方面來探討國小課程的演化過程。教材規範方面所指的是屬於各階段或各年級應實施課程的教材；教學規範方面所指的是針對各階段或各年級應實施課程的教學活動、指標、舉例以及教學進度目標。倍數、公倍數在國小課程中屬於同一類的課程，而且因為因數與倍數的概念是相對的，所以國小課程標準或課程綱要將因數與倍數編在同一個課程的教材，因此我國的國小倍數、公倍數課程並不會單獨出現在國小課程標準或課程綱要，而是包含在因數與倍數課程裡。以下探討國小倍數、公倍數課程的教材規範與教

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學規範，皆會同時出現因數與倍數課程的教材與教學。 (一) 倍數、公倍數課程的教材規範方面：陳秉筠(2008)比較我國歷次修訂的國小課程標準或課程綱要，指出 1962 年國小課程標準沒有因數與倍數課程，1968 年國小課程標準才出現因數與倍數課程。分析自 1968 年至 2008 年歷次修訂的國小課程標準或課程綱要，發現我國自 1968 年國小課程標準開始出現因數與倍數課程，至今都仍然將因數與倍數列為國小高年級課程，因此倍數、公倍數課程當然也列為國小高年級課程。我國從 1962 年至 1993 年國小課程標準以教材綱要來呈現各年級應實施課程的教材。以國小倍數、公倍數課程的教材規範方面為例，我國從 1962 年至 1993 年國小課程標準的倍數、公倍數課程教材綱要，如表 2-1-2：表 2-1-2 從從從 從 1962 年至年至 1993 年年至年至年年國小年國小國小課程標準的國小課程標準的課程標準的倍課程標準的倍倍數倍數、數數、、公、公公倍數課程公倍數課程倍數課程教材綱要倍數課程教材綱要教材綱要教材綱要課程標準教材綱要 1962 年國民學校修訂課程標準無倍數、公倍數課程 1968 年國民小學暫行課程標準教材綱要(六年級)：整數之約數與倍數。 1975 年國民小學課程標準教材綱要(五年級)：因數、倍數。術語與符號：因數、倍數、公因數、質數、合數、公倍數。 1993 年國民小學課程標準分段目標(高年級)：認識因數、公因數、倍數及公倍數。教材綱要(五年級)：因數、倍數、公因數、公倍數的認識。術語與符號：因數、倍數、公因數、公倍數。資料來源資料來源資料來源資料來源：教育部(1968)。國民小學國民小學國民小學國民小學暫行暫行暫行課程暫行課程課程標準課程標準標準。臺北市：教育部。標準教育部(1975)。國民小學課程國民小學課程國民小學課程國民小學課程標準標準標準。臺北市：正中書局。標準教育部(1993)。國民小學課程國民小學課程國民小學課程國民小學課程標準標準標準標準。臺北市：台捷國際文化實業股份有限公司。

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我國從 2000 年至 2008 年國小課程綱要以能力指標來呈現各階段應實施課程的教材。以國小倍數、公倍數課程的教材規範方面為例，我國從 2000 年至 2008 年國小課程綱要的倍數、公倍數課程能力指標，如表 2-1-3：表 2-1-3 從從從 從 2000 年至年至 2008 年年至年至年年國小年國小國小課程國小課程綱要課程課程綱要綱要的綱要的的倍的倍數倍倍數、數數、、公、公倍數課程公公倍數課程倍數課程能力指標倍數課程能力指標能力指標能力指標課程綱要階段能力指標 2000 年國民中小學九年一貫暫行綱要六、七年級： N-3-18 能察覺整數的因數、倍數、公因數、公倍數。 2003 年國民中小學九年一貫課程綱要四、五年級： N-2-04 能理解因數、倍數、公因數與公倍數。六、七年級： N-3-02 能理解最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，並用來將分數約成最簡分數。 2008 年國民中小學九年一貫課程綱要五、六年級： N-3-03 能理解因數、倍數、公因數與公倍數。 N-3-05 能認識最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，並用來將分數化成最簡分數。資料來源資料來源資料來源資料來源：教育部(2000)。國民中小學九年一貫課程國民中小學九年一貫課程國民中小學九年一貫課程國民中小學九年一貫課程暫行暫行暫行暫行綱要綱要綱要。臺北市：教育部。綱要教育部(2003)。國民中小學九年一貫課程綱要國民中小學九年一貫課程綱要國民中小學九年一貫課程綱要國民中小學九年一貫課程綱要。臺北市：教育部。教育部(2008)。國民中小學九年一貫課程綱要國民中小學九年一貫課程綱要國民中小學九年一貫課程綱要國民中小學九年一貫課程綱要。臺北市：教育部。我國 2003 年、2008 年國小課程綱要以能力指標來呈現各階段應實施課程的教材，以分年細目來呈現各年級應實施課程的教材。2000 年國小暫行綱要僅有以能力指標來呈現各階段應實施課程的教材，但是卻沒有以分年細目來呈現各年級應實施課程的教材。以國小倍數、公倍數課程的教材規範方面為例，我國從 2000 年至 2008 年國小課程綱要的倍數、公倍數課程分年細目，如表 2-1-4：

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表 2-1-4 從從從 從 2000 年年至年年至至至 2008 年年年國小年國小課程國小國小課程課程綱要課程綱要綱要的綱要的倍的的倍倍數倍數數、數、、公、公倍數課程公公倍數課程倍數課程分年細目倍數課程分年細目分年細目分年細目課程綱要年級分年細目 2000 年國民中小學九年一貫暫行綱要六、七年級：無分年細目 2003 年國民中小學九年一貫課程綱要五年級： 5-n-03 能理解因數、倍數、公因數與公倍數。六年級： 6-n-02 能認識兩數的最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，理解最大公因數、最小公倍數的計算方式，並能將分數約成最簡分數。 2008 年國民中小學九年一貫課程綱要五年級： 5-n-04 能理解因數和倍數。 5-n-05 能認識兩數的公因數、公倍數、最大公因數與最小公倍數。六年級： 6-n-02 能用短除法求兩數的最大公因數、最小公倍數。資料來源資料來源資料來源資料來源：教育部(2000)。國國國國民中小學九年一貫課程民中小學九年一貫課程民中小學九年一貫課程民中小學九年一貫課程暫行暫行暫行暫行綱要綱要綱要。臺北市：教育部。綱要教育部(2003)。國民中小學九年一貫課程綱要國民中小學九年一貫課程綱要國民中小學九年一貫課程綱要國民中小學九年一貫課程綱要。臺北市：教育部。教育部(2008)。國民中小學九年一貫課程綱要國民中小學九年一貫課程綱要國民中小學九年一貫課程綱要國民中小學九年一貫課程綱要。臺北市：教育部。 (二) 倍數、公倍數課程的教學規範方面：課程的教學方面所指的是針對各階段或各年級應實施課程的教學活動、指標、舉例以及教學進度目標。我國從 1962 年至 1993 年國小課程標準，並沒有針對各年級應實施課程的教學方面的相關內容。 2000 年國小暫行綱要以能力指標的闡釋來呈現各年級應實施課程的教學。以國小倍數、公倍數課程的教材規範方面為例，2000 年國小暫行綱要能力指標的闡釋並無任何說明(空白)。 2003 年、2008 年國小課程綱要以分年細目詮釋來呈現各年級應實施課程的教學。以國小倍數、公倍數課程的教材規範方面為例，依照 2003 年、2008 年國小課程綱要將分年細目詮釋分述如下：

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2003 年國小課程綱要與倍數、公倍數有關的分年細目有 5-n-03 與 6-n-02，其分年細目詮釋分述如下： 5-n-03 能理解因數、倍數、公因數與公倍數。分年細目詮釋：以 1-n-07（幾個一數），2-n-08（九九乘法），3-n-04(除法)為前置經驗，理解因數、倍數的概念。用列表的方式，尋找兩數的公因數與公倍數。學童應知道兩整數的乘積一定是此兩數的公倍數。 6-n-02 能認識兩數的最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，理解最大公因數、最小公倍數的計算方式，並能將分數約成最簡分數。分年細目詮釋：最大公因數、最小公倍數的初步教學，以列舉觀察為主，待學童熟悉其意義後，再介紹短除法，計算兩數的最大公因數與最小公倍數，數目大小原則參見 6-n-01。兩數的最大公因數是 1 稱為互質。注意區辨互質與質數的不同。例如 14 與 15 雖然都是合數，但兩者互質。 2008 年國小課程綱要與倍數、公倍數有關的分年細目有 5-n-04、5-n-05 與 6-n-02，其分年細目詮釋分述如下： 5-n-04 能理解因數和倍數。分年細目詮釋：以 1-n-07(幾個一數)，2-n-08(九九乘法)，3-n-05(除法)為前置經驗，理解因數、倍數的概念。五年級安排本細目與 5-n-05，目標在於協助學童做分數約分、擴分、通分之計算，而非整數內在關係的理論(六年級題材)，因此數字大小應配合分數之教學(5-n-07)。學生應學習基本的因數判別法，其中 2、5、10 較容易，3 的因數判別法則由教師告知，11 暫不需要教學。

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5-n-05 能認識兩數的公因數、公倍數、最大公因數與最小公倍數。分年細目詮釋：用列表的方式，尋找兩數的公因數、公倍數、最大公因數、最小公倍數。學童應知道兩整數的乘積一定是此兩數的公倍數，此可用於分數之通分。五年級時，只是初步認識這些概念，學生只需用列表解題。短除法算則則在六年級配合因數之短除法一起教學(6-n-02)。 6-n-02 能用短除法求兩數的最大公因數、最小公倍數。分年細目詮釋：最大公因數、最小公倍數的初步教學，以列舉觀察為主，熟悉其意義 (5-n-05)。本細目則更進一步以 6-n-01 求質因數的短除法經驗，發展以短除法計算兩數最大公因數與最小公倍數的方法，數目大小原則參見 6-n-01。學童應在過程中觀察到互質的意義(6-n-03)。小學只處理兩個數的最大公因數和最小公倍數。由以上論述可得知，我國自 1968 年國小課程標準出現倍數、公倍數課程至今，仍然將倍數、公倍數列為國小高年級課程。自 1968 年以來歷次國小課程標準或課程綱要，從教材綱要、能力指標、分年細目至分年細目詮釋，將倍數、公倍數課程目標、教學題材、教學年段規範的越來越具體，說明的越來越詳盡。

二

二、

、

、教育部編輯的部編本國小數學教科書

教育部編輯的部編本國小數學教科書

周祝瑛(2003)指出立法院在 1994 年 6 月 9 日通過「教育部應於二年內全面開放審定本教科書，審定標準由教育部定之」，隔年二月教育部宣布由民國八十五年（1996）起民間出版社可以參與編寫國小主要科目教科書。我國的國小數學教科書在 1996 年以前由國家編輯並全國統一使用，自 1996 年起開放民間出版社編輯，出版社依據教育部頒定的課程標準或課程綱要編輯教科書，屬於一綱多本的型式，因此目前國內的國小數學教科書同時存在數種不同版本由學校選用。為了規範數學教科書編輯的內容，教育部(2003)頒布的國民中

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小學九年一貫課程綱要明定能力指標、分年細目與分年細目詮釋之內容，應為教師教學及教科書編輯的主要參考依據。國民中小學教科用書應依據課程綱要編輯，並依法由審查機關(單位)審定通過後，由學校選用。我國自 1962 年以來編輯國小數學教科書之依據與使用，如表 2-1-5：表 2-1-5 我國自我國自我國自 我國自 1962 年以來年以來年以來編輯年以來編輯編輯國小數學教科書編輯國小數學教科書之依據國小數學教科書國小數學教科書之依據之依據與使用之依據與使用與使用與使用編輯國小數學教科書之依據國小數學教科書 1962 年國民學校修訂課程標準教科書由國家編輯，全國統一使用部編本。 1968 年國民小學暫行課程標準教科書由國家編輯，全國統一使用部編本。 1975 年國民小學課程標準教科書由國家編輯，全國統一使用部編本。 1993 年國民小學課程標準開放民間出版社編輯，民編本與部編本並行。 2000 年國民中小學九年一貫課程暫行綱要開放民間出版社編輯，有民編本、無部編本。 2003 年國民中小學九年一貫課程綱要開放民間出版社編輯，民編本與部編本並行。 2008 年國民中小學九年一貫課程綱要開放民間出版社編輯，有民編本、無部編本。綜合以上論述，國小數學教科書的編輯要依據教育部頒定的課程標準或課程綱要，而我國使用的國小數學教科書大致分為民編本與部編本。我國自1993年至 2008年歷經四次國小課程修訂，民間出版社都有依據1993年、2000年、2003年、 2008年國小課程標準或課程綱要分別編輯出四個不同的民編本國小數學教科書，但是由國家編輯的部編本國小數學教科書卻只有依據1993年國小課程標準以及2003年國小課程綱要編輯的部編本，並沒有依據2000年、2003年國小課程綱要編輯的部編本。

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以下僅以依據1975年國小課程標準、1993年國小課程標準、2003年國小課程綱要分別編輯的三個不同的部編本國小數學教科書內容來探討國小課程的演化過程(以下簡稱1975年國小部編本、1993年國小部編本、2003年國小部編本)。 1975 年、1993 年國小部編本，皆以課程標準的教材大綱為編輯的基礎，由教科書編輯群自行展現課程的教學目標、學習內容、教學策略於教科書的內容。 2003 年國小部編本則受限於課程綱要能力指標、分年細目與分年細目詮釋的規範，以及依法由審查機關(單位)審定通過後，由學校選用的規定，教科書編輯者大多只能依據課程綱要進行編輯。教育部歷次頒定的國小課程標準或課程綱要都有相同的課程，但是相同的課程卻不一定都安排在相同的年級進行教學。以國小公倍數課程為例，1975年國小部編本安排在五年級上學期進行教學，1993年國小部編本安排在五年級下學期進行教學，2003年國小部編本分別安排在五年級上學期與六年級上學期進行教學。大致相同的是上述三個不同的國小部編本的公倍數課程皆在高年級進行教學，而且其教學目標也大致相同，皆包含公倍數、最小公倍數。教育部歷次頒定的國小課程標準或課程綱要都有相同的課程，但是相同的課程卻不一定都有相同的教學內容。就國小公倍數課程內容而言，上述三個不同的國小部編本，只有1975年國小部編本有兩個整數、三個整數的公倍數與最小公倍數的教學，另外二個不同的國小部編本只有兩個整數的公倍數與最小公倍數的教學。教育部歷次頒定的國小課程標準或課程綱要都有相同的課程，但是相同的課程卻不一定都將相同的解題工具編輯在教科書中讓教師進行教學。以國小公倍數解題工具為例，上述三個不同的國小部編本的內容雖然都以「一整數甲為兩個整數的倍數時，甲稱為這兩個整數的公倍數」作為學生初步認識公倍數的教學，但是接續其後的公倍數解題工具卻有極大的差異。

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以下就短除法、列表的方式(列表法)、兩個整數直接相乘的方法(相乘法)、先求一數的倍數再判斷是否為另一數的倍數的方法(單列法)、質因數分解法等公倍數解題工具，分析三個不同的國小部編本以哪些公倍數解題工具進行教學。我國自1975年以來部編本國小數學教科書之公倍數解題工具，如表2-1-6：表 2-1-6 我國自我國自我國自 我國自 1975 年以來年以來年以來年以來部編本國小數學教科書之公倍數解題工部編本國小數學教科書之公倍數解題工部編本國小數學教科書之公倍數解題工具部編本國小數學教科書之公倍數解題工具具具解題工具國小數學教科書項目使用說明 1975 1993 2003 短除法用短除法求兩數的最小公倍數。 ˇ ˇ 列表法先用乘法由小到大依序找出兩個整數的倍數，再將相同的倍數圈起來就是兩個整數的公倍數。 ˇ ˇ ˇ 相乘法先將兩數相乘，得到的乘積就是兩數的公倍數。 ˇ ˇ ˇ 質因數分解法先分別將兩數質因數分解，再求出兩數的最小公倍數。 ˇ ˇ 單列法先用乘法由小到大依序(每次一個)找出一數的倍數，再用除法判斷這個倍數是否為另一數的倍數，若整除，則這個倍數就是兩數的公倍數。 ˇ 先用乘法找出一個整數在一定範圍內的所有倍數，再用除法判斷這些倍數是否為另一數的倍數，若整除，則這些倍數就是兩數的公倍數。 ˇ 註註註註：1975、1993、2003 為依據 1975 年、1993 年、2003 年課程標準或課程綱要所編輯的部編本國小數學教科書。ˇ表示教科書有該項公倍數解題工具。資料來源資料來源資料來源資料來源：國立編譯館(1987)。國民小學國民小學國民小學國民小學數學數學數學數學課本課本第課本課本第第第九九九九冊冊冊冊。臺北市：國立編譯館。國立編譯館(2001)。國民小學國民小學國民小學國民小學數學數學數學數學課本課本第課本課本第第第十十十十冊冊冊冊。臺北市：國立編譯館。國家教育研究院籌備處(2010)。國民小學國民小學國民小學國民小學數學數學數學數學課本課本課本課本第第第第九九冊九九冊冊冊、、、、第第十一第第十一十一十一冊冊冊冊。新北市：國家教育研究院籌備處。

(30)

由以上論述可得知，我國的國小數學教科書自 1996 年起開放民間出版社編輯，出版社依據教育部頒定的課程標準或課程綱要編輯教科書，屬於一綱多本的型式，因此目前國內的國小數學教科書同時存在數種不同版本由學校選用。為了規範數學教科書編輯的內容，教育部(2003)頒布的國民中小學九年一貫課程綱要明定能力指標、分年細目與分年細目詮釋之內容，應為教師教學及教科書編輯的主要參考依據。以國小公倍數課程為例，雖然三個不同的國小部編本的公倍數課程安排在五上或五下或六上，但是大致上公倍數課程皆在高年級進行教學，而且其教學目標也大致相同，皆包含公倍數、最小公倍數。就國小公倍數課程內容而言，三個不同的國小部編本，只有 1975 年國小部編本有三個整數的公倍數與最小公倍數的教學。以國小公倍數解題工具為例，上述三個不同的國小部編本內容所使用的公倍數解題工具有極大的差異，2003 年國小部編本的公倍數解題工具最少。

第二節校外數學補習

國小學生參加校外數學補習在我國有日益普遍的趨勢，以目前國小高年級學生參加校外補習所學習的數學課程而言，學生可以提早學習學校尚未教過的課程，也可以多學會幾種和學校不同的解題方法，因此參加校外補習的學生通常比沒有補習的學生擁有提早學習或學習時間長，甚至擁有已經學會的優勢。如果提高學習成效是學生參加校外補習的主要目的之ㄧ，以數學學習成效而言，由於國小數學補習與學校所教的數學課程大致雷同，所以當補習的學生在學校數學考試成績有提升，大多數家長與學生總認為是因為參加校外數學補習的結果，而非學校教師教學的緣故。然而當學生在學校學習同時也在校外補習時，通常無法釐清學生成績提高究竟是補習班教學或是學校教學的成效，因此除了認同補習有助於提升學生成績外，也不能忽略學校教學對學生成績的幫助。

(31)

以下分別就補習班的類型，以及補習對於學生學習相關研究進行探討：

一

一、

、

、補

補

補習

習

習班的類型

習

班的類型

補習及進修教育法第三條：補習及進修教育區分為國民補習教育、進修教育及短期補習教育三種；凡已逾學齡未受九年國民教育之國民，予以國民補習教育；已受九年國民教育之國民，得受進修教育；志願增進生活知能之國民，得受短期補習教育。第六條：短期補習教育，由學校、機關、團體或私人辦理，分技藝補習班及文理補習班二類。目前國小學生參加的校外數學補習班、安親班屬於文理補習班。教育部委託高雄市政府教育局設計直轄市及各縣市短期補習班資訊管理系統，該資訊管理系統統計近十年全國文理類補習班數量(2003 年 4580 家，2004 年 4319 家，2005 年 5239 家，2006 年 6243 家，2007 年 7237 家，2008 年 8163 家，2009 年 8940 家，2010 年 9779 家，2011 年 10405 家，2012 年 10485 家)。從 2003 年至 2012 年逐年增多，其數量快速成長達 2.3 倍。該資訊管理系統統計近十年臺中市文理類補習班數量(2003 年 553 家，2004 年 633 家，2005 年 787 家，2006 年 938 家，2007 年 1111 家，2008 年 1284 家，2009 年 1444 家，2010 年 1594 家，2011 年 1691 家，2012 年 1705 家)。從 2003 年至 2012 年逐年增多，其數量快速成長達 3 倍。由上述資料顯示，補習班加數成長多。

國中學生校外數學補習以文理補習班為主，國小學生校外數學補習的類型繁多。謝如山(2001)研究指出國小學生校外數學安親班區分三種類型：(1)私人家教，ㄧ對ㄧ教學；(2)補習班，老師在班級中提供教學；(3)安親班，老師在班級中只提供場地安至學生，但不提供教學。洪茂原(2009)研究將指出國小學生校外數學安親班限定在數學補習班或家教班的數學課業補習活動，不包含才藝補習。林宜臻、林沂昇(2007)研究引述林宜臻(2006)調查國小四、五年級的學童中，曾經參與上數學課的安親班、數學補習班、珠心算班、數學家教等課外數學相關活動者高達 57.1％。

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由上述相關研究顯示，對於國小學生所參加的校外數學補習類型應有明確的規範，以避免在進行學生參加校外補習與學生學習的相關性研究時，發生將補習班、珠心算班或家教等不同類型補習對學生學習的影響混為一談的現象。本研究之補習班是指研究對象在五年級時所參加的校外數學補習機構，區分為二種類型：(1)數學補習班，以學生將於六年級下學期參加私立中學入學測驗或國中資優班入學測驗為教學目的，同年級的學生集中成班由教師在班級中提供教學，教學內容比學校多且加深加廣；(2)數學安親班，就是上數學課的安親班，同年級的學生集中成班由教師在班級中提供教學，教學內容與學校雷同，但數學題目的練習與測驗多。

二

二、

、

、補習

補習

補習對於

對於

對於學生學習相關研究

對於

學生學習相關研究

兒童福利聯盟公布 2009 年台灣兒童課後照顧概況調查報告，發現國內高達 7 成 4 的孩子放學後要上安親班或補習班，其中有 4 成以上的孩子要待到晚上 7、 8 點後才能離開。講義雜誌調查 2 千多位小三到小六學生，2012 年 2 月 21 日公佈 2012 年小朋友幸福大調查，發現調查發現 7 成 2 小朋友有參加校外補習。林宜臻、林沂昇(2007)研究指出由不少學者（吳齊殷、章英華，2004；許綺婷，2002；林宜臻，2006；黃雪萍，2002；陳昭輝，2004；許綺婷，2002）的相關論文之結果顯示，目前國中小學學生補習的比例仍高，科目以數學為最多。國內有關學生參加校外補習的研究，在探討補習與教育成就方面，蔡婉玲 (2010)研究指出在大多數的研究中，補習不論是對於教育年數或者學業成績，都有正向的作用。蔡婉玲(2010)研究指出不少學者（陳順利，2001；楊肅棟，2002；許綺婷，2002；黃雪萍，2002；張芳全，2006；黃國清、吳寶貴，2006；林大森、陳憶紛，2006；郭淑娟，2007；巫有鎰，2007；吳登坤，2008；柯巨航，2008； Ju-shan Hsieh，2001）的研究都發現補習有助於提升學生學業成績。

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雖然有如此多的學者的研究發現補習有助於提升學生學業成績，但是學生參加校外補習不僅需要花費金錢，也必須投入更多的時間學習學校尚未教的課程。如果已經在補習時學會了學校尚未教的課程，等到學校進行該課程的教學時，學生在教室應如何自處呢？林宜臻、林沂昇(2007)研究提出補習對學生的數學學習雖有所助益，但也有其不利因素之影響，因此，家長與學生在考慮是否參加補習時，除了考慮家庭經濟的因素外，亦需考量學生的學習狀況與意願，避免讓學生產生學習壓力及負擔，造成學習的反效果。國內有關國小學生參加校外補習的研究，謝如山(2001)對台北市國小三到六年級學生進行數學學習成就的研究，研究結果指出高年級學生參加數學補習班的學習成就比中年級學生高，中年級學生參加數學補習班的學習成就與學生的上課意願成正比。學生參加安親班的學習成就比參加數學補習班高。洪茂原(2009)對屏東縣國小高年級學生進行數學態度與數學學習策略影響之研究，研究結果指出參加校外數學補習的高年級學生，其數學態度與數學學習策略皆顯著優於未參加補習者。補習年數較長的學生，在數學態度與數學學習策略上皆顯著由於補習年數較短者。每周補習時數「2-6」小時對學生數學態度與數學學習策略的提升有顯著影響。補習班人數「11-30」人對學生數學態度的提升有顯著影響。由上述多位學者的研究結果發現，補習對國小學生的數學學習雖有助益，但也存在著補習類型、學生年齡、學生意願、學生數學成績的差異、補習時數、補習班人數等因素而有所不同。綜合上述相關研究結果顯示，大多數在探究補習與學生數學成績關係的研究，數學成績的測量大多採用自製測驗試卷，也有採用包含數個教學單元的學校月考，然而學生在學校學習同時也在校外補習，因此這些測驗通常無法釐清學生成績究竟是補習班或是學校的成效。若要探究補習班的教學對於學生學習的影響，則應排除學校教學的因素，如此才能取的較為可信的研究結果。

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第三節

公倍數與解題工具

目前國內國小高年級數學教科書依據教育部(2003)頒布的國民中小學課程綱要進行編輯。以公倍數這個主題而言，課程綱要內容在五年級用列表的方式尋找兩數的公倍數，六年級最小公倍數的初步教學，以列舉觀察為主，待學童熟悉其意義後，再介紹短除法。因此目前國內國小數學教科書在五年級以列表的方式進行公倍數教學，六年級則先以列表的方式初步認識最小公倍數，再以短除法求最小公倍數。雖然五年級並沒有短除法的教學，但是當學生能正確且快速的求得兩個整數的最小公倍數，則能加快分數通分及加減時的計算速度，但是使用列表的方式求最小公倍數過程繁瑣速度慢，於是許多教師在違背國小課程規劃下讓學生在五年級學習短除法。由於我國歷經數次國小課程修訂，國小數學教科書內容亦隨之更迭，再加上國小學生參加校外數學補習日益普遍，補習對學生的學習也產生重大的影響。目前國內國小數學的公倍數課程有四個問題常引發教師的討論：(1)在五年級以列表的方式同時進行公倍數與最小公倍數的教學甚為合理，為何要等到六年級才教最小公倍數；(2)求最小公倍數或是進行分數通分，以列表的方式與短除法之學習成效為何；(3)國小學生參加校外補習日益普遍，五年級學生在校外補習學習短除法，但是學校課程沒有短除法，因此教師在五年級時是否可以引入短除法； (4)國小學童不易理解以短除法求最小公倍數，但是在國小課程仍有短除法求最小公倍數的教學，這樣的課程安排似乎是認為短除法在國小階段只須了解如何使用，而不需了解其意義。以下分別就公倍數相關研究、公倍數解題工具相關研究以及列表法與單列法三個方面進行探討：

國小高年級公倍數教學之研究

國立臺中教育大學數學教育學系碩士班碩士論文

指導教授：黃一泓 博士