SS分析應用於時間文字題之研究－以國小五年級學童為例－

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(1)國立臺中教育大學數學教育學系國小教師在職進修教學碩士班碩士論文. 指導教授：胡豐榮. 博士. SS 分析應用於時間文字題之研究－以國小五年級學童為例－. 研究生：廖淑禎. 撰. 中華民國ㄧ ○ 一年六月.

(2) 誌. 謝. 終於到了這一刻，回想兩年來的研究所進修時光，同時要兼顧學業、教職及家庭實在辛苦，還好有許多人的協助與鼓勵，才能享受甜美果實，如今的我內心充滿了喜悅與感恩的心情。首先，感謝指導教授胡豐榮博士於百忙中，對我悉心的指導與督促，適時給予我寶貴的建議並指引我正確的研究方向，使我的論文得以順利完成。感謝口試委員許天維院長及辛俊德教授的審閱指導，提供許多精闢細膩的指正，使得本論文更臻完整。感謝甯平獻老師、陳鉪逸老師、林原宏老師、謝闓如老師、黃ㄧ泓老師及陳中川老師在課堂上的諄諄教導，老師們豐富的學識涵養與堅持，使我對數學領域有更深一層的認知。求學的過程中，每每在遭遇瓶頸而徬徨猶豫時，感謝巍元、培洲、品靜、秀雲、玉菁等同窗好友們相互扶持及傾訴，由於這群好同學們的陪伴，讓我兩年的學習之旅充滿了溫馨歡樂的回憶。感謝我摯愛的家人爸爸、媽媽、公公、婆婆以及先生，在我為進修忙碌時，總是默默的幫助、包容及體諒我，你們是支持我前進的動力來源，讓我可以無後顧之憂的完成學業。最後，謹以誠摯的心，向所有幫助我成長的人表達最深的謝意。. 廖淑禎謹誌中華民國一○一年六月. i.

(3) SS 分析應用於時間文字題之研究－以國小五年級學童為例－摘. 要. 本研究旨在應用 SS 分析法，探討國小五年級學童在時間文字題的概念結構，並分析學童解題時常犯的錯誤類型與原因。本研究以臺中市某國民小學五年級一班學童為研究對象，研究者自編一份時間文字題試卷，藉由 SS 分析法對施測結果進行分析並形成結構圖，以探討國小五年級學童在時間文字題的概念結構，並根據施測及晤談結果，分析學童解題時常犯的錯誤類型及原因。本研究結果如下：壹、時間文字題之 SS 分析ㄧ、學童先具備「無進退位」的概念，才能理解「有進退位」的概念。二、在無進退位時間文字題方面，學童的概念發展是先具備解分秒文字題的能力，才能解日時及時分文字題。此外，學童在加法、減法、乘法及除法的概念發展沒有固定順序。三、在有進退位時間文字題方面，學童的概念發展是先具備解分秒文字題的能力，才能解日時及時分文字題。此外，有進退位除法文字題為此份自編測驗之最上位概念，有進退位的加法、減法及乘法文字題為下位概念且其概念發展沒有固定順序。貳、學童在解時間文字題的錯誤類型及原因：一、10 進位系統的影響。二、24 進制與 60 進制會互相干擾。三、解題策略錯誤。四、時間化聚換算錯誤。五、運算計算錯誤。六、時間除法運算困難。七、粗心的答題態度。關鍵字：SS 分析法、時間文字題、概念結構、錯誤類型 ii.

(4) A Study of Time Word Problems by Using Semantic Structure Analysis for Fifth Grade Students Abstract The purpose of this study was to apply the semantic structure (SS) analysis to research the concept structure of time word problems for fifth grade students and analyse their error patterns and causes when they solved the problems. The participants in this study are a class of fifth grade primary students in Taichung City. First, the researcher developed a test on time word problems. Second, she analyzed the test outcome by the semantic structure analysis, and then drew the structure figure. Finally, she explored the concept structure of time word problems for fifth grade students. Another purpose was to analyse the error patterns and causes based on the results of written test and interviews. The results were as follows: 1. Semantic Structure analysis of time word problems （1） The students first have to equip them selves with the concept of “non-carry over calculation” in order to understand the concept of “carry over calculation”. （2） The respect of “non-carry over calculation”, students tended to attain the ability to solve word problems about the conversion of the system between “second” and “minute” before they can solve word problems about convering the systems not only between “hour” and “day”, but also between “minute” and “hour”. Moreover, they did not have a fixed sequence of concept development in addition, subtraction, multiplication and division. （3）The respect of “carry over calculation”, students tended to attain the ability to solve word problems about the conversion of the system between “second” and “minute” before they can solve word problems about convering the systems not only between “hour” and “day”, but also between “minute” and “hour”. Moreover, the problems of division with carry over calculations were the upmost concept of this examination, the problems of addition, subtraction and multiplication with carry over calculations were the lower concepts and these concepts did not have a fixed sequence of concept development. 2. The error patterns and causes presented by students in solving time word problems included as follows: （1） The interference with the decimal system; （2） The mutual interference on the conversion of the systems between 24-base and 60-base; （3） The wrong strategy of resolution;（4） The incorrect conversion of time units; （5） The wrong operation;（6） The difficulties of division calculation;（7）The careless attitude towards resolving questions. Keywords：Semantic structure analysis, time word problems, concept structure, error patterns iii.

(5) 目次第一章. 緒論. 第一節研究動機. 1. 第二節研究目的與待答問題. 3. 第三節名詞釋義. 3. 第四節研究範圍與限制. 4. 第二章. 文獻探討. 第一節 SS 分析法. 5. 第二節時間概念探討. 9. 第三節時間文字題的相關研究. 17. 第四節國小時間概念的課程綱要及教材內容分析. 22. 第三章. 研究方法. 第一節研究架構. 29. 第二節研究對象. 30. 第三節研究工具. 30. 第四節研究流程. 40. 第五節資料處理. 41. 第四章. 研究結果與分析. 第一節時間文字題之 SS 分析. 47. 第二節學童在解時間文字題的錯誤類型及原因. 66. 第五章. 結論與建議. 第一節結論. 79. 第二節建議. 81. 參考文獻中文部分. 85. 日文部份. 87. 英文部分. 87. 附錄附錄一國小五年級學童時間文字題測驗試卷. 89. 附錄二國小五年級學童時間文字題測驗專家審核問卷. 93. iv.

(6) 表次表 2-1-1. 學生得分統計表. 7. 表 2-4-1. 九年一貫課程綱要時間概念能力指標與分年細目對照表. 23. 表 2-4-2. 不同類別時間概念與九年一貫正式綱要分年細目對照表. 24. 表 2-4-3. 時間概念發展層次與九年一貫正式綱要分年細目對照表. 27. 表 2-4-4. 部編版時間概念教材分析. 28. 表 3-3-1. 時間文字題試卷內容架構. 32. 表 3-3-2. 時間文字題計分方式. 33. 表 3-3-3. 時間文字題命題雙向細目表. 35. 表 3-3-4. 預試試卷之 Cronbach’s α 信度分析. 36. 表 3-3-5. 預試試卷之難易度及鑑別度分析. 37. 表 3-3-6. 時間文字題試卷第 5 題之新舊試題內容對照. 37. 表 3-3-7. 正式施測試題內容. 38. 表 3-5-1. 正式試卷之 Cronbach’s α 信度分析. 41. 表 3-5-2. 正式試卷之試題難易度及鑑別度分析. 43. 表 3-5-3. 試題關聯順序性係數ㄧ覽表. 45. 表 3-5-4. 試題關聯順序性係數 0-1 矩陣表. 46. 表 4-1-1. 「加法」時間文字題試題內涵與平均得分. 49. 表 4-1-2. 「減法」時間文字題試題內涵與平均得分. 51. 表 4-1-3. 「乘法」時間文字題試題內涵與平均得分. 53. 表 4-1-4. 「除法」時間文字題試題內涵與平均得分. 56. 表 4-2-1. 時間文字題錯誤類型之人數統計表. 67. 表 4-2-2. 「10 進位系統的影響」錯誤解題舉例及晤談內容. 68. 表 4-2-3. 「24 進位受 60 進位影響」錯誤解題舉例及晤談內容. 69. 表 4-2-4. 「60 進位受 24 進位影響」錯誤解題舉例及晤談內容. 71. v.

(7) 表 4-2-5. 「解題策略錯誤」錯誤解題舉例及晤談內容. 72. 表 4-2-6. 「化聚換算錯誤」錯誤解題舉例及晤談內容. 74. 表 4-2-7. 「運算計算錯誤」錯誤解題舉例及晤談內容. 75. 表 4-2-8. 「時間除法運算困難」錯誤解題舉例及晤談內容. 76. 表 4-2-9. 「粗心的答題態度」錯誤解題舉例及晤談內容. 77. vi.

(8) 圖次圖 2-1-1. 試題 Ij 與 Ik 得分雙向細目表分析圖. 6. 圖 2-1-2. SS 分析之圖. 8. 圖 3-1-1. 研究架構圖. 29. 圖 3-3-1. 時間概念圖. 31. 圖 3-4-1. 研究流程圖. 40. 圖 4-1-1. 「加法」時間文字題 SS 分析之圖. 49. 圖 4-1-2. 「減法」時間文字題 SS 分析之圖. 52. 圖 4-1-3. 「乘法」時間文字題 SS 分析之圖. 54. 圖 4-1-4. 「除法」時間文字題 SS 分析之圖. 57. 圖 4-1-5. 「加法與減法」時間文字題 SS 分析之圖. 59. 圖 4-1-6. 「乘法與除法」時間文字題 SS 分析之圖. 61. 圖 4-1-7. 「無進退位」時間文字題 SS 分析之圖. 63. 圖 4-1-8. 「有進退位」時間文字題 SS 分析之圖. 65. vii.

(9) 第一章緒論時間與學童的生活密切相關，培養學童建立時間概念及善用時間的能力，不但符合九年一貫課程強調「帶著走」的基本能力，而且使學童更能掌握人生努力的方向。時間概念對學童的學習是很重要的，但ㄧ些學者的研究發現，學童對於時間概念的學習存在許多困難，因此，本研究之目的為藉由編製ㄧ份時間文字題試卷，探討學童在時間文字題的概念結構發展情形，並透過晤談了解學童解時間文字題時常犯的錯誤類型及可能原因。本章共分為四節，第一節為研究動機；第二節為研究目的與待答問題；第三節為名詞釋義；第四節為研究範圍與限制。. 第一節. 研究動機. 我國九年一貫課程綱要與美國數學教師協會（ National Council of Teachers of Mathematics, 簡稱 NCTM）均將解題視為數學教育的主要課題（教育部，2003；NCTM, 2000）。由於數學的學習注重循序累進的邏輯結構(教育部，2008)，因此概念理解是數學解題的必要條件，學童在學習數學的過程中，往往會運用先前學會的概念來建立新的數學概念，教師進行課程設計及教學活動時，若能配合學童概念結構的發展，將能提升學童數學學習的成效，使教學發揮最佳效益。在數學課程中，數與量的學習具有主要地位，其概念的形成與演算能力的培養均奠基於國小階段，若缺乏正確的量概念，將造成解題的困難（教育部，2008；劉秋木，1996）。九年一貫課程數學領域中，量的學習包含長度、重量、容量、時間、角度、面積、體積等生活中常用的七種量，除了時間量之外，其餘六種屬於幾何(視覺)量，在教學時可以依賴學生的幾何經驗，因此較為容易。時間量是ㄧ種抽象的量，它無法實際碰觸，鍾靜(1994)提出時 1.

(10) 間是工具量，九年一貫課程綱要亦闡述時間量的學習，和重複規律計時的標準器械之使用，具有密切的關係，時間概念的學習在國小數學課程中具有獨特性及重要性。根據一些研究發現，學童在處理時間問題上，存在著許多困難及迷思，胡豐榮的研究(1995)指出國小五年級學童在進數結構概念的學習成效普遍不佳。呂玉琴、譚寧君(1996)亦指出一般學生在時間的化聚概念較為不足，從單名數化成複名數表現較佳，反之從複名數聚成單名數則表現較差。陳孟吟、劉好(2006)的研究提出，國小五年級學童容易因為不熟練時間的進位制度，且因不清楚進位與退位如何處理，而導致在進行時間等量關係換算或解複名數加、減、乘、除問題時發生計算錯誤。在研究者十年的任教經驗中，發現由於時間的抽象性，讓低年級學童難以掌握其量感；由於時間的計算，牽涉到時間複雜的進制與數的10進制，讓高年級學童在單位換算上產生困擾，時間概念無論在教師教學上或學生學習上都呈現許多困難，這些教學經驗讓研究者產生了研究動機。基於上述理由，研究者將編製ㄧ份時間文字題試卷，並採用日本學者竹谷誠教授所提出之意味結構分析法（Semantic structure analysis, 簡稱SS分析法）對多點計分的時間文字題施測結果進行分析，藉以了解國小五年級學童時間文字題的概念結構發展情形，並透過與學童晤談，探討學童解題時常犯的錯誤類型及原因，期盼研究結果能提供教師在教學設計及補救教學時的參考。. 2.

(11) 第二節. 研究目的與待答問題. 根據上述的研究動機，本研究擬設計一份優良的時間文字題試卷，藉由 SS 分析法，將施測結果繪製成時間概念 SS 分析之圖，以探討國小五年級學童在時間文字題的概念結構，並透過訪談的方式，探討學童解題時常犯的錯誤類型及原因，以作為教師進行教學設計及補救教學時的參考。本研究之目的如下：ㄧ、應用 SS 分析法，探討國小五年級學童時間概念結構之發展順序。二、了解國小五年級學童在解時間文字題時常犯的錯誤類型與錯誤原因。依據研究目的，本研究之待答問題如下：一、國小五年級學童時間文字題之概念結構發展為何？二、國小五年級學童在解時間文字題時常犯錯誤類型與錯誤原因為何？. 第三節. 名詞釋義. 壹、SS 分析法 SS 分析法是由日本心理計量學者竹谷誠教授於 1987 年所提倡，此法主要在改良 Guttman(1944)量尺分析法（Scalogram analysis, SA 法）及 Lingoes(1963)多重尺度分析法（Multiple scalogram analysis, MSA 法），提出利用意味結構分析法（Semantic structure analysis, 簡稱 SS 分析法）將態度方面的問卷資料繪製成階層結構圖，再利用此階層結構圖來解釋並分析態度方面的問卷資料（竹谷誠，1987；Takeya, 1999）。SS 分析法除了應用於問卷之調查分析，經過改善之後，也能應用於多點計分診斷測驗（胡豐榮， 2001）。貳、國小五年級學童本研究之國小五年級學童係指於九十六學年度進入國小就讀ㄧ年級，其. 3.

(12) 所接受的數學教材是依據教育部民國九十二年公佈的國民中小學九年一貫正式課程綱要所編製，並且已接受五年級上學期部編版數學教材中「時間」單元之教學。參、時間文字題本研究根據施測學校的教材版本，將施測試題以不同「運算類型」、有無「進退位」及不同「時間進制」加以分類，先以不同「運算類型」區分為複名數加法、減法、乘法及除法文字題四種類型，再依計算時有無「進退位」區分，最後依不同「時間進制」細分成「日和時」、「時和分」和「分和秒」三類，共細分成 24 類複名數時間文字題。. 第四節. 研究範圍與限制. 本研究是以國小五年級學童為研究對象，利用 SS 分析法，探討學童在時間文字題的概念結構，並分析學童解題時常犯的錯誤類型與原因。茲將研究範圍與限制分成研究對象、研究內容及研究設計，分述如下：壹、就研究對象而言本研究因受限於人力、時間、經費等因素，係以研究者任教之臺中市某國民小學五年級一個班級的學生為研究對象，樣本以原來班級建制進行研究。本研究之結果可供教師作為了解五年級學童時間概念發展歷程的參考，但研究之結果不適合做普遍性的推論。貳、就研究內容而言本研究探討的內容只限於九年一貫課程數學領域之四年級和五年級時間概念的學習。參、就研究設計而言由於研究方法的限制，研究結果之推論只適用於類似的教學情境，不適合過度解釋或推論於不同教學情境。 4.

(13) 第二章文獻探討本研究主要探討國小五年級學童在時間文字題的概念結構，並分析學童解題時常犯的錯誤類型與原因，為釐清相關概念，研究過程中不斷的進行文獻探討，本章將相關文獻分成四節說明，第一節探討 SS 分析法；第二節為時間概念探討；第三節為時間文字題的相關研究；第四節為國小時間概念的課程綱要及教材內容分析，分別闡述如下。. 第一節 SS 分析法壹、SS分析法的發展 SS 分析法是由日本心理計量學者竹谷誠教授於 1987 年所提倡，此法主要在改良 Guttman(1944)量尺分析法（Scalogram analysis, SA 法）及 Lingoes(1963)多重尺度分析法（Multiple scalogram analysis, MSA 法），提出利用意味結構分析法（Semantic structure analysis, 簡稱 SS 分析法）將態度方面的問卷資料繪製成階層結構圖，再利用此階層結構圖來解釋並分析態度方面的問卷資料（竹谷誠，1987；Takeya, 1999）。 SS 分析法是假設受試者有 N 位，每個試題有 m 個等第分數，將第 j 題至第 k 題本質同於再現性（Reproducibility, 簡稱 Rep）之係數 rjk 定義為（竹谷誠，1991）： m 1. m.   (q  r ) N. jk. rjk＝1－其中 N. jk. ( q, r ). r 1 q  r 1. N (m  1). ( q , r )表示第 j 題得 q 分且第 k 題得 r 分的學生人數，在固定. 兩試題 j、k 之情況下，計算出係數 rjk 後，再根據 rjk 之值的大小決定試題 j 與試題 k 之間是否有順序關聯。竹谷誠教授依據資料模擬的結果，計算出係數 rjk 之值若大於或等於一閥值 0.93 時，則試題 j、k 幾近滿足「若 xj.＞xk. 5.

(14) 則 xjl ＞xkl，  l＝1,2,…,n；若 xj. ＝ xk. 則 xjl＞xkl」之條件，表示為： Ij → Ik  rjk  0.93 其中 xj.＝. 1 n 1 n x ，x ＝ jl k.  xkl ，n 表示試題總數。  n l 1 n l 1. SS 分析法除了應用於問卷之調查分析，經過改善之後，也能應用於多點計分診斷測驗（胡豐榮，2001）。係數 rjk 公式的由來，主要是根據固定兩個試題後，再分析雙向細目表而來，以本研究之自編測驗五點計分為例，固定測驗試題 j 與試題 k 之得分雙向細目表後，可得到 25 個組合，如圖 2-1-1 所示，即（1,1），（1,2），…，（1,5），（2,1），（2,2），…，（2,5），…，（5,1），（5,2），…，（5,5），這 25 個組合為試題 j 與試題 k 之得分雙向細目表，每個組合代表一個細格，第 k 題得 q 分且第 j 題得 r 分的細格( q , r )學生人數為 Nk j ( q , r )，若試題 j 到試題 k 有順序關聯時，最佳情況為試題 k 的得分比試題 j 得分高的人數均為零的情形，即： Nk j( q , r )= 0,  q＞r。亦即為圖 2-1-1 塗色部分之人數均為零的情形。試題 Ij 1. 2. 3. 4. 5. 1 2 試. 3. 題 4 Ik 5 圖 2-1-1 試題 Ij 與 Ik 得分雙向細目表分析圖根據數學推導，SS 分析法具有 MSA 所列之基準性質，因為計算容易，能分析 Reproducibility 之值低的資料，因此本研究採用 SS 分析法來分析試卷施測結果 (楊世仁、林瑞雪、陳佑誠、胡豐榮、許天維，2008)。. 6.

(15) 貳、SS 分析法的理論在進行SS分析法前，先以下例來說明SS分析法如何將測驗試題之間的順序關係解讀出來。學者辛俊德與胡豐榮（2003）假設有A、B兩班學生，每班各有十位，均參加同ㄧ份試卷之測驗，試卷上有五個試題，每一試題以五點計分，A、 B兩班學生之得分情形如表2-1-1所示：表2-1-1 學生得分統計表 A班. 試題1. 試題2. 試題3. 試題4. 試題5. 總分. B班. 試題1. 試題2. 試題3. 試題4. 試題5. 總分. 學生1. 5. 5. 5. 4. 4. 23. 學生1. 5. 5. 4. 5. 4. 23. 學生2. 5. 5. 4. 4. 4. 22. 學生2. 5. 4. 5. 2. 5. 21. 學生3. 5. 4. 4. 4. 3. 20. 學生3. 5. 3. 5. 2. 5. 20. 學生4. 5. 4. 4. 3. 3. 19. 學生4. 5. 5. 2. 4. 2. 18. 學生5. 5. 4. 3. 3. 2. 17. 學生5. 5. 5. 2. 3. 1. 16. 學生6. 4. 3. 2. 2. 2. 14. 學生6. 4. 4. 2. 3. 1. 14. 學生7. 4. 3. 2. 2. 1. 12. 學生7. 4. 2. 4. 2. 1. 13. 學生8. 3. 2. 2. 2. 1. 10. 學生8. 3. 2. 3. 2. 1. 11. 學生9. 3. 2. 2. 1. 1. 9. 學生9. 3. 3. 1. 2. 1. 10. 學生10. 3. 2. 1. 1. 1. 8. 學生10. 3. 1. 2. 1. 1. 8. 總分. 42. 34. 30. 26. 22. 總分. 42. 34. 30. 26. 22. 資料來源：辛俊德、胡豐榮（2003）。「SS 分析法在國小教師工作滿意度問卷調查上之應用」。測驗統計簡訊，53，12。由上表可知，兩個班級在每ㄧ試題的總得分是相等的，兩班學生所得的總分亦相同，也就是說，兩班在每ㄧ試題之試題難易度是完全一致的，教師往往會根據此結果，判斷「兩個班級的學生對這份試卷的學習表現是一樣的」，但如果透過SS分析法，分析並繪製順序關聯結構圖，就會有顯著的不同。 A班中，每一位學生在試題1的得分都大於或等於試題2的得分，此時就有試題1到試題2的「順序關聯」，記作「1→2」，則解釋成「具備解決試題 7.

(16) 1概念的學童才能解決試題2所包含的概念」；同理，所有學生在試題2的得分都大於或等於試題3，所以有「2→3」。依此類推，可得「3→4」、「4 →5」。同法，B班中，每一位學生在試題1的得分都大於或等於試題2和試題3 的得分，因此可以記作「1→2」、「1→3」；試題2的得分都大於或等於試題4，因此可以記作「2→4」；同法，可得到「3→5」。因學生2在試題2的得分小於試題3的得分，所以兩試題之間沒有順序關聯。. 從以上分析，定義平均得分為：. 試題平均得分＝. 受試學生得分總分受試學生總人數. 以平均得分為縱座標，可將所有的關聯指向用箭頭標示出來，箭頭指向越上位者，表示概念的層次越高，A、B兩班的SS分析之圖，如下所示：. 平均得分. A組. 2.2. 5. 2.6. 4. 3.0. 3. 3.4. 2. 4.2. 1. B組 5 4 3 2 1. 圖2-1-2 SS分析之圖資料來源：辛俊德、胡豐榮（2003）。「SS 分析法在國小教師工作滿意度問卷調查上之應用」。測驗統計簡訊，53，13。 8.

(17) 儘管A、B兩班在每道試題的平均得分均相同，然而觀察兩班的SS分析之圖可發現，兩班學生的概念結構發展卻不同。A班的SS分析之圖形成一個單純的一元化系列；B班的SS分析之圖形成兩個系列，即試題1、2、4系列以及試題1、3、5系列。此外，藉由觀察各試題間的順序關聯，及判讀各試題間的箭頭指向，我們可以分析學童在不同概念的層次高低，以瞭解其概念的發展情形。參、SS分析法的功能 SS 分析法具有以下優點（胡豐榮，2001；胡豐榮、許天維，2002）：ㄧ、可用來分析多點計分的測驗。二、順序以「→」表示關聯，較能清楚判讀。三、即使試題數較多，以 SS 分析法分析資料，仍然可以轉換成一目了然的圖形。四、將學童學習概念結構以 SS 分析之圖展現，與教材之結構圖相比較，可以作為診斷教學之用。五、資料分析的結果以順序關聯結構圖來展現，易得到共識與認同。綜上所述，本研究進行 SS 分析法分析時，採用下列步驟：ㄧ、依據順序性係數公式建立試題之間的順序關聯。二、依試題之間的順序性係數，整理試題之間的順序關聯。在本研究中，將閥值定為 0.93，若兩試題順序性係數大於等於 0.93 時，則兩試題間有順序性關聯存在。三、依據試題之間的順序關聯，以 Word 軟體繪製學習概念 SS 分析之圖。. 第二節時間概念探討本節主要探討時間概念，第一部份為時間概念的內涵；第二部份為兒童時間概念的認知發展。 9.

(18) 壹、時間概念的內涵ㄧ、時間的定義時間是一種永恆存在的知覺經驗。變動的事物與時間是密切相關的，但時間並不是變動的事物，人是藉著外在的變動與改變的事物認識時間，也就是說，人感覺出事物的變動時，才感覺出時間的存有與過去（張振東， 1989）。 Levin and Zakay（1989）曾引述Drever對時間下的定義：時間是一種基本經驗的方向性觀點，此觀點植基於人們知覺到持續的直接經驗，以及從知覺某事件、想法到另一事件、想法的變動，人們透過一連串生活事件的發生，可以形成時間的過去、現在和未來之直接經驗。時間雖然抽象，無法實際碰觸，但我們可以經由生活事件的經驗而感覺到時間的存在，藉由一連串生活事件的發生感受到時間的過去、現在和未來，方能形成時間概念，並慢慢成熟。二、時間的特性丁祖蔭（1996）指出時間是流動的、連續的以勻速運行，而且是不可逆的，在實際生活中，人類是以事物的勻速變化，如鐘表上時針的移動作為信號，再經由別的知覺識別這種信號而感知到時間。 Leushina(1991)認為時間是客觀且獨立的存在於人們的知覺之外，而人們對時間的察覺和認知，只不過是真實反應存在於生活中的時間。因此，時間具有三個特性：（一）流動性：時間是不間斷的在運行。（二）不可逆性：時間是不能再重回到過去的。（三）缺乏明顯的觀測方式：時間是看不到也聽不到的。鍾靜（1994）提出時間是工具量，其量感建基在「刻度上的變化之相對性質」，人們是藉由比對時間工具上的刻度，再從刻度的變化掌握時間. 10.

(19) 量的相對量感。重量、容量、長度、面積、體積和角度這些是絕對量感，亦是可以從實物存在性質上入手的感官量，時間量不同於這些感官量。丁祖蔭（1996）與Leushina(1991)均認為時間具有流動性及不可逆的特性；丁祖蔭（1996）與鍾靜（1994）均認為時間必須藉由勻速工具（如鐘表）的使用，來掌握量感。綜上可知，時間隨著事件的發生而不斷流逝，我們看不到也摸不著，無法直接感知，因而不同於容量、重量、長度、體積和角度這類可以接觸到實物的感官量，時間是建基在「刻度上的變化之相對性質」的工具量，學童必須藉由時間工具上刻度的變化來掌握其量感。因此時間量的學習要從日常生活事件中培養時間概念，並透過規律計時的標準器械（如時鐘）的使用，逐漸掌握時間的量感（教育部，2008）。三、時間概念的分類國內外學者對於時間概念的分類從不同觀點切入，有不同的看法，茲分述如下：（一）Piaget and Friedman的觀點 1.Piaget(1969)從心理層面探討，將時間概念分為兩類：（1）物理時間：經由外在物體運動而認知的時間概念，其容易受視覺空間影響。如：連續（succession）－知覺到兩個以上事件的不同和順序，期間（duration）－兩件連續事情之間的間隔。（2）心理時間：心理上對時間產生的感覺，其容易受情緒影響。 2.Friedman(1982)從心理和社會層面探討，提出時間概念三個分類：（1）經驗時間（experiential time）：人們對於事件順序及期間的主觀經驗，它是所有時間理解的基礎。（2）邏輯時間（logical time）：用大腦推理而得的時間概念，指時間 11.

(20) 是持續且具向度而可被用來推理，例如：某ㄧ事件比起另一事件晚發生和早結束，則它必定花費較少的時間。（3）慣用時間（conventional time）：社會上共同制定的時間概念，用時間單位來分割連續的時間，例如：年、月、日、時、分、秒等時間單位。綜合上述兩位學者的觀點，Piaget提出的心理時間與Friedman提出的經驗時間雷同，在時間長短的知覺上，兒童容易受到主觀及社會情緒影響，其中主觀情緒是決定時間長短的先決條件（Friedman, 1982； Fung & Carstensen, 2004；Hardin & Olimpia, 2001；Piaget, 1969），即誤認為快樂的時光過得較快，做不喜歡的事時，就認為時間過得特別慢。 Piaget提出的物理時間則與Friedman提出的邏輯時間類似，指透過外在物體的運動，用大腦邏輯推理而得的時間概念。Friedman另外還提出了社會上共同約定成俗的慣用時間單位，也就是國小課程及學童生活中常出現的用語，如：年、月、日、時、分、秒等。本研究的內容是時間的計算，在時間概念上是屬於Piaget分類中的物理時間，Friedman分類中的邏輯時間及慣用時間。（二）「時刻」與「時間量」兩種概念 Samuel and Robert （引自陳溢年、陳秀女，1975）認為「時間」包含兩種概念，第一是「時距」（interval），即時間的持續；第二是「時刻」（epoch），亦即時間的位置。時距與時刻都以同樣單位（日、時、分、秒等）表示，兩者雖然相關，但卻是不相同的概念。劉秋木(1996)認為「時間」包含兩個概念：時刻與時間，其將時間比喻成從古至今的時間之流，時刻就是時間之流上的點，標記著時間之流的順序；時間則是兩個點之間的間隔，標記著時間之流的綿延。鍾靜（1998）亦指出「時間」包含了「時距」和「時刻」，「時間」. 12.

(21) 有時指的是「時刻」，然而有時卻又是指「時距」，使得兒童對於「時間」常感覺到困難。由Samuel and Robert、劉秋木與鍾靜等學者的觀點可知，時間概念包含了時刻與時間量兩種相關卻不相同的基本概念。時間具有線性特性，線上的原點表示為「現在」的時間，正向為「未來」的時間，負向為「過去」的時間（Fischbein, 1987；Friedman, 2007），鍾靜（1998）提出將時間用數線表徵，與劉秋木(1996)時間之流的觀點雷同，整條數線代表連續的時間，數線上的點是「時刻」，點的位置則代表時間的先後順序，數線上兩點間的距離代表「時距」，也就是「時間量」。將時間的表徵直線化後，較易突顯「時間」和「時刻」的關聯。（三）Fraisse（引自張州甫，1998）認為時間包含兩個概念： 1.順序：比較一些事件發生的先後順序。 2.期間：兩個先後發生事件之間所經過的時間，是時間間隔的概念。（四）美國心理學家Boring（引自張州甫，1998）認為時間概念主要是由以下五個基礎概念組成： 1.順序概念：了解不同事件間發生的先後順序。 2.連續概念：ㄧ個事件從開始到結束，其整個過程是連續的。 3.長短概念：由說話、玩耍及音樂欣賞等日常生活作息中建立。 4.學習感應目前環境的訊號。 5.週期概念：了解多個先後接連發生的事件之模式或規律。（五）Nelson（1982）提出時間概念是兒童對於時間單位和時間期間的了解，以及了解這兩者與生活事件之間的關係。（六）Thornton, Vukelich (1988) and Muir(1990)以時間單位量呈現時間，分為以下三方面： 1.時鐘時間(o’clock time)：使用數字來計算或判斷鐘表上的時間單位。 13.

(22) 2.月曆時間(calendar time)：使用數字來計算或判斷月曆上的時間單位。 3.歷史時間(historical time)或稱為年代時間：使用某些時間語言描述過去的人、地、物及事件。綜觀上述學者從不同觀點對時間所做的分類，可以得知時間包含五個基本概念：其一為順序概念，也就是時間具有「先」、「後」順序性；其二為時刻概念，也就是某ㄧ件事情發生的時間點；其三為時距概念，也就是某ㄧ件事情經過了多久，也稱為時間量、時間期間；其四為週期概念，也就是事件會週期性的再次發生；其五為時間單位量概念，也就是年、月、日、時、分、秒等常用時間單位。藉由上述的分析，研究者對於時間的基本概念更加了解，本研究著重於時間計算的探討，這些基本概念的釐清，將有助於時間文字題題意的理解，是時間文字題解題的重要基礎。貳、兒童時間概念的認知發展一、國外學者Piaget（引自俞筱鈞譯，1988）認為時間並非一種先備的概念，而是兒童在發展過程中，隨著認知結構不斷的重組而逐漸建構形成的，兒童正確的時間概念發展，如同兒童基本科學與數學概念發展一樣，都隨著兒童的認知發展而逐漸獲得，Piaget將兒童時間概念的發展分為三個發展分期：（一）序列期（ordinal stage）：在Piaget認知發展學說中，此分期屬於第二發展期──具體操作前期（pre-operation stage），又稱直覺時期（intuitive stage），大約七歲和八歲的兒童屬於此分期，其思維深受知覺的牽制，因而無法分清楚時間與空間的不同，對於時間的連續和期間與空間的前後和距離容易產生相互混淆，例如：兒童會依據物體在空間終點的遠近，來判斷此物體移動時間的長短。此分期的兒童具有以下特點： 14.

(23) 1.兒童會注意視覺觀察的情況，無法分清楚時間與空間的不同。 2.兒童對次序產生感覺。 3.兒童強調物體移動的結果，如「同時到達」。 4.兒童能排列事情的先後順序，但只限於同一件事情中的細則。（二）超序列期（hyperordinal stage）：此分期是過渡期，大約九至十足歲間的兒童屬於此分期，其思維逐漸離中化（decentration），不會再堅持物體停止的終點，而逐漸考慮起點因素，雖然兒童對於時間與空間已可部分分化，但對於時間期間與連續的概念仍無法統整成一整體，兒童可正確判斷連續，但未必理解期間；或者能正確判斷期間，卻無法理解連續，這兩種現象各約佔本分期兒童的半數。此分期的兒童具有以下之特點： 1.兒童能思考起點與終點的因素，不但能序列事物情況的先後，也能思量所牽涉的空間以及經過的時間。 2.兒童能比較時距長短。 3.兒童認為走遠一點速度快，多做一點事花的時間較長。（三）精確度量衡期（stage of metric time）：大約十一和十二足歲的兒童可以進入此分期，其時間與空間概念已能分化，而期間與連續的概念也能統整成一整體，此分期的兒童具有以下之特點： 1.兒童能明白事件經過的時間與涉及的空間之關係。 2.兒童能理解速度的意義。 3.兒童能追溯及預測。二、Friedman（1982）依據兒童解決時間問題的外在表徵方式，將兒童在不同年齡的階段性發展，分為以下三個階段：（一）六至八歲的學童對時間的知覺能延伸至一年之長，他們可以區別每日與每週例行性公事規律的差異、理解如時、星期、季節和月份的 15.

(24) 時間週期性結構之特徵、了解事件的順序，並且能將自身經驗、自然界特徵或重要事件與慣用時間結合。（二）八至九歲的學童逐漸學習秒、分與時等時間測量單位，並進一步利用慣用時間測量時距。（三）約十一歲的學童可了解任意期間的單位，但無法解釋原由。三、Thornton and Vukelich（1988）研究兒童對時間概念的理解情形，其研究發現兒童在時鐘的單位概念發展是從大單位到小單位，亦即從時、分到秒，而在月曆的單位概念發展則是從小單位到大單位，亦即從日、星期到月。四、國內學者劉秋木(1996)針對Piaget提出的兒童時間概念發展理論，他認為在教育上，學童要理解時間，需建構以下的概念：（一）事件的順序概念：能將一些事件依發生的先後排成序列。（二）等時性：時鐘的指針或鐘擺維持著相等的速率運動，以時鐘測量一動作的時間，不會因動作改變而使得時鐘的運行變快或變慢。（三）同步性：以相同的時鐘測量同時開始且同時結束的動作，不會報出不同的時間。（四）時間的客觀性：「一天」的時間長短不會因個人心情好壞或工作多寡而有差異。（五）時間單位：一段時間量可分成等值的小間隔作為單位。五、Long and Kamii（2001）對於如何培養學童時間邏輯能力，提出一些教學建議：（一）進行時間決策的教學活動。例如：離放學還有5分鐘，我們還能完成數學遊戲嗎? （二）進行時間規劃的活動。例如：下星期三要進行社會小組報告，本週末該如何安排進度？每組報告時間是10分鐘，該如何分配時間？（三）進行製作計時工具的活動。 16.

(25) 根據以上所述，兒童的時間概念是從日常生活的知覺經驗感受，循序漸進，從辨認事件順序，了解生活事件與時間互動的密切關係，到熟悉社會上約定成俗的時鐘時間、月曆時間等時間單位，而後在社會環境中，學習並融合人文科學，藉以了解歷史時間概念（Hodkinson, 2004；Thornton & Vukelich, 1988），不同年齡的兒童會呈現出不同的時間概念表現，隨著年齡增加逐漸重組建構而成。在教學上可藉由具體物的操作，例如：鐘表、日曆、月曆，幫助兒童時間概念的學習發展成熟。. 第三節時間文字題的相關研究本節分別探討時間文字題的類型及時間問題解題之相關研究。壹、時間文字題的類型數學文字題是結合數學知識與語文理解的問題。學童在解數學文字題時，不但要能熟悉數學計算的過程，同時也要能理解文字題的語意，明白問題的要求及其所提供的線索來解決問題（林清山，1995）。數學文字題並非指將題目中的數字經過機械式地加、減、乘、除運算之問題（Lieven，2000），而是透過文字敘述，將生活化的情境融入數學問題中，數學文字題的解題策略能反映學童在語文理解、數學知識、思考邏輯等知識結構統合的過程，以及了解學童經由思考歷程解決生活中數量問題的能力，是ㄧ種複雜且高層次的心理運作活動。數學文字題有許多不同的分類標準，除了以「情境」、「語意結構」、「運算類型」為標準之外，也有以「教學層面」、「文字題性質的變項」為標準的（蕭毓秀，2001）。本研究旨在了解學童時間文字題的概念結構發展，因此以下將針對本研究中時間文字題的分類做探討，研究者自編的時間概念測驗工具之題型主要是以「運算類型」來進行區分，再依計算時有無「進退位」區分，也就是劃. 17.

(26) 分為有無「時間化聚」的情形，最後依不同的「時間進制」細分。以下分別敘述「運算類型」、「時間進制」和「時間化聚」：ㄧ、以「運算類型」來分類運算類型是指在解題過程中，解題策略所使用到的運算種類來劃分，可能只運用單一運算種類，例如：加、減、乘、除法文字題，也有混合加、減、乘、除四則運算的類型。這種分類方式能在研究數學解題表現時，同時考慮到四則運算，不限定只用在加、減法或乘、除法文字題，因此許多學者以「運算」作為區分文字題類型的依據，研究學童在數學文字題解題表現的情形（蕭毓秀，2001）。二、時間進制 Friedman(1982)將時間分成三類，其中慣用時間就是指我們在日常生活中及數學計算上經常使用的時間單位，其包含了因天體運行產生之年、月、日等自然的時間單位，及社會上共同制定、約定成俗產生之星期、時、分、秒等人為的時間單位。多數的單位量是規律的十進位系統，例如長度、重量、面積單位，因此學童對於十進位系統的換算較常接觸且熟悉。時間單位之間互有關係，可以做時間單位間的轉換，但其轉換關係是特殊、複雜的進數結構，常見的時間進位制系統有六十進位(秒聚為分、分聚為時)、二十四進位(時聚為日)、三十進位(日聚為月) 、十二進位(月聚為年)、七進位制(日聚週)以及三百六十五進位(日聚為年)，因為時間進制是一個複雜的高低階關係，往往造成學童學習時的困擾。三、時間化聚時間單位間的轉換過程就是時間化聚，時間化聚是ㄧ種等量運算，由低階單位累成高階單位，稱為「聚」，例如：將120分改成2時；由高階單位分成低階單位，稱為「化」，例如：將1日改成24時。在時間化聚的過程中， 18.

(27) 必須同時處理時間的複雜進制及數的十進制。因此，初進行時間化聚學習時，多安排數字較小的問題，讓學生可以使用連加或連減的方式進行單位換算，學習乘除法之後，開始引導學生以乘除法來計算「時間化聚」的問題。就時間問題中呈現之化聚情形可區分如下（李如弘，2008)：（一）兩階單名數與單名數化聚。例如：1分＝60秒；1時＝60分。（二）兩階單名數與複名數化聚。如：100秒＝1分40秒；30時＝1日6時。（三）複名數與複名數時間單位化聚。例如：1時10秒＝60分10秒;30時20 秒＝1日6時20秒。（三）多階單名數與複名數化聚。例如：3990 秒＝1時6分30秒。時間化聚是時間單位間的等量運算，包含整數、分數與小數間的換算關係，學童必須先能掌握時間進制系統，才能進一步發展時間化聚的能力。因時間化聚的過程中牽涉到複雜的時間進制及高低階關係，導致學童在學習及解題時容易產生困難及錯誤。本研究施測的試題以「運算類型」、有無「進退位」及「時間進制」進行分類，先以「運算類型」來進行區分，分為加、減、乘、除法文字題四種類型，再依計算時有無「進退位」區分，最後依不同的「時間進制」細分成「日和時」、「時和分」和「分和秒」三類，分別是二十四進位、六十進位、六十進位的關係。在不同名數化聚的分類上，包含進退位的加、減、乘法文字題需進行複名數與複名數時間單位化聚，包含進退位的除法文字題需進行兩階單名數與複名數化聚。貳、時間問題解題之相關研究國內有許多學者進行時間概念的研究，從相關文獻可以了解學童解時間問題的錯誤情形，對本研究極具參考價值，茲說明如下：ㄧ、胡豐榮對於時間單位換算之研究胡豐榮（1995）指出國小五年級學童在進數結構概念的學習成效普遍 19.

(28) 不佳，其認為非十進數的進數結構概念，超乎現階段學童的思考範圍。學童在時間單位換算上有下列的學習困難：（一）不知道時、分、秒單位間的換算關係，例如：不知道1時等於60分。（二）知道時、分、秒單位間的換算關係，但無法確定計算的程序是否正確，而導致最後瞎猜答案，例如：在計算3721秒等於幾時幾分幾秒，不知道自己計算對不對，導致最後瞎猜答案。（三）知道時、分、秒單位間的換算關係，但學童認為將數字從左到右做合理分割的程序，就是時間單位換算的過程，如：認為3721等於3 時7分21秒。二、呂玉琴、譚寧君對於時間化聚之研究呂玉琴、譚寧君（1996）指出一般學生在時間的化聚概念較為不足，從單名數化成複名數表現較佳，反之從複名數聚成單名數則表現較差。譚寧君（1998）與國小五、六年級學童晤談後，得知學童在時間單位換算方面，有下列的錯誤解法：（一）因僵化的使用十進位系統，而忽略了時、分進位的關係，如：認為 7.5分等於7時5分。（二）雖了解時、分的進位關係，但分數概念不足，如：認為1/4小時等於0.4小時。（三）解非十進系統的退位問題有困難的學童會被十進系統制約。三、陳佩玉、鍾靜對於時間單位量概念之研究陳佩玉、鍾靜（2003）在「國小學童時間單位量概念之研究」中，對ㄧ到六年級學童進行訪談，提出在時間單位量與時間單位轉換的迷思概念方面，越低年級學童時間單位受心理時間影響越深，三年級學童在解時間單位換算的問題時，最容易被十進位系統所制約，越高年級學童易被六十進系統所制約。此外，學童在時、日、星期等量關係上的錯誤想法比時、 20.

(29) 分、秒還要來得多。在時間單位轉換的情形方面，各年級的換算方式不ㄧ樣，三年級學童使用累加的方式換算兩個不同的單位；四年級學童使用乘法的方式換算，五、六年級學童使用乘法或除法的換算方式。四、陳孟吟、劉好對學童時間概念的學習表現之研究陳孟吟、劉好（2006）提出國小五年級學童在時間化聚方面，和差關係表現較優，倍數表現欠佳。學童在時和分複名數減法問題表現最好，分和秒複名數減法問題表現次之，分和秒複名數除法問題表現最差，有將近一半的學童未能完全具備此能力。在錯誤類型方面，學童容易因為不熟練日和時之間為24進位，時和分、分和秒之間為60進位，且因不清楚進位與退位處理，而導致在進行時間的二階單位等量關係換算或解複名數加、減、乘、除問題時發生計算錯誤。五、朱振生對時間化聚之研究朱振生(2002)在「國小五年級學生時間化聚學習表現與補救教學之研究」中，根據學童筆試測驗的解題過程與個別訪談結果，提出學生時間化聚的錯誤原因有：（一）不清楚時間單位的高低階關係：不了解日、時、分、秒間的關係。（二）不了解時間複名數的意義：如有些學生可以理解2小時，卻對2 小時10分的意義出現困擾。（三）不了解時間化聚的意義：學生不知道「化聚」是一種等量運算。（四）受到鐘面結構的影響：學生對低年級時學習的鐘面構造存有迷思概念，導致出現錯誤的時間進位制，例如 1時＝12分，1分＝5秒。（五）時間的進位制與十進位制混淆：學生在解時間問題時，以十進位制為時間進位制，例如5時＝50分。（六）無法由題目條件去判斷時間進位制（24與60進位制的混淆）： 21.

(30) 學生由生活經驗知道1日＝24時，1時＝60分，1分＝60秒，但實際解題時，卻無法透過題目中出現的時間單位，選擇正確的時間單位進位制。（七）不同的時間單位容易造成解題困擾：學生不清楚同一種量如果只有單位改變，其運算是不變的。綜合以上各學者對時間概念解題的研究，可以得知造成學童在時間化聚上產生錯誤的可能原因除了文字語意理解困難之外，進位制的混淆、不熟練時間單位間的關係（日、時、分、秒的關係）、時間化聚概念不足（從單名數化成複名數表現較好，反之從複名數聚成單名數則表現較差），可能都是造成學童時間文字題解題失敗的原因。. 第四節國小時間概念的課程綱要及教材內容分析本研究之研究對象為一百學年度國小五年級的學童，其於九十六學年度開始接受的數學教材，是依據教育部民國九十二年公佈的國民中小學九年一貫正式課程綱要所編製。故本研究工具的編製是以九年一貫正式課程綱為依據，本節將針對正式綱要中，有關時間概念的能力指標及教材架構進行探討。壹、九年一貫課程綱要時間概念能力指標及分年細目在九年一貫課程正式綱要中，將數學領域區分為四個階段：階段一為一 ~三年級，階段二為四、五年級，階段三為六、七年級，階段四為八、九年級，另將數學學習內容分為數與量、幾何、代數、統計與機率、連結等五大主題，有關時間概念的內容，是劃分在五大主題中以英文字母N表示的「數與量」主題。正式綱要考量學生的學習能力及學校分年教學的需求，先依階段做區分，訂出各階段概要性的能力指標；接著再以年級做區分，演繹出更細緻的各年級分年細目，以利分年教學目標的達成。茲將九年一貫課程正式綱要 22.

(31) 中，有關時間概念之能力指標與分年細目整理如下：. 表2-4-1 九年一貫課程綱要時間概念能力指標與分年細目對照表階段年級. 能力指標. ㄧ第一階段. 二. 三. 第二階段. 四五. N-1-13 能報讀時刻，認識常用的時間單位，並做時或分同單位的加減計算。. 對應之分年細目 1-n-08 能認識常用時間用語，並報讀日期與鐘面上整點、半點的時刻。 2-n-11 能認識鐘面上的時刻是幾點幾分。 2-n-12 能認識「年」、「月」、「星期」、「日」，並知道「某月有幾日」、「一星期有七天」。 3-n-11 能認識時間單位「日」、「時」、「分」、「秒」及其間的關係，並作時或分同單位時間量的加減計算。. N-2-15 4-n-12 能解決複名數的時間量計算，以及時能認識測量的普刻與時間量的加減問題。遍單位，並處理相關的計算問 5-n-13 能解決時間的乘除計算問題。題。. N-3-06 能理解速度的概第念與應用，認識 6-n-08 能理解速度的概念與應用，認識速度三六速度的普遍單位的普遍單位及換算，並處理相關的計算問題。階及換算，並處理段相關的計算問題。資料來源：教育部（2003）。國民中小學九年一貫數學學習領域課程綱要（頁 25-52）。臺北市：教育部。由表2-4-1可知，有關時間概念的主要學習內容集中在階段一及階段二，也就是國小一到五年級，階段三則是將時間概念與速度概念連結，並處理與時間概念有關的計算問題。由表2-4-1中分年細目的內容可知，九年一貫正式綱要中，有關時間概念的內容包含了「時刻概念」、「順序概念」、「單位量概念」、「等量關係 23.

(32) 概念」及「化聚概念」，分年細目明確的指出每個年級應學習的時間概念，茲整理如下表：表 2-4-2 不同類別時間概念與九年一貫正式綱要分年細目對照表概念內容. 分年細目. 分年細目內容. ㄧ. 1-n-08. 能認識常用時間用語，並報讀日期與鐘面上整點、半點的時刻。. 二. 2-n-11. 能認識鐘面上的時刻是幾點幾分。. 1-n-08. 能認識常用時間用語，並報讀日期與鐘面上整點、半點的時刻。. 年級. 時刻概念. 順序概念. ㄧ. 二. 2-n-12. 單位量概念三. 等量關係. 三. 四. 五. 能認識「年」、「月」、「星期」、「日」，並知道「某月有幾日」、「一星期有七天」。. 3-n-11. 能認識時間單位「日」、「時」、「分」、「秒」及其間的關係，並作時或分同單位時間量的加減計算。. 3-n-11. 能認識時間單位「日」、「時」、「分」、「秒」及其間的關係，並作時或分同單位時間量的加減計算。. 4-n-12. 能解決複名數的時間量計算，以及時刻與時間量的加減問題。. 5-n-13. 能解決時間的乘除計算問題。. 化聚概念. 能力指標. N-1-13 能報讀時刻，認識常用的時間單位，並做時或分同單位的加減計算。. N-2-15能認識測量的普遍單位，並處理相關的計算問題。 N-3-06 能理解速. 六. 6-n-08. 能理解速度的概念與應用，認識速度的普遍單位及換算，並處理相關的計算問題。. 度的概念與應用，認識速度的普遍單位及換算，並處理相關的計算問題。. 24.

(33) 由表 2-4-2 可知，低年級的時間課程是以時刻報讀以及順序概念為主，透過具體操作及生活情境建立時間概念，讓學生體會到生活事件與時間的關聯；二年級開始「年」、「月」、「星期」、「日」時間單位量的學習。三年級後，則以「日」、「時」、「分」、「秒」時間單位量、等量概念的認識及加減問題計算為主，然而，時間計算的過程，牽涉到時間複雜的進位制與數的 10 進制混合的問題，必須完全仰賴單位間的換算，比其他量的學習困難，因此在三年級時，只進行「時」或「分」同單位時間量之加減問題計算（教育部，2003），也就是說，三年級還未開始進行時間化聚的換算。進入四年級後，則開始學習時間複名數的化聚計算、時刻與時間量的加減問題計算，包含跨日的問題。五年級則繼續時間化聚的學習，並開始解決時間的乘除計算問題，此時單位換算與計算只限於整數範圍。到了六年級配合學童分數概念的發展，則必須熟悉時間單位的分數換算，並延伸至速度概念的理解及應用。本研究針對五年級學童解時間文字題的概念結構及解題時常犯的錯誤類型進行探討，而解時間文字題的核心概念之ㄧ，就是「時間化聚」。貳、時間概念教材架構分析數學領域「數與量」主題之下的「量與實測」子題是國小數學的核心課程之ㄧ，量的學習包含長度、重量、容量、時間、角度、面積、體積等人們日常生活中常用的七種量。除了時間量之外，其餘六種屬於幾何(視覺)量，處理時可以依賴學生的幾何經驗，較為容易。在學童的日常生活中，時間概念的建立十分重要，但時間在學習上卻得完全仰賴計時的約定，與其他六種量差異極大，因此通常得另外處理（教育部，2003）。在正式綱要中，對於時間概念的學習並未說明其認知發展的歷程，國內學者鍾靜（1998）將時間定義為工具量，鍾靜認為時間的課程設計與教學必須由工具的使用著手，並將國外學者皮亞傑提出的「兒童時間概念發展」三 25.

(34) 階段，配合八十二年版小學數學課程標準(教育部，1993)中有關時間的教材，將時間教材架構分為四個層次，茲分述如下：ㄧ、層次一為比對刻度觀點：以工具上的不同刻度作為不同情境之指標。這個階段完全不牽涉到量感，亦不是從數學結構開始，而是以鐘面上長、短針的位置，或月曆上數字的位置進行報讀教學。例如：依據鐘面指針所指的刻度，報讀時刻。二、層次二為建立量感階段：以比較紀錄上的不同引入刻度上的變化概念，藉以建立相對量感。這個階段開始配合生活事件建立時間量的量感。例如：配合生活中發生的事件，觀察鐘面上從7時到8時的刻度變化，建立1小時量感。三、層次三為建立等量感階段：以等相對量感的不同階刻度之變化，引出及應用不同刻度間的關係。當學童有了各階（年、月、日、時、分、秒）的時間量感後，開始進行連續二階、三階間的時間化聚活動。例如：觀察鐘面上從7時到8時的刻度變化，以時針計算是1時，以分針計算是60分，建立1時＝60分的等量關係。四、層次四為計算與應用。例如：解決時間（量）的加、減、乘、除法數學問題。研究者將鍾靜（1998）提出的時間教材架構四個層次，與正式綱要分年細目進行對照，如表2-4-3所示：. 26.

(35) 表2-4-3 時間概念發展層次與九年一貫正式綱要分年細目對照表發展層次. 分年細目. 分年細目內容. ㄧ. 1-n-08. 能認識常用時間用語，並報讀日期與鐘面上整點、半點的時刻。. 二. 2-n-11. 能認識鐘面上的時刻是幾點幾分。. 2-n-12. 能認識「年」、「月」、「星期」、「日」，並知道「某月有幾日」、「一星期有七天」。. 3-n-11. 能認識時間單位「日」、「時」、「分」、「秒」及其間的關係，並作時或分同單位時間量的加減計算。. 4-n-12. 能解決複名數的時間量計算，以及時刻與時間量的加減問題。. 年級. 1.比對刻度. 2.建立量感. 3.建立等量感. 二. 三. 四. 4.計算與應用. 五. 六. 5-n-13. 能解決時間的乘除計算問題。. 6-n-08. 能理解速度的概念與應用，認識速度的普遍單位及換算，並處理相關的計算問題。. 能力指標. N-1-13. N-2-15. N-3-06. 由表 2-4-3 可知，學者鍾靜所提出時間教材架構的四個層次，與現行九年一貫正式綱要中的時間概念結構發展是ㄧ致的，而這四個層次是配合八十二年版中有關時間的教材所提出，因此，八十二年版課程與正式課綱的時間教材架構相差無幾。本研究之研究對象為國小五年級學童，綜合上述的分析可知，五年級學童對於時間概念的學習，應能解決時間複名數的整數化聚計算及加、減、乘、除法的時間文字題，並包含了跨日的時間加減問題，本研究的範圍含蓋了四、五年級的時間教材。配合研究者的學校所使用的版本，將「部編版」時間概念教材歸納如表 2-4-4 所示： 27.

(36) 表2-4-4 部編版時間概念教材分析年級. 冊別. 單元名稱. 教材內容. 第一冊. 第10章幾點和幾點半. 第二冊. 第4章時間和日期. 第三冊. 第5章時間. 第四冊. 第3章年、月、星期. 三. 第六冊. 第7章時間. 四. 第八冊. 第7章時間. 五. 第九冊. 第5章時間. 六. 第十二第1章冊速率. 1.報讀鐘面上整點、半點的時刻。 2.認識早上、上午、中午、下午、晚上等常用的時間用語。 3.認識時間的連續性及分辨事件發生的先後。 1.知道某整點時刻的1小時(或2小時) 前後的時刻。 2.透過查閱日曆及月曆，知道幾月幾日星期幾，並認識今天、昨天、明天等時間用語。 3.透過年曆中每月的日數或固定假日來判別月份或日期。 1.認識鐘面上的時刻是幾點幾分。 2.知道整點半再過1小時、2小時後的時刻。 3.知道從某整點到某整點的事件是經過幾小時。 4.能利用時刻報讀解決生活中的問題。 1.認識「年、月、日」，並知道「某月有幾日」、「一星期有七天」。 2.能查看月曆，點算某ㄧ時段內的總日數。 3.能藉由二月份日數的不同，區分平年和閏年。 1.認識秒，知道1分＝60秒。 2.把幾時幾分換算為幾分，把幾分幾秒換算為幾秒。 3.12時制和24時制的換算。 4.同單位時間量的加減計算。 5.時、分的複名數加減計算（不進退位）。 1.用除法做秒與分、分與時、時與日的換算。 2.用乘法和除法做二階的時間單位換算。 3.時間複名數的加減直式計算（進退位）。 4.跨日的時間加減計算（幾時）。 1.時間複名數的乘除直式計算。 2.跨日的時間加減計算(幾時幾分)。 3.計算某ㄧ時段的日數(併式、跨月份)。 1.認識速率公式及其單位。 2.做速率的單位換算，並比較快慢。 3.速率的和與差的問題。 4.理解時間、距離與速率的關係。. 一. 二. 資料來源：國家教育研究院（2011）。國民小學數學教師手冊第一至十二冊。國家教育研究院。. 28.

(37) 第三章研究方法本章內容分為五個部份，以下依序就研究架構、研究對象、研究工具、研究流程及資料處理分別加以說明。. 第一節研究架構本研究根據研究動機、研究目的與文獻探討，提出以下之研究架構，如圖3-1-1所示：. 時間概念相關文獻、教材自編時間文字題試卷五年級班級抽樣進行施測進行資料分析. SS 分析. 學生訪談. 探討五年級學童時間概念結構之發展順序。探討五年級學童在解時間文字題時常犯的錯誤類型與錯誤原因。圖 3-1-1 研究架構圖. 29.

(38) 第二節研究對象研究者任教於臺中市某智類學校，受限於人力、時間及行政溝通等因素，正式施測對象僅選取自己任教學校的五年級一班共33人為施測對象。施測對象已在五年級上學期接受時間單元教學，正式施測時間選定於五年級下學期進行，此時為學童接受時間單元教學後三個月，對於時間概念無法融會貫通的學童已經產生遺忘及困難，較能測出學童時間概念的真正理解情形。為了讓學童在熟悉的環境作答，施測地點選在原班教室，由研究者監考。施測前，先說明測驗目的及作答方式，作答時間為50分鐘，並鼓勵學童認真作答。. 第三節研究工具本研究主要研究工具為自編之「國小五年級學童時間文字題測驗試卷」，茲將試題編製的過程及相關的統計軟體，說明如下：壹、試題編製的過程ㄧ、編製的依據本研究之時間文字題，是依據九年一貫課程正式綱要之能力指標、分年細目，及正式施測學校五年級部編版數學教材，並參考兒童時間概念發展相關文獻，根據研究目的進行命題。. 30.

(39) 二、建立時間的概念圖. 有進退位的時間複名數除法有進退位的時間複名數乘法無進退位的時間複名數除法無進退位的時間複名數乘法有進退位的時間複名數加、減法無進退位的時間複名數加、減法圖 3-3-1 時間概念圖. 三、試題的架構與內容本研究目的在探討國小五年級學童時間文字題的概念結構發展，並分析解題時常犯的錯誤類型及原因，在正式綱要中，四年級的分年細目指出學童要能解決複名數的時間量計算，以及時刻與時間量的加減問題；五年級的分年細目則指出學童要能解決時間的乘除計算問題。本研究據此形成時間文字題試卷內容架構圖，最後完成時間文字題試卷的編製，題目總計有24題，試卷的內容架構說明如下：（一）先依「運算類型」區分為四大類，分別為時間複名數的加、減、乘、除法文字題四種類型。（二）四大類底下再依運算時「有無進退位」區分，分別為無進退位、有進退位，也就是依運算時有無時間化聚的過程區分。（三）最後依不同的「時間進制」細分成「日和時」、「時和分」和「分和秒」三類，分別為二十四進位、六十進位、六十進位的關係。 31.

(40) 表3-3-1 時間文字題試卷內容架構運算類型. 有無進退位. 時間進制. 試題題號. 時間複名數的加法文字題. 無進退位. 日、時. 1. 時、分. 2. 分、秒. 3. 日、時. 13. 時、分. 14. 分、秒. 15. 日、時. 4. 時、分. 5. 分、秒. 6. 日、時. 16. 時、分. 17. 分、秒. 18. 日、時. 7. 時、分. 8. 分、秒. 9. 日、時. 19. 時、分. 20. 分、秒. 21. 日、時. 10. 時、分. 11. 分、秒. 12. 日、時. 22. 時、分. 23. 分、秒. 24. 有進退位. 時間複名數的減法文字題. 無進退位. 有進退位. 時間複名數的乘法文字題. 無進退位. 有進退位. 時間複名數的除法文字題. 無進退位. 有進退位. 32.

(41) 四、計分方式施測試題採用五點計分方式，每ㄧ題最高可得4分，最低為0分，計分的標準依有無「進退位」過程，也就是有無時間化聚過程分成兩種，計分方式如表3-3-2所示：. 表3-3-2 時間文字題計分方式「無進退位」試題計分方式. 「有進退位」試題計分方式. 列出的算式正確. 給1分. 給1分. 算出的答案正確. 給1分. 給1分. －. 給1分. 給2分. 給1分. 計算過程. 時間化聚過程正確答寫得正確. 無「進退位」的題目和有「進退位」的題目，在第1分及第2分的給分標準是相同的。由於學童在解無「進退位」的題目時，不需時間化聚的過程，研究者認為應著重在計算的結果，所以答的部份給2分。批改試題時，依照試題的解題過程依序給分，學童能列出正確的算式得第一分，算出的答案正確，再得ㄧ分，共獲得兩分，依此類推。以下將批改試題的情形詳細說明如下：（一）無進退位試題 1.得分是0分：學童列式錯誤，依照錯誤算式做正確的計算。 2.得分是1分：學童列式正確，但算出的答案錯誤。 3.得分是2分：學童列式正確，算出的答案也正確，但答寫錯了。 4.得分是4分：學童列式、算出的答案及答均正確。（二）有進退位的試題 1.得分是0分：學童列式錯誤，依照錯誤算式做正確的計算。 33.

(42) 2.得分是1分：學童列式正確，但算出的答案或化聚的過程錯誤。 3.得分是2分：（1）加法和乘法題目：學童列式正確，算出正確答案，但接下來化聚的過程錯誤。（2）減法題目：學童列式正確，時間化聚過程正確，但接下來算出的答案錯誤。（3）除法題目：除法文字題在時間化聚及計算答案的步驟無固定之順序，因此學童列式正確，在時間化聚及計算答案的步驟其中一項錯誤，得到的分數是2分。 4.得分是3分：學童列式正確，算出的答案及化聚的過程均正確，但答寫錯了。 5.得分是4分：學童列式、算出的答案、化聚的過程及答均正確。五、預試試題性質分析（一）效度分析效度（validity）又稱正確性，指的是測驗工具能精確的測量到所要測量的能力或特質之程度。本研究之測驗工具的效度採用內容效度及專家效度。在內容效度方面，測驗試題若能符合教材內容及教學目標，根據雙向細目表來命題且具有代表性，則該測驗即具有適當的內容效度，因此本測驗工具根據現行國小時間概念教材，發展出表3-3-3時間文字題命題雙向細目表進行命題，作為檢核試題內容效度的依據；為了建立專家效度，研究者在預試試卷初稿完成後，諮詢三位任教五年級並擁有十年以上教學經驗的現職老師，以及三位數學教育系碩士班的研究生，請其依據表3-3-3時間概念命題雙向細目表及專家審核表（如附錄二），協助審題並修改測驗試題的詞句，再與指導教授進行討論與修正，使預試測驗試題具有專家效度。. 34.

(43) 表 3-3-3 時間文字題命題雙向細目表認知歷程向度. 教材內容問題情境. 時制有無進退位. 無進退位複名數的加法文字題有進退位. 時間進制. 知識. 日、時. 1. 時、分. 2. 分、秒. 3. 日、時. 13. 時、分. 14. 分、秒. 15. 日、時無進退位. 有進退位. 無進退位複名數的乘法文字題有進退位. 無進退位複名數的除法文字題有進退位. 應用. 五大主題階段能力指標. 4-n-12. 能解決複名數的時間量計算，以及時刻與時間量的加減問題。. 4 5. 時、分分、秒. 複名數的減法文字題. 理解. 分年細目. 6. 日、時. 16. 時、分. 17. 分、秒. 18. N-2-15. 日、時. 7. 時、分. 8. 分、秒. 9. 日、時. 19. 時、分. 20. 分、秒. 21. 日、時. 10. 時、分. 11. 分、秒. 12. 日、時. 22. 時、分. 23. 分、秒. 24. 能認識測量的普遍單位，並處理相關的計算問題。. 5-n-13. 能解決時間的乘除計算問題。. （二）信度分析信度（reliability）又稱可靠性，指的是施測結果的穩定性。研究者以 Cronbach’s α係數來求預試試卷的內部一致性。預試結果以SPSS統計軟體 35.

(44) 分析得出此份試卷之α值為.934，代表此份試卷具有良好的信度。刪除每一試題後的Cronbach’s α值如表3-3-4，此份試卷信度並沒有因為刪除某一題而變得特別高或特別低，因此不須刪除任何試題。表3-3-4 預試試卷之Cronbach’s α信度分析題號. 刪除此題後的α值. 題號. 刪除此題後的α值. 1. .934. 13. .932. 2. .930. 14. .931. 3. .932. 15. .934. 4. .930. 16. .929. 5. .934. 17. .932. 6. .933. 18. .932. 7. .928. 19. .933. 8. .931. 20. .933. 9. .933. 21. .931. 10. .930. 22. .933. 11. .930. 23. .934. 12. .930. 24. .932. （三）難度與鑑別度分析預試施測後，利用Excel試算工作表及SPSS統計軟體，將全體受試者的測驗總分由高至低排列，由最高總分向下取全體受試人數的27%為高分組；由最低總分向上取全體受試人數的27%為低分組，再分別求出高分組的答對率P H 及低分組的答對率P L ，將P H 及P L 兩數值平均以. (P H ＋ P L ) 表 2. 示每ㄧ試題之難易度指數；將高分組的答對率P H 及低分組的答對率P L 相減D＝P H －P L ，算出每ㄧ試題之鑑別度指數。. 36.

(45) 表3-3-5 預試試卷之難易度及鑑別度分析題號. 難度 P. (P H ＋P L )/2. 鑑別度 D= P H －P L. 難度. 題號. 鑑別度. P. (P H ＋P L )/2. D= P H －P L. 1. 0.73. 0.76. 0.47. 13. 0.67. 0.66. 0.54. 2. 0.79. 0.70. 0.51. 14. 0.73. 0.67. 0.56. 3. 0.86. 0.81. 0.39. 15. 0.78. 0.74. 0.37. 4. 0.77. 0.66. 0.54. 16. 0.67. 0.61. 0.73. 5. 0.63. 0.64. 0.72. 17. 0.71. 0.63. 0.54. 6. 0.84. 0.79. 0.42. 18. 0.82. 0.76. 0.47. 7. 0.80. 0.65. 0.69. 19. 0.64. 0.63. 0.43. 8. 0.86. 0.74. 0.53. 20. 0.81. 0.75. 0.45. 9. 0.91. 0.83. 0.33. 21. 0.85. 0.77. 0.37. 10. 0.77. 0.67. 0.56. 22. 0.60. 0.53. 0.68. 11. 0.83. 0.75. 0.50. 23. 0.62. 0.67. 0.61. 12. 0.88. 0.78. 0.44. 24. 0.63. 0.56. 0.63. 由表3-3-5，預試施測試題的難度介於0.53到0.83之間，難易度適中；鑑別度都在0.33以上，具有鑑別度。（四）預試試題修改由預試後的結果，發現第5題部分學童因題意「學校規定7時30分前要到校」而用7時29分減18分，此題希望學童列出的算式為7時30分減18分，為避免學童對題意產生混淆，因此將第5題文字敘述稍作修改。表3-3-6 時間文字題試卷第5題之新舊試題內容對照舊的第5題. 5.開學日，小霖早上 6 時 45 分起床，走到學校需要 18 分，學校規定 7 時 30 分前要到校，他最遲應該幾時幾分出門才不會遲到？. 新的第5題. 5.開學日，小霖早上 6 時 45 分起床，走到學校需要 18 分鐘，學校規定 7 時 30 分後到校就算遲到，他最遲應在幾時幾分出門才不會遲到？. 37.

(46) 六、正式施測預試試題經信度、效度、難度及鑑別度分析，並修正試題後，編製成正式施測試題，正式施測於民國一○一年二月進行，正式施測對象僅選取自己任教學校的五年級一班共33人為施測對象，施測前，由研究者說明測驗目的及作答方式。正式施測題目為二十四題，施測時間為五十分鐘。以下列出正式施測試題內容如表3-3-7。表3-3-7 正式施測試題內容評量目的題號日、時. 複名數的加法文字題. 無進時、分退位分、秒日、時有進時、分退位分、秒. 日、時無複進時、分名退數位分、秒的減日、時法有文進字退時、分題位分、秒. 1 2 3 13 14 15 4 5 6 16 17 18. 試題內容寒假時安安參加冬令營 3 日 6 時，參加科學營 2 日 8 時，請問安安參加冬令營和科學營一共花了幾日幾時？美美全家去參觀安平古堡，從家裡開車到安平古堡要 2 時 27 分，若早上 7 時 10 分出發，請問美美全家到達安平古堡是早上幾時幾分？哥哥跑操場 2 圈，第一圈跑了 2 分 25 秒，第二圈跑了 3 分 27 秒，請問哥哥跑操場共花了幾分幾秒？爸爸將家裡重新粉刷，油漆一棟房子要 2 日 17 時，油漆一間車庫要 1 日 15 時，請問油漆一棟房子和一間車庫共要花幾日幾時？除夕夜，全家晚上 6 時 35 分開始吃年夜飯，吃了 1 時 40 分，請問年夜飯吃完是晚上幾時幾分？吃完年夜飯後，全家ㄧ起唱歌同樂，第一首歌唱了 3 分 36 秒，第二首歌唱了 4 分 38 秒，請問全家唱兩首歌，共花了幾分幾秒？工匠完成ㄧ件雕刻作品需要 5 日 14 時，如果已經刻了 2 日 8 時，請問他還需要花幾日幾時才能完成？開學日，小霖早上 6 時 45 分起床，走到學校需要 18 分鐘，學校規定 7 時 30 分後到校就算遲到，他最遲應在幾時幾分出門才不會遲到？操場跑一圈，小佳跑了 2 分 11 秒，小為跑了 3 分 35 秒，請問小為比小佳多花了幾分幾秒？小彥與小瑋從臺中出發環島旅行，ㄧ人北上環島，ㄧ人南下環島，兩人回到臺中時，小彥花了 8 日 8 時，小瑋花了 6 日 16 時，請問小瑋比小彥少花了幾日幾時？媽媽到新竹參加喜宴，從新竹開車回家需要 1 時 37 分，媽媽回到家的時間是下午 5 時 25 分，請問她是下午幾時幾分開車離開新竹的？小程要打電話向親友拜年，他打電話向外婆拜年花了 3 分 34 秒，向姑姑電話拜年花了 1 分 56 秒，請問小程的電話拜年，外婆比姑姑多了幾分幾秒？. (續下頁) 38.

(47) 評量目的複名數的乘法文字題. 無日、時進退時、分位分、秒. 複名數的除法文字題. 無日、時進時、分退位分、秒. 有日、時進時、分退位分、秒. 有日、時進時、分退位分、秒. 題號 7 8 9 19 20 21 10 11 12 22 23 24. 試題內容有一段馬路正在進行維護工程。每一公里的維護工程平均要花 1 日 3 時，一段 7 公里的馬路維護工程共要花幾日幾時？媽媽蒸ㄧ籠蘿蔔糕要花 1 時 16 分，連續蒸 3 籠要花幾時幾分？小婷在音樂教室吹直笛，吹ㄧ首曲子需要 3 分 15 秒，同ㄧ首曲子連續吹 3 次，需要幾分幾秒？維修ㄧ部機器需要花費 1 日 6 時，那麼維修 5 部機器共需要幾日幾時？弟弟上圍棋課，每星期上課 3 次，每次上課 1 時 45 分，請問他ㄧ星期共花了幾時幾分上圍棋課程？有一首曲子長 4 分 32 秒，請問這首曲子連續播放 3 次共需幾分幾秒？有ㄧ段下水道正在進行整治，3 公里的整治工程要花 9 日 18 時，1 公里的整治工程平均要花幾日幾時？姐姐烤蛋糕，ㄧ次只能烤ㄧ個，烤 5 個蛋糕ㄧ共花了 5 時 40 分，請問烤ㄧ個蛋糕平均要花多少時間？有 4 個人參加接力賽，他們跑完接力賽共花了 8 分 20 秒，請問平均每人跑了幾分幾秒？哥哥修理 4 臺腳踏車，ㄧ共花了 1 日 4 時，請問哥哥平均修理ㄧ臺腳踏車要花多少時間？摩天輪轉一圈要花 16 分，已知摩天輪轉了 3 時 12 分，共轉了幾圈？爺爺寫了 6 張書法，總共花了 38 分 6 秒，請問爺爺寫一張書法平均要幾分幾秒？. 貳、相關的統計軟體本研究所使用之電腦軟體包括：（一） SPSS（12.0 for Windows）與EXCEL（2003）統計套裝軟體：進行筆試資料的信度、難度及鑑別度分析。（二）MATLAB軟體：用來求出筆試資料各題間的順序性係數rjk值。（三）Word軟體：用來繪製受試者時間概念SS分析之圖。. 39.