單元一 式的運算

數 學 公 式 集 錦

單元一 式的運算

重點一、各項係數 設 f (x)為 x 的多項式，則 1. 各項係數總和 = f (1) 2. 常數項 = f (0) 3. 偶次方項係數總和 2 ) 1 ( f ) 1 ( f + − = 4. 奇次方項係數總和 2 ) 1 ( f ) 1 ( f − − = 重點二、除法 1. 綜合除法：適用於低次方的題目。 註：連續綜合除法：適用於 n ) ( 的題目。 2. 餘式與因式定理： (1) f (x)除以 x - a 之餘式為 f(a) (2) 若除式為(x−α)(x−β)求餘式，則 設 f (x) (x= − α)(x− β)．q(x) ax+ + ⇒b 餘式 r(x)=ax+b (3) 若 f (x)有 x - a 因式，或稱 f (x)可被 x - a 整除，則 f (a) = 0 (4) 若 f (x)有(x - a)(x - b)因式，則 f (a) = f (b) = 0 3. 除法原理： 若 g (x)除 f (x)得商 q (x)，餘式 r (x)，則 f (x) g (x) q (x) r (x)= ⋅ + 重點三、f(a)求值 1. a 為較小的整數：代入法 2. a 為較大的整數、分數或 f (x)之係數過高：綜合除法 3. a 為小數：連續綜合除法 4. a 為根數或虛數：除法原理 重點四、常用公式 1. a2 -b2 = (a + b)(a - b) 2. (a±b)2 =a2 +b2 ±2ab ab 4 ) b a ( ) b a ( + 2 − − 2 = − + ⇒ ， 互換公式： 3. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca 4. a3 ±b3 =(a±b)(a2 ab+b2)

5. (a±b)3 =a3±b3 ±3ab(a±b) 6. a3 + b3 + c3 -3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 -ab–bc-ca) (1) 若 a + b + c = 0，則 a3 + b3 + c3 = 3abc (2) 若 a2 + b2 + c2 -ab-bc-ca = 0，則 a = b = c 重點五、根式 1. a2 = a ，( a )2 = a 2. a b a b (a 0 b 0 ) a b ( ) − ⋅ < < ⋅ = ⋅ 且 時 其他情形時 3. A±2 B = x ± y (其中 A = x + y，B = xy，且 x > y > 0) 重點六、根與係數的關係 二次式 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)兩根為α 、β ，△ = b2-4ac，則 1. 根的性質： (1) △ > 0 ⇔ 相異兩實根 (2) △ = 0 ⇔ 相等兩實根 (3) △ < 0 ⇔ 共軛兩虛根 (4) △ 0≥ ⇔ 實根 2. 根與係數的關係： (1) b a α + β = − ， a c = αβ (2) α2 +β2 =(α+β)2 −2αβ (3) α3 +β3 =(α+β)3 −3αβ(α+β) (4) 以α，β 為兩根之方程式 ⇒ x2 -(α+β ) x + αβ = 0 重點七、方程式的解法 1. 因式分解： (1) 交叉法：二次式 (2) 整數係數一次因式檢驗法：三次式(含)以上 2. 方程式的解法： (1) 絕對值方程式：分段去絕對值符號解之 (2) 多項式方程式：因式分解解之，有必要時採用代換法 (3) 分式方程式：去分母解之，有必要時採用分項抵消法 (4) 根式方程式：平方解之，有必要時採用代換法  

重點八、函數 1. 定義域： (1) 分式型：分母 0≠ (2) 開平方型：被開方式 0≥ 2. 函數值的求法： (1) 同一函數，（ ）內相等 (2) 同一等號，左右 x 值相等 3. 二次函數極值：二次函數 2 f (x)=ax +bx+ c (1) a > 0：當x b 2a − = 時，極小值 f ( b) 2a − = (2) a < 0：當x b 2a − = 時，極大值 f ( b) 2a − =

精選歷屆試題

1.設 2 (a b x+ ) +(2a b x− ) + 為 x 的一多項式，且一次項之係數為 3，則 ab = 5 (A) 1− (B) 2− (C) 3− (D) 4− (E) 5− 。 2. 3 2 5 (2x +6x −4x−2) 之展開式之係數總和為 (A)1 (B) 5 (C) 28 (D) 32 (E) 以上皆非。 3. 若 3 2 3 2 3 4 1 ( 1) ( 1) ( 1) x + x − x+ =a x− +b x− +c x− + ，則 a b c dd − + − = (A) 1− (B) 0 (C)1 (D) 2 。 4. 若 3 3 2 8x −10x+ =3 a(2x+1) +b(2x+1) +c(2x+ + ，則下列何者成立？ 1) d (A)a= (B)2 b= − (C)3 c= − (D)8 d = − (E)以上皆非。 7 5.設 4 3 2 ( ) 7 11 3 18 f x =x + x + x − x− ，則 ( (1))f f = (A) 2 (B) 4− (C) 6 (D) 8− (E)10 。 6.若 (x−1)(x+ 為2) f x( )=x3+mx2+nx− 的因式，則 2m n2 + = ？ (A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 8 。 7.下列各方程式中，何者有兩相異實根？ (A) 2 4 3 0 x + x+ = (B)x2+4x+ = 4 0 (C) 2 4 5 0 x + x+ = (D)x2+4x+ = 。 6 0

8. 設α ，β 為方程式log₂x=log 2_x 的兩根 ，則α3+αβ β+ 3 = ？ (A)55

8 (B) 57 8 (C)71 8 (D) 73 8 。 9. 若 2 2 3 6 0 x+ + x+y +m + xy− = ，則m之值為 (A) 4− (B) 3− (C) 2− (D) 1− 。

試題解析：

1.解析： 依題意 0 1 1 ( 1) 1 3 2 3 1 a b a ab a b b + = =    ⇒_ ⇒_ ⇒_ ⇒ = ⋅ − = − − = = −    二次項係數為0 一次項係數為 2.解析：令 3 2 5 ( ) (2 6 4 2) f x = x + x − x− ， ( )f x 展開後各項係數和 5 5 (1) (2 6 4 2 ) 2 3 2 f = = + − − = = 3.解析：x= 代入原式得： 0 0 0 10 + − + = − + − + ⇒ − + − = − a b c d a b c d 1 4.解析：利用綜合除法可得： 3 8x −10x+3 8( 1)3 12( 1)2 4( 1) 7 2 2 2 x x x = + − + − + + 3 2 (2x 1) 3(2x 1) 2( 2x 1) 7 = + − + − + + 1 a ∴ = ，b= − ，3 c= − ，2 d = 7 5.解析：1. (1) 1 7 11 3 18f = + + − − = − ，2 ( (1)) ( 2) 16 ( 56) 44 ( 6) 18 8 f f = f − = + − + − − − = − 6.解析：由餘式定理得知： (1) 0 1 2 2 3 ( 2) 0 4 2 10 1 f m n m m n f m n n = + = =    ⇒ ⇒ ⇒ + =  _{− =}  _{− =}  _{= −}    7.解析：已知判別式D> ⇔ 一元兩次方程式有兩相異實根 0 8.解析： 2 2 2 log log 2 1

log log 2 (log ) (log 2) log log 2 2,

log 2 log 2 x x x x x x x = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ± ⇒ = 3 3 3 1 1 3 1 64 8 1 73 2 2 ( ) 8 1 2 2 8 8 8 α αβ β + + ∴ + + = + ⋅ + = + + = =

9.解析：原式 2 2 0 2 3 0 3 6 0 3 x x x y m y xy m + = = −     ⇒_ + + = ⇒_ = −  _{− =}  _{= −}  