高一上第二次學藝競試數學題庫(40)

(1)

1091 高一數學第二次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P1/11 單元 CH1 數與式 1. （）設 a、b 為循環小數，a0.12、b0.01。則a b 的值是下列哪一個選項？ (A)0.11 (B)0.1111 (C)1 9 (D) 10 99 (E) 100 999 解答 C 解析利用無窮等比級數和的公式，將a、b化為分數，得 0.12 0.0012 0.000012 a    0.12 12 1 0.01 99    ， 0.01 0.0001 0.000001 b    0.01 1 1 0.01 99    ，再得 12 1 1 99 99 9 a b   2. （）設 r，s 為實數，且 r < s，若 2 3 r s a  ， 2 r s b  ， 5 6 r s c  ，則a，b，c 的大小關係為

何？ (A)a > b > c (B)a > c > b (C)c > a > b (D)b > a > c (E)c > b > a 解答 E 解析設 A(a)，B(b)，C(c)，R(r)，S(s) ⇒ A，B，C 皆為RS的內分點，且RA：AS1 2：，RB：BS1 1：，RC：CS5 1：，所以圖形為：故c > b > a 3. （）試問數線上有多少個整數點與點 101的距離小於5，但與點 38的距離大於3？ (A)1 個 (B)4 個 (C)6 個 (D)8 個 (E)10 個解答 C 解析 101 10. ， 386. ，令所求整數為n。如圖，細線為 _{101 5}  _n _{101 5} ，粗線為_n _{38 3} 或_n _{38 3} 。故 _{38 3}  _n _{101 5} _9.  _n _15.  _n _{10,11,12,13,14,15}，符合的整數有6 個 4. （）滿足 3 < |x + 1| ≤ 10 的整數 x 共有幾個？ (A)12 (B)13 (C)14 (D)15 (E)16 解答 C 解析 3 < x + 1 ≤ 10（當 x + 1 ≥ 0 時）或 3 < − (x + 1) ≤ 10（當 x + 1 < 0 時）⇒ 2 < x ≤ 9 或 − 11 ≤ x < − 4，所以 x = − 11，− 10，…，− 5 或 3，4，…，9 R a S A r s R B b S R C c S

(2)

1091 高一數學第二次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P2/11 5. （） 7 35的值介於哪兩個連續整數之間？ (A)2 和 3 (B)3 和 4 (C)4 和 5 (D)5 和 6 (E)6 和 7 解答 B 解析因為₅ ₃₅₆，所以_{12 7}  _{35 13} 9 7 35 16      3 7 354 6. （）若 94 5  a b，其中a 為整數，0 ≤ b < 1，若2 b 21k 5，則k = (A)8 (B)− 8 (C)32 (D)− 32 (E)− 4 解答 B 解析因為 94 5  52，所以a = 0，b 5 2 ，得2  b 2 ( 52) 4 5 21 8 5 8 k    7. （）設a是無理數₃_ ₃₂的小數部分，則下列哪一個選項是 ₂的小數部分？ (A)a (B) 4 a (C)4a3 (D)a1 (E) 1 4 a 解答 E 解析 3 32 3 4 28. ，所以a 



3 4 2



 8 4 25 5 4 2 5 2 4 a a       ，所以 ₂的小數部分為 2 1 5 1 1 4 4 a a     8. （）下列哪一個數可為n值，使得 _n_ _n_{ }_{1 0.01}？ (A)2497 (B)2498 (C)2499 (D)2500 (E)2501 解答 E 解析 1 1 100 n n  1 100 1 n n    





1



100 1 1 n n n n n n          n n 1 100，因為 ₂₅₀₀₅₀，所以n_取₂₅₀₁ 9. （） 1₂ 1₂ 1 5 4  等於下列哪一個選項？ (A)1.01 (B)1.05 (C)1.1 (D)1.15 (E)1.21 解答 B 解析所求 1 1 1 41 1 441 25 16 400 400       21 1.05 20  

(3)

1091 高一數學第二次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P3/11 10. （）下列哪一個選項正確？ (A)若a，b為無理數，則a b 亦為無理數 (B)若a為有理數， b為無理數，則ab為無理數 (C)若a，b，a b 皆為無理數，則a b 亦為無理數 (D)若a為有理數，b為無理數，則a b 為無理數 (E)若a，b為有理數，c為無理數，則a bc 為無理數解答 D 解析 (A)╳：若_a _{2 1} ，_b ₂，則a b



2 1 



21_{為有理數 (B)╳：若}a0， 2 b ，則ab0為有理數 (C)╳：若a 2 1 ，b 2 1 ，



2 1

 

2 1



2 2 a b     皆為無理數，但a b



2 1 

 

2 1 



2為有理數 (D) ○：因為若a b 為有理數，則b



a b



a為一有理數，與題意不合，所以a b 為無理數 (E)╳：若a2，b0，_c ₂，則a bc 2為有理數

(4)

1091 高一數學第二次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P4/11 單元 CH2 指數與對數 11. （）設 a > 1，且_a12_a21 ₅，下列敘述哪些正確？ (A)a + a − 1 = 23 (B)a2 + a − 2 = 527 (C)_a32 _a32 ₁₁₀ (D) 1 1 4 4 ₇ a a  (E) 1 1 2 2 ₂₁ a a  解答 ABCDE 解析 (A)○：將_a12_a12 ₅兩邊平方得到 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 (a )  2 a a (a ) 25，即a + 2 + a − 1 = 25，因此，a + a − 1_{= 23 (B)○：將 a + a} − 1_{= 23 兩邊平方得到 a}2_{+ 2 × a × a} − 1_{+ (a} − 1₎2₌ 529，即 a2_{+ 2 + a} − 2_{= 529，因此，a}2_{+ a} − 2_{= 527 (C)○：} 3 3 1 1 ₁ 2 2 ₍ 2 2₎₍ ₁ ₎ a a  a a a a = 5 × (23 − 1) = 110 (D)○：因為₍_a14_a14₎2_a12_a21 ₂ ₇，所以 1 1 4 4 ₇ a a   （負不合） (E)○：因為 1₂ 1₂ 2 1 (a a )  a a  2 21，所以 1 1 2 2 ₂₁ a a   （負不合） 12. （）試問共有多少組正整數



k m n, ,



滿足2 4 8k m n 512_？(A)1組 (B)₂組 (C)₃組 (D)₄_組(E)₀_組解答 C 解析依題意，利用指數律，得 2 3 2 3 9 2 2 2k m n5122kmn2 ，再得k2m3n9。因為k、m、n 為正整數，所以n1,2_。當n1時，



m k,



有

 

1, 4 ，

 

2,2 共2組解。當n2時，



m k,



有

 

1,1 共1組解。因此，共有2 1 3  組解

13. （）設log2a，log3 b ，log7c，則 2

10a b c  的值為何？(A)14 (B)21 (C)42 (D)70 (E)84 解答 E 解析由題意知2 10 a，3 10 b，7 10 c，所以102a b c  102a10b10c    22 3 7 84 14. （）放射性物質的半衰期T 定義為每經過時間T，該物質的質量會衰退成原來的一半。設一個鉛製容器中有兩種放射性物質A、B，開始記錄時容器中物質A的質量是物質B質量的2 倍，而經過 120 小時後，A、B的質量相同。已知物質A的半衰期為7.5 小時，則物質B的半衰期為幾小時？ (A) 6 (B) 8 (C) 10 (D) 12 (E) 15 解答 B 解析設物質A原來質量2M，半衰期7.5 小時，物質B原來質量M，半衰期t小時，因為經過120 小時後，A、B質量相同，所以 120 120 7.5 1 1 2 2 2 t M _{ } M _{ }     120 16 1 1 2 2 2 t      _{ } _{ }     120 15 1 1 2 2 t     _{ } _{ }     ，得120 15 t  ，即t8

(5)

1091 高一數學第二次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P5/11 15. （）設正實數b滿足



log100 log



b



log100 log b7。試選出正確的選項 (A)1 b 10

(B) ₁₀ _b ₁₀ (C)10 b 10 10 (D)10 10 b 100 (E)100 b 100 10

解答 D

解析因為log1002，所以2log 2 log 7 3log 5 log 5

3 b  b  b  b ，解得_b₁₀53。又因為₁₀32₁₀53₁₀2，所以10 10 b 100 16. （）設n為正整數。第n個費馬數（Fermat Number）定義為 ₂(2 )n ₁ n F   ，例如F1 = (2 )1 2 + 1 = 22_{+ 1 = 5，} _{(2 )}2 ₄ 2 2 1 2 1 17 F      。試問 13 12 F F 的整數部分以十進位表示時，其位數最接近

下列哪一個選項？（log20.3010） (A)120 (B)240 (C)600 (D)900 (E)1200 解答 E

解析因為 13 13 12

12

logF logF logF

F    



₂13





 ₂12



log 2 1 log 2 1      213  212 log 2 log 2  



13 12



2 2 log 2    12





2 2 1 log 2     4096 1 0.3010  1232.896，所以 13 12 logF F 的首數約為1232，即 13 12 F F 約為1233 位數 17. （）設x為正實數，且 2 4 1 0 x  x  ，則x3x2x2x3之值為何？ (A)100 (B)94 (C)82 (D)76 (E)72 解答 B 解析因為x2 1 4x x 1 4 x      ，所求 3 2 3 2 1 1 x x x x     _  _{ }  _     2 2 2 2 1 1 1 1 x x x x x x      _  _   _{ }  _      (i) 因為 2 2 1 1 4 2 16 x x x x       ，所以 2 2 1 18 x x   (ii)代入(i) 所求   4 19 18 94 18. （）設x、y、z均為正整數，且 8 7 6x   8y 9z 2 3 ，則x y z的值為何？ (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 (E)9 解答 C 解析原式





   

3 2 3 2 2 3 x 2 y 3 z 2x y3x z 8 7 2 3   3 8 2 7 x y x z    _{  }   x ₅ ₂ y ₁ ₂ z ₁ _不合所以x  y z 7

(6)

1091 高一數學第二次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P6/11 19. （）設x、y為正實數，且log7x11，log7y13，則log7



xy



最接近下列哪一個值？

(A)12 (B)13 (C)14 (D)15 (E)16 解答 B 解析因為 11 7 log x11 x 7 ，log₇y13 y 713，所以







11 13



7 7 log xy log 7 7 11



2





11 2



7 7 log 7 1 7  log 7 7  _   _  13 7 log 7 13   20. （）設 3 10 a 。關於a5的範圍，試選出正確的選項 (A)₂₅_a5₃₀_(B)₃₀_a5₃₅ (C) 5 35a 40 (D)40a545 (E)45a550 解答 E 解析 _a5

 

3₁₀ 5 3₁₀5 3₁₀₀₀₀₀_，因為₄₅3_{91125 100000} _，₅₀3_{125000 100000} _，所以₄₅_a5₅₀

(7)

1091 高一數學第二次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P7/11 單元 CH3 多項式函數 21. （）三次函數 y = f (x) = − 2x3 + 6x2 − 9x + 7，試問對此三次函數的敘述哪些是正確的？ (A)y = f (x)函數圖形的對稱中心為(1,2) (B)y = f (x)函數圖形與 x 軸恰交於一點 (C)若 f (a) = b，則 f (2 − a) = 4 − b (D)y = f (x)的函數圖形由左往右下降 (E)y = f (x)在 x = 1 附近的圖形近似於直線 y = − 3x + 5 解答 ABCDE

解析 y = f (x) = − 2(x − 1)3 − 3(x − 1) + 2 (A)對稱中心為(1,2) (B)y = a(x − h)3 + p(x − h) +

k，若 a，p 同號且 a < 0，則圖形恆為遞減，所以 y = f (x)與 x 軸恰交於一點 (C)因為對稱中心 點為(1,2)，所以(a,b)對點(1,2)的對稱點(2 − a,4 − b)亦在 y = f (x)的圖形上 ⇒ f (2 − a) = 4 − b (D)y = f (x)為遞減函數，所以圖形由左往右下降 (E)y = f (x)在 x = 1 附近的圖形近似於直線 y = − 3(x − 1) + 2，即 y = − 3x + 5 22. ( ）設三次函數 f x

 

x32x2cxd，其中c，d為實數，選出正確的選項 (A)可以找到一個實數x0滿足 f x

 

0  99 (B)y f x

 

的圖形與x軸至少交一點 (C)y f x

 

圖形的對稱軸為直線x 1 (D)y f x

 

圖形的對稱中心為



1,f

 

1



(E) 2 1 4

 

0 3 2 3 f_ _ _f_ _ f _       解答 ABE 解析 (A)○：因為函數值小到無限小，所以必有一實數x0滿足 f x

 

0  99 1. (B)○：因為函數值大到無限大，小到無限小，所以圖形與x軸至少交一點 (C)╳：三次函數的圖形沒有對稱軸 (D)╳：代公式：因為 2 2 3 3 1 3 b a       ，所以對稱中心為 2 2 , 3 f 3 _ _     _ _   2. (E)○：因為 2, 2 3 f 3 _ _     _ _  為圖形的對稱中心，且 2 1 4 0 3 2 3     _  _  ，所以圖形上兩點 4, 4 3 f 3 _ _     _ _  與



0,f

 

0



連線段的中點為 2 2 , 3 f 3 _ _     _ _  。因此，

 

2 1 4 0 3 2 3 f_ _ _ f_ _ f _       23. （）下列各二次不等式的解，哪些為任意實數解？ (A) − x2 + x − 4 ≤ 0 (B)x2 + 4x + 9 ≥ 0 (C)x2 − 3x + 2 > 0 (D)x2 − 4x + 14 ≤ 0 (E) − x2 + 6x − 9 < 0 解答 AB 解析 (A)○：y = − x2 + x − 4 的圖形開口向下且判別式 12 − 4( − 1)( − 4) < 0，所以 – x2 + x − 4 恆負，即 − x2_{+ x − 4 < 0 恆成立，故 − x}2_{+ x − 4 ≤ 0 的解為任意實數 (B)○：y = x}2_{+ 4x + 9} 的圖形開口向上且判別式42_{− 4 × 9 < 0，所以 x}2_{+ 4x + 9 恆正，即 x}2_{+ 4x + 9 > 0 恆成立，故 x}2 + 4x + 9 ≥ 0 的解為任意實數 (C)╳：y = x2_{− 3x + 2 的判別式( − 3)}2_{− 4 × 2 > 0，故 x}2_{− 3x + 2} 不恆為正 (D)╳：y = x2_{− 4x + 14 開口向上，判別式( − 4)}2_{− 4 × 14 < 0，所以 x}2_{− 4x + 14 恆} 正，故x2_{− 4x + 14 ≤ 0 無實數解 (E)╳：− x}2_{+ 6x − 9 = − (x − 3)}2_{< 0 的解為 x∈ℝ 且 x ≠ 3}

(8)

1091 高一數學第二次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P8/11 24. （）設 f x

 

為實係數二次多項式，且已知 f

 

1 0，f

 

2 0， f

 

3 0，令

 

  

2



3



g x  f x  x x ，請選出正確的選項： (A)y f x

 

的圖形是開口向下的拋物線 (B)yg x

 

的圖形是開口向下的拋物線 (C)g

 

1  f

 

1 (D)g x

 

0在

 

1, 2 之間恰有一個實根 (E)若是 f x

 

0的最大實根，則g

 

 0 解答 CD 解析 1. (A)╳：因為 f

 

1 0， f

 

2 0， f

 

3 0，所以y f x

 

為開口向上的拋物線 (B)╳：g x

 

 f x

  

 x2



x3



（令 f x

  

 2x3 2



x5



），則

 

g x 是開口向上的拋物線 (C)○：g

 

1  f

 

1 2，所以g

 

1 f

 

1 2. (D)○：因為g

 

1 0且g

 

2  f

 

2 0，所以g x

 

0在

 

1, 2 之間恰有一實根 (E)╳：因為是 f x

 

0的最大實根，所以2  3，又

 

  

2



3



g   f      0



2



 3



0 25. （）請問對於下列哪些選項，可以找到實數a，使得選項裡面所有的數都同時滿足一元二次不等式 2





2 2 0 x  a x a ？ (A)1，0 (B)1，2，3，…（所有的正整數） (C)3，4，5，…（所有小於2的整數） (D)97，2008 (E)， （是圓周率）解答 AD 解析利用因式分解，將原不等式改寫為



x2



x a



0。此不等式的解為介於2與a中的實數 (A)○：若a1，則解為  2 x 1，此時1，0 在解中 (B)╳：因為a_{是一個固定的數，所以解不會涵蓋所有正整數 (C)╳：因為}a是一個固定的數，所以解不會涵蓋所有小於2的整數 (D)○：若a2009，則解為  2 x 2009，此時97，2008 在解中 (E)╳：因為   2而 2，即數線上與 在2的左右兩邊，所以解不會涵蓋 與 26. （）多項式 f (x)除以 2x + 1 的餘式為 8，2x + f (x)除以 1 2 x 的餘式為 (A)8 (B)1 (C)7 (D)− 4 (E)4 解答 C 解析由已知得 ( 1) 8 2 f   ，令F(x) = 2x + f (x)，則所求為 ( 1) 2( 1) ( 1) 1 8 7 2 2 2 F     f     

(9)

1091 高一數學第二次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P9/11 27. （）設a，b，c為實數，且二次多項式 f x

 

ax x



 1



bx x



 3

 

c x1



x3



滿足

 

0 6 f  、 f

 

1 2、 f

 

3  2。請問a b c  等於下列哪一個選項？ (A)0 (B)2 3 (C)1 (D) 1 2  (E) 4 3  解答 B 解析 f

 

0  6 3c，c2， f

 

1   2 2b，b 1， f

 

3   2 6a， 1 3 a  ， 1 2 1 2 3 3 a      b c 28. （）若二次函數 f (x) = kx2 − 3x + 1 之值恆正，則 k 之範圍為何？ (A) 9 4 k (B) 3 2 k (C) 9 4 k (D)0 3 2 k   (E)0 9 4 k   解答 C 解析因為 kx2 − 3x + 1 恆正，所以 k > 0 且( − 3)2 − 4 × k × 1 < 0 ⇒ 9 4 k 29. （）已知實係數多項式 f x

 

除以 2 14 13 x  x 的餘式為ax b ，且 f x

 

除以x1的餘式為4，則a b 的值為何？ (A)1 (B)0 (C)1 (D)4 (E)13 解答 D 解析設f x

 





x214x13



q x

  

 axb



，其中q x

 

為商式。因為 f x

 

除以x1的餘式為4，所以由餘式定理，得知 f

 

1 4。因此， f

 

1  0 q

  

1  ab



4，即a b 4 30. （）下列哪一個不等式的解為「全體實數」（即不等式的解為任意的實數）？ (A)6 − 5x − x2 ≤ 0 (B)x2 − x − 3 ≥ 0 (C)x2 − 4x + 4 ≥ 0 (D)x2 + x + 2 ≤ 0 (E) − x2 + x − 1 ≥ 0 解答 C 解析 (C)x2 − 4x + 4 = (x − 2)2 ≥ 0，解為任意實數

(10)

1091 高一數學第二次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P10/11 單元 CH4-1 直線方程式及其圖形 31. （）如圖，三直線L1，L2，L3的方程式分別為L y1: a x b1  1，L2:ya x b2  2， 3:  3  3 L y a x b 。選出正確的選項。 (A)a10 (B)a1a2 (C)a30 (D)b10 (E)b2b3 解答 ACD 解析直線yax b 就是斜率為a，y_截距為_b_{的直線 (A)因為} 1 L 由左往右上升，所以其斜率 10 a (B)因為L2比L1傾斜程度較大，所以a2 a1 (C)因為L3由左往右下降，所以其斜率a30 (D)因為L1與y軸交於x軸上方，所以b10 (E)因為L2與y軸之交點在L3與y軸之交點的下方，所以b2b3 32. （）如圖所示，坐標平面上一矩形OABC。令m_OA、m_AB、m_BC、m_CO分別表示直線OA、AB、 BC、CO的斜率，選出正確的選項 (A)m_OA1 (B)m_AB m_OA (C)m_OAm_BC (D)m_OAm_AB 1 (E)m_CO  1 解答 ACD 解析 (A)○：因為直線 y = x 的斜率為 1，所以直線 OA 的斜率小於 1 (B)╳：因為 0 1 OA m   _， 0 AB m  _，所以 AB OA m m (C)○：因為直線 OA 與直線 BC 平行，所以m_OA m_BC (D)○：因為直線 OA 與直線 AB 垂直，所以m_OAm_AB  1 (E)╳：因為 1 1 OA CO CO OA m m m m       _，又₀ ₁ OA m   _，所以 1 CO m   x y O L1 L2 L3 x y O A C B y=x

(11)

1091 高一數學第二次學藝競試題庫 @ MATH-SHINMIN P11/11 33. （）設 m 為整數，若兩直線 L1：(2m + 1)x + 2y = 2，L2：(3m + 5)x + (3m + 4)y = 7 互相垂 直，則 m 的值為何？ (A) 13 6  (B)2 (C) − 2 (D)1 (E) − 1 解答 E 解析 1 2 1 2 m m    ， ₂ 3 5 3 4 m m m     ，因為L1⊥L2，所以m1 × m2 = − 1 ⇒ (2m + 1)(3m + 5) + 2(3m + 4) = 0 ⇒ 6m2 + 19m + 13 = 0 ⇒ (m + 1)(6m + 13) = 0 ⇒ m = − 1 或 13 6 m  （不合） 34. （）下列選項中，去掉哪一個點後，其他四個點會在同一條直線上？ (A)( − 1 , 2) (B)(1 , 1) (C)( − 3 , 3) (D)(2 , 1) (E)(5 , − 1) 解答 D 解析 2 1 1 3 3 ( 1) ( 1) 1 1 ( 3) ( 3) 5  _  _         35. （）選出斜率最小的直線 (A)2x  y 1 0_(B)3x4y 5 0_(C)y 3 8



x1



(D) 1 2 3 x_{ }y 解答 A 解析將四個直線方程式都改寫成斜截式： (A)y = − 2x − 1，斜率為 − 2 (B) 3 5 4 4 y x ，斜率為3 4 (C)y = 8x + 11，斜率為 8 (D) 3 3 2 y  x ，斜率為 3 2 