6.1－2　　多元函数及偏导数与全微分

上海交大乐经良

Chap 6

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Chap 6.1－2

6.1.1 空间直角坐标系

选定原点O

，

作三条两两垂直

的数轴，标为x 轴、y 轴、z 轴

就构成空间直角坐标系

约定：x,y ,z 轴成右手系(右手规则)

坐标平面_{：xOy平面， yOz平面, zOx平面}

卦限：八个卦限 O x y z （如图,可称为横轴,纵轴,竖轴） （由坐标平面将空间分成的8个部分）

x O y P z y x z ■ 点与坐标 点 坐标 可记为

P

_{(x, y, z)} 点 P₁(x₁, y₁, z₁) , P₂(x₂, y₂, z₂) 的距离⏐P₁P₂⏐ 有了直角坐标系 2 1 2 2 1 2 2 1 2

)

(

)

(

)

(

x

x

y

y

z

z

d

=

−

+

−

+

−

) ( 1 1 z , y , x P ←⎯ →⎯－ 点 P(x,y,z) 与原点(0,0,0) 间距离⏐OP⏐ 2 2 2

z

y

x

d

=

+

+

建立了空间直角坐标的空间，记为R3 例 求中心在_{(x0 , y0 , z0) 半径为R 的球面方程} 设球面上任意一点的坐标为 _{(x, y), 则} 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2

)

(

)

(

)

(

x

−

x

+

y

−

y

+

z

−

z

=

R

球面方程 例 求点P(2,-1,-3)到 xOy 平面和到 x 轴的距离， 且求P关于 xOy 平面、 x 轴和原点的对称点

6.1.2 多元函数概念

简单说，函数依赖的自变量多于一个称为 设D是xy平面上的集合，依照规律 f , D内 多元函数 任一点_{(x,y)，有唯一 z 与之对应,}

z

y

,

x

)

⎯

⎯→

f

(

D

y

x

y

x

f

z

=

(

,

),

(

,

)

∈

则称 f 是定义在D上的二元函数，记为 自变量 定义域 一般由几条 光滑曲线围 成(区域)

例 已知 f (x+ y,xy) = x3 + y3, 求 f ( yx, ) 二元函数包括两个要素（定义域、对应规律） 例 设 f (x, y) = x2_+y2_{, 求 f (x＋y, x}

_－

_y)

)

1

ln(

4

−

2

−

2

+

2

+

2

−

=

x

y

x

y

z

例 求 的定义域

■ 二元函数图形(几何意义) 几何图形称为二元函数的图形，_{一般而言是R}3中

}

)

,

(

,

)

(

)

{(

x,y,z

z

=

f

x,y

x

y

∈

D

集合 所对应 的一个曲面；曲面在xy 面上的投影区域就是函数 的定义域D x z y x z y D

¾ 一些重要的几何图形及其方程 一.椭球面 1 2 2 2 2 2 2 = + + c z b y a x _{(a > 0,b> 0,c> 0 半轴）} y x z

二.椭圆抛物面 2 2 2 2 b y a x z = + x y z 当 a=b, 为旋转抛物面 三.双曲抛物面 z b y a x = − ₂2 2 2 x y z O

四. 柱面(母线平行坐标轴) x z y 方程的特点 不含某个变量，例如 0 ) ( x, y = F (不含 z) 1 2 2 2 2 = + b y a x 椭圆柱面

1 2 2 2 2 = b y － a x 双曲柱面 py x 2 = 抛物柱面 y z x x y z

五. 旋转面 平面上曲线L 绕直线l 旋转一周的轨迹所形成 的曲面为旋转面 (l :对称轴,

L

:子午线) yOz面上的曲线 ⎩ ⎨ ⎧ = = 0 0 ) ( x y,z f 绕

z

轴旋转而成的曲面 0 ) (± x2 + y2 ,z = f x z y

例 xz平面上的抛物线 ⎩ ⎨ ⎧ = = 0 2 y kx z 绕

z

轴旋转而成的曲面为

)

(

x

2

y

2

k

z

=

+

H.W 习题6 3 (只要关于xOy平面、x 轴和原点对称) 4 5 7 (2)(3)(4) 8-10

设二元函数在P₀ 点的邻近区域(可除去P₀)定义,

6.1.3 二元函数的极限与连续

f (x,y) 的极限为 A，或 f (x,y)收敛于A, 记为

A P f o P Plim→ ( ) = A y x f y y x x = → → ( , ) lim 0 0 若当

P

_{(x,y)以任何方式趋近点(x0,y0)时,函数 f(x,y)} 总是趋向常数A,则称当 P → 或P₀ (x, y) → (x₀, y₀) 时, 此时也可称 f (x,y)收敛于A ■ 二元函数的极限

¾ 二元函数极限与一元函数极限类似 2. 有类似的性质和运算法则 ¾ 存在与一元函数的区别 1.(x,y)趋近点(x₀,y₀)时函数 f(x,y)变化的 定量趋势 有无穷多方向，且采取的路径也是 0 P P → 平面上 任意的，既可取直线，也可取曲线；无论从何种 方向或沿何种路径，只要P点与P₀的距离充分接近 都必定有 f (P) − A _充分小

例 讨论下列极限的存在性，且在存在时求 其值 2 2 ( , ) (0,0) (1) lim x y xy x y → + 2 2 2 0 0 (2) lim x y xy x y → → + xy , y , x

xy

1 ) 0 0 ( ) (

lim

(

1

)

)

3

(

+

→

■ 二元函数的连续性 则称函数 f(x,y)在

P

_0(x0,y0)处连续，也称_(x0,y0)是 ) , ( ) , ( lim _{0 0} ) , ( ) , (x y → x₀ y₀ f x y = f x y f 的连续点. （不连续，称为间断） 若二元函数 f (x,y)在平面区域D上每一点都连续， 则称 f 在区域D上连续，或称f 是D上的连续函数 若二元函数 f(x,y)在P₀(x₀,y₀)满足 ¾ 二元连续函数的和差积商（分母不为零） 仍为连续函数；其复合函数是连续函数

¾ 二元初等函数在其定义域内都是连续的 （间断点在无定义的孤立点、线处） 例 讨论函数的连续性： ) 0 , 0 ( ) , ( ), 0 , 0 ( ) , ( 0 ) , ( 2 2 2 = ≠ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = y x y x y x y x y x f 例 函数 在何处连续，何处间断？

y

x

x

z

−

=

2

¾ 闭区域上的二元连续函数有与一元情况 类似的性质 有界性 最值性 介值性 例 求极限

)

cos(

lim

)

1

(

2 2 ) 0 , 0 ( ) , (x y →

x

+

y

xy xy , y , x ) 1 ln( lim ) 2 ( ) 0 0 ( ) ( + →

H.W 习题6 11 12 补充题 求极限 2 2 2 2 ) 0 0 ( ) ( ) sin( lim ) 1 ( y x y x , y , x + + → xy 1 sin lim ) 2 ( ) 0 0 ( ) (x,y → , x

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Chap6 ― 2

6.2.1 偏导数的概念

一.定义 相应地函数有增量(偏增量) 对二元函数 f(x,y)在点 (x_0,y₀) 给x以增量

Δ

x

)

,

(

)

,

(

x

₀

x

y

₀

f

x

₀

y

₀

f

z

x

=

+

Δ

−

Δ

x x f y , x x f x z y , x f x x x x Δ ) ( ) Δ ( lim Δ Δ lim ) ( 0 0 0 0 0 0 0 − + = = ′ → → Δ Δ 函数 f 在点(x₀,y₀ ) 处对 x 的偏导数为 偏导数也可记为 ) , (x₀ y₀ x f ∂ ∂

¾ 多元函数的偏导数是其对某一自变量的变化率 ¾ 对变量 y 的偏导数类似 若函数 f 在区域D上每一点都存在偏导数，则这 些偏导数是D上的二元函数，称为偏导函数,记为

)

(

),

(

x

,

y

f

x

,

y

f

_x

′

_y

′

( , ), (x, y) y f y x x f ∂ ∂ ∂ ∂ 或 二. 二元函数偏导数求法 把y固定在y₀，求一元函数 f (x,y₀)在x₀处 的导数,就得到偏导数f

’

_x(x₀,y₀),同样方法可以计 算偏导数 f

’

_y(x₀,y₀)

2 2 y x x z + = 例 求函数 _的偏导数 z′_x (0,1), ) 1 0 ( , z′_y 例 求函数

u

=

x

y

(

x

>

0

)

的偏导数 ) 0 0 ( ) ( ) 0 0 ( ) ( 0 2 2 , y , x , , y , x y x xy ) y , x ( f = ≠ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = 例 求下列函数的偏导数

三. 连续与可偏导的关系 ¾ 连续未必可偏导 例 考察 ¾ 可偏导未必连续 ) 0 , 0 ( ) , ( ), 0 , 0 ( ) , ( 0 ) , ( 2 2 = ≠ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = y x y x y x xy y x f 在(0,0)的情况 例 考察

f

(

x

,

y

)

=

x

+

y

在(0,0)的情况

四. 二元函数偏导数的几何意义 曲面 z = f(x,y)与平面y = y₀的交线 ⎩ ⎨ ⎧ = = 0 ) , ( y y y x f z _{( , )} 0 y x f z = ⇒ （平面y=y₀上的曲线） ) (x₀,y₀ f_x′ 是上述曲线在 (x₀,y₀)点处的切线关于 x轴的斜率 x z y

例 求曲线 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = 4 4 2 2 y y x z 在(2,4,5)处的切线 H.W 习题6 13（2）-（5） 14

6.2.2 高价偏导数

f (x,y)在(x₀,y₀)的邻域内的偏导函数 f

‘

_x(x,y)， f ’_y(x,y) 的偏导数称为f 在(x₀, y₀)点处的二阶偏导数 ) ( 2 2 x f x x f f_xx ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = ′′ ( ) 2 x f y y x f f_xy ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ = ′′ ) ( 2 y f x x y f f_yx ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ = ′′ _{( )} 2 2 y f y y f f_yy ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = ′′ 类似地；二阶偏导数的偏导数为三阶偏导数 ) ( ₂ 2 2 3 x f y y x f f_xxy ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ = ′′′ 例如

例 求函数z的所有二阶偏导数 1) ln sin( y) u = x + xe y x u = ) 2 例 证明函数 2 2 2 1 z y x r + + = 满足Laplace(拉普拉斯)方程：

0

Δ

r

def

=

r

_xx

′′

+

r

_yy

′′

=

6.3.3 全微分

一. 定义 回忆一元情况，若 f 在x 可微,则

,

x

o

x

x

f

f

(

)

Δ

(Δ

)

Δ

=

′

⋅

+

微分

df

=

f

(

x

)Δ

x

是增量Δf 在 x 的线性主部

)

,

(

)

,

(

x

₀

x

y

₀

y

f

x

₀

y

₀

f

f

z

=

Δ

=

+

Δ

+

Δ

−

Δ

可写为 对函数 z =f (x,y),若全增量

)

(

)Δ

(

)Δ

(

Δ

z

=

f

_x

′

x

,

y

x

+

f

_y

′

x

,

y

y

+

o

ρ

为函数 f (x,y) 在P₀(x,y)点处的全微分 可微，而称 2 2 _{( )} ) (Δx + Δy = ρ ,则称 f 在 P₀(x₀, y₀) 其中

y

y

,

x

f

x

y

,

x

f

df

dz

=

=

_x

′

(

)Δ

+

_y

′

(

)Δ

y

y

,

x

f

x

y

,

x

f

_x

(

)d

_y

(

)d

¾ 与一元情况类似，全微分同样是线性主部 若 f (x,y) 在区域D内每点可微，称为可微函数

′

+

′

=

¾ 从几何上看，微分就是用切平面来近似 曲面

二. 可微与连续及可偏导的关系* ¾ 可微必连续 ¾ 可微必可偏导 ¾ 有连续偏导数则可微 偏导数连续 ⎩ ⎨ ⎧ ⇒ ⇒ 可偏导 连续 可微 例 求函数 y 在点(1,1)的全微分 x z = 例 求函数 x y z = arctan 的全微分

, ) , ( ) , (x₀ y₀ x f x₀ y₀ y f dz z ≈ = _x Δ + _y Δ Δ 例 求 (1.04)1.98 的近似值 H.W 习题6 16 (1)-(3) 17 18 19 20 (2)-(4) 26