上海交大乐经良
Chap 6
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Chap 6.1-2
6.1.1 空间直角坐标系
选定原点O
,
作三条两两垂直的数轴,标为x 轴、y 轴、z 轴
就构成空间直角坐标系
约定:x,y ,z 轴成右手系(右手规则)
坐标平面:xOy平面, yOz平面, zOx平面
卦限:八个卦限 O x y z (如图,可称为横轴,纵轴,竖轴) (由坐标平面将空间分成的8个部分)
x O y P z y x z ■ 点与坐标 点 坐标 可记为
P
(x, y, z) 点 P1(x1, y1, z1) , P2(x2, y2, z2) 的距离⏐P1P2⏐ 有了直角坐标系 2 1 2 2 1 2 2 1 2)
(
)
(
)
(
x
x
y
y
z
z
d
=
−
+
−
+
−
) ( 1 1 z , y , x P ←⎯ →⎯- 点 P(x,y,z) 与原点(0,0,0) 间距离⏐OP⏐ 2 2 2z
y
x
d
=
+
+
建立了空间直角坐标的空间,记为R3 例 求中心在(x0 , y0 , z0) 半径为R 的球面方程 设球面上任意一点的坐标为 (x, y), 则 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2
)
(
)
(
)
(
x
−
x
+
y
−
y
+
z
−
z
=
R
球面方程 例 求点P(2,-1,-3)到 xOy 平面和到 x 轴的距离, 且求P关于 xOy 平面、 x 轴和原点的对称点6.1.2 多元函数概念
简单说,函数依赖的自变量多于一个称为 设D是xy平面上的集合,依照规律 f , D内 多元函数 任一点(x,y),有唯一 z 与之对应,z
y
,
x
)
⎯
⎯→
f(
D
y
x
y
x
f
z
=
(
,
),
(
,
)
∈
则称 f 是定义在D上的二元函数,记为 自变量 定义域 一般由几条 光滑曲线围 成(区域)例 已知 f (x+ y,xy) = x3 + y3, 求 f ( yx, ) 二元函数包括两个要素(定义域、对应规律) 例 设 f (x, y) = x2+y2, 求 f (x+y, x
-
y))
1
ln(
4
−
2−
2+
2+
2−
=
x
y
x
y
z
例 求 的定义域■ 二元函数图形(几何意义) 几何图形称为二元函数的图形,一般而言是R3中
}
)
,
(
,
)
(
)
{(
x,y,z
z
=
f
x,y
x
y
∈
D
集合 所对应 的一个曲面;曲面在xy 面上的投影区域就是函数 的定义域D x z y x z y D¾ 一些重要的几何图形及其方程 一.椭球面 1 2 2 2 2 2 2 = + + c z b y a x (a > 0,b> 0,c> 0 半轴) y x z
二.椭圆抛物面 2 2 2 2 b y a x z = + x y z 当 a=b, 为旋转抛物面 三.双曲抛物面 z b y a x = − 22 2 2 x y z O
四. 柱面(母线平行坐标轴) x z y 方程的特点 不含某个变量,例如 0 ) ( x, y = F (不含 z) 1 2 2 2 2 = + b y a x 椭圆柱面
1 2 2 2 2 = b y - a x 双曲柱面 py x 2 = 抛物柱面 y z x x y z
五. 旋转面 平面上曲线L 绕直线l 旋转一周的轨迹所形成 的曲面为旋转面 (l :对称轴,
L
:子午线) yOz面上的曲线 ⎩ ⎨ ⎧ = = 0 0 ) ( x y,z f 绕z
轴旋转而成的曲面 0 ) (± x2 + y2 ,z = f x z y例 xz平面上的抛物线 ⎩ ⎨ ⎧ = = 0 2 y kx z 绕
z
轴旋转而成的曲面为)
(
x
2y
2k
z
=
+
H.W 习题6 3 (只要关于xOy平面、x 轴和原点对称) 4 5 7 (2)(3)(4) 8-10设二元函数在P0 点的邻近区域(可除去P0)定义,
6.1.3 二元函数的极限与连续
f (x,y) 的极限为 A,或 f (x,y)收敛于A, 记为
A P f o P Plim→ ( ) = A y x f y y x x = → → ( , ) lim 0 0 若当
P
(x,y)以任何方式趋近点(x0,y0)时,函数 f(x,y) 总是趋向常数A,则称当 P → 或P0 (x, y) → (x0, y0) 时, 此时也可称 f (x,y)收敛于A ■ 二元函数的极限¾ 二元函数极限与一元函数极限类似 2. 有类似的性质和运算法则 ¾ 存在与一元函数的区别 1.(x,y)趋近点(x0,y0)时函数 f(x,y)变化的 定量趋势 有无穷多方向,且采取的路径也是 0 P P → 平面上 任意的,既可取直线,也可取曲线;无论从何种 方向或沿何种路径,只要P点与P0的距离充分接近 都必定有 f (P) − A 充分小
例 讨论下列极限的存在性,且在存在时求 其值 2 2 ( , ) (0,0) (1) lim x y xy x y → + 2 2 2 0 0 (2) lim x y xy x y → → + xy , y , x
xy
1 ) 0 0 ( ) (lim
(
1
)
)
3
(
+
→■ 二元函数的连续性 则称函数 f(x,y)在
P
0(x0,y0)处连续,也称(x0,y0)是 ) , ( ) , ( lim 0 0 ) , ( ) , (x y → x0 y0 f x y = f x y f 的连续点. (不连续,称为间断) 若二元函数 f (x,y)在平面区域D上每一点都连续, 则称 f 在区域D上连续,或称f 是D上的连续函数 若二元函数 f(x,y)在P0(x0,y0)满足 ¾ 二元连续函数的和差积商(分母不为零) 仍为连续函数;其复合函数是连续函数¾ 二元初等函数在其定义域内都是连续的 (间断点在无定义的孤立点、线处) 例 讨论函数的连续性: ) 0 , 0 ( ) , ( ), 0 , 0 ( ) , ( 0 ) , ( 2 2 2 = ≠ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = y x y x y x y x y x f 例 函数 在何处连续,何处间断?
y
x
x
z
−
=
2¾ 闭区域上的二元连续函数有与一元情况 类似的性质 有界性 最值性 介值性 例 求极限
)
cos(
lim
)
1
(
2 2 ) 0 , 0 ( ) , (x y →x
+
y
xy xy , y , x ) 1 ln( lim ) 2 ( ) 0 0 ( ) ( + →H.W 习题6 11 12 补充题 求极限 2 2 2 2 ) 0 0 ( ) ( ) sin( lim ) 1 ( y x y x , y , x + + → xy 1 sin lim ) 2 ( ) 0 0 ( ) (x,y → , x
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Chap6 ― 2
6.2.1 偏导数的概念
一.定义 相应地函数有增量(偏增量) 对二元函数 f(x,y)在点 (x0,y0) 给x以增量Δ
x
)
,
(
)
,
(
x
0x
y
0f
x
0y
0f
z
x=
+
Δ
−
Δ
x x f y , x x f x z y , x f x x x x Δ ) ( ) Δ ( lim Δ Δ lim ) ( 0 0 0 0 0 0 0 − + = = ′ → → Δ Δ 函数 f 在点(x0,y0 ) 处对 x 的偏导数为 偏导数也可记为 ) , (x0 y0 x f ∂ ∂¾ 多元函数的偏导数是其对某一自变量的变化率 ¾ 对变量 y 的偏导数类似 若函数 f 在区域D上每一点都存在偏导数,则这 些偏导数是D上的二元函数,称为偏导函数,记为
)
(
),
(
x
,
y
f
x
,
y
f
x′
y′
( , ), (x, y) y f y x x f ∂ ∂ ∂ ∂ 或 二. 二元函数偏导数求法 把y固定在y0,求一元函数 f (x,y0)在x0处 的导数,就得到偏导数f’
x(x0,y0),同样方法可以计 算偏导数 f’
y(x0,y0)2 2 y x x z + = 例 求函数 的偏导数 z′x (0,1), ) 1 0 ( , z′y 例 求函数
u
=
x
y(
x
>
0
)
的偏导数 ) 0 0 ( ) ( ) 0 0 ( ) ( 0 2 2 , y , x , , y , x y x xy ) y , x ( f = ≠ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = 例 求下列函数的偏导数三. 连续与可偏导的关系 ¾ 连续未必可偏导 例 考察 ¾ 可偏导未必连续 ) 0 , 0 ( ) , ( ), 0 , 0 ( ) , ( 0 ) , ( 2 2 = ≠ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = y x y x y x xy y x f 在(0,0)的情况 例 考察
f
(
x
,
y
)
=
x
+
y
在(0,0)的情况四. 二元函数偏导数的几何意义 曲面 z = f(x,y)与平面y = y0的交线 ⎩ ⎨ ⎧ = = 0 ) , ( y y y x f z ( , ) 0 y x f z = ⇒ (平面y=y0上的曲线) ) (x0,y0 fx′ 是上述曲线在 (x0,y0)点处的切线关于 x轴的斜率 x z y
例 求曲线 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = 4 4 2 2 y y x z 在(2,4,5)处的切线 H.W 习题6 13(2)-(5) 14
6.2.2 高价偏导数
f (x,y)在(x0,y0)的邻域内的偏导函数 f‘
x(x,y), f ’y(x,y) 的偏导数称为f 在(x0, y0)点处的二阶偏导数 ) ( 2 2 x f x x f fxx ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = ′′ ( ) 2 x f y y x f fxy ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ = ′′ ) ( 2 y f x x y f fyx ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ = ′′ ( ) 2 2 y f y y f fyy ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ = ′′ 类似地;二阶偏导数的偏导数为三阶偏导数 ) ( 2 2 2 3 x f y y x f fxxy ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ = ′′′ 例如例 求函数z的所有二阶偏导数 1) ln sin( y) u = x + xe y x u = ) 2 例 证明函数 2 2 2 1 z y x r + + = 满足Laplace(拉普拉斯)方程:
0
Δ
r
def=
r
xx′′
+
r
yy′′
=
6.3.3 全微分
一. 定义 回忆一元情况,若 f 在x 可微,则,
x
o
x
x
f
f
(
)
Δ
(Δ
)
Δ
=
′
⋅
+
微分df
=
f
(
x
)Δ
x
是增量Δf 在 x 的线性主部)
,
(
)
,
(
x
0x
y
0y
f
x
0y
0f
f
z
=
Δ
=
+
Δ
+
Δ
−
Δ
可写为 对函数 z =f (x,y),若全增量)
(
)Δ
(
)Δ
(
Δ
z
=
f
x′
x
,
y
x
+
f
y′
x
,
y
y
+
o
ρ
为函数 f (x,y) 在P0(x,y)点处的全微分 可微,而称 2 2 ( ) ) (Δx + Δy = ρ ,则称 f 在 P0(x0, y0) 其中
y
y
,
x
f
x
y
,
x
f
df
dz
=
=
x′
(
)Δ
+
y′
(
)Δ
y
y
,
x
f
x
y
,
x
f
x(
)d
y(
)d
¾ 与一元情况类似,全微分同样是线性主部 若 f (x,y) 在区域D内每点可微,称为可微函数′
+
′
=
¾ 从几何上看,微分就是用切平面来近似 曲面二. 可微与连续及可偏导的关系* ¾ 可微必连续 ¾ 可微必可偏导 ¾ 有连续偏导数则可微 偏导数连续 ⎩ ⎨ ⎧ ⇒ ⇒ 可偏导 连续 可微 例 求函数 y 在点(1,1)的全微分 x z = 例 求函数 x y z = arctan 的全微分
, ) , ( ) , (x0 y0 x f x0 y0 y f dz z ≈ = x Δ + y Δ Δ 例 求 (1.04)1.98 的近似值 H.W 习题6 16 (1)-(3) 17 18 19 20 (2)-(4) 26