93指考預試卷(3)

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數學考科

(卷3) 試題第一部份

作答時間:40 分鐘

作答方式:

˙選擇題用 2B 鉛筆在「答案卡」上作答,修正時應以橡

皮擦拭,切勿使用修正液

˙非選擇題用黑色或藍色原子筆,直接作答於試題所標示

的答案欄內

祝考試順利

本 試 卷 之 著 作 權 屬 於 財團法人大學入學考試中心基金會 本試卷(含參考答案)預定於92年5月19日 公布在大考中心網站 http://www.ceec.edu.tw

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壹、單選題 說明:第1至3題,每題選出最適當的一個選項,標示在答案卡之「解答欄」,每 題答對得10點,答錯不倒扣。 1 .某曲線如圖一,下列哪一個值最可能是圖一陰影區域的面積? (1)60 (2)400 (3)430 (4)460 (5)490 2 .空間中平面 E 的方程式為:x+y+z=1。令A為平面 E 和xy 平面相交的直 -線。假設平面 E 以A為軸旋轉角度θ 後通過 (0,0,2) 這個點。則cosθ 等於多 少? (1) 9 3 5 (2) 2 3 (3) 3 2 2 (4) 5 5 2 (5) 5 6 2 圖一

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3 .現在有黑桃、紅心、方塊、梅花四種花色的撲克牌 16 張,每種花色四張,點 數分別是A,2,3,4。假設從中抽出四張牌,比較這四張「點數都相同 的機率P」和「是同花順 (也就是花色相同而點數分別為A,2,3,4) 的 機率Q」,下列 P 與 Q 的關係,哪一個正確? (1) 2Q=P (2) 2Q>P>Q (3) P=Q (4) Q>P>Q/2 (5) P=Q/2 貳、多重選擇題 說明:第4-7題,每題有5個選項,其中至少有一個選項是正確的。請選出 正確選項,標示在答案卡之「解答欄」。每題各選項獨立計分,每 答對一個選項,可得2點;每答錯一個選項,倒扣2點,完全答對得 10點。整題未作答者,不給分亦不扣分。若在備答選項以外之區域 劃記,一律倒扣2點。

4 . 設 p , q 為正實數,若log10p=log100q=log1000

(

p+q

)

,p , q 滿足下列哪些關 係? (1)log10q=2log10p (2)p= q (3)p+q= pq (4)log10p< 0 (5)p> q

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A B C D E 5 .如圖,邊長為1的正立方體有八個頂點。任取其中四個不共面的頂點,以此 四頂點作為一四面體的頂點,決定一個四面體。例如,圖中 A、C、D、E 構 成一個四面體的頂點,但 A、B、D、C 則不行。考慮如此構成的所有四面 體,請選出正確的選項。 (1)所有四面體體積都一樣 (2)至少有一個四面體的體積是 6 1 (3)外觀不同的四面體至少有三種 (4)不可能有正四面體 (5)可以將正立方體切成六個四面體 6 .以橢圓 A: 1 4 y 8 x2 2 = + 左邊的焦點為軸心逆時針旋轉 45 度角。旋轉後另一個焦點所在的座標為 b) (a, 。則以下哪些選項是對的? (1)a >b (2)(a, 這個點在第二象限 b) (3)旋轉後橢圓的長軸在直線x=y-2上 (4)旋轉後橢圓的中心在第一象限 (5)旋轉後的橢圓通過(2 2-2,0)這個點

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7. 有一種小鋼珠遊戲其圖如下,每次投一球。假設小鋼珠到達每一結點時,其 往左下走或右 下走的機率各為 2 1 ,下列哪些敘述是對的? (1) 若只投一球,則落入 A 區的機率大於落入 B 區的機率,且落入 B 區 的機率大於落入C 區的機率。 (2) 若投入兩球,則兩球落入不同區的機率是 8 5 ,落入同一區的機率是 8 3 。 (3) 若投入兩球,則有一球在 A 區的機率是 16 12 ,而有一球在 B 區的機率 是 16 7 。 (4) 若投入兩球,且此二球皆落入 C 區,則此二球會落入同一點的機率和 落入不同點的機率相同。 (5) 若投入三球,則三球落在不同區的機率和三球皆落在同一區的機率相同。

B A C

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參、選填題 說明:此題為選填題,每題10點。答案寫在所標示的列號內,依序將答案寫 在答案紙之答案欄內,若未書寫在答案欄者,恕不計分。 A . 若方程組      = + + = + + = + + a z y x 17 z 3y 2x 12 z 2y x 2 2 2 恰有一組解(x,y,z),則a = 。 8 9

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(卷3) 試題第二部份

說明:此部分為計算證明題,請在各試題之答案欄作答,請盡量作

答。

第一題

小張最近認識了一位筆友,他很想知道這位筆友什麼時候生日,可是筆友卻一 直保密不肯告訴他。直到今年(2004 年)的 4 月 2 日 (星期五)那天,他接到筆友 的 email,上面寫著:「我最希望生日能在星期六了,因為第二天不必上課,生 日那天可以好好玩個通宵。如果今年不是閏年的話,我的生日 24 日那天就是星 期六了。可惜今年碰到閏年,害我還得多等好幾年,才能在星期六過生日」。 雖然,筆友沒提到他的生日在幾月,但是小張卻發現可以算出這位筆友的生 日。 (1) 問這位筆友的生日是星期幾? (請說明理由) (2) 請算出這位筆友的生日在幾月?(請說明理由) (3) 這位筆友要等幾年才可以在星期六過生日? (應寫出計算過程否則不予計分)

第二題

設0≤ x≤π且 2 π ≠ xk >1是一個常數。 (1)已知 k y= 和1 y=sin2x的圖形交於兩點,証明此二點的x座標和為 2 π 。 (2)利用上題試証滿足sec2 x=2k tanx的兩個根的和為 2 π 。 (3)求滿足方程式tan2 x-2ktanx+1=0的所有x值的和。 (應寫出計算過程否則不予計分)

數據

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參考文獻

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