第19期試題與參考解答

中學生通訊解題第十九期參考解答

臺北市立建國高級中學 數學科

問題編號

100 個同學圍坐成一圓圈，遊戲開始，每人先各由 1、2、3 三數中依”相鄰 之人不得選擇相同數字”之條件，任意選定一數作為自己的幸運數字。選定之後 各人與鄰座依序兩兩一組，共分50 組，各組二人幸運數字之和若為 3、4、5 者各 有a、b、c 個組，則 a、b、c 三數中最大之各組有獎。 小希與左鄰同組，統計結果數字和為5 的 c 個組獲獎。 小希說︰若我與右座同組，獲獎的未必是c 組吧。 小聰說︰一樣啦！不論你與左鄰或右座同組，a、b、c 之值不會變的。 你以為呢？ 參考解答： 設 100 人中，以 1,2,3 為幸運數字者各有 x,y,z 人，即 x+y+z=100。 小希與左鄰同組時，二人幸運數字和為 3,4,5 者各有 a,b,c 組 小希與右座同組時，二人幸運數字和為 3,4,5 者各有 a’,b’,c’組 則　　　a+b=x　　　　　　　　a’+b’=x 　　　　a+c=y　　　　　　　　a’+c’=y 　　　　b+c=z　　　　　　　　b’+c’=z 　　　　a+b+c=50　　　　　　a’+b’+c’=50 　　　　a+z=50=a’+z  b+y=50=b’+y　　　　即 a=a’，b=b’，c=c’ c+x=50=c’+x 小聰說的對！ 解題重點：分析題意，依分組規則列出方程組，再作比較。 評析：本題難度較高，答題狀況普遍不佳，部分同學僅舉出一個特例，或發生觀 　　　念錯誤、算式不清的情形，顯示國中生對於題目的分析仍有進步空間。本 　　　題答題人數共 9 人，平均得分 2 分，答題優良者為新莊國中吳之堯同學。 問題編號 901902

若 p 為質數，且 xyzw xyzw xyzw xyzw p q 23 23 123 . 0 23 1 . 0 10   ， q 為自然數，

x

、 y 、

z

、

w

為阿拉伯數字，求 p 之值。 參考解答： 9999990 1 123 10   xyzw p q 10p(123xyzw1)=q×9999990 p(123xyzw1)=q×33_{×7×11×13×37} 逐一檢驗得　　p=13，q=16 解題重點：先把先將循環小數化成分數的形式，從而觀察出 p 是 999999 之質因 數 　　　　　，再經試驗得到 p=13 的結論。 評析：本題答題情況尚佳，部分同學能推得 p=13 的結論，但未能清楚說明理由， 　　甚是可惜。本題答題人數共 12 人，平均分數為 4.5 分，答題優良者有銘傳 　　國中邱柏凱同學、福和國中胡明原同學、大直國中陳俊曄同學及新莊國中 　　吳之堯同學等。

(1) 設 n 是形如4k 1的正整數（例如︰1,5,9,…），是否可以找到 n 個正奇數， 1 a 、a2、a3、…、an ，使得a1a2a3an a1a2a3an？ (2) 若有 n 個正奇數a1、a2、a3、…、an，滿足a1a2a3an a1a2a3an， 證明n 必為形如4k 1的正整數。 參考解答：

(1)取 a1=a2=…=an1=1，an1=3，an=2k+1

　　a1+a2+…+an1+an=6k+3，a1．a2…an1．an=3(2k+1)=6k+3

　∴可找到 n 個正奇數 a1,a2,…,an1,an，使得a1a2a3an a1a2a3an (2)∵a1a2a3an a1a2a3an

　而 a1,a2,…,an1,an為正奇數 　∴a1．a2…an1．an為奇數 　n 為奇數

　假設 n=4k+3，k 為大於等於 0 的整數

　考慮 a1,a2,…,an1,an中，被 4 除餘 1 的有 x 個，則被四除餘 3 者有(nx)個 　N= a1+a2+…+an1+an≡3n2x≡2x+1(mod 4)

　M=a1．a2…an1．an≡(1)nx≡(1)x+1(mod 4)

(a) 若 x 為奇數，N≡3(mod 4)但 M≡1(mod 4)……….不合

(b) 若 x 為偶數，M≡1(mod 4)但 M≡3(mod 4)……….不合 　由(a),(b)可知假設不成立。 　∴n 必為形如 4k+1 的正整數。 解題重點：第一小題主要是構造出滿足條件的情況；而第二小題則由除法原理出 　　　　　發，利用餘數相同的概念，得到結果。 評析：本題對國中生而言偏難，因此答題人數僅有 4 人，平均得分為 4.75 分，答 　　　題優良者為福和國中胡明原同學。 問題編號 901904

某天蛋頭正在寫數學作業，調皮搗蛋的弟弟把他的作業本搶了去，在幾個數字上 亂塗鴉，結果只見題目如下： “若(_x4_★x2 _{▲)可被(x}2 _★x_{▲)整除，………”} 蛋頭只記得兩個★處是相同數字，兩個▲處也是相同數字，請幫幫忙解救他，找 出★和▲的數字吧！ 參考解答： 假設★



a

且▲ b 　則由長除法的計算可得右式： 　　　　　 1a b a  1 　　10a0b b a  1 ab a a   2 　但當a0時，上式不正確



必須討論

a

是否為 0，同理b亦然 　(1)a0且b0：滿足條件，得(a,b)(0,0) 　(2)a0但b 0：則_x4 _b(_x2 _b)_Q(_x) 　　(A)　 　 　　　　　 1 0b b   0 1 　　1000b b   0 1 b b    0 2 0 b b   　　　　　　　 0 　　　　_bb2 _0 　　　　　b(1 b)0 　　　 b0或 (0 不合)1 　　得(a,b) (0,1) 　　(B)取x2 b_{(降次) 　　　} 4_{ }( 2)2 _{ }(_ )2 _{ } 2_{ }0 b b b b b x b x 亦然 　(3)a0但b0：則_x4_ax2 _(_x2 _ax)_Q(_x) 　　　　　　_x3_ax(_xa)_Q(_x) 　　　　　　　　　_(_a)3 _a(_a)_a2(_a1)_0 　　　　　　　　　 a0或 (0 不合)1 　　　　　　　　　得(a,b)(1,0) 　(4)a0且b 0：　　　 　　　　　 1 a1 b a  1 　　10a0b b a  1 ab a a   2 　　　　　　(a2 ab)abb 　　　　　　 1ab 　　　　　　　 0 　　　　　　　　　_a2_ab1_0 　　　　　　ab a0 　　　　　　a(b1)0 0 ) (    a a b 0 ) (    a a b

　由上述(1)(2)(3)(4)情況可知　(a,b)(0,0)或(0,1)或(1,0)或(2,1)或 ) 1 , 1 ( 解題重點：熟悉多項式的除法運算，以及因式分解的應用，並分析 a、b 的各種情 　　　　　況。 評析：本題需就 a、b 的值分類討論，容易遺漏(a,b)(0,0)的情況，造成得分率 　　　不高的情形。本題答題人數為 23 人，平均得分為 1.83 分。 問題編號 901905 在平面直角座標系中，A 點座標為(1,1)，B 點與 C 點都在座標軸上（可能同在 x 軸或y 軸上，也可能各在一個座標軸上），A、B、C 三點形成一個等腰三角形。 (1) 請找出 5 個滿足以上條件的三角形。 (2) 設以 A 為頂點，令AB ACd ，試用d 的值來討論此類等腰三角形ABC 的個數。 (3)若以 B、C 為頂點，請討論這類的等腰三角形的個數。 參考解答： (1)

(2)∵△ABC 是以 A 為頂點，AB AC的等腰△ 　∴B,C 分別落在以 A 為圓心，d 為半徑的圓上， 　又∵B,C 須在座標軸上，故可用圓與 x,y 軸的相交情形，討論等腰△ABC 的個數 (a) d=1 時，一解 (b) 1<d< 2時，六解 (c) d= 2 時，兩解 (d) d> 2時，六解 (3)設以 B 當頂點，取 B(x0,0) 　∵_BABC 　∴A,C 均在以 B 為圓心，BA為半徑的圓上 　因此就 x0討論△ABC 的個數。

　　　△ABC 有兩種　　　　　　△ABC 有三種　　　　　　△ABC 有四種 (0, 102) x01 x₀= 2 1 1>x0 2 1 