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101指考數學甲

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Academic year: 2021

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(1)

大學入學考試中心

101 學年度指定科目考試試題

數學甲

作答注意事項

考試時間:80 分鐘

作答方式:˙選擇(填)題用 2B 鉛筆在「答案卡」上作答;更正時,應以橡皮擦擦拭,

切勿使用修正液(帶)。

˙非選擇題用筆尖較粗之黑色墨水的筆在「答案卷」上作答;更正時,可以使

用修正液(帶)。

˙未依規定畫記答案卡,致機器掃描無法辨識答案;或未使用黑色墨水的筆

書寫答案卷,致評閱人員無法辨認機器掃描後之答案者,其後果由考生

自行承擔。

˙答案卷每人一張,不得要求增補。

選填題作答說明:選填題的題號是

A,B,C,……,而答案的格式每題可能不同,考

生必須依各題的格式填答,且每一個列號只能在一個格子畫記。請仔

細閱讀下面的例子。

例:若第 B 題的答案格式是 ,而依題意計算出來的答案是

8 3

,則考生

必須分別在答案卡上的第

18 列的 與第 19 列的 畫記,如:

例:若第

C 題的答案格式是 ,而答案是

7

時,則考生必須分別在答

案卡的

3 7  8 20 21 50 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0  

18

19

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   18 19

(2)

第壹部分:選擇題(單選題、多選題及選填題共占

76 分)

一、單選題(占

30 分)

說明:第

1 題至第 5 題,每題有 5 個選項,其中只有一個是正確或最適當的選項,

請畫記在答案卡之「選擇(填)題答案區」。各題答對者,得

6 分;答錯、未

作答或畫記多於一個選項者,該題以零分計算。

1. 令 f x( )x x( 1)(x3 ,試問有多少個實數 a 滿足2) 0 ( ) 0 a f x dx 

? (1) 1 個 ( 2) 2 個 ( 3) 3 個 ( 4) 4 個 ( 5) 5 個 2. 某公司員工中有 15% 為行政人員, 35% 為技術人員, 50% 為研發人員。這些員工中, 60% 的行政人員有大學文憑, 40% 的技術人員有大學文憑, 80% 的研發人員有大學文 憑。從 有 大 學 文 憑 的 員 工 中 隨 機 抽 選 一 人 , 他 ( 或 她 ) 是 技 術 人 員 的 機 率 是 下 列 哪 一 個 選 項 ? (1) 2 9 ( 2) 1 3 ( 3) 4 9 ( 4) 1 5 ( 5) 2 5 3. 作 某 項 科 學 實 驗 共 有 三 種 可 能 結 果 A 、 B 、 C , 其 發 生 的 機 率 分 別 為 pAlog2a、 4 log B papC log8a; 其 中a為 一 正 實 數 。 試 問 p 為下列哪一個選項?A (1) 5 9 ( 2) 6 11 ( 3) 7 13 ( 4) 8 15 ( 5) 9 17

(3)

4. 已知方陣 a b c d e f g h i           的 反 方 陣 為 a b c d e f g h i                。試 問 下 列 哪 一 個 選 項 為 g h i a b c d e f           的 反 方 陣 ? (1) a b c d e f g h i                ( 2) a d g b e h c f i                ( 3) g h i a b c d e f                (4) g a d h b e i c f                ( 5) c a b f d e i g h                5. 當 ( , )x y 在 直 線 2x y  上變 動時 ,關 於3 K9x 3y的 敘 述 , 試 問 下 列 哪 個 選 項 是 正 確 的 ? (1) K 有最大值 28、最小值 6 3 (2) K 有最大值 28、但沒有最小值 (3) K 沒有最大值、但有最小值 12 (4) K 沒有最大值、但有最小值 6 3 (5) K 沒有最大值也沒有最小值

二、多選題(占

32 分)

說明:第

6 題至第 9 題,每題有 5 個選項,其中至少有一個是正確的選項,請將正

(4)

(1) tan 1 (2) sin( ) 0 4    (3) sin 2  1 (4) 1 2 a (5) 滿足題設 的

只 有 一 個

(5)

7. 平面上有一 ABC ,G 為 ABC 的 重 心 。O 、 D 為此平面上的相異二點,且滿足

Com

b i n=Comb i n+Comb i n+Comb i n。 請 選 出 正 確 的 選 項 。

(1) O 、 G 、 D 三點共線 (2) OD2OG (3) Com b i n+Comb i n+Comb i n=2 Com b i n (4) G 位於 ABC 的 內 部 (5) D 位於 ABC 的 外 部 8. 已知一個n次 實 係 數 多 項 式 ( )f x 滿足下列性質:x 時, ( ) 00 f x  且 f( ) 0x  ; 當0  時, ( ) 0x 1 f x  且 f x( ) 0 ; 當1  時, ( ) 0x 4 f x  且 f x( ) 0 ; 當x 時, ( ) 04 f x  且 f( ) 0x  。 請 選 出 正 確 的 選 項 。 (1) f(2) f(3) (2) ( )f x 在x 時有最小值4 (3) ( )f x 的圖形只有一個反曲點 (4) n 可能為 3 (5) ( )f x 的最高次項係數必為正

(6)

(1) Ω 有一頂點坐標為 (1,1,2) (2) Ω 有一稜線其方向向量為 (1,0, 1) (3) Ω 有兩個側面互相垂直 (4) Ω 僅有一個側面是正三角形 (5) Ω 的體積為2 3 ( 註 : 四 面 體 的 體 積 為1 3 底面積  高)

(7)

三、選填題(占

14 分)

說明:

1.第 A 題與第 B 題,將答案畫記在答案卡之「選擇(填)題答案區」所標示的

列號(

10–15)。

2.每題完全答對給 7 分,答錯不倒扣,未完全答對不給分。

A. 設a b c d e, , , , 為 實 數 。 已 知 一 次 方 程 組 3 5 0 2 ax y z b y cz y dz e         的解 的圖 形是 坐標 空間 中包 含 x 軸 的 一 個 平 面 , 則a ,b ,c 。(化成最簡分數)

B. 空 間 中 , 以 AB 為共 同邊 的兩 正方 形 ABCD 、 ABEF ,其 邊長 皆 為 4 。已 知內 積 Com b i nComb i n= 11,則Com b i nComb i n= 。 13 12 10 11 14 15

(8)

(一、二)與子題號(

(1)、(2)、(3)),同時必須寫出演算過程或理由,否則將

予扣分甚至給零分。作答務必使用筆尖較粗之黑色墨水的筆書寫,且不得使

用鉛筆。每一子題配分標於題末。

一. 設 f 為一 實係 數 多 項式 函數 。 (1) 設 a 為一數列,其中n 4 ( ) n f n a n  。若 lim n 5 na  ,試求 f 的次數與最高次項係數。(3 分 ) (2) 若 0 ( ) lim 3 x f x x ,試求 f 的函數圖形在x 時的切線方程式。(4 分)0 (3) 若 f 滿足上面( 1) 與(2) 的假設,且 f (0) 2 ,試求 1 1f x dx( ) 

之 值 。 (5 分)

二. 在 ABC 中 , D 為 BC 邊上一點 且 AD 平分 BAC 。已 知 BD 、5 DC ,且7 ABC  。60 (1) 試求 sin ACB 之 值 。 (4 分)

(2) 試求 sin BAC 之 值 。 (4 分) (3) 試求 AB 邊之長。(4 分)

參考文獻

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