94指考數學甲

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九十四學年度指定科目考試試題

數學甲

作答注意事項

考試時間：80 分鐘

作答方式：第壹部分請用

2B 鉛筆在答案卡之「解答欄」內作答，選擇題答錯均倒扣。修

正時應以橡皮擦拭，請勿在答案卡上使用修正液。第貳部份作答於「非選擇

題答案卷」，請在規定之欄位以黑色或藍色筆作答，並標明題號。

作答示例：請仔細閱讀下面的例子。

（ 一 ）

選 擇 題 ： 只 用

1 ， 2 ， 3 ， 4 等 四 個 格 子 ， 而 不 需 要 用 到

 ，  ， 以 及

5，6，7，8，9，0 等格子。

例：若第

1 題為單一選擇題，選項為(1)3 (2)5 (3)7 (4)9，而正確的答案為 7，亦即

選項(3)時，考生要在答案卡第 1 列的 劃記（注意不是 7），如：

例：若第

10 題為多重選擇題，正確選項為(1)與(3)時，考生要在答案卡的第 10 列

的 與 劃記，如：

（二）選填題的題號是

A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題

的格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。

例：若第 C 題的答案格式是 ，而答案是

50 7 

時，則考生必須分別在答案卡的

第 20 列的 與第 21 列的 劃記，如：

3 1 3 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   7  20 21 50

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0   解 答 欄

第 壹 部 分 ： 選 擇 題 ( 佔

7 8 分 )

一 、 單 選 題 （

1 8 % ）

說明：第1至3題，每題選出一個最適當的選項，標示在答案卡之「解答欄」。每題答對得6分，

答錯或劃記多於一個選項者倒扣2分，倒扣到本大題之實得分數為零為止，未作答者，

不給分亦不扣分。

1. 地震規模的大小通常用 芮 氏等級來表示。已知 芮 氏等級每增加 1 級，地震震幅強度約 增 加 為 原 來 的10 倍，能量釋放強度則約增加為原來的 32 倍。現假設有兩次地震，所 釋 放 的 能 量 約 相 差 100, 000 倍，依上述性質則地震震幅強度約相差幾倍？請選出最接 近 的 答 案 。 （1） 10 倍 （2） 100 倍 （3） 1000 倍 （4） 10000 倍 2.     2 csc 3 cos 2 sec 3 sin _ 可 化 簡 為 （1） sin （2） cos （3） tan （4） cot 3. 令i  1，

z

表 複 數

z

的 共 軛 複 數 。 在 複 數 平 面 上 ， 所 有 滿 足 方 程 式 0 ) 1 ( ) 1 ( i z i z  的 複 數

z

， 會 形 成 下 列 哪 種 的 圖 形 ？ （1） 一點 （2） 一圓 （3） 一直線

二 、 多 選 題 （

4 8 % ）

說明：第 4 至 9 題，每題各有4個選項，其中至少有一個是正確的。選出正確選項，標示

在答案卡之「解答欄」。每題8分，各選項獨立計分，每答對一個選項，可得2分，每答

錯一個選項，倒扣2分，完全答對得8分，整題未作答者，不給分亦不扣分。若在備答

選項以外之區域劃記，一律倒扣2分。倒扣到本大題之實得分數為零為止。

4. 設 ( ) 2 (1 2) x a x x f    為 一 實 係 數 多 項 式 函 數 ，

a

為 常 數 。 下 列 敘 述 何 者 正 確 ： （1） 不論

a

是 何 值 ， f ( x)的 函 數 圖 形 都 不 可 能 是 直 線 。 （2） 不論

a

是 何 值 ， 若 f( x)有 極 值 ， 則 極 值 都 等 於

a

。（ 註 ： 極 大 值 與 極 小 值 統 稱 極 值 ） （3） 0 有可能是 f( x)的 極 大 值 。 （4） 若a0， 則 f(x)0無 重 根 。 5. 如圖， ABCD 是邊長為 1 的正方形，在

AB

、BC 、CD 、

DA

四 邊 上 依 序 任 取 一 點

P

、Q、

R

、S （ 皆 非 頂 點 ） 。 若 PQRS是 長 方 形 但 不 是 正 方 形 ， 下 列 敘 述 何 者 正 確 ： （1） SAP與PBQ相 似 。 （2） SAP和QCR全 等 。 （3） PB QB。 （4） PBQ的 最 大 可 能 面 積 為 2 1 。

6. 球面 _x2_y2_z2_4 _{與空間中兩點}

_P



_(1,

_

₂

_{, 1) , Q (}

_

₁

_{, 2,}

_

₁

_{) 的關係是：} （1） 直線 PQ和 球 面 交 於 兩 點 。 （2） 線段PQ和 球 面 交 於 兩 點 。 （3） 直線 PQ與 球 面 相 切 。 （4） 直線 PQ通 過 球 心 。 7. 宴會在場的 50 位賓客有人偷了主人 的珠寶，由於賓客身 上都沒有珠寶，而且 他們都 不 承 認 偷 竊。警 方 決 定 動 用 測 謊 器 ， 並 且 只 問 客 人 一 個 問 題 ：「 你 有 沒 有 偷 珠 寶 ？ 」。 已 知 若 某 人 說 謊 ， 則 測 謊 器 顯 示 他 說 謊 的 機 率 為 99％；若某人誠 實，則 測謊器顯 示他 誠 實 的 機 率 是90％。下列敘述何者正確： （1） 設竊賊只有一 人。當賓客受測 時，測謊器顯 示賓客說謊的機率大於 10％。 （2） 設竊賊只有一 人。當測謊器顯 示一賓客說謊時，該賓客 正是竊賊的機率大於 50％。 （3） 設竊賊只有一 人，當測謊器顯 示一賓客誠 實時， 該賓客卻 是竊賊的機率小於 20％。 （4） 當測謊器顯 示一賓客說謊時，該賓客 是竊賊的機率，並不 因竊賊人 數多少而 改 變 。

8.

A

是2×2 方陣，設

_A

2

_

_A

_

_A

_，

_A

3

_

_A

_

_A

_

_A

_{， 以 此 類 推 。 已 知 }               1 1 1 1 A ，               1 1 1 1 A ， 若 有a,b使 得 _              2 3 4 b a A ， 下 列 敘 述 何 者 正 確 ： （1） a3。 （2） b2。 （3） _               1 1 1 1 2 A 。 （4）

A

是 一 旋 轉 方 陣 。 9. 有一條拋物 線位於 坐標平面之上 半面（即其

y

坐 標 ），並與0

x

- 軸、直線 y  x1、 直 線 y  x 1相 切 。 下 列 敘 述 何 者 正 確 ： （1） 此拋物 線的對稱 軸必為

y

- 軸。 （2） 若此拋物 線對稱 軸為

y

- 軸，則其 焦距為 1。（註： 拋物線的焦距為焦點到頂點 的 距 離 ） （3） 此拋物 線的頂點必在

x

- 軸上。 （4） 有不只一 條拋物 線滿足 此條件 。

三 、 選 填 題

( 1 2 % )

說明：A、B各題為選填題，請在答案卡的「解答欄」之列號（10-13）中標示答案。每一題完

全答對得6分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A. 全班男女 生共 51 人，票選畢業旅行 的目的地， 每 人 限 投 一 票 ， 結 果 如 右 表 。 現 以 簡 單 隨 機 抽 樣 ， 抽 出 兩 人 ， 若 這 兩 人 都 是 女 生 ， 則 這 兩 人 都 想 去 墾 丁 的 機 率 是0. （以四 捨五入取到小數 兩 位 ） 。 女 男 墾 丁 10 10 澎 湖 6 10 花 東 9 6 B. 考慮雙曲 線 _y2 _{ x}2 _1_{圖 形 的 上 半 部 （ 如 右} 圖 ） ， 取 此 雙 曲 線 上

x

坐 標 為

n

的 點 與 漸 近 線

x

y



的 距 離 ， 記 為dn， 其 中

n

為 正 整 數 。 則

)

(

lim

_n n

n



d

＝

0.

（ 以 四 捨 五 入 取 到 小 數 兩 位 ）

─ ─ ─ ─ ─ ── ─ ─ ─以下部分作答於答案卷 ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─

第 貳 部 分 ： 非 選 擇 題 （ 佔

2 2 分 ）

說明：本大題共有二題計算證明題，答案務必寫在答案卷上，並於題號欄標明題號（一、

二），與子題號（1.、2.、3.…）同時必須寫出演算過程或理由，否則將酌予扣分。每題

配分標於題末。

一 、 袋 中 有 三 個 一 樣 大 小 的 球 ， 分 別 標 示10 分、20 分、30 分。重複 自袋中取出一 球後 放 回 ， 記 錄 得 分 並 累 加 ， 其 中 取 出 各 球 之 機 率 皆 相 等 。 1. 求抽三 次後總分為 60 分的機率。（5 分） 2. 遊戲「過三十」的規則是重複 抽球，直到 總得分大於或等於 30 分後停止，總得分 恰 為30 分者輸，超過 30 分者贏。求贏得此遊戲 之機率。（6 分） 二 、 平 面 上 有 一 橢 圓 ， 已 知 其 焦 點 為(0,0)和(4,4)， 且 y  x 2為 此 橢 圓 的 切 線 。 1. 求此橢 圓的半長軸長。（ 6 分） 2. 設此橢圓方程式為_Ax2_BxyCy2_{DxEy}1_{， 求}

_A

_、

_B

_{、C 、}

_D

_、

_E

_{之 值。（5} 分 ） ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─

2. 2 1.4142, 31.7321, 5 2.2361, 7 2.6458。 3. log1020.3010, log1030.4771, log1070.8451。