許介彥
大葉大學 電信工程學系
前言
「 遞 迴 」（ Recursion ）的 觀 念 除 了 可 以 用來解決許多類型的計數問題外，在其他許 多領域也扮演著重要的角色。在本文中，讀 者將看到遞迴在幾個機率問題的應用。例題
問題一：
某個醉漢在一個月黑風高的夜裡跌跌撞 撞地來到了一個懸崖邊，他只要再向前走一 步就會跌落懸崖。如果從現在開始他的每一 步不是向前就是向後，而且向前及向後的機 率分別是 1/3 與 2/3，那麼他跌落山崖的機率 是多少？解答：
會 使 得 醉 漢 跌 落 山 崖 的 走 法 有 無 限 多 種，如向前一步、向後→向前→向前、向後 →向前→向後→向前→向前、向後→向後→ 向前→向前→向前等；所有這種走法所走的 步數必定是奇數。 由於醉漢的前進與後退都在一直線上， 他的移動可以看成是在數線上左右移動，我 們將懸崖的坐標定為 0，醉漢一開始的位置 定為 1；一旦他的所在位置為 0 就相當於跌 落懸崖。 考慮比原來的問題更具一般性的情況： 假設醉漢的每一步向右及向左的機率分別為 p及(1− p)，而Px代表醉漢一開始的位置為 x 時 跌 落 懸 崖 的 機 率 ； 原 來 題 目 中 的 p為 2/3，所要求的機率則是P1（見下圖）。 0 1 2 3 4 x 起點 p 1− p 讀者不難預測，當p=0時P1必等於 1， 而當 p=1時P1必等於 0；當p的值由 0 持續 增加到 1 時，P1的值會由 1 減少到 0；P1的 值會隨著 p的改變而起「連續」的變化，也 就是說，P1應該是一個連續函數。 由於醉漢的第一步在數線上不是向左就 是向右，如果向右到達坐標為 2 的點的話， 接下來的移動會跌落懸崖的機率為P2，因此 以下關係成立： 2 1 (1 p) pP P = − + 由坐標為 2 的點走到坐標為 0 的點的走 法可以分為前後兩段，前段是由坐標為 2 的 點走到坐標為 1 的點（發生的機率為P1，因 為與由坐標為 1 的點走到坐標為 0 的點同樣 是向左一個單位），後段則是由坐標為 1 的點 走到坐標為 0 的點（發生的機率為P1），因此 1 1 2 P P P = ⋅ ，上式可改寫為 2 1 1 (1 p) pP P = − + 將P1當做未知數可解得1 1= P 或 p p P1=1− . 解出來的兩個根在 p=1/2時相等（見下圖）。 0 0.5 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 P1=1 P1= (1-p)/p p P1 由 於 P1的 值 不 能 大 於 1 ， 因 此 顯 然 p p P1=(1− )/ 不適用於0≤p<1/2的情形，也 就是說，當0≤ p<1/2，P1的值必為 1。 另一方面，由於P1是 p 的連續函數且當 1 = p 時P1的值為 0，因此當1/2≤p≤1時，P1 的值必等於(1− p /) p。 就我們原來要解決的問題而言，p的值 為 2/3，而 2 1 ) 3 / 2 ( ) 3 / 2 ( 1 1 = − = P 所以醉漢跌落山崖的機率是二分之一。 請讀者留意：上 面的論述告訴我們，當 2 / 1 = p ，也就是醉漢的每一步向前及向後的 機 率 一 樣 時 ， 他 跌 落 山 崖 的 機 率 是 百 分 之 百！只有當醉漢的每一步向後的機率被提昇 到高於 2/3 時，醉漢跌落山崖的機率才會降 到一半以下，這樣的結論可能會與許多讀者 的直覺相抵觸。
問題二：
上個問題中，如果醉漢一開始的位置離 懸崖邊有 m 步之遙（m 為任意正整數），而 且他的每一步向後及向前的機率分別是p與 ) 1 ( −p ，那麼他跌落山崖的機率是多少？解答：
我們不難將上個問題的解答說明中起點 為 2 時醉漢跌落山崖的機率P2 =P1P1推廣到 起點為任意正整數 m 的情形；當m>1，由 坐標為 m 的點走到坐標為 0 的點的走法可以 分為前後兩段，前段是由坐標為 m 的點走到 坐標為(m−1)的點（發生的機率為P1），後段 則是由坐標為(m−1)的點走到坐標為 0 的點 （ 發 生 的 機 率 為 Pm−1）， 因 此 Pm的 值 等 於 1 1Pm− P ，而 2 1 1 1 2 PP P P = = 3 1 2 1 3 PP P P = = 4 1 3 1 4 PP P P = =M
一般而言，Pm=P1m。我們從上個問題已知 ≤ ≤ − ≤ ≤ = 1 2 / 1 / ) 1 ( 2 / 1 0 1 1 p p p p P 因此 ≤ ≤ − ≤ ≤ = 1 2 / 1 ) / ) 1 (( 2 / 1 0 1 p p p p Pm m 由此不難看出當p<1/2時，不管醉漢一 開 始 離 崖 邊 多 遠 ， 他 跌 落 山 崖 的 機 率 都 是 1；而當p>1/2時，醉漢一開始離崖邊越遠， 他跌落山崖的機率就越小。問題三：
M 和 N 都喜歡找對方下棋，他們下的每 一局棋由 M 獲勝的機率都是 2/3（N 獲勝的 機率為 1/3）。如果 M 與 N 一開始分別有一元 及兩元，每下完一局輸的人就付給贏的人一 元 ， 而 且 比 賽 一 直 持 續 到 有 一 方 輸 光 了 為止，那麼 M 將 N 的錢全部贏走的機率是多 少？
解答：
考慮一個較具一般性的情況：一開始 M 與 N 分別有 m 與 n 元，每一局 M 獲勝的機 率為 p，N 獲勝的機率為q=1− p；M 在比賽 過程中的任何時候所擁有的金額可以看成是 數線上的一點，一開始 M 的坐標為 m，他的 每一步向右及向左的機率分別為 p 與 q ，一 旦他的位置落在原點就代表他的錢已經輸光 了，而一旦他的位置落在坐標為(m+n)的點 就代表 N 的錢輸光了（見下圖）。 0 1 2 m m+n 起點 p q 讀者不難看出這個問題其實和醉漢走路 的問題有密切的關連；現在相當於有兩個「懸 崖」，分別位於坐標為 0 及(m+n)之處，只 要 M 走到這兩點中的任何一點比賽即結束。 由 於 本 題 的 p=2/3>1/2，因此如果我 們先忽略當 M 到達坐標為(m+n)的點時比 賽 將 會 結 束 （ 也 就 是 假 設 比 賽 仍 會 繼 續 進 行，N 可以有負債）的話，那麼我們由上一 題 的 解 答 已 經 知 道 M 到 達 原 點 的 機 率 為 m p q/ ) ( 。 M 由坐標為 m 的點走到原點的過程中可 能會經過坐標為(m+n)的點（N 將錢輸光）， 也可能不會經過該點（M 將錢輸光）；如果我 們假設 M 由起點走到坐標為(m+n)的點的 機率為 Q，那麼下面的關係一定成立： n m m Q Q q p p q/ ) =(1− )+ ( / ) + ( 其 中 的(q/p)m+n是 由 坐 標 為(m+n)的 點 走 到原點的機率。上式中將 Q 當做未知數可解 得 m n m p q p q Q + − − = ) / ( 1 ) / ( 1 原 來 題 目 中 的 p=2/3， q=1/3，m=1， 2 = n ，代入上式可算出 M 將 N 的錢全部贏 走的機率為 4/7；因此儘管一開始 N 的錢較 多，M 的贏面卻較大。 如果 p=q=1/2會是什麼情形呢？將 p 與 q 的值代入上式的結果將使得分子與分母 同 時 為 0 ， 不 過 由 l'Hôpital's rule 可 知 當 ) / (q p 趨近 1 時，M 將 N 的錢全部贏走的機 率將趨近m/(m+n)，因此當 M 和 N 的棋藝 相當時，每個人成為最後贏家的機率正比於 比賽一開始各人所擁有的金錢多寡；M 可以 期望從比賽中獲利 0 ) ( ) ( − = + + + m n m n n n m m 元，N 所期望的獲利也同樣是 0 元，因此這 將是一場公平的賭局。問題四：
有一隻蒼蠅沿著立方體 ABCDEFGH 的 12 條邊爬行；每當它到達立方體的一個頂點 時它可以選擇與該頂點相連的 3 條邊中的任 意一條繼續爬行，每一條邊被選中的機率都 是 1/3。 A H G F E D C B在 F 和 G 兩個點上鋪著捕蠅紙，因此這 隻蒼蠅一旦走到 F 或 G 的話將被捕蠅紙黏住 而 不 能 再 移 動 。 如 果 蒼 蠅 一 開 始 的 位 置 為 A，那麼： (1)它會在 G 點被黏住的機率是多少？ (2)它會在 F 點被黏住的機率是多少？ (3)它不會被任何捕蠅紙黏住的機率是多少？
解答：
我們先求蒼蠅會被位於 G 點的捕蠅紙黏 住的機率。假設蒼蠅由 A 點出發後在 G 點被 黏住的機率為 p 且由 H、E、D 點出發後在 G 點被黏住的機率分別為 x、y、z；基於對稱， 蒼蠅由 B 與 C 出發後在 G 點被黏住的機率將 分別是 x 與 y，如下圖所示： A H G F E D C B x 1 z y y x 0 p 如 果蒼 蠅 在 某 個 時 刻 的 所 在 位 置 為 A 點，那麼它所抵達的下一個頂點是 H、B、D 的機率分別都是 1/3，因此 z x x p 3 1 3 1 3 1 + + = 同理可得 1 3 1 3 1 3 1 ⋅ + + = p y x 0 3 1 3 1 3 1 ⋅ + + = x z y y y p z 3 1 3 1 3 1 + + = 將 以 上 四 個 方 程 式 聯 立 可 解 得 p=4/7 （x,y,z的值則分別是 9/14, 5/14, 3/7）。 接著求蒼蠅會被位於 F 點的捕蠅紙黏住 的機率。同樣地，假設蒼蠅由 A 點出發後在 F 點被黏住的機率為 p 且由 H、E、D 點出發 後在 F 點被黏住的機率分別為 x、y、z；基 於對稱，蒼蠅由 B 與 C 出發後在 F 點被黏住 的機率將分別是 x 與 y，如下圖所示： A H G F E D C B x 0 z y y x 1 p 根據題意列出以下方程式： z x x p 3 1 3 1 3 1 + + = 0 3 1 3 1 3 1 ⋅ + + = p y x 1 3 1 3 1 3 1 ⋅ + + = x z y y y p z 3 1 3 1 3 1 + + = 由 此 可 解 得 p=3/7（ x,y,z的 值 則 分 別 是 5/14, 9/14, 4/7）。 因此，蒼蠅會在 G 點被黏住的機率為 4/7，會在 F 點被黏住的機率為 3/7，而不會 被任何捕蠅紙黏住的機率為 0 7 3 7 4 1 = + − .問題五：
有一隻螞蟻沿著正四面體 ABCD 的 4 條邊爬行；每當它到達正四面體的一個頂點時 它可以選擇與該頂點相連的 3 條邊中的任意 一條繼續爬行，每一條邊被選中的機率都是 1/3。 如果螞蟻一開始的位置為 A 而正四面體 的每條邊的長度為 1 呎，那麼當螞蟻爬完 7 呎時，它的所在位置為 A 的機率是多少？
解答：
假設an代表螞蟻爬了 n 呎後的所在位置 為 A 的機率；很顯然a0 =1，我們希望求得a7 的值。 如果螞蟻爬了(n−1)呎後的所在位置為 A（機率為an−1），那麼很顯然當它再爬一呎 後的位置不可能為 A。如果螞蟻爬了(n−1)呎 後的所在位置為 B、C、D 等三點之一（機率 為(1−an−1)），那麼當它再爬一呎後的位置為 A 的機率為 1/3。由以上推論，我們有了以下 的遞迴關係： > − × = = −) 0 1 ( ) 3 / 1 ( 0 1 1 n a n a n n 由此可陸續算出a1, a2, ..., a7的值如下： n 1 2 3 4 5 6 7 n a 0 3 1 9 2 27 7 81 20 243 61 729 182 因此題目所求的機率為 182/729。讀者如果熟 悉常係數線性遞迴關係的求解，不難求得an 的一般式為 − + = 4 3 3 1 4 1 n n a .參考資料
1. 許介彥（2001），遞迴關係在計數問題的應 用，科學教育月刊，第 243 期。2. Paul Meyer, Introductory Probability and
Statistical Applications, 2nd edition, Addi-
son-Wesley, 1970.
3. F. Mosteller, R. E. Rourke, and G. B. Thom- as, Jr., Probability With Statistical Applicat -
ions, Addison-Wesley, 1961.
