--關於水柱打結的現象
邱義雄
高 雄 市 立 前 鎮 高 級 中 學壹、 前 言
在 水 流 量 很 小 且 穩 定 流 出 的 水 龍 頭 下 ， 置 一 平 板 （ 直 接 用 手 或 其 他 有 平 面 結 構 的 物 體 亦 可 ），當 平 板 靠 近 出 水 口 於 某 距 離 內 ， 落 下 的 水 流 會 呈 現 似 波 的 形 狀 ， 而 不 是 筆 直 落 下 ， 即 流 下 的 水 柱 有 一 節 一 節 的 現 象（ 如 圖 2-a）。 假 若 平 板 與 出 水 口 的 距 離 再 拉 近 或 水 流 量 稍 微 增 多 ， 波 紋 中 的 節 會 變 少 ， 且 節 點 的 間 隔 愈 長 （ 如 圖 4-a 與 圖 5-a）。此 水 柱 呈 現 波 形 的 現 象 為 少 流 量 與 近 距 離 效 應 ， 所 以 平 板 逐 漸 遠 離 出 水 口 或 水 流 量 增 大 ， 則 水 流 的 波 形 漸 漸 模 糊 （ 如 圖 3-a 與 圖 6-a） 甚 至 消 失 。 這 種 現 象 隨 處 可 見 隨 手 可 做 ， 也 許 不 少 人 在 年 幼 ， 洗 手 順 便 把 玩 小 水 柱 時 ， 就 對 此 現 象 產 生 強 烈 的 好 奇 ， 當 然 這 也 是 莘 莘 學 子 們 科 展 常 見 的 題 材 ， 且 其 中 不 乏 得 獎 的 作 品。例 如 42 屆 全 國 科 展 高 中 組 物 理 科，題 目「 水 柱 會 打 結 」，獲 得 最 佳 團 隊 合 作 獎；46 屆 高 雄 市 科 展 高 中 組 物 理 科，題 目 「 與 水 共 跳 肚 皮 舞 － 垂 直 水 柱 成 節 機 制 之 探 討 」，獲 得 第 二 名，此 作 品 進 而 在 臺 灣 2007 年 國 際 科 學 展 覽 會 獲 得 物 理 科 佳 作。此 外，臺 灣 2007 年 國 際 科 學 展 覽 會 ， 亦 有 一 件 相 關 作 品 獲 得 物 理 科 佳 作 ， 題 目 是 「 流 體 碰 撞 物 體 所 產 生 的 波 形 之 研 究 及 應 用 」。 甚 至 連 小 學 生 也 對 這 個 題 材 有 興 趣，41 屆 全 國 科 展 高 小 組 物 理 科 作 品「 打 結 的 水 柱 」 獲 得 佳 作 。貳、 科 展研 究 的困 境 與盲 點
對 於 高 中 生 ， 這 個 題 材 所 能 做 的 就 是 改 變 各 種 不 同 的 變 因 ， 來 觀 察 水 柱 形 成 波 紋 的 節 點 個 數 ， 其 中 可 操 控 的 變 因 為 出 水 口 的 口 徑 ， 出 水 口 到 平 板 的 距 離 ， 水 流 流 速 ， 水 溫 等 ， 觀 察 記 錄 實 驗 的 結 果 ， 並 繪 出 圖 表 ， 再 加 以 分 析 每 個 變 因 對 節 點 個 數 多 寡 與 節 長 短 的 影 響 。 也 就 是 說 ， 科 展 只 能 做 到 物 理 量 數 據 間 的 關 係 圖 。 若 從 訓 練 學 生 科 學 實 驗 的 角 度 來 看 ， 這 是 一 個 好 題 材 。 由 於 一 般 大 學 物 理 系 少 有 流 體 力 學 的 課 程 ， 加 上 流 體 本 身 的 複 雜 性 ， 所 以 對 於 數 據 分 析 後 的 探 討 ， 常 以 高 中 物 理 課 程 學 到 的 「 駐 波 」、「 表 面 張 力 」 或 「 白 努 利 原 理 」 帶 過 ， 無 法 詳 得 背 後 真 正 的 原 因 ， 實 為 美 中 不 足 之 處 。 這 個 現 象 不 是 駐 波 ， 因 為 它 完 全 不 符 合 波 動 所 具 備 的 條 件 ， 所 以 用 駐 波 的 觀 點 去 解 釋 ， 是 說 不 出 個 所 以 然 的 ； 至 於 「 表 面 張 力 」 或 「 白 努 利 原 理 」 也 許 有 那 麼 一 點 關 係 ， 可 以 有 一 些 定 性 的 粗 略 探 究 ， 但 是 無 法 圓 滿 解 釋 水 柱 為 什 麼 有 節 的 現 象 。在 Jearl Walker 所 著 的「 Flying Circus
of Physics with Answers」 一 書 中 有 提 到 水
柱 打 結 的 現 象，以「 水 流 裡 的 駐 波 」稱 之 ， 書 中 並 指 出 「 目 前 還 不 知 道 是 否 有 任 何 文 獻 談 到 這 種 現 象 」。（ 此 書 在 台 灣 有 中 譯 本，是 天 下 出 版 的「 物 理 馬 戲 團 」，一 套 共 三 冊 。 ）
參、 能 量函 數 與變 分 法
其 實 在 1995 年 ， 由 物 理 研 究 學 人 蔡 長 青 先 生 ， 在 他 的 碩 士 學 位 論 文 中 ， 已 經 指 出 此 現 象 背 後 真 正 的 原 因 。 筆 者 與 蔡 先 生 是 同 窗 好 友 ， 對 其 研 究 歷 程 知 之 甚 詳 。 當 時 蔡 先 生 的 桌 子 上 擺 放 一 堆 流 體 力 學 、 古 典 理 論 力 學 及 數 學 方 面 的 書 籍 ， 由 一 疊 紙 ， 一 枝 筆 ， 加 上 一 顆 頭 腦，先 以 理 論 著 手，夜 以 繼 日 地 思 索 推 演， 最 後 導 出 一 條 二 階 的 常 微 分 方 程 式 ， 此 方 程 式 的 解 與 實 驗 觀 察 結 果 相 當 吻 合 。 蔡 先 生 的 論 文 中 指 出 ， 因 為 打 結 水 柱 的 問 題 ， 其 邊 界 條 件 、 壓 力 形 式 與 速 度 分 布 是 未 知 的 ， 而 傳 統 流 體 力 學 是 以 力 的 觀 點 來 解 決 問 題 的 ， 有 其 先 天 的 困 難 ， 所 以 捨 棄 力 的 觀 點 ， 改 以 能 量 觀 點 來 考 慮 。 又 從 漢 米 爾 頓 運 動 原 理（ Hamilton’s principle of motion） 的 運 動 態 觀 點 ， 即 動 能 T 與 位 能 V 隨 時 間 演 進 而 互 相 轉 換 的 啟 發，改 引 用 平 衡 態 ， 即 動 能 位 能 不 隨 時 間 而 變 化 ， 且 依 據 系 統 的 幾 何 形 狀 決 定 其 大 小 （ 此 處 位 能 為 表 面 張 力 能 ）。 當 一 系 統 達 到 動 平 衡 （ 動 能 與 總 能 不 是 時 間 顯 函 數 ）， 其 分 佈 於 空 間 的 幾 何 形 狀 ， 必 使 動 能 為 相 對 極 大 ， 位 能 為 相 對 極 小（ 或 動 能 與 位 能 的 差 為 極 值 ）。蔡 先 生 認 為 使 用 變 分 法 決 定 靜 態 液 面 形 狀 ， 早 已 行 之 有 年 ， 故 由(
d d)
vT
V
dv
δ
∫
−
＝ 0 出 發 ， 推 導 出 決 定 水 柱 表 面 形 狀 的 二 階 常 微 分 方 程 式(
)
3 2 2 2 2 01
1
1
0
2
′′
−
′
+
+
+
′
− =
R
RR
R
v
gz
R
（ 摘 錄 於 蔡 氏 論 文 p16），此 方 程 式 採 用 圓 柱 坐 標 ， 以 符 合 水 柱 的 圓 柱 對 稱 （ 圖 1）。 其 中 Td： 單 位 體 積 的 動 能 密 度 ， Vd： 單 位 體 積 的 位 能 密 度 ， dv： 體 積 積 分 元 （ integral element） R： 水 柱 表 面 橫 向 坐 標 R'： R 對 z 的 導 數 α： 水 的 表 面 張 力 能 z： 水 柱 表 面 縱 向 坐 標 v0： r＝ R0（ R0為 管 內 徑 ）， z＝ 0 的 水 流 速 度 ， 即 出 水 口 的 流 速 g： 重 力 加 速 度 圖 1、 水 柱 的 圓 柱 對 稱 R z 軸 r 軸 R0接 下 來 以 實 驗 的 初 始 條 件 值 ， 用 套 裝 軟 體 Mathematica，以 數 值 分 析 方 法 解 出 此 二 階 常 微 分 方 程 式 ， 列 出 方 程 式 中 R 與 z 的 關 係，並 畫 出 R 與 z 的 關 係 圖，得 到 像 打 結 水 柱 一 樣 的 曲 線 ， 即 水 柱 與 空 氣 的 邊 界 曲 線 （ 如 圖 2~圖 6 ， 摘 錄 於 蔡 氏 論 文 p20~P24）， 圖 中 縱 軸 為 R， 橫 軸 為 z， 平 板 至 出 水 口 的 距 離 為 d。 節 的 個 數 與 節 的 長 度 完 全 與 實 驗 觀 察 到 的 相 符 。 由 Hamilton 運 動 原 理 的 啟 發，蔡 先 生 引 進 與 Hamilton 運 動 原 理 不 一 樣 的 觀 點 。 從 能 量 觀 點 ， 由 動 能 與 位 能 的 差 為 極 值 的 變 分 法 出 發 ， 最 終 推 演 出 符 合 實 際 實 驗 數 據 的 方 程 式 。 簡 而 言 之 ， 水 柱 會 有 波 紋 的 原 因 ， 是 因 為 一 系 統 在 其 平 衡 態 時 ， 必 會 調 整 本 身 的 幾 何 形 狀 ， 使 其 動 能 有 極 大 值 ， 位 能 有 極 小 值 的 必 然 結 果 。 圖 2-a 圖 2-b 圖 3-a 圖 3-b 圖 4-a 圖 4-b
