1-2-2數列與級數-無窮等比級數與循環小數

38  Download (0)

全文

(1)1-2-2 數列與級數-無窮等比級數與循環小數 【問題】 1. 是否無限多個越來越小的數相加之後其值必為有限值? 1 1 1 2. 求 + 2 + L + n + L = ? 2 2 2 1 1 1 3. 求 1 + + + L + + L = ? 2 3 n 4. 求 1 − 1 + 1 − 1 + L + (−1) n +1 + L = ? 【定義】 極限: 無窮數列 < a n > ,當 n 夠大時,若 a n 會與一個定數 α 夠接近(差足夠小),則稱數 列 < a n > 的極限為 α ,以 lim a n = α 表示(唸成 limit),這時稱數列 < a n > 是收斂數 n→∞. 列,否則稱發散數列。 極限的精確定義: 對給定的無窮數列 < a n > ,若存在一個 a ∈ R ,使得對於所有 ε > 0 ,都存在 δ ∈ N ,使得對於所有 n > δ ,都有 | a n − a |< ε ,則稱 < a n > 的極限為 a ,記為 lim a n = a 。 n→∞. 【問題】 討論下列數列的斂散性: − 2n + 1 n n2 +1 1 1 >, < >, < >, < n >, < (−1) n >, < (−2) n >, < 2 n >, 1. < >, < n n +1 n n 2 n n 1 + (−1) 1 < n 2 >, < 1 − n >, < >。 2 2 【問題】 下列何者與 lim a n = α 是同義的? n→∞. 1. 當 n 足夠大時,則 a n 會與一個定數 α 足夠接近。 2. 當 a n 會與一個定數 α 足夠接近,則 n 必足夠大。 3. 當 n 足夠大時,則 | a n − α | 足夠小。 4. 當 | a n − α | 足夠小時,則 n 必足夠大。 5. 當 n → ∞ 時,則 | a n − α |→ 0 。 6. 當 | a n − α |→ 0 時,則 n → ∞ 。 7. given ∀ε > 0, ∃n0 > 0, ∋ ∀n ≥ n0 ⇒| a n − α |< ε 。 【性質】 極限四則運算的性質: 設數列 < a n > 與 < bn > 都是收斂數列,且 lim a n = a, lim bn = b , c 為常數,則 n →∞. 1. lim ( a n + bn ) = lim a n + lim bn = a + b 。 n→∞. n→∞. n→∞. 2. lim (ca n ) = c lim a n = ca 。 n →∞. n→∞. 3. lim (a n bn ) = ( lim a n )( lim bn ) = ab 。 n→∞. n→∞. n→∞. n→∞.

(2) 4. lim ( n→∞. lim a n a an ) = n→∞ = ,且 bn ≠ 0, b ≠ 0 。 bn lim bn b n →∞. 註: 1. 個別極限都存在時,極限可以拆開個別計算。 2. 個別極限都存在時,僅限於有限項時可以拆開,無窮多項不可以拆開個別計 算。 【問題】 1. 若 lim (a n + bn ) 存在,是否可以推得 < a n > 與 < bn > 都是收斂數列? n→∞. 2. 若 lim ( a n − bn ) 存在,是否可以推得 < a n > 與 < bn > 都是收斂數列? n→∞. 3. 若 lim ( a n × bn ) 存在,是否可以推得 < a n > 與 < bn > 都是收斂數列? n →∞. an 存在( bn ≠ 0, b ≠ 0 ),是否可以推得 < a n > 與 < bn > 都是收斂數列? n →∞ b n 【性質】 特殊形式的極限: 若 p (n), q ( n) 為 n 的多項式, 其中 p ( n) = ar n r + ar −1n r −1 + L + a1n1 + a0 , q ( n) = bs n s + bs −1n s −1 + L + b1n1 + b0 p 1. 若 r > s ,則 lim n 不存在。 n →∞ q n p a 2. 若 r = s ,則 lim n = r 。 n →∞ q bs n p 3. 若 r < s ,則 lim n = 0 。 n →∞ q n 【性質】 無窮數列的收斂與發散:(此處 a 可以為零, r 可以為零) 數列 < a n >=< ar n −1 > : 1. r > 1 ⇒ lim a n 不存在。 4. 若 lim. n →∞. 2.. r = 1 ⇒ lim a n = a 。. 3.. 0 < r < 1 ⇒ lim a n = 0 。. 4.. r = 0 ⇒ lim a n = 0 。. 5.. − 1 < r < 0 ⇒ lim a n = 0 。. 6.. r = −1 ⇒ lim a n 不存在。. 7.. r < −1 ⇒ lim a n 不存在。. n→∞. n →∞. n →∞. n→∞. n→∞. n →∞. 當 | r |< 1 時,為收斂數列;當 | r |> 1 時,為發散數列; 當 r = 1 時,為收斂數列;當 r = −1 時,為發散數列。 , | r |< 1 ⎧0 ⎪ ,r =1 。 故 lim a n = ⎨a n→∞ ⎪不存在 ,|r| > 1 或 r = −1 ⎩ 【問題】.

(3) 求下列數列的極限: n2 − n +1 >。 1. < 2n 2 + 3 n−5 2. < 2 >。 2n + 3 3n 3 − 5 >。 3. < 2 2n + 3 3n + 4 n >。 4. < 5n 4 × 3 n − 3 × 5 n −1 5. < >。 4 n +1 + 2 × 5 n 【性質】 無窮級數的收斂與發散: ∞. n. k =1. k =1. 設無窮級數 ∑ a k 的首 n 項部分和 S n = ∑ a k , 若部分和數列 < S n > 為收斂數列且 lim S n = S , n→∞. ∞. 則稱無窮級數 ∑ a k 是收斂級數,其和為 S , k =1 n. ∞. 即 ∑ a k = lim ∑ a k = lim S n = S 。 k =1. n→∞. n→∞. k =1. ∞. 若無窮級數 < S n > 發散,則稱 ∑ a k 為發散級數。 k =1. 【問題】 ∞. n. 下列何者與 ∑ a k = lim ∑ a k = lim S n = S 是同義的? n →∞. k =1. n→∞. k =1. n. 1. 當 n → ∞ 時,則 S n = ∑ a k → S 。 k =1. n. 2. 當 S n = ∑ a k → S 時,則 n 必足夠大。 k =1. 3. 當 n → ∞ 時,則 S − S n = 4. 當 S − S n =. ∞. ∑a. k =n +1. k. ∞. ∑a. k =n +1. k. → 0。. → 0 時,則 n 必足夠大。. 【性質】 無窮級數的收斂與發散: n. 無窮等比級數 a + ar + ar 2 + L + ar n −1 + L , a ≠ 0 ,部分和 S n = ∑ ar k −1 : k =1. 1. 2.. a(1 − r ) 不存在。 n →∞ n →∞ 1− r r = 1 ⇒ lim S n = lim na 不存在。. r > 1 ⇒ lim S n = lim n →∞. n →∞. n.

(4) a(1 − r n ) a = 。 n →∞ n →∞ 1− r 1− r a(1 − r n ) a =a= 。 4. r = 0 ⇒ lim S n = lim n →∞ n→∞ 1− r 1− r a(1 − r n ) a 5. − 1 < r < 0 ⇒ lim S n = lim = 。 n →∞ n →∞ 1− r 1− r a(1 − r n ) r = − 1 ⇒ lim S = lim 不存在。 6. n n →∞ n →∞ 1− r a(1 − r n ) 7. r < −1 ⇒ lim S n = lim 不存在。 n →∞ n →∞ 1− r a 當 | r |< 1 時,為收斂級數,和為 ;當 | r |≥ 1 時,為發散級數, 1− r ⎧ a , | r |< 1 ⎪ 故 lim S n = ⎨1 − r 。 n →∞ ⎪⎩不存在 ,|r| ≥ 1 3.. 0 < r < 1 ⇒ lim S n = lim. 【問題】 1 1 1 1. 求 + 2 + L + n + L = 之值。 2 2 2 1 1 1 2. 求 1 + + + L + + L = 之值。 2 3 n 3. 求 1 − 1 + 1 − 1 + L + (−1) n +1 + L = 之值。 4. 數列的極限為 0,是否每一項都為 0? ∞. 5. 若 ∑ a n 收斂,則 lim a n = 0 ? n =1. n →∞ ∞. 6. 若 lim a n = 0 ,則 ∑ a n 收斂? n →∞. n =1. 【性質】 收斂的幾種情形: 1. 單一方向靠近一個定實數。 2. 左右振動,並且靠近一個定實數。 3. 最後在某定點跳動。 發散的幾種情形: 1. 越來越趨向 ∞ 或− ∞ 。 2. 左右振動,但越來越分開。 3. 在二點或二點以上跳動。 【公式】 循環小數化成無窮等比級數以表成有理數: abc 1. 0.abc = 。 999 abc − a 。 2. 0.abc = 990 【問題】 試將循環小數化成無窮等比級數以表成有理數:.

(5) 1. 試求 0.6 ? 2. 試求 0.36 ? 【結論】 1. 實數可以十進位數字表示(以十分逼近法求之) ⇒ 小數位數為有限或無限(循環或不循環) (a)小數位數為有限 ⇒ 可化為分數 ⇒ 有理數。 (b)小數位數為無限且循環 ⇒ 可化為分數 ⇒ 有理數。 m 2. 有理數 ⇒ 可表成兩個整數的比值,如 之形式 n ⇒ m 除以 n 可能除盡或除不盡 (a)除盡 ⇒ 為有限小數。 (b)除不盡 ⇒ 餘數只可能為 1,2,3, L , n − 1 ,一直除下去, 餘數必會重複出現,則為循環小數。 故無理數就是小數位數無限且不循環的小數。 【問題】 1 1 1 1. 試問數列 1 + 2 + 2 + L + 2 + L 收斂與否? 2 3 n 2 x x 4 x 6 x8 設多項式函數 f ( x ) = 1 − + − + − L ,此時 f (0) = 1 , 3! 5! 7! 9! x3 x5 x7 x9 又 sin x = x − + − + −L , 3! 5! 7! 9! 1 x3 x5 x7 x9 sin x 當 x ≠ 0 時, f ( x ) = ( x − + − + − L) = , x 3! 5! 7! 9! x sin x 故 x ≠ 0 時, f ( x ) = 0 與 = 0 的解是同義的, x 也就是 f ( x ) = 0 可用 sin x = 0 的解完全確定(除 x = 0 外), 而 sin x = 0 的解為 x = 0,±π ,±2π ,±3π ,L , x x x x x x 故 f ( x ) = (1 − )(1 − )(1 − )(1 − )(1 − )(1 − )L 2π 3π π −π − 2π − 3π x2 x2 x2 = (1 − 2 )(1 − 2 )(1 − 2 )L π 4π 9π 2 4 6 8 x x x x = 1− + − + −L 3! 5! 7! 9! 左右兩式展開經比較 x 2 係數得 1 1 1 1 − = −( 2 + 2 + 2 + L) π 3! 4π 9π 2 π 1 1 故 = 1+ + +L, 4 9 6 ∞ 1 π2 即∑ 2 = 。 6 k =1 k 2. 因為. sin x x2 x2 x2 = f ( x ) = (1 − 2 )(1 − 2 )(1 − 2 )L , π 4π 9π x.

(6) π. π. π. π. ( )2 ( )2 ( )2 π 2 = f ( ) = (1 − 2 )(1 − 2 )(1 − 2 )L , 所以 π π2 2 4π 2 9π 2 2 2 1 1 1 1 即得 = (1 − )(1 − )(1 − )(1 − )L π 4 16 36 64 3 15 35 63 1 × 3 × 3 × 5 × 5 × 7 × 7 × 9 ×L , = × × × ×L = 4 16 36 64 2 × 2 × 4 × 4 × 6 × 6 × 8 × 8 ×L π 2 × 2 × 4 × 4 × 6 × 6 × 8 × 8 ×L 即 = 。 2 1 × 3 × 3 × 5 × 5 × 7 × 7 × 9 ×L ∞ 1 π2 π2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = × = 3. ∑ = ( 1 + + + + L ) = + + + + L 2 4 16 36 64 4 6 24 4 4 9 16 k =1 ( 2 k ) sin. π2 π2 π2 1 1 1 1 所以 ∑ − = 。 = 1+ 2 + 2 + 2 +L = 2 3 5 7 6 24 8 k =1 ( 2 k − 1) ∞.

(7)

數據

Updating...

參考文獻

相關主題 :