3-1-3向量-平面向量的坐標表示法

第三冊 1-3 向量-平面向量的坐標表示法

【定義】 1. 若O(0,0),E(1,0),F(0,1)，且iv= O

v

E ,vj = O

v

F ， 則iv稱為 軸方向的單位向量，x vj 為 軸方向的單位向量。 若 ，則 可表為 y ) , ( ba vv= vv vv=aiv+bvj， 分別稱a 為 vv 的 分量，x b為vv 的 分量。 y 2. 向量的坐標表示： (a) 平面上任一向量 必有一有向線段vv O

v

P(其中O為原點)， 使向量 O

v

P = 。 vv 設點P 的坐標為( ba, )，稱為vv的坐標表示法，記作vv=( ba, )， 稱 為a v 的 分量，v x b為vv的 分量。 註：由點 y P 向 軸及 軸分別作垂線交於 及 ， 則

v

v

v

x y A(a,0) B( b0, ) = vv OP = OA + OB =aiv +bvj =( ba, )。 y vv (b) 平面上兩點 ， 則向 ) , ( ), , (x1 y1 Q x2 y2 P 量 P

v

Q的坐標表示為(x2 −x1,y2 −y1)， 且 2 1 2 2 1 2 ) ( ) ( | | P

v

Q = x −x + y −y 。 註： (a) 想成 P

v v

Q = OQ − O

v

P ) , ( ) , (x2 y2 − x1 y1 = ) ( ) (x₂iv+y₂vj − x₁iv+y₁vj = j y y i x x )v ( )v ( ₂− ₁ + ₂ − ₁ = 。 ) , (x2−x1 y2−y1 = (b) 記成(終點)-(始點)。 3. 向量的長度： 若vv=(x,y)，則 2 2 | |vv = x + y 。 = = v v 4. 向量的相等： 設v₁ (x₁,y₁),v₂ (x₂,y₂)，若vv₁ = vv₂ ⇔x₁ =x₂,y₁= y₂。 5. 向量的加減法與係數積： 設v v1, v2為兩向量， v _{α為一實數，且v ( , ), ( , )} 2 2 2 1 1 1= x y v = x y v v _，則 (1) vv₁+ vv₂ =(x₁+x₂,y₁+y₂)。 (2) vv₁− vv₂ =(x₁−x₂,y₁−y₂)。 (3) αvv =(αx,αy )。 ) , ( ba P O j v x iv A(a,0) ) , 0 ( b B

【應用】 1. 向量的平行： 設兩非零向量vv₁ =(x₁,y₁),vv₂ =(x₂,y₂)，其中x₂y₂ ≠0， 試證：v1// v2的充要條件是 v v 1 2 2 1y x y x = 。 證明： 若 ， 則 0 2 2y ≠ x 2 1// v vv v ⇔vv =₁ tvv₂ ⇔(x₁,y₁)=t(x₂,y₂) ⇔x₁ =tx₂,y₁ =ty₂ t y y x x _{= =} ⇔ 2 1 2 1 1 2 2 1y x y x = ⇔ 。 2. 分點公式： 若A(x1,y1),B(x2,y2)，點P(x,y)在AB 上，且AP:PB=m:n， 試證：(x,y) ( 1 2 , 1 2) n m my ny n m mx nx + + + + = 。 註：AB 中點 M 的坐標為 ) 2 , 2 (x1 x2 y1 y2 M + + 。 證明： ) , (x y OB n m m A O n m n P O

v

v

v

+ + + = = ( 1, 1) (x2,y2) n m m y x n m n + + + = ( 1 2 , 1 2) n m my ny n m mx nx + + + + = 。 3. 三角形的心： (1) 重心坐標： 設 中， ，G為重心， 則 的坐標為 ABC ∆ A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),C(x₃,y₃) G ) 3 , 3 (x1+x2 +x3 y1 +y2 + y3 _。 (2) 內心坐標： 設∆ABC中，三邊長AB=c,BC=a,CA=b， 且A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),C(x₃,y₃)，I 為內心， 則I 的坐標為 ) 3 , 3 (ax1+bx2 +cx3 ay1+by2 +cy3 _。 4. 面積： (1) 三角形的面積： 設 為非平行的兩向量， 則由 ) , ( ), , (x₁ y₁ b x₂ y₂ av= v= b av, 所張成的三角形面積為 v 2 2 2 | | | | | | 2 1 b a b av v − v⋅v || || 2 1 1 2 2 1y x y x − = | | 2 1 2 2 1 1 y x y x = 。 (2) 平行四邊形的面積： 設 為非平行的兩向量， 則由 ) , ( ), , (x₁ y₁ b x₂ y₂ av= v= b av, 所張成的平行四邊形面積為 v 2 2 2 | | | | | |av bv − av⋅bv =||x₁y₂−x₂y₁|| | | 2 2 1 1 y x y x = 。

【定義】 1. 向量的內積表示： 若vv₁=(x₁,y₁),vv₂ =(x₂,y₂)，則vv₁⋅ vv₂ =x₁x₂ + y₁y₂。 說明： 已知 2 2 1 | |vv −vv =|vv₁|2 +|vv₂|2 −2vv₁⋅vv₂， 則v vv ⋅₁ v₂ (| | | | | | ) 2 1 2 2 1 2 2 2 1 v v v vv + v − v −v = )) ) ( ) (( ) ( ) (( 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 y x y x x y y x + + + − − + − = ) 2 2 ( 2 1 2 1 2 1x y y x + = = x₁x₂ + y₁y₂。 2. 向量的夾角： 設v1=(x1,y1),v2 =(x2,y2)，且 v v 2 1, v v vv 的夾角為θ ， 則 | || | cos 2 1 2 1 v v v v v v v v ⋅ = θ 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 y x y x y y x x + + + = 。 3. 向量的垂直： 若vv₁=(x₁,y₁),vv₂ =(x₂,y₂)，則vv₁ ⊥vv₂ ⇔x₁x₂ +y₁y₂ =0。 4. 單位向量： 長度為1的向量稱為單位向量。 註：與av 平行的單位向量為與 av 平行且長度為1的向量，即 | | a a ev ±= _vv 。 【問題】 1. 如圖正六邊形，

v

v

v v_{= , =}

v

(1) 試用a AB b AF兩向量的線性組合表示 A

v

C , A

v

D , AE等向量。 (2) 試求任兩向量之間的內積。 D E 2. 如圖正五邊形， (1) 試用av= A

v

B ,bv= A

v

E兩向量的線性組合表示 A

v

C , A

v

D等向量。 (2) 試求任兩向量之間的內積。 A B C D E A B F _C

【定義】 1. 直線的方向向量： 與直線平行的向量稱為直線的方向向量，一般以dv表示。 直線ax+by+c=0的方向向量為dv=(b,−a)或dv=(−b,a)。 註： (1) 若 為直線上兩相異點， 則 為一組方向向量。 ) , ( ), , (x₁ y₁ B x₂ y₂ A ) , (x₂ x₁ y₂ y₁ dv = − − (2) 與 平行的非零向量都稱為直線的方向向量， 即方向向量有無限多組。 ) 0 )( , ( − ≠ = b a d dv v 註：利用方向向量來談直線，可以免除鉛直線沒有斜率的困擾。 2. 直線的法向量： 與直線垂直的向量稱為直線的法向量，一般以nv 表示。 直線ax+by+c=0的法向量為nv=( ba, )或nv=(−a,−b)。 證明： 在坐標平面上， 一直線 過點 ， 且與一向量 L A(x₀,y₀) ) 0 )( , ( ≠ = a b n nv v 垂直， 則直線的方程式為a(x−x₀)+b(y−y₀)=0， 即 ， 形如 0 0 by ax by ax+ = + 0 = + +by c ax 。 反之直線ax+by+c=0與向量nv=(a,b)(nv≠0)垂直。 註： (1) 法向量有無限多組。 (2) 兩平行直線的方向向量相同，法向量相同。 (3) 兩垂直向量的方向向量互相垂直，法向量互相垂直。 (4) 若直線的法向量nv=(a,b)(nv≠0)時、則 方向向量 、 直線方程式則形如 ) , (b a dv= − 0 = + +by c ax 、 斜率 b a m=− 。

3. 直線的參數式： (1) 給定點與方向向量： 若直線 過一定點L A(x₀,y₀)且dv =( ba, )(dv≠0v)為 的方向向量， 則直線 可表為 ，t為實數， 此種表示法稱為 的參數式，其中t稱為參數。 證明： 設 為直線 上異於 L L ⎩ ⎨ ⎧ + = + = bt y y at x x 0 0 L ) , (x y P L A 的任一點， 則 O

vv

P A O =

v

+ A

v

P 。 A O = +tdv ) , ( ) , (x₀ y₀ +t a b = ) , (x₀ +at y₀ +bt = (2) 過兩點： 設 為直線 上兩個相異點， 則 的參數式為 。 ) , ( ), , (x₁ y₁ B x₂ y₂ A L L t R t y y y y t x x x x ∈ ⎩ ⎨ ⎧ − + = − + = , ) ( ) ( 2 2 1 1 2 1 註： (a) 參數t的符號也可以用其他符號如s, 等表示，參數r t在直線上的意義為 坐標之意。 (b) 直線的參數式即(點)+ (方向向量)之意。 t (c) 直線的參數式的表示法不是唯一的。 (d) 當 時，直線的參數式為 時， 直線的方程式為 0 ≠ a ⎩ ⎨ ⎧ + = + = bt y y at x x 0 0 0 0 ay bx ay bx− = − ，直線 的斜率為L a b 。 (e) 用參數式表示直線，重點在於用t表示直線的點坐標，即一種坐標化的 概念。直線的參數式一但決定之後，直線上任一點 皆可找到唯一 一個實數 ，使得 ) , (x y P t x=x₀ +ta,y= y₀ +tb；且 代入任何實數後，形成的點 構成一條直線，形成了一種一對一的對應。 t (f) 利用控制參數的範圍即可描述直線上的某部分(線段、射線、直線等)。 4. 參數式的表示： 設A(x1,y1),B(x2,y2)為直線 上兩個相異點，則 L (1) 直線AB的參數式為 t R。 t y y y y t x x x x ∈ ⎩ ⎨ ⎧ − + = − + = , ) ( ) ( 2 2 1 1 2 1 (2) 射線AB的參數式為 , 0。 ) ( ) ( 2 2 1 1 2 1 _≥ ⎩ ⎨ ⎧ − + = − + = t t y y y y t x x x x (3) 線段AB 的參數式為 ,0 1。 ) ( ) ( 2 2 1 1 2 1 _{≤ ≤} ⎩ ⎨ ⎧ − + = − + = t t y y y y t x x x x 註：參數式的表示法不是唯一的。