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6-2-2極限的應用-多項函數的導函數

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Academic year: 2021

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(1)6-2-2 極限的應用-多項函數的導函數 【定義】 導函數的定義: 對於函數 f (x ) 定義與中每一個 x = a 處都有導數 f ' ( a ) 時,我們有定關係: a → f ' ( a ) 的對應,如此對應構成一種函數關係,我們以 f ' ( x ) 表示,稱 f ' ( x ) 為 f (x ) 的導函數(或導數),並稱 f (x ) 為可導函數(可微函數)。 f ' ( x ) 並可寫成 f ( x + h) − f ( x) 。 h→0 h 【定義】 lim. 導函數: 1.. 常數函數 f ( x ) = c , c 為常數,則 f ' ( x) = lim. 2.. 函數 f ( x) = x n , n 為自然數,. h →0. f ( x + h) − f ( x ) c−c = lim = 0。 h→0 h h. 利用二項式定理可知 ( x + h) n = x n + C1n hx n −1 + C 2n h 2 x n − 2 + " + C nn−1 h n −1 x + h n , 則 f ' ( x) = lim h →0. 3.. f ( x + h) − f ( x ) ( x + h) n − x n = lim = nx n −1 。 h →0 h h. 多項函數 f ( x ) = a n x n + a n −1 x n −1 + " a1 x + a 0 的導函數為 f ' ( x ) = na n x n −1 + (n − 1) a n −1 x n − 2 + " a1. 【性質】 導函數的運算性質: 若函數 f (x ) 與 g (x ) 的導函數在定義域都存在,則 1. ( f ( x ) + g ( x ))′ = f ′( x) + g ′( x ) 。 (證明) ( f ( x + h) + g ( x + h)) − ( f ( x ) + g ( x )) h →0 h. lim. = lim( h →0. f ( x + h) − f ( x ) g ( x + h) − g ( x ) + ) h h. f ( x + h) − f ( x ) g ( x + h) − g ( x ) + lim h→0 h→0 h h = f ′( x ) + g ′( x) ( f ( x ) − g ( x )) ′ = f ′( x ) − g ′( x ) 。 = lim. 2.. (證明) ( f ( x + h) − g ( x + h)) − ( f ( x ) − g ( x )) h→0 h. lim.

(2) = lim( h →0. f ( x + h) − f ( x ) g ( x + h) − g ( x ) − ) h h. f ( x + h) − f ( x ) g ( x + h) − g ( x ) − lim h→0 h→0 h h = f ′( x ) − g ′( x) ( af ( x )) ′ = af ′( x ) 。 = lim. 3.. (證明) af ( x + h) − af ( x ) h→0 h. lim. a ( f ( x + h) − f ( x)) h→0 h. = lim. = (lim a )(lim h →0. 4.. h →0. f ( x + h) − f ( x) ) h. = af ′(x) 多項函數的導函數: ( a n x n + " + a1 x + a 0 ) ′ = na n x n −1 + ( n − 1) a n −1 x n − 2 + " + a1. (證明) 利用若 f ( x) = x n , n 為自然數, f ( x + h) − f ( x ) ( x + h) n − x n 則 f ′( x) = lim = lim = nx n −1 即可。 → 0 h →0 h h h 5. ( f ( x) g ( x )) ′ = f ′( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′( x ) 。 (證明) lim h →0. f ( x + h) g ( x + h) − f ( x ) g ( x ) h. = lim. f ( x + h) g ( x + h) − f ( x + h) g ( x ) + f ( x + h) g ( x ) − f ( x ) g ( x) h. = lim. ( f ( x + h) − f ( x)) g ( x) + ( g ( x + h) − g ( x)) f ( x + h) h. h →0. h →0. = lim( h→0. f ( x + h) − f ( x ) g ( x + h) − g ( x) × g ( x) + × f ( x + h)) h h. f ( x + h) − f ( x ) g ( x + h) − g ( x ) × g ( x))+ = lim( × f ( x + h)) h → 0 h h = f ( x) × g ' ( x) + g ( x) × f ' ( x). lim( h →0. 6.. (. f ( x) f ′( x) g ( x) − g ′( x) f ( x) 。 )′ = g ( x) ( g ( x)) 2. (證明) f ( x + h) f ( x ) − g ( x + h) g ( x ) lim h →0 h.

(3) = lim. f ( x + h) g ( x ) − g ( x + h) f ( x ) hg ( x + h) g ( x). = lim. f ( x + h) g ( x ) − f ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ( x ) − g ( x + h) f ( x ) hg ( x + h) g ( x). = lim. ( f ( x + h) − f ( x)) g ( x) − ( g ( x + h) − g ( x)) f ( x) hg ( x + h) g ( x). = lim. ( f ( x + h) − f ( x)) g ( x) ( g ( x + h) − g ( x)) f ( x) − lim h → 0 hg ( x + h) g ( x) hg ( x + h) g ( x). h →0. h→0. h →0. h →0. f ( x + h) − f ( x ) 1 g ( x + h) − g ( x ) f ( x) × lim × lim − lim h → 0 h → 0 h → 0 h g ( x + h) h g ( x + h) g ( x ) f ′( x) g ( x) − g ′( x) f ( x) = ( g ( x )) 2. = lim h →0. 7.. 正弦函數的導函數: (sin x) ′ = cos x 。 (證明) 先證明在 x = a 點的導數,再寫成一般型式 lim x→a. f ( x) − f (a) x−a. sin x − sin a x→a x−a. = lim. = lim. 2 cos. x+a x−a sin 2 2. x−a. x→a. = lim cos x→a. x+a lim 2 x→a. x−a 2 x −a 2. sin. = cos a 8.. 餘弦函數的導函數: (cos x )′ = − sin x 。 (證明) 先證明在 x = a 點的導數,再寫成一般型式 lim x→a. f ( x) − f (a) x−a. cos x − cos a x→a x−a. = lim. = lim x→a. − 2 sin. x+a x−a sin 2 2. x−a.

(4) = − lim sin x→a. x+a lim 2 x→a. x −a 2 x−a 2. sin. = − sin a 9. 正切函數的導函數: (tan x)′ = sec 2 x 。 (證明) 先證明在 x = a 點的導數,再寫成一般型式 lim x→a. f ( x) − f (a) x−a. = lim x→a. tan x − tan a x−a. sin( x − a) x → a ( x − a ) cos x cos a. = lim =. 1 cos 2 a. = sec 2 a 10. 餘切函數的導函數: (cot x)′ = − csc 2 x 。 (證明). 先證明在 x = a 點的導數,再寫成一般型式 lim x→a. f ( x) − f (a) x−a. cot x − cot a x→a x−a. = lim. − sin( x − a) x → a ( x − a ) sin x sin a. = lim =. −1 sin 2 a. = − csc 2 a 11. 正割函數的導函數: (sec x ) ′ = sec x tan x 。. (證明) 先證明在 x = a 點的導數,再寫成一般型式 lim x→a. f ( x) − f (a) x−a. sec x − sec a x→a x−a. = lim. cos a − cos x x → a ( x − a ) cos x cos a. = lim.

(5) − (− sin a ) cos 2 a = sec a tan a 12. 餘割函數的導函數: (csc x) ′ = − csc x cot x 。 =. (證明) 先證明在 x = a 點的導數,再寫成一般型式 lim x→a. f ( x) − f (a) x−a. csc x − csc a x→a x−a. = lim. = lim x→a. sin a − sin x ( x − a) sin x sin a. − (cos a ) sin 2 a = − cos a cot a =. 13. 對數函數的導函數: (ln x) ′ =. 1 。 x. (證明) 先證明在 x = a 點的導數,再寫成一般型式 lim x→a. f ( x) − f (a) x−a. ln x − ln a x→a x−a. = lim. ln(a + ∆x) − ln a ∆x → 0 ∆x. = lim. = lim ( ∆x → 0. 1 a + ∆x ln ) ∆x a. 1 a a + ∆x ) = lim ( × × ln ∆x → 0 a ∆x a a. 1 ⎛ a + ∆x ⎞ ∆x = lim ln⎜ ⎟ ∆x →0 a ⎝ a ⎠ a ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎛ a + ∆x ⎞ ∆x ⎟ = ln⎜ lim ⎜ ⎟ a ⎜ ∆x→0⎝ a ⎠ ⎟⎟ ⎠ ⎝ a ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎛ ∆x ⎞ ∆x ⎟ = ln⎜ lim ⎜1 + ⎟ a ⎜ ∆x→0⎝ a ⎠ ⎟⎟ ⎠ ⎝.

(6) =. a ∆x ⎞ 1 ⎛⎜ ln⎜ lim (1 + ) ∆x ⎟⎟ a ⎝ ∆x → 0 a ⎠. =. 1 1 ln e = a a. 14. 以 e 為底指數函數的導函數: (e ax ) ′ = ae ax 。 (證明) 對 ax = ln y 而言,. dx 1 = dy ay. 又 y = e ax 與 ax = ln y 互為反函數 故. dy 1 1 = dx = 1 = ay = ae ax dx dy ay. 15. 以 a 為底指數函數的導函數: (a x )′ = a x ln a 。 (證明) (a x )' = (e x ln a )' = e x ln a ( x ln a )' = e x ln a ln a = a x ln a 16. 冪函數的導函數: ( x α )′ = αx α −1 。 (證明) ( x α )′ = (e α ln x )' = e α ln x (α ln x)' = e α ln xα ⋅. 1 1 = x α α ⋅ = αx α −1 x x. 17. 合成函數的導函數(連鎖律): 已知函數 y = f D g ( x ) = f ( g ( x )) ,則 y ′ = f ′( g ( x)) g ′( x) 。 (證明) 設 y = f (u ), u = g ( x ) dy dy du = = f ′(u ) g ′( x) = f ′( g ( x)) g ′( x) 。 dx du dx 18. 反函數的導函數: 已 知 函 數 y = f (x ) 是 函 數 x = g ( y ) 的 反 函 數 , y = f (x ) 在 點 x 處 連 續 ,. 則. x = g ( y ) 在對應點 y 處的導數不等於零,則 y = f (x ) 在點 x 處有導數,且 1 1 yx '= ,即 f ′( x) = 。 xy ' g ′( y ). (證明) 因 y = f (x ) 在點 x 處連續, 故當 ∆x → 0 時, ∆y → 0 又 x = g ( y ) 在對應點 y 處的導數不等於零. 1 ∆y = lim ∆x = ∆x →0 ∆x ∆y →0 ∆y. 故 y x ' = lim. 1 ∆x lim ∆y → 0 ∆y. =. 1 xy '.

(7) 1. 19. 反正弦函數的導函數: (arcsin x)' =. 1− x2. 。. (證明) 設 y = arcsin x( −1 ≤ x ≤ 1) 則 x = sin y (− yx '=. π 2. π. ≤ y≤. 2. ). 1 1 1 1 1 = = = = x y ' (sin y )' cos y 1 − sin 2 y 1− x2. 20. 反餘弦函數的導函數: (arccos x)' = −. 1 1− x2. 。. (證明) 設 y = arccos x ( −1 ≤ x ≤ 1) 則 x = cos y (0 ≤ y ≤ π ) yx '=. 1 1 1 1 1 = = =− =− x y ' (cos y )' − sin y 1 − cos 2 y 1− x2. 21. 反正切函數的導函數: (arctan x)' =. 1 。 1+ x2. (證明) 設 y = arctan x ( x ∈ R ) 則 x = tan y (−. π. <y<. π. ) 2 2 1 1 1 1 1 yx ' = = = = = 2 2 x y ' (tan y )' sec y 1 + tan y 1 + x 2. 22. 反餘切函數的導函數: (arc cot x)' = −. 1 。 1+ x2. (證明) 設 y = arc cot x ( x ∈ R ) 則 x = cot y (0 < y < π ) 1 1 1 1 1 yx '= = =− =− =− 2 2 x y ' (cot y )' csc y 1 + cot y 1+ x2 23. 反正割函數的導函數: (arc sec x)' = (證明) 設 y = arc sec x (| x |≥ 1) 則 x = sec y (0 < y <. π 2. ). 1 x x2 −1. 。.

(8) yx '=. 1 1 1 = = = x y ' (sec y )' sec y tan y. 1 tan 2 y − 1 × tan y. 24. 反餘割函數的導函數: (arc csc x)' = −. 1 x x2 −1. =. 1 x x2 −1. 。. (證明) 設 y = arc csc x (| x |≥ 1) 則 x = csc y (0 < y < π ) yx '=. −1 1 1 = = = x y ' (csc y )' csc y cot y. 【討論】 1. 可導函數一定是連續函數? 2. 連續函數一定是可導函數?. −1 cot 2 y − 1 × cot y. =. −1 x x2 −1.

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